Степенные разложения решений аналога первого уравнения Пенлеве
( Power expansions of solutions to an analogy to the first Painlevé equation
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Брюно А.Д., Кудряшов Н.А.
(A.D.Bruno, N.A.Kudryashov)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2005
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-01-00050) и Международного научно-технического центра (проект № 2947)

Аннотация

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, которое является первым аналогом первого уравнения Пенлеве. Методами степенной геометрии получены все степенные разложения решений этого уравнения вблизи точек z=0 и z= ∞ . Для разложений решений вблизи точки z= ∞ найдены экспоненциальные добавки трех уровней. Результаты подтверждают гипотезу, что уравнение определяет новые трансцендентные функции. Также описан алгоритм вычисления базиса минимальной решетки, содержащей заданное конечное множество.

Abstract

We consider an ordinary differential equation of the fourth order, which is the first analogy to the first Painlevé equation. By methods of Power Geometry, we find all power expansions of its solution near points z=0 and z= ∞ . For expansions of solutions near z= ∞ , we calculate exponential additions of the first, second and third levels. Our results confirm the conjecture that the equation determines new transcendetal functions. We also describe an algorithm of computation of a basis of a minimal lattice, containing a given finite set.


E-mails: bruno@keldysh.ru

         kudr@dampe.mephi.ru

1  .   Введение.


В [Kudryashov01] введена иерархия первого уравнения Пенлеве, имеющая вид


Ln[w]=z,    n=2,3, … ,

(1.1)

где Ln - оператор Ленарда, определяемый соотношением [Kudryashov02]


 

 d

dz

Ln+1 = Lzzzn -4wLnz - 2wz Ln,       L0[w] = -

 1

2

 

(1.2)

Полагая n=0 в (1.2), имеем L1[w]=w. В случае n=2 из (1.1) получаем первое уравнение Пенлеве [Golubev]


wzz-3w2=z

(1.3)

Полагая n=3 в (1.1), приходим к уравнению четвертого порядка [Kudryashov01, Kudryashov02]


wzzzz -10w wzz-5w2z+10w3=z

(1.4)

В случае n=4 из (1.1) получаем уравнение шестого порядка


wzzzzzz-14wwzzzz-28 wz wzzz-21 wzz2+70 wwz2-35 w4=z

Вообще же уравнение (1.1) имеет порядок 2(n-1).

Уравнение (1.4) встречается при описании волн на воде [Olver, Kudryashov03] и в модели Хенона-Хейлеса о поведении звезды в среднем поле галактики [Henon, Fordy, Hone] .

В работах [Kudryashov04, Kudryashov05, Kudryashov06, Kudryashov07, Kudryashov08, Kudryashov09, Kudryashov10, Kudryashov11, Joshi01, Mugan01, Cosgrove01, Gordoa01, Pickering01, Clarkson01, Kawai01] показано, что уравнение (1.4) имеет свойства, типичные для уравнений Пенлеве P1╕P6. Уравнение (1.4) относится к типу точнорешаемых уравнений, поскольку имеет пару Лакса и многие другие свойства типичные для точно решаемых уравнений. Однако, оно не имеет первых интегралов полиномиального вида, что является одним из характерных свойств уравнений Пенлеве. По-видимому, уравнение (1.4), как и уравнения P1╕P6, определяет новые трансценденты, хотя строгое доказательство неприводимости уравнения (1.4) остаётся открытой проблемой. В этой связи важным этапом исследования решений уравнения (1.4) является изучение всех их асимптотик и асимптотических разложений, поскольку косвенно это обстоятельство подтверждает свойство неприводимости уравнения (1.4).

Для уравнения (1.4) найдем все степенные разложения его решений


w(z) = cr zr+
е
s 
  cs zs
(1.5)

при z →  0, тогда w = -1 и s > r, и при z →   ∞ , тогда w = 1 и s < r. Для этого воспользуемся методами степенной геометрии [Bruno01, Bruno02] по аналогии с [Bruno03] .

2  .  Общие свойства уравнения

[25, § 1]. Запишем уравнение (1.5) в виде дифференциальной суммы

f(z,w)

def
=
 

wzzzz - 10wwzz - 5 w2z +10 w3 - z = 0

(2.1)

Для мономов уравнения (2.1) имеем векторные показатели степени

M1=(-4,1),   M2=(-2,2),   M3=(-2,2),   M4=(0,3),   M5=(1,0)

. Носитель уравнения (2.1) состоит из четырех точек

Q1=M1,    Q2=M4,    Q3=M5,    Q4=M2=M3.

