Об обтекании полубесконечной иглы, расположенной на оси конического диффузора, вязкой жидкостью

( On the Viscous Fluid Flow Around a Semi-Infinite Needle Situated on the Axis of a Conic Diffuser
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Васильев М.М.
(M.M.Vasiliev)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2004
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-01067)

Аннотация

Методами степенной геометрии изучается осесимметричное обтекание полубесконечной иглы, имеющей бесконечно малый радиус поперечного сечения и расположенной на оси симметрии конического диффузора, стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Если граничные условия на поверхности иглы перенести на ось симметрии диффузора, то особенность на этой оси не позволяет обеспечить равенство нулю обеих компонент скорости - касательную компоненту приходится считать отличной от нуля. При этом получается профиль продольной компоненты скорости с выколотой точкой на оси симметрии. Полученные результаты относятся к главному члену асимптотики решения на бесконечности при малых числах Рейнольдса.

Abstract

The viscous incompressible fluid steady flow around a semi-infinite needle in the conic diffuser is studied by methods of Power Geometry. It is considered the axially symmetric flow. The boundary conditions on the needle surface carry over to axis of the diffuser. Then tangential velocity component is obained different from zero and the longitudinal velocity component profile has the deleted point. The obtained here results concern to asymptotics of the solution at infinity for small Reynolds numbers.


E-mail: vasiliev@spp.keldysh.ru

Введение

Степенная геометрия [1,2] применялась к задачам о течениях вязкого теплопроводного газа в плоском и коническом диффузорах соответственно в работах [3] и [4]. Применению степенной геометрии к задаче о течении вязкой проводящей жидкости в плоском диффузоре в присутствии магнитного поля посвящена работа [5]. Обтекание полубесконечной иглы стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости изучалось в работах [6,7].

В данном препринте рассматривается осесимметричное обтекание полубесконечной иглы, находящейся на оси конического диффузора, стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости. В случае иглы бесконечно малого радиуса перенос граничного условия с поверхности иглы на ось симметрии приводит к появлению выколотой точки на профиле продольной составляющей скорости. Эта точка расположена на оси симметрии. Проф. А.Г. Куликовский на семинаре в Институте Механики МГУ отметил, что аналогичная ситуация имеет место в случае плоского течения. Он рассмотрел одинаковые течения Пуазейля в двух параллельных плоских каналах, отстоящих на расстояние h друг от друга и установил,что в пределе при h→ 0 получается одно общее течение Пуазейля с параболическим профилем скорости, имеющим выколотую точку на оси симметрии.


§ 1. Некоторые сведения из степенной геометрии

Для удобства чтения, приведем некоторые сведения, относящиеся к степенной геометрии и используемые в данном препринте. Подробности см. в монографиях [1,2].

Здесь будет рассматриваться краевая задача для одного дифференциального уравнения, с двумя независимыми переменными. Обозначим независимые переменные через x1, x2, а искомую функцию через x3 и пусть X=(x1,х2,x3). Дифференциальным мономом a(X) называется произведение обычного монома cx1r1x2r2x3r3[(   def) || ( = )]  cXR и производных вида ∂l x3/∂x1l1∂x2l2, где c=const,  R = (r1,r2,r3) ∈ R3, l=l1+l2.

Каждому дифференциальному моному a(X) соответствует его векторный показатель степени Q(a) ∈ R3, который определяется согласно формулам: Q(cXR)=R; Q(∂l x3/∂x1l1∂x2l2) =-l1E1-l2E2++E3;  Q(a1a2)=Q(a1)+Q(a2), где Ej - j-ый единичный вектор, a1, a2 - дифференциальные мономы. Конечная сумма дифференциальных мономов


f(X)= е
ak(X)
(1.1)

называется дифференциальным полиномом. Дифференциальному полиному (1.1) в пространстве R3 соответствует носитель S(f)={Q(ak)}, который представляет собой множество векторных показателей степени всех дифференциальных мономов этого полинома. Точки этого носителя будем обозначать через Qk. Выпуклая оболочка G(f) носителя S(f) называется многогранником Ньютона-Брюно для полинома (1.1). Его граница ∂G(f) состоит из "граней" Gj(d), где d=dim(Gj(d)). При d=0 это вершины, при d=1 это ребра, при d=2 это обычная двумерная грань. Каждой грани Gj(d) соответствует укороченный полином [^f]j(d)(X)=∑ak(X), где сумма берется по всем k:Q(ak) ∈ Gj(d).

