Плоский удар тела о шероховатую поверхность
|
|
(1) |
Для случая (центр масс
лежит справа от точки
соударения
), все результаты могут быть получены из соображений
симметрии.
Обозначим через
касательную и
нормальную скорость центра масс
,
касательную и
нормальную скорость точки соударения
,
угловую скорость тела. За положительное примем направление
угловой скорости против часовой стрелки. Скорости точек
и
связаны
кинематическими соотношениями
|
(2) |
Процесс удара разделим на две фазы: фазу деформации, в течение которой нормальная составляющая скорости точки соприкосновения уменьшается до нуля, оставаясь отрицательной, и фазу восстановления, в течение которой нормальная составляющая скорости точки соприкосновения увеличивается от нуля до некоторого положительного значения.
Значения всех скоростей до удара будем обозначать
верхним индексом минус , значения скоростей после удара верхним индексом
плюс
, а значения скоростей в конце фазы деформации (или
начале фазы восстановления) верхним индексом штрих ' .
Для того чтобы имел место удар в точке
соприкосновения тела с поверхностью, которая является неудерживающей связью,
необходимо, чтобы до удара нормальная скорость точки была отрицательной
|
(3) |
а нормальная составляющая импульса ударной силы реакции должна быть не отрицательной
|
(4) |
При этом нормальная составляющая скорости
точки в конце фазы
деформации равна нулю
|
(5) |
а после удара положительна
|
(6) |
Уравнения удара (уравнения движения центра масс и изменения кинетического момента тела относительно центра масс) в фазе деформации имеют вид
|
(7) |
а в фазе восстановления
|
(8) |
Здесь – нормальные и
касательные составляющие импульса ударной силы реакции соответственно в фазах
деформации и восстановления. При этом для нормальных составляющих имеем [1–6]
|
(9) |
где – коэффициент восстановления при ударе. Причем
|
(10) |
Абсолютно неупругому удару соответствует , абсолютно упругому удару
.
Учитывая (2), (5) и (9), из (7) и (8) получаем
соотношения для изменения скорости точки соприкосновения в фазе деформации
|
(11) |
и фазе восстановления
|
(12) |
Отсюда получаем
|
(13) |
где
|
(14) |
Примем гипотезу Рауса [1-3] о том, что при ударе трение сводится к сухому трению с коэффициентом трения f .
|
(15) |
Если точка соприкосновения в процессе удара в течение некоторого (бесконечно малого) интервала времени имеет постоянное направление касательной скорости, то в этой фазе удара
|
(16) |
В результате удара в силу (5) точка
соприкосновения может в касательном
к поверхности направлении остановиться или скользить в течение всего удара и в
конце удара иметь ненулевую составляющую касательной скорости. При этом если в
процессе удара под действием трения касательная скорость
становится равной нулю в некоторый момент времени
, то это не означает, что в дальнейшем в процессе удара
она останется равной нулю. Действительно, для того, чтобы
при
должны выполняться соотношения
|
|
где – скорость точки соприкосновения в момент
, а
–импульсы ударной
силы реакции за время
. Отсюда
|
|
|
(17) |
Если условие (17) нарушено, то точка
соприкосновения в силу геометрического положения тела начинает скольжение в
дальнейшем в процессе удара, причем это скольжение направо или , так как при этом
и
. Таким образом в этом случае может произойти изменение
направления скольжения точки соприкосновения. Сначала она скользит налево или с
отрицательной скоростью, которая под действием силы трения уменьшается до нуля,
а затем начинает скользить направо с увеличивающейся положительной скоростью.
Перейдем к рассмотрению различных типов удара в зависимости от того, как осуществляется скольжение в процессе удара.
1. Скольжение прекращается в фазе деформации. В этом случае
|
|
а тогда из уравнений удара (11) и (12) для фаз деформации и восстановления получаем
|
(18) |
Данный случай имеет место, тогда и только тогда, когда выполнены условия (3), (4), (6), .условие (15) по отдельности для фаз деформации и восстановления
|
|
и условие (17). В силу (9), (18) они равносильны условиям
|
(19) |
2. Скольжение прекращается в фазе восстановления. В этом случае
|
(20) |
|
(21) |
а тогда из уравнений удара для фазы деформации и восстановления (11), (12) с учетом (9) получаем
|
(22) |
Данный случай имеет место, тогда и только тогда, когда выполнены условия (3), (4), (6), (20), и условие(15) для фазы восстановления,
|
|
и условие (17). В силу (22) они равносильны условиям:
а) при скольжении направо
|
(23) |
б) при скольжении налево
|
(24) |
3. Полное скольжение (без изменения направления). В этом случае в процессе удара направление скольжения не меняется, и точка соприкосновения имеет ненулевую касательную составляющую скорости
|
(25) |
|
(26) |
а тогда из уравнений удара для фазы деформации и восстановления (11), (12) с учетом (9) получаем
|
(27) |
Данный случай имеет место, тогда и только тогда, когда выполнены условия (3), (4), (6), (25)
|
|
В силу (27) они равносильны условиям:
а) при скольжении направо
|
(28) |
б) при скольжении налево
|
(29) |
4.