(2.2)

Их выпуклая оболочка G - это треугольник (см. рис. 1).

 

Figure 1:

Треугольник G имеет вершины Qj (j=1,2,3) и ребра G1(1)=[Q3, Q1],  G2(1) = [Q1, Q2],  G3(1) = [Q2, Q3].

Внешние нормальные векторы Nj к ребрам Gj(1) (j=1,2,3) суть

N1=(-1,-5),   N2=(-1,2),   N3=(3,1).

Нормальные конусы Uj(1) к ребрам Gj(1) суть


Uj(1) = mNj,   m > 0,   j=1,2,3       (2.3)

Они изображены на рис. 2 вместе с нормальными конусами Uj(0) вершин Gj(0)=Qj  (j=1, 2, 3).

 

Figure 2:

Согласно примеру 8.1 ниже, если носитель уравнения (2.1) сдвинуть на вектор -Q3, то он будет расположен в решетке Z, порожденной векторами


B1=Q1 - Q3=(-5, 1),      B2=Q4-Q3=(-3, 2).       (2.4)

Изучим решения, соответствующие каждой грани Gj(d),  d=0,1;  j=1, 2, 3, принимая во внимание укороченные уравнения, соответствующие этим граням. Вершинам Gj(0) (j=1, 2, 3) соответствуют уравнения

 

^

f

 

(0)
1 

(z,w)

def
=
 

wzzzz=0,    

^

f

 

(0)
2 

(z,w)

def
=
 

10 w3=0,    

^

f

 

(0)
3 

(z,w)

def
=
 

 - z=0.

(2.5)

Заметим, что последние два укороченных уравнения в (2.5) являются алгебраическими. Согласно [Bruno02] они не имеют нетривиальных степенных и нестепенных решений.

3  .   Решения, соответствующие вершине Q1

[25, § 1 и § 3]. Вершине Q1=(-3,1) соответствует первое укороченное уравнение (2.5). Найдем его укороченные решения

w=cr zr,   cr ≠ 0

(3.1)

для w(1,r) ∈ U1(0). Поскольку p1 < 0 в конусе U1(0), то w = -1,    z → 0 и разложения будут по возрастающим степеням z. Размерность грани d=0, поэтому

g(z,w)=z4  w-1  wzzzz

(3.2)

Имеем характеристический многочлен

c(r)

def
=
 

g(z,zr) = r(r-1)(r-2)(r-3)

(3.3)

Его корни

r1=0,   r2=1,   r3=2,   r3=3.

Рассмотрим каждый из корней отдельно.

Корень r1=0.   Ему соответствует вектор R=(1,0) и вектор wR ∈ U1(0).    Получаем семейство F1(0) 1 укороченных решений

y=c0

(3.4)

с произвольной постоянной c0 ≠ 0 и w = -1. Первая вариация от wzzzz

 

d

^

f

 

(0)
1 

dw

=

 d4

dz4

 

(3.5)

дает оператор

L(z)=

 d4

dz4

≠ 0

(3.6)

Его характеристический многочлен

n(k) = z4-k L(z) zk = k(k-1)(k-2)(k-3)

(3.7)

Уравнение n(k)=0 имеет 4 корня

k1=0,   k2=1,   k3=2,   k4=3

(3.8)

Поскольку w = -1 и r=0, то конус задачи K={k > 0}. В него попадают k2=1,   k3=2 и k3=3, которые являются критическими числами. Разложения решений, соответствующих укороченному решению (3.4), имеют вид


w=c0 + c1 z + c2z2 + c3z3 + ∞
е
k=4 
 ck zk
(3.9)

где все коэффициенты постоянны, c0 ≠ 0,   c1,   c2 и c3 - произвольные, а все ck   (k ≥ 4) однозначно определены. Обозначим это семейство G1(0)1. Разложение (3.9) с учетом восьми членов имеет вид

w(z)=c0+c1 z+c2 z2+c3 z3+ ж
з
з
и
5
6
 c0c2-
5
12
 c03+
5
24
 c12 ц
ч
ч
ш		 z4+ ж
з
з
и
1
120
  a-
1
4
 c1c02+
1
2
 c0c3+
1
3
 c1c2 ц
ч
ч
ш		 z5+
+ ж
з
з
и
7
36
 c2c02-
5
36
 c04-
1
72
 c0c12+
1
9
 c22+
1
4
 c1c3 ц
ч
ч
ш		 z6+
+ ж
з
з
и
1
36
 c13+
1
504
 c0 a+
1
12
 c3c02+
1
6
 c0c1c2-
5
36
 c1c03+
1
6
 c2c3 ц
ч
ч
ш		 z7+...

