Степенные разложения шестого ур-я Пенлеве вблизи неособой точки


Степенные разложения шестого уравнения Пенлеве вблизи неособой точки
( Power expansions of solutions to the sixth Painlevé equation near a regular point
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Брюно А.Д., Горючкина И.В.
(A.D.Bruno, I.V.Goruchkina)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2005
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-01-00050)

Аннотация

С помощью методов степенной геометрии [1,2] для шестого уравнения Пенлеве [3,4] в случае общего положения получены все разложения решений в окрестности неособой точки независимой переменной, т.е. отличной от нуля, единицы и бесконечности. Все разложения суть по целым степеням локальной переменной с постоянными комплексными коэффициентами и являются сходящимися. Они образуют 5 семейств. Разложения решений вблизи особых точек описаны в [2,5].

Abstract

Using Power Geometry [1,2], in the generic case we find all expansion of solutions to the sixth Painlevé equation [3,4] near a nonsingular point of the independent variable, i.e. different from zero, one and infinity. All expansions contain integral power exponents of the local variable and have constant complex coefficients and converge. There are 5 families of such expansions. Expansions of solutions near the singular points are described in [2,5].

E-mail: bruno@keldysh.ru
                             chukhareva@yandex.ru

§ 1. Общие свойства уравнения
Для того, чтобы исследовать шестое уравнение Пенлеве [3,4]
y"=  yў2
2
 ж
и 		 1
y
 +  1
y-1
 +  1
y-x
 ц
ш 		-yў ж
и 		 1
x
 +  1
x-1
 +  1
y-x
 ц
ш 		+
+  y(y-1)(y-x)
x2(x-1)2
 й
л 		a+b  x
y2
 +c  x-1
(y-1)2
 +d  x(x-1)
(y-x)2
 щ
ы 		,
(1)
где параметры a,  b,  c,  d=const О    C, в окрестности точки x=x0,  x0 № 0, 1, Ґ, сделаем замену x-x0=z, которая переводит точку x=x0 в точку z=0.
Получим уравнение
y"=  yў2
2
 ж
и 		 1
y
 +  1
y-1
 +  1
y-z-x0
 ц
ш 		-yў ж
и 		 1
z+x0
 +  1
z+x0-1
 +
+  1
y-z-x0
 ц
ш 		+  y(y-1)(y-x0-z)
(z+x)2(z+x0-1)2
 й
л 		a+b  z+x0
y2
 +c  z+x0-1
(y-1)2
 +
d  (z+x0)(z+x0-1)
(y-z-x0)2
 щ
ы 		.
(2)
Представим его в виде дифференциальной суммы. Для этого домножим его на 2(z+x0)2(z+x0-1)2y(y-1)(y-z-x0), перенесем в левую сторону правую часть уравнения, раскроем скобки, сгруппируем слагаемые и получим уравнение
f(z,  y)    def
=
 
   2y6a+(-4a-4x0a)y5-4azy5+(2d+2a)z2y4-
2y"y3z4-4yўy3z3+3yў2z4y2+(4x0a+2b+8a+4dx0+
2c-2d)zy4+(4-8x0)y"z3y3+(6-12x0)yўy3z2+(12x0-
6)yў2z3y3+(8x0a-2c+2cx0+2ax02+2a+2dx0+2bx0-2dx0)y4+
(-12x02+12x0-2)y"y3z2+(-12x02+12x0-2)yўy3z+
(18x02-18x0+3)yў2z2y2+(-4d-4b-4c-4a)z2y3+
(10x0-2)y"z4y2+(2+8x0)yўz3y2+(-10x0+2)yў2z4y+
(12x02-8x03-4x0)y"zy3+(-2x0-4x03+6x02)yўy3+
(-18x02+12x03+6x0)yў2zy2+
(4c-4a+4d-8dx0-8bx0-8x0-4b-8cx0)zy3+