Изменение направления скольжения. В процессе удара
точка соприкосновения сначала скользит
налево, а затем направо (см. стр. 7). Этот случай имеет место, когда не
выполнено условие (17) или
|
(30) |
Здесь кроме (17) использовано неравенство
|
(31) |
которое всегда
справедливо. Действительно, в силу (1) и не
отрицательности
оно эквивалентно
неравенству
, где радиус инерции
.
Пусть момент изменения
направления скольжения в процессе удара или момент когда касательная
составляющая скорости равна нулю. Возможны два подслучая.
4.1.
Изменение направления скольжения в фазе деформации. Тогда
и
|
(32) |
На первом этапе фазы деформации при точка соприкосновения
скользит налево
|
(33) |
В этих соотношениях – скорость точки
соударения
в момент смены
направления скольжения,
– импульсы ударной
реакции в течение первого этапа фазы деформации.
Из уравнений удара для первого этапа фазы
деформации с учетом (33)
получаем
|
(34) |
На втором этапе фазы деформации при точка соприкосновения
скользит направо
|
(35) |
В этих соотношениях – импульсы ударной
реакции в течение второго этапа фазы деформации.
Из уравнений удара для второго этапа фазы
деформации с учетом (35) получаем
|
(36) |
При точка соприкосновения
скользит направо
|
(37) |
|
(38) |
Из уравнений удара для фазы восстановления с учетом (38) получаем
|
(39) |
Данный случай имеет место, тогда и только тогда, когда выполнены условия (3), (4), (6), (30) и ограничения на скорости из (32), (33), (35), (37), причем условие (4) должно быть выполнено по отдельности для первого и второго этапа фазы деформации
|
|
В силу (34), (36), (39) и с учетом (30) они равносильны условиям:
|
(40) |
4.2.
Изменение направления скольжения в фазе восстановления. Тогда и
|
(41) |
В фазе деформации при и на первом этапе
фазы восстановления при
точка
соприкосновения скользит налево
|
(42) |
В этих соотношениях – скорость точки
соударения
в момент смены
направления скольжения,
– импульсы ударной
реакции в течение первого этапа фазы восстановления.
Из уравнений удара для фазы деформации и первого этапа фазы
восстановления
с учетом (42) получаем
|
(43) |
На втором этапе фазы восстановления при точка соприкосновения
скользит направо
|
(44) |
|
(45) |
|
(46) |
Из уравнений удара для второго этапа фазы
восстановления с учетом (45), (46)
получаем
|
(47) |
Данный случай имеет место, тогда и только тогда, когда выполнены условия (3), (4), (6), (30) и ограничения на скорости из (41), (42), (44), (45), причем условие (4) должно быть выполнено по отдельности для первого и второго этапа фазы восстановления
|
|
В силу (43), (45), (47) и с учетом (30) они равносильны условиям:
|
(49) |
Для всех рассмотренных выше случаев определены
условия, при которых они имеют место, а также скорость точки
соприкосновения после удара и
импульсы ударных сил реакции опорной поверхности для фаз деформации и
восстановления. Найдем полные импульсы ударных реакций в течение всего удара
|
|
Причем, если изменяется направление скольжения
точки в фазе деформации, то
. Если изменяется направление скольжения точки
в фазе
восстановления, то
.
Значение угловой скорости тела после удара определяется из третьего из уравнений (7), (8)
|
|
Скорость центра масс тела после удара определяется из уравнений (2)
|
|
§2. Графическая интерпретация условий,
соответствующих различным типам удара
В предыдущем параграфе рассмотрены различные типы
движения тела при ударе и получены условия, при которых имеет место тот или
иной тип удара. Однако эти условия достаточно сложны и зависят от значений шести
параметров: положения точки соударения относительно центра масс, определяемого
параметрами и
; радиуса инерции тела относительно центра масс
; коэффициента трения тела о поверхность
и скорости точки
соприкосновения
в начале удара.
Непротиворечивость этих условий и корректность модели удара (т.е. однозначность
определения характеристик движения в конце удара для любого тела и любых
значений скоростей в начале удара) далеко неочевидна.
Для упрощения анализа этих условий введем угол
трения и углы
|
(50) |
В силу (31) имеем
|
(51) |
Из (50) следует
|
(52) |
В силу (51) отсюда получаем
|
(53) |
Введем следующие множества значений скорости
точки соприкосновения в начале удара
|
(54) |
Каждое из этих множеств является полуплоскостью. Тогда в силу условий (19), (23), (24), (28), (29),(40), (49) имеем, что:
§ в процессе удара точка соприкосновения останавливается в фазе деформации тогда и только тогда, когда
|
(55) |
§ в процессе удара точка соприкосновения сначала скользит направо и останавливается в фазе восстановления тогда и только тогда, когда
|
(56) |
§ в процессе удара точка соприкосновения сначала скользит налево и останавливается в фазе восстановления тогда и только тогда, когда
|
(57) |
§ в процессе удара точка соприкосновения скользит направо (полное скольжение) тогда и только тогда, когда
|
(58) |
§ в процессе удара точка соприкосновения скользит налево (полное скольжение) тогда и только тогда, когда
|
(59) |
§ в процессе удара точка соприкосновения меняет направление скольжения в фазе деформации (сначала скользит налево, а затем направо) тогда и только тогда, когда
|
(60) |
§ в процессе удара точка соприкосновения меняет направление скольжения в фазе восстановления (сначала скользит налево, а затем направо) тогда и только тогда, когда
|
(61) |
Отметим, что характер движения точки
соприкосновения в процессе удара
зависит от направления скорости этой точки до удара и не зависит от ее величины.