Рассмотрим корень r2=1. Конус этой задачи K={k > 1}. В него попадают критические числа k2=2,   k3=3. Разложение решения, соответствующиее укороченному решению F1(0)2:    w = c1 z, имеет вид

w(z)=c1z + c2z2 + c3z3 +
∞
е
k=4
ckzk     (3.10)

где постоянные c1 ≠ 0,   c2 и c3 - произвольны. Обозначим это семейство G1(0)2. Разложение решений (3.10) с учетом семи членов имеет вид

w(z)=c1z+c2z2+c3z3+
5
24
 c1 2z4+ ж
з
з
и
1
120
 +
1
3
 c1c2 ц
ч
ч
ш		 z5 +
+ ж
з
з
и
1
4
 c1c3+
1
9
 c22 ц
ч
ч
ш		 z6+ ж
з
з
и
1
6
 c2c3+
1
36
 c13 ц
ч
ч
ш		 z7+...

Для корня r2=2 конус задачи K={k > 2}. Критическое число k3=3. Разложение решений, соответствующее укороченному решению F1(0)3:    w = c2 z2, имеет вид

w=c2z2 +c3z3 +
∞
е
k=4
ck zk     (3.11)

где c2 и c3 - произвольные постоянные. Обозначим это семейство G1(0)3. Разложение (3.11) с учетом восьми членов имеет вид

w(z)=c2z2+c3z3+
1
120
 z5+
1
9
 c22z6+
1
6
 c2c3z7+
1
16
 c32 z8+
+
1
1134
 c2 z9+ ж
з
з
и
5
648
 c23+
41
60480
 c3 ц
ч
ч
ш		 z10+...

Для корня r3=3 конус задачи K={k > 3}. Критических чисел нет. Разложение решений, соответствующее укороченному решению F1(0)4:    w = c3 z3, имеет вид

w(z)=c3z3 +
∞
е
k=4
ck zk     (3.12)

где c3 - произвольная постоянная. Обозначим это семейство G1(0)4. С учетом четырех членов разложение (3.12) принимает вид

w(z)=c3z3+

 1

120

 z5+

 1

16

 c32z8+

 41

60480

 c3 z10 + …

(3.13)

Разложения решений сходятся для достаточно малых |z|. Существование и аналитичность разложений (3.9)-(3.12) следует из теоремы Коши [3], а также из теорем 3.1 и 3.4 [25].

4  .   Решения, соответствующие ребру G1(1)

[25, §§ 1 и 3]. Ребру G(1)1 соответствует укороченное уравнение

 

^

f

 

(1)
1 

(z,w)

def
=
 

wzzzz - z=0

(4.1)

Нормальный конус

U(1)1 = {-m(1,5),  m > 0}

(4.2)

Поэтому w = -1, т.е. z → 0 и r=5. Степенные решения уравнения (4.1) ищем в виде

w=c5z5

(4.3)

Для c5 получаем единственное значение c5=1/120. Поэтому единственное степенное решение есть

F1(1)1:    w=z5/120.

(4.4)

Вычислим его критические числа. Первая вариация от (4.1)

 

d

^

f

 

(1)
1 

dw

=

 d4

dz4

 

(4.5)

совпадает с (3.5). Поэтому получаем собственные числа (3.8). Конус задачи K={k > 5} их не содержит. Решению (4.4) соответствуют два векторных показателя [(Q)\tilde]1=(0,1),   [(Q)\tilde]2 = (5,0). Их разность B=[(Q)\tilde]1 - [(Q)\tilde]2 = (-5, 1) равна вектору B1 в (2.4). Поэтому решению (4.4) соответствует решетка Z с базисом (2.4), которая состоит из точек Q=(q1, q2)=k(-3, 2)+m(-5, 1)=(-3k-5l, 2k+l), где k и l - целые. Точки лежат на прямой q2=-1, если l=-1-2k. В этом случае q1=5+7k. Поскольку конус задачи здесь K={k > 5}, то носитель разложения решения K есть

K={5+7n,   nО N}     (4.6)

Разложение решений принимает вид

w(z)=z5 ж
з
з
и
1
120
+
∞
е
m=1
c5+7m z7m ц
ч
ч
ш		     (4.7)

Разложение (4.7) с учетом первых трех членов имеет вид

w(z)=
z5
120
ж
з
з
и		 1+
13 z7
57024
+
2851 z14
79569008640
+... ц
ч
ч
ш

Это разложение не имеет экспоненциальных добавок [25, § 7]. Кроме того, уравнение (4.1) не имеет нестепенных решений, соответствующих нормальному конусу U1(1), т.е. не дает нестепенных асимптотик [25, § 5].