(-8x0+20x02-2)y"z3y2+(6x0-6+12x02)yўz2y2+
(-20x02+2+8x0)yў2z3y+(4x03-2x02-2x04)y"y3+
(-6x03+3x04+3x02)yў2y2+
(-4x02c+4dx0-4bx0-4bx02-4x0a-4dx02+4cx0-4ax02)y3+
(-6x0+20x03-12x02+2)y"z2y2+(8x03+2-12x0+6x02)yў+
(6x0-20x03-2+12x02)yў2z2y+2y"z5y2+2yўz4y2-
2yў2z5y+(2b+2c)z3y2-2y"z5y-2yўz4y+yў2z5+
(2d+8b+6cx0+2a+6bx0-2c)z2y2+(-10x0+4)y"yz4+
(-8x0+2)yўyz3+(5x0-2)yў2z4+
(-8x03+4x0-6x02+10x04)y"zy2+(2x04+2x0-6x02+
+2x03)yўy2+(-4x0+6x02-10x04+8x03)yў2yz+
(-4cx0-2d+16bx0+6bx02+4x0a+6x02c+4dx0+2b)zy2+
(16x0-2-20x02)y"z3y+(6x0-12x02)yўyz2+(1-8x0+
10x02)yў2z3+(2x02-2x03+2x05-2x04)y"y2+
(-2x02+2x04+2x03-2x05)yў2y+(-2x02c+2bx0+8bx02+
2ax02-2dx0+2cx03+2dx02+2bx03)y2+(24x02-20x03+
6x0)y"yz2+(-8x03+6x02)yўy z+(-12x02+10x03+3x0)yў2z
-4bz3y+(-12bx0-4b)z2y+(-6x02+16x03-10x04)y"y z+
(-2x04+2x03)yўy+(5x04-8x03+3x02)yў2z+(-8bx0-
12bx02)z y+(-2x03+4x04-2x05)y"y+(x05+x03-
2x04)yў2+(-4bx02-4bx03)y+2bz3+6bx0z2+6bx02z+2bx03=0.
(3)
Для случая a,  b № 0 носитель S(f) левой части уравнения, т.е. множество показателей степени ее мономов и его выпуклая оболочка G(f) изображены на рис. 1.
Заметим, что носитель S(f) уравнения (3) лежит в целочисленной решетке Z2. Нормальные конусы Uj(1) и Uj(0) ребер Gj(1) и вершин Qj(0) изображены на рис. 2.
Нас будут интересовать только те ребра и вершины многоугольника G(f), нормальные конусы которых пересекаются с полуплоскостью p1 < 0, что соответствует z® 0, т.е. вершины Q1 - Q4 и ребра G1(1) - G3(1).
Поскольку z® 0, то везде w = -1.
Решения, соответствующие вершинам Q1 и Q4, отсутствуют по замечанию 1.1 из [2], так как соответствующие укорочения [^(f)](0)1=2bx03 и [^(f)](0)4=2ay6 - алгебраические.
§ 2. Решения, соответствующие вершинам Q2 и Q3
2.1.    Решения, соответствующие вершине Q2. Вершине Q2 соответствует укороченное уравнение

f2(0)    def
=
 
   [x03(x0-1)2]-1
^
f
 
 (0)
2 
 (z,  y)    def
=
 
   -2y"y+yў2=0.
(4)
Характеристический многочлен дифференциальной суммы f(0)2(z,  y) есть
c(r) = z-2r+2f(0)2(z, zr) = -2r(r-1)+r2=2r-r2.
Он имеет два корня r1=0, r2=2. Нормальный конус, соответствующий Q2, есть U(0)2={p2 > 0, p2 < -p1} (рис. 2). Векторы Pi=w(1, ri), т.е. P1=(-1, 0) и P2=(-1, -2), не лежат в U(0)2. Согласно п. 1.3 из [2], у уравнения (4) нужных степенных решений нет.
2.2.    Решения, соответствующие вершине Q3. Укороченное уравнение имеет вид

f3(0)    def
=
 
   [x03(x0-1)2]-1
^
f
 
 (0)
3 
 (z,  y)    def
=
 
   -2y"y3+3yў2y2=0.
(5)
Характеристический многочлен дифференциальной суммы f(0)3(z,  y) есть
c(r) = z-4r+2f(0)3(z, zr) = -2r(r-1)+3r2=r2+2r.
Он имеет два корня r1=0, r2=-2. Показатель степени r должен быть таким, чтобы вектор P=w(1, r) лежал в нормальном конусе U(0)3={p2 < 0, p2 > p1}. Векторы P1=(-1, 0),  P2=(-1, 2) не лежат в U(0)3. Согласно п. 1.3 из [2], у уравнения (5) нужных степенных решений нет.
§ 3. Разложения решений, соответствующих ребру G1(1)
Укороченное уравнение имеет вид
^
f
 
 (1)
1 
 (z,  y)    def
=
 
   -2x03(x0-1)2y"y+x03(x0-1)2(yў)2+2bx03=0.
(6)
Нормальный конус U(1)1={l(-1,-1), l > 0}. Следовательно, r=1. Поэтому решения уравнения (6) будем искать в виде y=c1z,  c1 № 0.
Будем искать коэффициент c1. Для него определяющее уравнение имеет вид
~
f
 
 (c1)=c12x03(x0-1)2+2bx03=0,
откуда
c12=  -2b
(x0-1)2
 , т.е.c1=
±
Ц
-2b
|x0-1|
 .
(7)
Будем искать критические числа решения y=c1z. Вычислим первую вариацию для [^(f)](1)1
d
^
f
 
 (1)
1 
 (z, y)
dy
 =-2x03(x0-1)2  d2
dz2
 y-2x03(x0-1)2y"+x03(x0-1)22yў  d
dz
 .
Подставим в нее y=c1z и получим оператор
L(z)=-2x03(x0-1)2c1 ж
и 		 d2
dz2
 z-  d
dz
 ц
ш 		.
Согласно п. 1.4. из [2], характеристическое уравнение имеет вид
n(k)=z-k+1L(z)zk=-2x03(x0-1)2c1(k(k-1)-k) =

