Содержание

Введение …………………………………………………………    3

§ 1. Постановка задачи ………………………………………….   3

§ 2. Разрывный метод Галеркина

(RKDG – Runge-Kutta discontinuous Galerkin method) ………..      6

§ 3. Организация вычислительного эксперимента ……………   11

§ 4. Результаты численного исследования …………………….   12

§ 5. Сравнение схем ………………………………………..             27

Заключение ……………………………………………………....   34

Литература ……………………………………………………….   35

Введение

В данной работе проведено тестирование разрывного метода Галеркина [1] для численного решения квазилинейного уравнения переноса, а также выполнен сравнительный анализ различных вариантов этого метода и методов, использованных в [2]. Целью данной работы является продолжение исследова­ний, проведенных в [2, 3, 4, 5].

Решения получены для финитных начальных условий и различных чисел Куранта на пространственно-временном прямоугольнике достаточно больших размеров. Для определения ошибок численных решений использованы конечномерные аналоги норм пространств C, L₁, L₂. В работе представлены графики с точными и численными решениями для некоторых моментов времени, а также таблицы ошибок для конечного момента времени и для всего временного промежутка. Такой способ представления результатов позволяет качественно и количественно оценивать характеристики схем.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00461).

§ 1. Постановка задачи

Будем рассматривать задачу Коши для квазилинейного уравнения переноса

                      , ,                                  (1.1)

с финитными начальными условиями u(x,0)= u₀(x) вида:

1.                                               “треугольник”,

2.                                                                 “прямоугольник”,

3.                                                  “левый треугольник”,

4.                                               “правый треугольник”,

5.                                                             “ступенька вверх”,

6.                                                               “ступенька вниз”.

Приведем точные решения задачи (1.1) для указанных выше начальных условий:

1.     “треугольник”:

2.      “прямоугольник”:

3.     “левый треугольник”:

4.     “правый треугольник”:

5.     “ступенька вверх”:

6.     “ступенька вниз”:

Сравнение численного решения с точным будем проводить с использованием конечномерных аналогов норм в пространствах C, L₁, L₂ на W=(-¥,+¥)´[0,T]:

, , ;

и на R=(-¥,+¥) при t=t_i :

, , .

§ 2. Разрывный метод Галеркина

 (RKDG – Runge-Kutta discontinuous Galerkin method)

Рассмотрим применение RKDG - метода на примере поставленной задачи (1.1), записав ее в дивергентном виде:

                                                                  (2.1)

где .

На  введем равномерную сетку с узлами , обозначим .

Умножим уравнения (2.1) на произвольную гладкую функцию  и проинтегрируем это произведение по . После интегрирования по частям получим:

                                              (2.2)

Для каждого момента времени  будем искать приближенное решение  как элемент конечномерного пространства

где  – пространство полиномов степени не выше  на .

Заменим гладкую функцию  произвольной пробной функцией, принадлежащей пространству , а точное решение  – приближенным решением . Функция  разрывна в точках , поэтому необходимо заменить поток  численным потоком , зависящим от предельных значений функции  слева и справа от точки , т.е.

Тогда уравнения (2.2) принимают следующий вид:

                                          (2.3)

Численный поток  должен быть монотонным и согласованным с физическим потоком , т.е.:

1. ,

2.  – неубывающая функция по ,

3.  – невозрастающая функция по .

Численные потоки могут быть выбраны различными способами, широко распространенными являются следующие [6]:

1. поток Годунова:

2. поток Энгквиста-Ошера:

3. поток Лакса-Фридрихса:

4. «локальный» поток Лакса-Фридрихса:

5. поток Роу:

иначе.

                        

На следующем этапе необходимо выбрать на каждом интервале  систему базисных функций. Для этого удобно использовать ортогональную систему функций, например, полиномы Лежандра. Использование ортогональных базисных функций позволяет получить диагональную матрицу масс и, следовательно, явную схему.

Пусть  - полином Лежандра степени .

Для  приближенное решение  будем искать в виде:

где  .