Пусть R*3 - пространство, сопряженное пространству R3. Так что для P=(p1,p2,p3) ∈ R*3 и Q=(q1,q2,q3) ∈ R3 определено скалярное произведение бP,Qс[(   def) || ( = )]  p1q1+p2q2+p3q3. Для каждой грани Gj(d) многогранника G(f) существует такой вектор P ∈ R*3, что бP,Qiс = бP,Qlс > бP,Qmс для любых Qi, Ql ∈ Gj(d) и Qm ∈ G\Gj(d). В пространстве R3 гиперплоскость бP,Qс = бP,Qiс является опорной к многограннику G(f) и проходит через грань Gj(d), причем вектор P перпендикулярен к этой опорной плоскости и является внешним по отношению к многограннику G(f).

Если решение уравнения

f(X)=0

(1.2)

задано параметрически в виде


xm = bmtpm(1+o(1)),
(1.3)

bm ≠ 0 - постоянные, m=1,2,3, и t→∞, то выражение



xm = bmtpm
(1.4)

является первым приближением этого решения и удовлетворяет соответствующему укороченному уравнению:

 

^

f

 

(d)
j 

(X)=0.

(1.5)

Для каждого вектора P ≠ 0 существует укороченное уравнение (1.5).

Рассмотрим уравнение

f(X)=0,

(1.6)

где f(X) - дифференциальный полином. Этому полиному соответствует его носитель S(f), его многогранник G(f), множество граней Gj(d) и укороченные уравнения:

 

^

f

 

(d)
j 

(X)=0.

(1.7)

Для каждого вектора P ≠ 0 существует укороченное уравнение.

Пусть при x1→∞ уравнение (1.6) имеет решение вида x3=x1g3j3(z)+O(x1g3-e), где e > 0,


z = x2x1-g2, gm=pm/p1,    m=2,3.
(1.8)

При этом вектор -gmE1+Em перпендикулярен к вектору P=(p1, p2, p3). Тогда укороченное решение


x3=x1g3j3(z),
(1.9)

является решением укороченной системы уравнений (1.4) [2, гл.VI, теорема 1.1].

Вектор P находится из условий его перпендикулярности к грани Gj(d1) и к векторам, определяемым граничными условиями. Длина вектора P является произвольной и, согласно формуле (1.4), можно положить p1=1, если исследуется асимптотика решения при x1→+∞, и p1=-1, если x1→ - ∞.

 

§ 2. Постановка задачи

Рассмотрим стационарное осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости в коническом диффузоре, на оси которого расположена полубесконечная цилиндрическая игла. Введем цилиндрическую систему координат r,J,z с осью z=0, расположенной на оси симметрии диффузора. Вершину диффузора поместим в начало координат. Поскольку будет рассматриваться асимптотика течения при z→∞, то радиус поперечного сечения иглы можно считать малым по сравнению с текущим радиусом поперечного сечения диффузора. Поэтому в рассматриваемой модели течения граничные условия на поверхности иглы будем сносить на ось симметрии r=0.

Будем полагать, что окружная компонента скорости v равна нулю. Радиальную и осевую компоненты скорости обозначим соответственно через u и w, давление, плотность и кинематический коэффициент вязкости обозначим, как обычно, через p,r,n. Уравнения Стокса динамики вязкой жидкости и уравнение неразрывности в рассматриваемом случае имеют следующий вид [8]:


u  ∂u
∂r
  + w  ∂u
∂z
  +   1
r
   ∂p
∂r
  - n ж
и 		 ∂2u
∂r2
  +   1
r
   ∂u
∂r
  -   u
r2
  +   ∂2u
∂z2
 ц
ш 		=0,
(2.1)

u  ∂w
∂r
  + w  ∂w
∂z
  +   1
r
   ∂p
∂z
  - n ж
и 		 ∂2w
∂r2
  +   1
r
   ∂w
∂r
  +   ∂2w
∂z2
 ц
ш 		=0,
(2.2)

 ∂(ru)
r
  +   ∂(rw)
z
  =0.
(2.3)