= -2x03(x0-1)2c1(k-2)k=0.
Отсюда находим собственные числа k1=0, k2=2. Конус задачи есть K={k > 1}. Поскольку k1 П K, k2 О K, то k2=2 является единственным критическим числом.
Так как k2 лежит в целочисленной решетке Z2, то носитель разложения решений уравнения (3) имеет вид
K={1+m,  m О N}.
Если условие совместности для k=k2=2 выполнено, то разложение решений уравнения (3) будет иметь вид
y= +Ґ
е
k=1 
 ck zk,
(8)
где коэффициент c2 - произвольная постоянная, а остальные коэффициенты ck постоянны и однозначно определены. Обозначим это семейство G(1)1.
Вычислим второе приближение решения уравнения (3), которое имеет вид y=c1z+c2z2. Второе приближение уравнения (3), соответствующее ребру G1(1), есть

^
f
 
 (1)
1 
 (z,  y)+
^
^
f  
 
 (1)

1 
 (z,  y)=0,
где [^(f)](1)1(z,  y) определено формулой (6), а
^
^
f  
 
 (1)

1 
 (z, y)=6bx02z+4bx02(-1-x0)y+(-6x02+16x03-10x04)y"yz+
+(-2x03+2x03)yўy+5(x04-8x03+3x02)yў2z+(2x02-2x03+
+2x05-2x04)y"y2+(-2x02+2x04+2x03-2x05)yў2y.
(9)
Коэффициент   b2   в формуле  (1.22)  из § 1 в [2] - это коэффициент при   z   в выражении
[^([^(f  )])](1)1(z, c1z). Подставляя y=c1z в сумму (9), получаем, что b2=0, т.е. условие совместности выполнено и в разложении (8) коэффициент c2 - произвольная постоянная. По теореме 1.7 из § 1 в [2] ряд (8) сходится для достаточно малых |z|.
§ 4. Разложения решений, соответствующих ребру G2(1)
4.1.    Общий случай. Укороченное уравнение имеет вид
f2(1)    def
=
 
   x0-2(x0-1)-2
^
f
 
 (1)
2 
 (z,  y)    def
=
 
    -2x0y"y+x0yў2+
2(x0+1)y"y2-2(x0+1)yў2y-2y"y3+3yў2y2=0.
(10)
Нормальный конус U(1)2={l(-1,0), l > 0}. Следовательно, r=0. Решения уравнения (10) будем искать в виде y=c0,  c0 № 0. Определим коэффициент c0. Для него определяющее уравнение [(f)\tilde](c0) є 0, следовательно, коэффициент c0 - произвольный.
Будем искать критические числа решения y=c0. Для этого вычислим первую вариацию для
f(1)2(z,  y)
 df(1)2(z,  y)
dy
 =-2x0y  d2
dz2
 -2x0y"+2x0yў  d
dy
 +2(x0+1)  d2
dz2
 y2+4(x0+1)y"y-

-2(x0+1)2yўy  d
dz
 -2(x0+1)yў2-2  d2
dz2
 y3-6y"y2+6yўy2  d
dz
 +6(yў)2y.
Подставим в нее y=c0 и получим оператор
L(z)=-2x0  d2
dz2
 c0+2(x0+1)  d2
dz2
 c02-2  d2
dz2
 c03 = -2c0(c0-x0)(c0-1)  d2
dz2
 .
(11)
При c0=x0 и при c0=1 имеем L(z) є 0. Эти случаи будут исследованы отдельно. Здесь предположим, что c0 № x0, 1. Согласно п. 1.4. из [2], характеристическое уравнение имеет вид
n(k)=z-k+2L(z)zk=-2c0(c0-x0)(c0-1)k(k-1)=0.
(12)
Когда c0 отлично от x0 или 1, уравнение (12) имеет два корня k1=0, k2=1. Конус задачи есть K={k > 0}. Поскольку k1 П K, k2 О K, то k2=1 является единственным критическим числом. Так как k2 лежит в целочисленной решетке Z2, то носитель разложения решений уравнения (3) имеет вид
K={m,  m О N}.
Если для k=k2=1 выполнено условие совместности, то разложение решений уравнения (3) будет иметь вид
y= +Ґ
е
k=0 
 ck zk,
(13)
где коэффициенты c0 и c1 - произвольные постоянные, а остальные коэффициенты ck постоянны и однозначно определены. Обозначим это семейство G(1)21.
Вычислим второе приближение решения уравнения (3), которое имеет вид y=c0+c1z. Второе приближение уравнения (3), соответствующее G2(1), есть
^
f
 
 (1)
2 
 (z,  y)+
^
^
f  
 
 (1)