Учитывая равенства

,  ,

получаем следующую форму уравнений (2.3):                          

                                                    (2.4)

Таким образом, задача нахождения приближенного решения  сводится к задаче решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно . Запишем систему (2.4) в виде:

Пусть  – разбиение отрезка , . Для решения системы дифференциальных уравнений используется явный метод Рунге-Кутты порядка , который записывается следующим образом:

1.;

2. ;

     1) ;

     2) ;

     3) .

Коэффициенты  должны выбираться таким образом, чтобы выполнялись условия:

                                       . 

Для обеспечения монотонности получаемой схемы необходимо на каждом промежуточном этапе метода Рунге-Кутты применять специальные монотонизаторы (лимитеры).

Обозначим через  среднее значение приближенного решения на интервале . «Идеальным» [1] является лимитер , удовлетворяющий следующим требованиям.

1. Лимитер не может изменять «массу», содержащуюся в каждом интервале, т.е. если , то  .

2. Если , , то для достаточно малого параметра  должно выполняться неравенство:  , где  – полная вариация функции на интервале (0,L).

3. Лимитер не должен снижать точность метода.

Однако невозможно построить такой «идеальный» лимитер, т.к. при попытке обеспечить свойство TVDM (total variation diminishing in the means) теряется точность в локальных экстремумах решения. Избежать этого можно с помощью TVBM (total variation bounded in the means) лимитеров. При этом условие TVBM является более слабым, чем TVDM.

TVDM свойство RKDG метода означает выполнение неравенства

                                     ,

а TVBM свойство – выполнение неравенства

где  зависит только от .

Приведем примеры TVDM лимитеров.

Определим функцию

иначе.

                      

1. MUSCL лимитер (monotonic upstream-centered scheme for conservation laws).

В случае кусочно-линейной аппроксимации решения, т.е.

имеем

2. «Менее строгий» лимитер .

Отметим, что .

3. Лимитер .

В случае кусочно-полиномиальной аппроксимации решения, т.е.

лимитер вычисляется следующим образом.

Обозначим .

Для  

·        Вычисляем

·        Если   и  , то полагаем .

·        Если нет, то полагаем .

4. Лимитер .

Модифицированный лимитер , в котором

где

Данный лимитер применяется только в теоретических исследованиях.

Если вместо функции  использовать функцию :

где –  заданная константа, то получим TVBM лимитеры.

Справедлив следующий результат [1].

Теорема. Пусть в RKDG  методе используется TVDM или TVBM лимитер. Пусть все коэффициенты  неотрицательны   и   удовлетворяют следующему условию: 

Тогда существует подпоследовательность  последовательности , порожденной RKDG методом, которая сходится в  к обобщенному решению задачи (2.1).

Если к тому же используется TVBM лимитер , то обобщенное решение является энтропийным решением, и вся последовательность сходится.

Наконец, если используемый лимитер  удовлетворяет условию

,

то результаты справедливы не только для последовательности средних значений , но и для последовательности функций .

§ 3. Организация вычислительного эксперимента

Аналогично работе [2] численное решение поставленной задачи (1.1) получено для всех указанных форм начальных профилей при следующих значениях параметров: L=520, l₁=0, l₂=20, T=1000. Шаги по  и  выбирались постоянными: , .

   Число Куранта g () ограничено сверху величиной g_m, которая принимала значения: 0.1, 0.25, 0.5, 0.9. Таким образом, временной шаг t принимал те же значения, что и число Куранта. Для определения точности полученного при этом решения вычислялись относительные ошибки с использованием норм

            , ,

интегрально по временному промежутку 0 £ t £ T, а также

                    , ,

локально для момента времени t_j.

В данной работе тестировался RKDG  метод для кусочно-линейной и кусочно-квадратичной аппроксимаций (т.е. для ).

Для проведения численного эксперимента создана программа для персонального компьютера, реализующая алгоритмы поиска решения по указанным разностным схемам. На экран монитора выводится графическое изображение точного и численного решений для каждого временного слоя, а также относительные ошибки вычислений для нескольких промежуточных и конечного моментов времени. Такое представление результатов позволяет визуально и численно оценить качество полученного решения и тем самым сравнить используемые схемы.