5  .   Решения, соответствующие ребру G2(1)

[25, §§ 1 и 3]. Ребру G(1)2 соответствует укороченное уравнение

 

^

f

 

(1)
2 

(z,w)

def
=
 

wzzzz-10 w wzz -5 w2+10 w3=0

(5.1)

Нормальный конус U(1)2={-m(1,-2), m > 0}. Поэтому w = -1, т.е. z → 0 и r=-2. Следовательно, решения уравнения (5.1) ищем в виде w=c-2 z-2. Для c-2 получаем определяющее уравнение c-22 -8 c-2 +12 = 0. Откуда c-2(1) = 2,      c-2(2)=6. Получаем укороченные решения в виде:

F2(1)1:    w=2z-2

(5.2)


F2(1)2:    w=6z-2

(5.3)

Вычислим соответствующие критические числа. Первая вариация

 

 df2(1)

dw

=

 d4

dz4

-10wzz -10w

 d2

dz2

-10 wz

 d

dz

+ 30 w2

(5.4)

На решении (5.2) она дает оператор

L(1)(z) =

 d4

dz4

-

 20

z2

 

 d2

dz2

+

 40

z3

 

 d

dz

 

которому соответствует характеристический многочлен

n(k ) = k4 -6k3 -9k2 + 54k

Его корни суть

k1=-3,   k2=0,   k3=3,   k4=6

(5.5)

На решении (5.3) первая вариация (5.4) дает оператор

L(2)(z) =

 d4

dz4

+

 60

z2

 

 d2

dz2

-

 120

z3

 

 d

dz

+

 720

z4

 

которому соответствует характеристический многочлен

n(k)=k4 -6k3 -49k2 +174k +720,

имеющий корни

k1=-5,   k2=-3,   k3=6,   k4=8.

(5.6)

Конус задачи здесь K={k > -2}. Следовательно, укороченное решение (5.2) имеет три критических числа из (5.5): k2=0, k3=3,, k4=6, а укороченное решение (5.3) - два критических числа из (5.6): k3=6 и k4=8.

Рассмотрим разложения решений, начинающиеся с (5.2). По аналогии с п. 4 здесь сдвинутый носитель укороченного решения (5.2) принадлежит решетке Z. Поэтому аналогично (4.6) имеем

K={-2+7n,   nО N}.

Множества K(0), K(0,3) и K(0,3,6) имеют вид

K(0)={-2+7n+2m,  n,mО N,  n+m ≥  0}={-2,0,4,6,5,7,8,...}
K(0,3)={-2+7n+2m+5k, n,m,kО N,  m+n+k ≥  0}={-2,0,2,3,4,5,6,7,8,...}
K(0,3,6)={-2+7n+2m+5k+8l, n,m,k,l О N ,  m+n+k+l ≥  0}={-2,0,2,3,4,5,6,7,8,...}

Разложение решений уравнения (2.1) в этом случае имеет вид

w(z)=
2
z2
+ еcs zs,   sОK(0,3,6)
    (5.7)

Обозначим это семейство G2(1)1. Видно, что критическое число 0 не входит в множество K поэтому для c0 автоматически выполняется условие совместности и c0 - произвольная постоянная. Критическое число 3 также не входит в множества K и K(0), поэтому для c3 также автоматически выполняется условие совместности и c3 - произвольная постоянная. Но критическое число 6 входит в множества K(0) и K(0,6). Поэтому требуется специально убедиться, что для c6 выполняется условие совместности и c6 - произвольная постоянная. Вычисление показало, что в данном случае оно выполнено и c6 также произвольная постоянная. Трехпараметрическое степенное разложение решений, соответствующее укороченному решению (5.2), имеет вид

w(z)=
2
z2
+c0-
3
2
 c02z2+c3z3-
5
2
 c03z4+ ж
з
з
и
3
4
 c0c3-
1
80
ц
ч
ч
ш		 z5+c6z 6-
-
1
280
 c0  z7+ ж
з
з
и
153
352
 c05+
9
44
 c0 c6+
9
176
 c32 ц
ч
ч
ш		 z8+ ж
з
з
и
19
12096
 c02 -
5
16
 c03c3 ц
ч
ч
ш		 z9 +
+ ж
з
з
и
25
104
 c06-
29
29120
 c3-
3
26
 c02c6+
3
52
 c0c32 ц
ч
ч
ш		 z10+...