2 
 (z,  y)=0,
где [^(f)](1)2(z,  y) определяется в формуле (10), а
^
^
f  
 
 (1)

2 
 (z,y)=-4x0(x0-1)(2x0-1)y"zy3-
2x0(x0-1)(2x0-1)yўy3+6x0(x0-1)(2x0-1)yў2zy2+
+2x0(x0-1)(5x02+x0-2)y"y2z+2x0(x0-1)(x02-
-2x0-1)yўy2-2x0(x0-1)(5x02+x0-2)yў2yz-
-2x0(x0-1)(5x0-3)y"yz-2x03(x0-1)yўy+
+x03(x0-1)(5x0-3)yў2z.
(14)
Коэффициент b1 в уравнении (1.22) из § 1 в [2] находим как коэффициент при z в выражении [^([^(f  )])](1)2(z, c0). Подставляя y=c0 в сумму (14), получаем, что b1 = 0, т.е. условие совместности выполнено. Отсюда следует, что в разложении (13) коэффициент c1 - произвольная постоянная. По теореме 1.7 из § 1, [2] ряд (13) сходится для достаточно малых |z|.
На самом деле, решения (13) с c0 № 0, x0, 1 можно получить из теоремы Коши, примененной к уравнению (1).
Теорема Коши [6]. Пусть в уравнении
y"=R(x,y,yў)
функция R(x,y,yў) аналитична в точке (x0,y0,yў0), тогда это уравнение имеет единственное решение y=f(x), удовлетворяющее условиям f(x0)=y0,  fў(x0)=yў0. Это решение аналитично.

4.2.    Случай c0=x0. При c0=x0 линейный оператор, определенный в (11),     L(z) є 0. Сделаем замену y = u +x0 в уравнении (3), которая переводит точку y=c0=x0 в точку u=0. Получим уравнение
g(z,  u)    def
=
 
   (2u"u2+((4x0-2)u"-2uў2)u+(-2x0+2x02)u"+(1-
-2x0)uў2)z5+(-2u"u3+((4x0-2)u"+2uў+3uў2)u2+((4+14x02-
-14x0)u"+(2-4x0)uў2+(4x0-2)uў)u+(-12x02+8x03+4x0)u"+
(-7x02-2+7x0)uў2+(-2x0+2x02)uў)z4+(((4-8x0)u"-4uў)u3+
((-2+4x0-4x02)u"+(12x0-6)uў2+(2-4x0)uў+2b+2c)u2
+((12x0+16x03-2-24x02)u"+(-4x0+4x02+2)uў2+
(-4x0+4x02+2)uў+4cx0-4b+4x0b)u+(-2x0+12x04-24x03+
14x02)u"+(12x02-8x03+1-6x0)uў2+(4x03+2x0-6x02)uў+

2b-4x0b+2cx02+2x02b)z3+((2d+2a)u4+
((12x0-12x02-2)u"+(6-12x0)uў-4a-
-4c+8x0d+8x0a-4b-4d)u3+((24x02-16x03+2-12x0)u"+
+(18x02-18x0+3)uў2+(-24x02+24x0-6)uў+2d-12x0a-
6cx0-12x0d+2a+12x02d+8b+12x02a-2c-6x0b)u2+
((6x02-8x03-2x0+4x04)u"+(12x0+16x03-2-
24x02)uў2+(-6x0-12x03+18x02)uў-12x02d+4x0a+
8x03d-12x02a+8x03a+4x0b-4cx0-4b+4x0d)u+
(8x05+16x03-20x04-4x02)u"+(4x03+x0-3x02-
2x04)uў2-2cx02-4x02b+2cx03+2bx03+2x04d-4x03d-
4x03a+2x02a+2x04a+2x02d+2x0b)z2+(-4u5a+(4x0d-2d+
8a-16x0a+2b+2c)u4+((-8x03+12x02-4x0)u"+(12x0-
12x02-2)uў-16x0d+4c-4b+24x0a+16x02d-4a-24x02a+
4d)u3+((-18x02+28x03+4x0-14x04)u"+(-18x02+12x03+
6x0)uў2+(-28x03-18x0+42x02+2)uў+2b+24x02a-2d+4x0b-
16x03a-6cx02-6x02b-36x02d-8x0a+16x0d+24x03d+
8cx0)u2+((-4x05+2x02+10x04-8x03)u"+(18x02+
14x04-4x0-28x03)uў2+(-20x04-24x02+4x0+40x03)uў+
8x03a-4bx03-32x03d-4x0d-4x0b-4x02a+8x02b-4cx03+
20x02d-4x04a+16x04d+4cx02)u+(-6x05-2x03+2x06+
6x04)u"+(-5x04+4x03-x02+2x05)uў2+(-4x05+2x02+
10x04-8x03)uў+4x05d-10x04d+8x03d-2x02d)z+2u6a+
(-4a+8x0a)u5+(2x02d+2cx0-2x0d+2x0b+12x02a-12x0a+
2a-2c)u4+((-2x02+4x03-2x04)u"+(-2x0-4x03+6x02)uў+
+8x03d-4x0b-12x02d+4x02b-12x02a+8x03a+4x0d+
4cx02+4x0a-4cx0)u3+((-4x05+2x02+10x04-8x03)u"+
(3x02+3x04-6x03)uў2+(-12x02+2x0+20x03-10x04)uў+
14x02d+2cx03+2x0b-4x03a+12x04d-24x03d-4x02b+
2x04a-2x0d+2x02a+2bx03-2cx02)u2+((-2x06+6x05-
6x04+2x03)u"+(-10x04+4x05-2x02+8x03)uў2+
(4x02+20x04-16x03-8x05)uў+16x03d-4x02d+8x05d-
20x04d)u+(x06-3x05+3x04-x03)uў2+(-2x06+6x05-
6x04+2x03)uў-6x05d+2x06d+6x04d-2x03d=0.
(15)
Носитель левой части уравнения и его выпуклая оболчка изображены на рис. 3. Он отличается от рис. 1 только наличием единственной новой точки (-1, 1).
Нормальные конусы изображены на рис. 2. Нас интересуют только те ребра и вершины, нормальные конусы которых пересекаются с третьим квадрантом плоскости (p1, p2), что соответствует пределам z® 0 и u® 0, т.е. вершины Q1,  Q2 и ребро G1(1)
4.2.1. Решения, соответствующие вершине Q1. Ей соответсвует укороченное уравнение
^
g
 