§ 4. Результаты численного исследования

Полученные в численном эксперименте результаты представлены следующим образом. Для каждой схемы, используемой для получения численного решения, приведены таблицы интегральных и локальных по времени ошибок для различных чисел Куранта. В каждой таблице указаны относительные ошибки вычислений для всех начальных условий и используемых норм, соответствующее число Куранта приведено в левом верхнем углу таблицы.

С целью иллюстрации всех особенностей поведения решения для каждого из начальных профилей представлены графики решения для нескольких промежуточных моментов времени. При этом каждый рисунок содержит графики точного решения и численного решения для числа Куранта .

1.     Кусочно-линейная аппроксимация

а) с использованием TVDM  лимитера .

Таблицы ошибок (локально при  t = T)

Таблицы ошибок (интегрально по t)

                             t=6                                                             t=10

                          t=70                                                        t=170

Рис. 4.1.1 Численное решение для  “треугольника” (g = 0.5)

                          t=18                                                             t=40

                          t=90                                                             t=160

Рис. 4.1.2 Численное решение для  “прямоугольника” (g = 0.5)

                           t=60                                                            t=160

Рис. 4.1.3 Численное решение для  “левого треугольника” (g = 0.5)

                             t=5                                                            t=20

Рис. 4.1.4 Численное решение для  “правого треугольника” (g = 0.5)

                            t=10                                                      t=40

Рис. 4.1.5 Численное решение для  “ступеньки вверх” (g = 0.5)

                            t=20                                                          t=80

Рис. 4.1.6 Численное решение для  “ступеньки вниз” (g = 0.5)

б) с использованием MUSCL  лимитера.

Таблицы ошибок (локально при  t = T)

Таблицы ошибок (интегрально по t)

2.     Кусочно-квадратичная аппроксимация

а) с использованием TVDM - лимитера .

Таблицы ошибок (локально при  t = T)

Таблицы ошибок (интегрально по t)

                                 t=6                                                               t=10

                             t=70                                                                    t=170             

Рис. 4.2.1 Численное решение для  “треугольника” (g = 0.5)

                            t=18                                                        t=40

                             t=90                                                       t=160

Рис. 4.2.2 Численное решение для  “прямоугольника” (g = 0.5)

      
                          t=60                                                          t=160

Рис. 4.2.3 Численное решение для  “левого треугольника” (g = 0.5)

      
                            t=5                                                                      t=20

Рис. 4.2.4 Численное решение для  “правого треугольника” (g = 0.5)

                        t=10                                                            t=40

Рис. 4.2.5 Численное решение для  “ступеньки вверх” (g = 0.5)

                t=20                           t=80

Рис. 4.2.6 Численное решение для  “ступеньки вниз” (g = 0.5)

Из приведенных рисунков видно, что использование кусочно-квадратичной аппроксимации в сочетании с рассматриваемыми типами лимитеров не всегда обеспечивает монотонность получаемого численного решения. Это явление характерно для разрывных квадратичных галеркинских аппроксимаций, т.к. данный метод уменьшает полные вариации только средних значений приближенного решения.

б) с использованием TVBM - лимитера ().

Таблицы ошибок (локально при  t = T)

Таблицы ошибок (интегрально по t)

в) с использованием TVBM - лимитера ().

Таблицы ошибок (локально при  t = T)

Таблицы ошибок (интегрально по t)

3.     Кусочно-квадратичная аппроксимация (по средним значениям)

с использованием TVDM - лимитера .

Таблицы ошибок (локально при  t = T)

Таблицы ошибок (интегрально по t)

                           t=6                                                 t=10        

                 t=70                                                              t=170

Рис. 4.3.1 Численное решение для  “треугольника” (g = 0.5)

                 t=18                                                              t=40

      
                          t=90                                                           t=160

Рис. 4.3.2 Численное решение для  “прямоугольника” (g = 0.5)

       
                          t=60                                                         t=160

Рис. 4.3.3 Численное решение для  “левого треугольника” (g = 0.5)

                            t=5                                                               t=20

Рис. 4.3.4 Численное решение для  “правого треугольника” (g = 0.5)

      
                          t=10                                                        t=40

Рис. 4.3.5 Численное решение для  “ступеньки вверх” (g = 0.5)

      
                        t=20                                                          t=80