Для исключения давления p продифференцируем обе части каждого из уравнений (2.1) и (2.2) соответственно по z и по r и вычтем из первого полученного таким образом уравнения второе. В результате получим:


 ∂
∂z
  ж
и 		u  ∂u
∂r
  + w  ∂u
∂z
  +   1
r
   ∂p
∂r
  - n ж
и 		 ∂2u
∂r2
  +   1
r
   ∂u
∂r
  -   u
r2
  +   ∂2u
∂z2
 ц
ш 		ц
ш 		-

-   ∂
∂r
  ж
и 		u  ∂w
∂r
  + w  ∂w
∂z
  +   1
r
   ∂p
∂z
  - n ж
и 		 ∂2w
∂r2
  +   1
r
   ∂w
∂r
  +   ∂2w
∂z2
 ц
ш 		ц
ш 		 =0.
(2.4)

Согласно уравнению (2.3), введем функцию тока y по формулам:


u=-  1
r
    ∂y
∂z
 ,
(2.5)

w=  1
r
    ∂y
∂r
 .
(2.6)

Тогда уравнение (2.4) можно переписать в виде:


 ∂
∂z
   ж
и 		 1
r
    ∂y
∂z
   ∂
∂r
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂z
 ц
ш 		 -   1
r
   ∂y
∂r
   ∂
∂z
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂z
 ц
ш 		ц
ш 		 + 

+   ∂
∂r
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂z
   ∂
∂r
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂r
 ц
ш 		 -   1
r
   ∂y
∂r
   ∂
∂z
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂r
 ц
ш 		ц
ш 		 + 

+ n ж
и 		 ∂
∂z
  ж
и 		 ∂2
∂r2
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂z
 ц
ш 		 +   1
r
   ∂
∂r
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂z
 ц
ш 		 -   1
r3
   ∂y
∂z
  +   1
r
   ∂3y
∂z3
 ц
ш 		 + 

+   ∂
∂r
  ж
и 		 ∂2
∂r2
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂r
 ц
ш 		 +   1
r
   ∂
∂r
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂r
 ц
ш 		 +   ∂2
∂z2
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂r
 ц
ш 		ц
ш 		ц
ш 		 =0.
(2.7)

а граничные условия при сделанных предположениях будут иметь вид:


y =  ∂y
∂r
 =  ∂y
∂z
 =  ∂2y
∂r∂z
 =  ∂2y
∂r2
 =0    при    r=0,
(2.8)


y = G=const,    

 ∂y

∂r

=

 ∂y

∂z

=0    при    r=ztga,

(2.9)

где a - угол полураствора диффузора.

 

§ 3. Об автомодельном решении рассматриваемой задачи

Степенная геометрия применялась к исследованию уравнения (2.7), которое называется уравнением Гельмгольца, в работах [9,10] и в монографии [2] в связи с задачей обтекания полубесконечной плоской пластины.

Носитель дифференциального полинома, стоящего в левой части уравнения (2.7), состоит из пяти точек: Q1=(-3,-3,2), Q2=(-1,-5,2), Q3=(-2,-3,1), Q4=(-4,-1,1), Q5=(0,-5,1), которые лежат на трапеции G в плоскости q1+q2+q3=-4, где q1,q2, q3 - координаты точек Qi , соответствующие переменным z,r,y. Ясно, что вектор нормали к этой трапеции P=(p1,p2,p3) определяется с точностью до знака. Но поскольку нас интересует асимптотика решения при z=q1→+∞ и длина вектора P является произвольной, то можно положить p1=1 и тогда P=(1,1,1). Эта нормаль, согласно формулам (1.8),(1.9), определяет вид автомодельной независимой переменной z = rz-p2/p1=r/z и автомодельного решения уравнения (2.7) y = zp3/p1c(z)=zc(z). Однако эта функция не может удовлетворять всем граничным условиям (2.8), (2.9).