 (0)
1 
 (z, u)    def
=
 
   d(-6x05+2x06+6x04-2x03)=0.
Так как укорочение [^(g)](0)1(z, u)=2dx03(x0-1)3 алгебраическое, то по замечанию 1.1 из [2] решений нет.
4.2.2. Решения, соответствующие вершине Q2. Ей соответсвует укороченное уравнение

^
g
 
 (0)
2 
 (z, u)    def
=
 
    x03(x0-1)3uў2-2x03(x0-1)3u"u=0.
(16)
Так как x0 № 0,  1, то уравнение (16) можно переписать в виде
g(0)2(z, u)    def
=
 
   uў2-2u"u=0.
(17)
Будем искать решения уравнения (17) в виде u=crzr, где cr - произвольная постоянная, а r определяется из характеристического уравнения

c(r)=z2-2rg(0)2(z,  zr)=r2-2r(r-1)=2r-r2=0.
(18)
Уравнение (16) имеет два корня r1=0, r2=2. Векторы P1=(-1, 0), P2=(-1, -2) не лежат в нормальном конусе U(0)2 = { p1 < 0, p2 > p1}, следовательно, нужных степенных решений у уравнения (17) нет.
4.2.3. Решения, соответствующие ребру G1(1). Укороченное уравнение имеет вид
^
g
 
 (1)
1 
 (z,  u)    def
=
 
    x03(x0-1)3(uў2-2u"u-2uў+2u"z+2d)=0.
(19)
Так как x0 № 0,  1, то его можно переписать в виде
g(1)1(z,  u)    def
=
 
   uў2-2u"u-2uў+2u"z+2d=0.
(20)
Согласно нормальному конусу U(1)1={l(-1, -1), l > 0}, показатель степени r=1, поэтому решения уравнения (20) ищем в виде u=c1z.
Определим коэффициент c1 из уравнения [(g)\tilde](c1) = g(1)1(z,c1z)=0. Таким образом получаем
c12-2c1+2d=0,
т.е.
c1=1±
Ц
 
1-2d
 
 .
Найдем критические числа. Для этого вычислим первую вариацию для g1(1).
 dg1(1)(z,u)
du
 =2uў  d
dz
 -2  d2
dz2
 u-2u"-2  d
d z
 .
(21)
Подставив u=c1z в выражение (), получаем линейный оператор
L(z)=  dg1(1)(z,c1z)
du
 =2c1  d
d z
 -2c1z  d2
d z2
 -2  d
dz
 +2  d2
d z2
 z.
(22)
Проделав все те же операции, что и в предыдущих случаях, получим характеристическое уравнение
n(k)    def
=
 
   2x03(x0-1)3(c1-1)(k-(k-1)k)=0.
При c1 № 1, т.е. d № 1/2, уравнение n(k)=0 имеет два корня k1=0 и k2=2. Так как конус задачи есть K={k > 1}, то k2 - единственное критическое число. Носитель разложения решений уравнения (15) имеет вид
K={1+m, m О N}.
Если при k=k2=2 условие совместности выполнено, то разложение решений представляет собой ряд
u= +Ґ
е
k=1 
 ck zk,
(23)
где коэффициент c2 - произвольная постоянная, а остальные коэффициенты ck постоянны и однозначно определены. Семейство таких разложений обозначим G(1)22.
Проверим выполняется ли условие совместности (1.22) из [2]. Для этого выпишем второе приближение уравнения (15), соответствующее ребру G1(1), т.е.
^
g
 