Носитель степенного разложения, соответствующего укороченному решению (5.3), определяется множествами

K(6)={-2+7n+8m,  n,mО N,  m+n ≥ 0}={-2,5,6,12,14,20,21,22,27,28,29,30,34,35,36,37,38,41,...}
K(6,8)={-2+7n+8m+10k, n,m,kО N,  m+n+k≥ 0}={-2,5,6,8,12,13,14,15,16,18,19,20,21,...}

Разложение решения уравнения имеет вид

w(z)=
6
z2
+ еcs zs,   sОK(6,8)
    (5.8)

Обозначим это семейство G212. Видно, что критические числа 6 и 8 не попадают в множество K и кроме того число 8 не попадает в множество множество K(6). Поэтому для показателей 6 и 8 условия совместности выполняются автоматически и, следовательно, коэффициенты c6 и c8 являются произвольными постоянными. Двухпараметрическое разложение решений, соответствующее укороченному решению (5.3), имеет вид

w(z)=

 6

z2

+

 1

240

 z5+c6z6+c 8z8+

 29

70502400

 z12+

 11

60480

 c6z13+

 25

1292

 c62z14+

 1

6804

 c8z15+...

В соответствие с [25, § 7] экспоненциальных добавок для разложений решений (5.7) и (5.8) нет, а уравнение (5.1) не дает нестепенных асимптотик [25, § 5].

6  .   Решения, соответствующие ребру G3(1).

Ребру G(1)3 соответствует укороченное уравнение


^
f
 
 (1)
3 
 (z,w) def
=
 
 10 w3 - z=0
(6.1)

Оно имеет три степенных решения


F3(1)1:    w=
^
j
 
 (1)
 
 (z) = c1/3(1) z1/3,     c1/3(1)= ж
и 		 1
10
 ц
ш 		1/3

 
(6.2)

F3(1)2:    w=
^
j
 
 (2)
 
 (z)=c1/3(2) z1/3,     c1/3(2) = ж
и 		 1
2
 +iЦ3 ц
ш 		ж
и 		 1
10
 ц
ш 		1/3

 
(6.3)

F3(1)3:    w=
^
j
 
 (3)
 
 (z)=c1/3(3) z1/3,     c1/3(3) = ж
и 		 1
2
 - iЦ3 ц
ш 		ж
и 		 1
10
 ц
ш 		1/3

 
(6.4)

Сдвинутый носитель укороченных решений (6.2) - (6.4) дает вектор B=(1/3,-1), равный одной трети вектора Q2-Q1. Найдем базис решетки, порожденной векторами B1 и B2 из (2.4) и вектором B. Согласно алгоритму п. 8 вычисляем определители D1=|B1B2|, D2=|B1B|, D3=|B2B|

D1=

ú
ú
ú
ú

-5

1

-3

2

ú
ú
ú
ú

=-7, D2=

ú
ú
ú
ú

-5

1

1/3

-1

ú
ú
ú
ú

=

 14

3

, D3=

ú
ú
ú
ú

-3

2

1/3

-1

ú
ú
ú
ú

=

 7

3

.

Поскольку |B2B| дает наименьшее значение, и остальные определители отличаются от него в целое число раз, то B2 и B образуют базис решетки, соответствующей решениям (6.2)-(6.4). Ее точки имеют вид Q=(q1,q2) = l(-3, 2)+ m(1/3, -1) = (-3l+m/3,  2l-m), где l и m - целые числа. На прямой q2=-1 имеем 2 l-m=-1. Откуда m=2l+1 и q1=(2l+1-9l)/3. Поэтому носитель решения

K= м
н
о		 k=
1-7n
3
,    nО N ь
э
ю		 ={1/3,-2,-11/3,...}

и разложения решений имеют вид

G 3(1) l:     w=j(l)(z)=c1/3(l) z1/3 +
∞
е
n=1
c(1-7n)/3(l)  z(1-7n)/3,   l=1,2,3     (6.5)