В самом деле. Эти граничные условия имеют носитель: Q6=(0,0,1),Q7=(0,0,0) и в этом случае вектор Q6′=Q6-Q7=Q6 не может быть перпендикулярен к вектору P=(1,1,1). Этим граничным условиям, очевидно, могут удовлетворить укорочения уравнения (2.7), соответствующие одномерным ребрам трапеции G, параллельным плоскости q3=0. Такими ребрами являются основания трапеции G. Одно из этих ребер G1, на котором лежат точки Q1 и Q2, соответствует течениям невязкой жидкости, а другое G2, содержащее точки Q3, Q4, Q5 - так называемым ползущим течениям вязкой жидкости (creeping flows).

Поскольку нас интересует течение вязкой жидкости, то мы будем рассматривать укорочение уравнения (2.7), соответствующее ребру G2:


 ∂
∂z
  ж
и 		 ∂2
∂r2
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂z
 ц
ш 		 +   1
r
   ∂
∂r
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂z
 ц
ш 		 -   1
r3
   ∂y
∂z
  +   1
r
   ∂3y
∂z3
 ц
ш 		 + 

 +   ∂
∂r
  ж
и 		 ∂2
∂r2
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂r
 ц
ш 		 +   1
r
   ∂
∂r
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂r
 ц
ш 		 +   ∂2
∂z2
  ж
и 		 1
r
   ∂y
∂r
 ц
ш 		ц
ш 		 =0.
(3.1)

В этом случае, сделав параллельный сдвиг трапеции G так, чтобы одна из точек Qi ребра G2 (например, Q3) попала в начало координат, получим: Qi′=Qi-Q3(i=1,…,5). Параллельный сдвиг трапеции G означает умножение обеих частей уравнения (2.7) на один и тот же моном. Сдвинутые точки Qi′ имеют следующие координаты: Q1′=(-1,0,1), Q2′=(1,-1,1), Q3′=0, Q4′=(-2,2,0),Q5′=(2,-2,0) . Так как последние три точки принадлежат сдвинутому ребру G2, а вектор P должен быть перпендикулярен к этому ребру, то


бP,Q3ўс = бP,Q4ўс = бP,Q5ўс = 0
(3.2)

(Напомним, что угловыми скобками мы обозначаем скалярное произведение).

Равенства (3.2) можно переписать в виде: 2p1-2p2=-2p1+2p2=0, или p1=p2. Как уже отмечалось, можно положить p1=1 и тогда P=(1,1,p3), а условие перпендикулярности этого вектора к вектору Q6′=(0,0,1) дает p3=0.

Итак,

P=(1,1,0)    и    y = j(z),    где    z = r/z.

(3.3)

Подставляя эти выражения в уравнение (3.1), приходим к следующему уравнению:


(1+z2)2jIV - 2  1-5z2-6z4
z
 j"ў +   3+4z2+36z4
z2
 j" -   3+4z2-24z4
z3
 jў =0.
(3.4)

При малых значениях z, сохраняя главные члены в коэффициентах этого уравнения, получим уравнение Эйлера:


jIV -   2
z
 j"ў +   3
z2
 j" -   3
z3
 jў =0,
(3.5)

которое, как обычно, заменой j′=w, z = eh приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами:


 d3w
dh3
  - 5  d2w
dh2
  + 7  dw
dh
  - 3 =0.
(3.6)

Общее решение этого уравнения


w = (C1+C2h)eh+C3e3h

(3.7)

в исходных переменных имеет следующий вид


j=(

~

C

 


1 

+

~

C

 


2 

lnz)z2+

~

C

 


3 

z4+

~

C

 


4 

.

(3.8)

Из формул (2.5),(2.6) вытекает, что


u=

 1

z2

j′,    w=

 1

zz2

j′,

(3.9)

Граничные условия (2.8),(2.9) можно теперь переписать в виде


j(0)=j′(0)=j"(0)=0,

(3.10)


j(tga)=G,    j′(tga)=0.

(3.11)

Для выполнения граничных условий (3.10) надо положить [C\tilde]1 = [C\tilde]2=[C\tilde]4=0. Тогда


j=

~

C

 


3 

z4(1+o(1));  при    z→0.