 (1)
1 
 (z,  u)+
^
^
g
 
 (1)

1 
 (z,  u)=0,
где [^(g)](1)1(z,  u) определяется в формуле (19), а
^
^
g
 
 (1)

1 
 (z,  u)=(8x05+16x03-20x04-
4x02)u"z2+(-4x05+2x02+10x04-8x03)u"u z+
(-5x04+4x03-x02+2x05)uў2z+(-4x05+2x02+10x04-
8x03)uўz+(4x05d-10x04d+8x03d-2x02d)z+(-4x05+2x02+
10x04-8x03)u"u2+(-10x04+4x05-2x02+8x03)uў2u+
(4x02+20x04-16x03-8x05)uўu+
(16x03d-4x02d+8x05d-20x04d)u.
(24)
Коэффициент  b2   в формуле   (1.22) из § 1,  [2]  -  это коэффициент  при  z  в выражении [^([^(g)])](z, c1z). Подставив u=c1z в выражение (24) и выписав коэффициенты при z, получаем b2=0. Следовательно, условие совместности выполнено и в разложении (23) коэффициент c2 - произвольная постоянная. По теореме 1.7 из § 1, [2] ряд () сходится для достаточно малых |z|.

4.3.    Случай c0=1. При c0=1 линейный оператор, определенный в (11), L(z) є 0. Сделаем замену y = u +1 в уравнении (3), которая переводит точку y=c0=1 в точку u=0. Получим уравнение
h(z,  u)    def
=
 
   (2u"u2+(-2uў2+2u")u-uў2)z5+(-2u"u3+
((10x0-8)u"+2uў+3uў2)u2+((10x0-6)u"+(8-10x0)uў2+2uў)u+
(3-5x0)uў2)z4+(((4-8x0)u"-4uў)u3+((-32x0+10+20x02)u"+
(12x0-6)uў2+(8x0-10)uў+2b+2c)u2+((20x02+6-24x0)u"+
(32x0-20x02-10)uў2+(8x0-6)uў+4c)u+(-10x02-3+12x0)uў2+
2c)z3+((2d+2a)u4+((12x0-12x02-2)u"+(6-12x0)uў-4c-4b+
4d+4a)u3+((-48x02+20x03-4+30x0)u"+(18x02-18x0+3)uў2+
(12x02-30x0+12)uў-4b+2d+6cx0-14c+2a+6x0b)u2+((-2+
20x03+18x0-36x02)u"+(4-30x0+48x02-20x03)uў2+(6-18x0+
12x02)uў-16c+12cx0)u+(-10x03-9x0+18x02+1)uў2+6cx0-
6c)z2+(-4u5a+(-12a+4x0d+4x0a-2d+2b+2c)u4+((-8x03+
12x02-4x0)u"+(12x0-12x02-2)uў+12c+4b+8x0a-8cx0-4d+
8x0d-12a-8x0b)u3+((10x04-32x03+30x02-8x0)u"+
(-18x02+12x03+6x0)uў2+(24x0-4-30x02+8x03)uў+4x0d-
2d+6x02b+6cx02+24c-28cx0-4a-8x0b+4x0a+2b)u2+
((18x02-24x03+10x04-4x0)u"+(-10x04-30x02+8x0+
32x03)uў2+(8x03-2-18x02+12x0)uў-32cx0+20c+12cx02)u+
(2x0-5x04-9x02+12x03)uў2+6cx02+6c-12cx0)z+
2u6a+(8a-4x0a)u5+(2cx0+2x02d-2x0d+2x0b+2x02a+12a
-12x0a-2c)u4+((-2x02+4x03-2x04)u"+(-2x0-4x03+
6x02)uў+8a+4x0b-4x02b-12x0a-4x0d+12cx0-8c-4cx02+
4x02d+4x02a)u3+((10x03-8x04+2x05-4x02)u"+
(3x02+3x04-6x03)uў2+(-10x03-4x0+12x02+2x04)uў+
2bx03+2x02a-2x0d-14cx02+2x0b+24cx0-4x0a+2a-4x02b+
2cx03-12c+2x02d)u2+((6x03-6x04+2x05-2x02)u"+
(-10x03+4x02+8x04-2x05)uў2+(2x04+6x02-2x0-
6x03)uў+4cx03-16cx02+20cx0-8c)u+(-x05-3x03+x02+
3x04)uў2+6cx0+2cx03-6cx02-2c=0.
(25)
Носитель левой части уравнения и его выпуклая оболочка изображены на рис. 1. Нормальные конусы изображены на рис. 2. Нас интересуют только те, ребра и вершины, нормальные конусы которых пересекаются с третьим квадрантом плоскости (p1, p2), что соответсвует пределам z® 0,    u® 0, то есть вершины Q1,  Q2 и ребро G1(1).
4.3.1. Решения, соответствующие вершине Q1. Ей соответсвует укороченное уравнение