Введем угол
|
(63) |
который является углом
падения точки , отсчитываемым от касательного к опорной поверхности
направления (рис.1). Тип удара или характер движения точки соприкосновения
в процессе удара
определяется соотношением значений угла трения
, угла падения
и углов
. На рис.2 приведена зависимость углов
от угла трения
и отложены по осям
значения углов
.
Рис. 2. Зависимость углов от угла трения
.
Анализ с учетом рис. 2 условий (55)–(62)
показывает, что некоторые из них являются избыточными. На рис. 3 показаны
области значений угла трения и угла падения
, которые соответствуют различным типам ударов. В качестве
границ, разделяющих эти области, выступают кривые, которые соответствуют
зависимости углов
от угла трения
.
Аналитически эти условия имеют следующий вид. В
процессе удара точка соприкосновения :
§
в области I сначала скользит
направо и останавливается в фазе деформации;
§
в области II сначала скользит
налево и останавливается в фазе деформации;
§
в области III сначала скользит
направо и останавливается в фазе восстановления;
§
в области IV сначала скользит
налево и останавливается в фазе восстановления;
§
в области V и
скользит направо
(полное скольжение);
§
в области VI скользит налево
(полное скольжение);
§
в области VII меняет направление
скольжения в фазе деформации (сначала скользит налево затем направо);
§
в области VIII меняет направление
скольжения в фазе восстановления (сначала скользит налево затем направо).
Рис. 3. Упругий удар.
Напомним, что исследование процесса удара
проводилось в предположении, что центр масс
относительно точки
соударения
расположен слева
(рис. 1) или
. Случай
может быть
исследован аналогично, либо все результаты легко получаются из соображений
симметрии.
Рассмотрим также три частных случая.
Если в момент удара центр масс расположен над
точкой соприкосновения или
(этот случай имеет
место при ударе осе симметричного диска о поверхность), то
,
,
,
. Всегда
и зависимость типа
удара от скорости точки соприкосновения до удара показана на рис.4.
Рис. 4. Упругий удар осе симметричного диска.
В процессе удара точка соприкосновения :
§
в области I сначала скользит
направо и останавливается в фазе деформации;
§
в области II сначала скользит
налево и останавливается в фазе деформации;
§
в области III сначала скользит
направо и останавливается в фазе восстановления;
§
в области IV сначала скользит
налево и останавливается в фазе восстановления;
§
в области V скользит направо
(полное скольжение);
§
в области VI скользит налево
(полное скольжение).
В случае абсолютно неупругого удара , и в силу (50)
. Области соответствующие различным типам удара показаны на
рис. 5.
Рис. 5. Абсолютно неупругий удар.
В
процессе удара точка соприкосновения :
§
в области I сначала скользит
направо, затем останавливается;
§
в области II сначала скользит
налево, затем останавливается;
§
в области III и
скользит направо
(полное скольжение);
§
в области IV скользит налево
(полное скольжение);
§
в области V меняет направление
скольжения (сначала скользит налево затем направо).
Для абсолютно шероховатой поверхности или
. Весьма неожиданным оказывается результат (см. рис.
3), что не всегда точка
соприкосновения
останавливается в
процессе удара, не смотря на бесконечно большой коэффициент трения. При малых
значениях угла падения
касательная
составляющая скорости не обращается в ноль. Имеет место полное скольжение
налево. Этот результат особенно не очевиден для случая абсолютно неупругого
удара (см. рис. 5).
Отметим также, что случай удара материальной
точки о шероховатую поверхность [7] не может быть получен из приведенных в
данной работе результатов предельным переходом. При этом одновременно стремятся
к нулю параметры , а тогда в силу (50)
ничего нельзя сказать про углы
.
Литература
1. Плявниекс В.Ю. Расчет косого удара о препятствие. В кн.: Вопросы динамики и прочности, № 18. Рига, Зинатне, 1969, с. 87-109.
2. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М., Международная программа образования, 1997.
3. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. М., Наука, 1977.
4. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел, т.1. М., Наука, 1983.
5. Кобринский А.Е., Кобринский А.А. Виброударные системы (динамика и устойчивость). М., Наука, 1973.
6. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. М., Изд-во литературы по строительству, 1965.
7.
Дубинин В.В., Гришин С.А., Лапшин В.В. Удар материальной точки о шероховатую
поверхность. Препринт Ин-та прикл. мат. РАН, 1997, № 21.
8.
Лапшин В.В., Дубинин В.В. Абсолютно неупругий удар тела о шероховатую
поверхность. Препринт Ин-та прикл. мат. РАН, 1998, № 18.