(3.12)

Решая краевую задачу (3.4), (3.10), (3.11), нужно иметь два свободных параметра, чтобы при решении задачи Коши с начальными условиями при z = 0 удовлетворить двум граничным условиям (3.11), а асимптотическая формула (3.12) содержит лишь одну произвольную постоянную [C\tilde]3. В связи с этим рассмотрим другой подход. В формуле (3.8) положим, как и раньше, [C\tilde]2=[C\tilde]4=0. Тогда первые два из трех условий (3.10) будут удовлетворены, а недостающим параметром будет произвольная постоянная [C\tilde]1. При этом j"(0)=2[C\tilde]1 и третье из условий (3.10) выполнено не будет. В результате получается краевая задача, решение которой описывает течение в коническом диффузоре в отсутствие иглы [11]. Если же потребовать выполнения третьего из граничных условий (3.10), то это приведет к появлению выколотой точки в профиле компоненты скорости w(z) при z = 0. Физически все это может означать, что "игла" нулевого радиуса поперечного сечения никакого воздействия на течение жидкости не оказывает.

В заключение отметим, что результаты определения двух укорочений уравнения (2.7) для векторов P=(1,1,1) и P=(1,1,0) сведены соответственно в таблицы 1 и 2, приведенные на стр.10. В этих таблицах второй столбец содержит координаты точек Qk носителя исходного уравнения (2.7). Третий столбец отведен под координаты сдвинутых точек Qk′ этого носителя. Максимальные значения скалярного произведения < P,Qk′ > , приведенного в четвертом столбце, отмечены знаком "+" в пятом столбце. Эти максимальные значения определяют укорочения уравнения (2.7). В случае P=(1,1,1) (табл.1) укорочение совпадает с полным уравнением (2.7), а в случае P=(1,1,0) (табл.2) укорочение содержит только линейные члены, соответствующие приближению Стокса (ползущее течение). Отметим, что приведенные таблицы составлены без учета граничных условий.

 

P=(1,1,1), Dk[(   def) || ( = )]  бP,Qk′с.

 

1

2

3

4

5

k

Qk

Qk′

Dk

 

1

-3,  -3,  2

-1,0,1

0

+

2

-1,  -5,  2

1,  -2,  1

0

+

3

-2,  -3,  1

0

0

+

4

-4,  -1,  1

-2,  2,  0

0

+

5

0,  -5,  1

2,  -2,  0

0

+

 

Таблица 2.

 

P=(1,1,0), Dk[(   def) || ( = )]  бP,Qk′с.

 

1

2

3

4

5

k

Qk

Qk′

Dk

 

1

-3,  -3,  2

-1,0,1

-1

-

2

-1,  -5,  2

1,  -2,  1

-1

-

3

-2,  -3,  1

0

0

+

4

-4,  -1,  1

-2,  2,  0

0

+

5

0,  -5,  1

2,  -2,  0

0

+

ЛИТЕРАТУРА

1.     Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1979. 256с. = Bruno A.D. Local Methods in Nonlinear Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin, 1989, Part 1.

2.     Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. = Bruno A.D. Power Geometry in Algebraic and Differential Equations. Elsevier, Amsterdam, 2000.

3.     Васильев М.М. O стационарном течении вязкого теплопроводного газа в плоском диффузоре. Препринт N 63. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. М.; 2002, 16 с.

4.     Vasiliev M.M. Asymptotics of some viscous, heat conducting gas flows// Proc. of the International Conf. on Boundary and Interior Layers, Computational & Asymptotic Methods, Western Australia, Univ. of Perth. 2002. p. 251-256.

5.     Васильев М.М. Об автомодельных решениях некоторых задач магнитной гидродинамики. Препринт N 75. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. М.; 2003, 14 с.

6.     Брюно А.Д., Шадрина Т.В. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью // ДАН, 2002, т. 387, N5, с. 589-595.

7.     Шадрина Т.В. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью. Препринт N 36, Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. М.; 2002, 21 с.

8.     Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.: Наука, 1978. 736 с.

9.     Брюно А.Д., Васильев М.М. Многогранники Ньютона и асимптотический анализ обтекания пластины вязкой жидкостью. Препринт N44, Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. М.; 1995, 20 с.

10. Bruno A.D., Vasiliev M.M. Asymptotic analysis of the viscous fluid flow around a plate by the Newton polyhedra // Nonlinear Analysis, 1997, 30:8 p. 4765-4770. (Proc. of the Second World Congress of Nonlinear Analysts).

11. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости.: Гостехиздат, 1955. 520 с.

 

 

File translated from TEX by TTH, version 3.40.
On 20 Oct 2005, 18:19.