^
h
 
 (0)
1 
 (z,  u)    def
=
 
   2c(x0-1)3 = 0.
Так как укорочение [^(h)](0)1 алгебраическое, то по замечанию 1.1 из [2] решений нет.
4.3.2. Решения, соответствующие вершине Q2. Ей соответсвует укороченное уравнение
^
h
 
 (0)
2 
 (z,  u)    def
=
 
    2x02(x0-1)3u"u-x02(x0-1)3uў2=0.
(26)
Так как x0 № 0,  1, то уравнение (26) можно переписать в виде
h(0)2(z,  u)=2u"u-uў2=0.
(27)
Будем искать решения уравнения (27) в виде u=crzr, где cr - произвольная постоянная, а показатель степени r определяется из характеристического уравнения
c(r)=z2-2rh(0)2(z,  zr)=2r(r-1)-r2=r(r-2)=0,
которое имеет два корня r1=0, r2=2. Векторы P1=(-1, 0),P2=(-1, -2) не лежат в нормальном конусе U(0)2 = {p1 < 0, p2 > p1}, следоваетельно, нужных степенных решений у уравнения (27) нет.
4.3.3. Решения, соответствующие ребру G1(1). Укороченное уравнение имеет вид

^
h
 
 (1)
1 
 (z,  u)    def
=
 
    2x02(x0-1)3u"u-x02(x0-1)3uў2+2c(x0-1)3=0.
(28)
Так как x0 № 0,  1, то уравнение (28) можно переписать в виде
h(1)1(z,  u)=2x02u"u-x02uў2+2c=0.
(29)
Согласно нормальному конусу U(1)1 = {l(-1, -1), l > 0}, показатель степени r=1. Решения уравнения (29) ищем в виде u=c1z. Определим коэффициент c1 из уравнения [(h)\tilde](c1) = h(1)1(z,c1z)=0. Таким образом, при c № 0 получаем
c21=  2c
x02
 , т.е. c1=
±
Ц
2c
|x0|
 № 0.
Найдем критические числа. Для этого вычислим первую вариацию для h1(1)(z,  u).
 dh1(1)(z,  u)
du
 =2x02  d2
dz2
 u+2x02u"-2x02uў  d
d z
 .
(30)
Подставив u=c1z в выражение (30), получаем линейный оператор
L(z)=2x02  d2
d z2
 c1z-2x02c1  d
dz
 .
(31)
Проделав все те же операции, что и в предыдущих случаях, получим характеристическое уравнение
n(k)    def
=
 
    2x02(x0-1)3c1(k2-2k)=0.
Оно имеет два корня k1=0 и k2=2. Так как конус задачи K={k > 1}, то k2 - единственное критическое число. Носитель разложения решений уравнения (25) имеет вид
K={1+m, m О N}.
Если условие совместности (1.22) из [2] выполнено для k=k2=2, то разложение решений представляет собой ряд
u= +Ґ
е
k=1 
 ck zk,
(32)
где коэффициент c2 - произвольная постоянная, а остальные коэффициенты ck постоянны и однозначно определены. Это семейство обозначим G(1)23
Проверим выполняется ли условие совместности. Для этого выпишем второе приближение уравнения (25), соответствующее ребру G1(1), т.е.
^
h
 
 (1)
1 
 (z,  u)+
^
^
h
 
 (1)

1 
 (z,  u)=0,
где [^(h)](1)1(z,  u) определяется в формуле (28), а
^
^
h
 
 (1)

1 
 (z,  u)=(18x02-24x03+10x04-4x0)u"uz+(2x0-5x04-9x02+
12x03)uў2z+(2x04+6x02-2x0-6x03)uўu+(6cx02+6c-12cx0)z+
(10x03-8x04+2x05-4x02)u"u2+(-10x03+4x02+8x04-
2x05)uў2u+(4cx03-16cx02+20cx0-8c)u.
(33)
Коэффициент  b2   в формуле   (1.22) из § 1,  [2]   -  это коэффициент при  z  в выражении [^([^(h)])](z, c1z). Подставив u=c1z в выражение (33) и выписав коэффициенты при z, получаем b2=0. Следовательно, условие совместности выполнено и в разложении (32) коэффициент c2 - произвольная постоянная. По теореме 1.7 из § 1, [2] ряд (32) сходится для достаточно малых |z|.
§ 5. Разложения решений, соответствующих ребру G3(1)
Укороченное уравнение имеет вид
^
f
 
 (1)
3 
 (z,  y)    def
=
 
   -2x20(x0-1)2y"y3+3x20(x0-1)2yў2y2+2ay6=0.
(34)
Нормальный конус U(1)3={l(-1,1), l > 0}. Следовательно r=-1. Решения уравнения (34) будем искать в виде y=c-1/z,  c-1 № 0.
Будем искать коэффициент c-1. Для него определяющее уравнение имеет вид
~
~
f  
 
 (c-1)=z-6
^
f
 
 (1)
3 
 ж
и 		 c-1
z
 ц
ш 		=c2-1-  x20(x0-1)2
2a
 =0,
т.е.
c-1=±  |x0(x0-1)|

Ц
2a
 № 0.
(35)
Будем искать критические числа решения y=c-1/z, которое является первым приближением решения исходного уравнения (3). Для этого вычислим первую вариацию для [^(f)](1)3
d
^
f
 
 (1)
3 
 (z, y)
dy
 = x20(x0-1)2 ж
и 		-2  d2
dz2
 y3-6y"y2+
6yўy2  d
dz
 +6yў2y+  12ay5
x20(x0-1)2
 ц
ш 		.
Подставим в нее y=c-1/z и получим оператор
L(z)=x20(x0-1)2 ж
и 		-2c3-1  d2
dz2
  1
z3
 -12c3-1  1
z5
 -6c3-1  d
dz
  1
z4
 +
6c3-1  1
z5
 +  12ac-15
x20(x0-1)2
  1
z5
 ц
ш 		.
Согласно п. 1.4. из [2], характеристическое уравнение имеет вид
n(k)=z-k+5L(z)zk=x02(x0-1)2c3-1 ж
и 		-2k2-4k-6+  12ac-12
x20(x0-1)2
 ц
ш 		=
= x02(x0-1)2c3-1k(k+2)=0.
(36)
Поскольку c-1 № 0, то собственные числа суть k1=-2, k2=0. Конус задач есть K={k > -1}. Поскольку k1 П K, k2 О K, то k2=0 является единственным критическим числом.
Так как k2 лежит в целочисленной решетке Z2, то носитель разложения решений уравнения (3) имеет вид
K={-1+m,  m О N}.
(37)
Если при k=k2=0 выполнено условие совместности (1.22) из [2], то разложение решений уравнения (3) будет иметь вид
y= Ґ
е
k=-1 
 ck zk,
(38)
где коэффициент c0 - произвольная постоянная, а остальные коэффициенты ck постоянны и однозначно определены. Это семейство обозначим G(1)3.
Вычислим второе приближение решения уравнения (3), которое имеет вид y=[(c-1)/(z)]+c0. Второе приближение уравнения (3), соответствующее ребру G3(1), есть
^
f
 
 (1)
3 
 (z,  y)+
^
^
f  
 
 (1)

3 
 (z,  y)=0,
где [^(f)](1)3(z,  y) определяется в формуле (34), а
^
^
f  
 
 (1)

3 
 (z, y)=2x0(x0-1)[x0(x02-1)y"y2-x0(x02-1)yў2y-
2(2x0-1)y"y3z - (2x0-1)yўy3 -3(2x0-1)yў2y2z]-4a(x0+1)y5.
(39)
Коэффициент  b0  в формуле  (1.22) из § 1,  [2]  - это коэффициент при  z-5  в выражении [^([^(f  )])](1)1(z, c-1/z). Подставив y=c-1/z в выражение (39) и выписав коэффициенты при z-5, получаем b0=0. Следовательно условие совместности выполнено и в ряду (38) коэффициент c0 - произвольная постоянная. По теореме 1.7 из § 1, [2] ряд (38) сходится для достаточно малых |z|.
§ 6. Сводка результатов
Степенные разложения решений уравнения (1) в случае, когда комлексные параметры уравнения
a, b, c, № 0    и    d № 1/2,
(40)
в окрестности неособой точки представляют собой следующие 5 семейств:
  1. однопараметрические (по ck2) семейства G(1)1, G(1)22, G(1)23, G(1)3, определяемые формулами (8), (23), (32), (38);

  2. двупараметрическое (по c0  (c0 № 1, 0, x0) и c1) семейство G(1)21, определяемое соотношением (13).

Все эти разложения сходятся для достаточно малых |z| и имеются в [3, § 46].
Новый результат, полученный в этой работе: показано, что в случае (40) других разложений нет.
Литература
  1. Брюно А. Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // УМН, 2003, т. 59, N 3, с. 31-80.

  2. Брюно А. Д. , Чухарева И. В.. Степенные разложения шестого уравнения Пенлеве. Препринт N 49, М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 2003. 32 с.

  3. Gromak V. I. , Laine I., Shimomura S., Painlevé Differential Equations in the Complex Plane, Walter de Gruyter. Berlin, New York, 2002. 303 p.

  4. Розов Н. Х. Пенлеве уравнение // Математическая Энциклопедия. М.: Советская Энциклопедия, 1985, т. 5, с. 666.

  5. Брюно А. Д., Горючкина И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве // ДАН, 2004, т. 395, N 6, с. 733-737.

  6. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. Изд. 2-е. 436 с.

File translated from TEX by TTH, version 3.40.
On 17 Mar 2005, 17:11.