Здесь c(l)1/3 берутся из укороченных решений (6.2) - (6.4), коэффициенты c(l)(1-7n)/3 могут быть последовательно вычислены. Вычисление начальных коэффициентов приводит к значениям c-2(l)=-1/18, c-11/3(l)=5/(108c1/3(l)). Согласно [25, § 7] полученные разложения, по-видимому, расходятся. Найдем экспоненциальные добавки к решениям (6.5). Будем искать решения вида

w=j(l)(z) + u(l),   l=1,2,3

Укороченное уравнение для добавки u(l) имеет вид

Ml(1)(z) u(l)=0

(6.6)

где Ml(1)(z) - первая вариация f(z,w) из (2.1) на решении w=j(l)(z). Поскольку

 

 df

dw

=

 d4

dz4

- 10 wzz -10w

 d2

dz2

-10wz

 d

dz

+30w2

то

Ml(1)(z) =

 d4

dz4

-10j(l)zz-10 j(l)

 d2

dz2

-10jz(l)

 d

dz

+30j(l)2

Уравнение (6.6) принимает вид:

 

 d4u(l)

dz4

-10 j(l)zz u(l)-10j(l)

 d2u(l)

dz2

-10 j(l) z

 du(l)

dz

+30j(l)2 u(l) = 0,    l=1,2,3

(6.7)

Полагаем

z(l)=d lnu(l)/dz

(6.8)

тогда из (6.8) имеем

 

 du(l)

dz

=z(l) u(l),      

 d2u(l)

dz2

=zz(l) u(l) + z(l)2 u(l)


 

 d3u(l)

dz3

=z(l)zz u(l)+ 3 z(l) zz(l)u(l) + z(l)3 u(l)


 

 d4u(l)

dz4

=z(l)zzz u(l)+ 4 z(l)z(l)zz u(l) + 3 zz(l)2 u(l) + 6 z(l)2 zz(l) u(l) + z(l)4 u(l)

Подставляя производные du(l)/dz,      d2 u(l)/dz2 ,      d4u(l)/dz4 в уравнение (6.7), получаем укороченное уравнение

u(l) [z(l)zzz + 4z(l)z(l)zz+3z(l)z2 +6 z(l)2 z(l)z +

+ z(l)4 -10jzz(l) -10j(l) z(l)z-10j(l) z(l)2 -10jz(l) z(l)+30j(l)2]=0

(6.9)

Найдем степенные разложения для решений уравнения (6.9). Носитель уравнения (6.9) состоит из точек

Q1 =(-3,1),    Q2=(-2,2),    Q3=(-1,3),Q4=(0,4),     Q5 = ( 1/3,2 ) ,    Q6 = ( 2/3,0 ) , Q7= ( -2/3,1 ),
Q8= ж
з
з
и		 -
5
3
,0 ц
ч
ч
ш		 ,   Q8+n= ж
з
з
и		 -
5+7n
3
,0 ц
ч
ч
ш		 ,   Q9+m= ж
з
з
и		 -
2+7m
3
,1 ц
ч
ч
ш		 ,Q10+k= ж
з
з
и
1-7k
3
,2 ц
ч
ч
ш,
   Q11+k= ж
з
з
и
12-14l
3
,0 ц
ч
ч
ш		 ,    m,n,k,l О N

Замыкание выпуклой оболочки точек носителя уравнения (6.9), является полосой, изображенной на рис. 3.

 

Figure 3:

Граница полосы содержит ребра   G(1)j  (j=1,2,3)  с нормальными векторами  N1=(6,1),  N2=(0,-1),  N3=(0,1). Рассматривать следует только ребро G(1)1. Ему соответствует укороченное уравнение

h1(1)(z,z)

def
=
 

z4 -10

^

j

 

(l)
 

z2+30

^

j

 

2
 

=0

(6.10)

где [^(j)](l)=c1/3(l)z1/3 из (6.2)-(6.4). Отсюда имеем

z2 = (5+(-1)m-1 i √5)

^

j

 

(l)
 

,   m=1,2

Получаем двенадцать решений уравнения (6.10)

z(l,m,k) = g1/6(l,m,k)z1/6,   l=1,2,3;  m,k=1,2

(6.11)

где

g1/6(1,m,k)= ж
з
з
и
1
10
ц
ч
ч
ш
1/3



 
(-1)k-1 ( 5+(-1)m-1 i √ 5 )
1/2
 
 
,
    (6.12)
g1/6(2,m,k)= ж
з
з
и
1
2
+ i √ 3 ц
ч
ч
ш		 ж
з
з
и
1
10
ц
ч
ч
ш
1/3



 
(-1)k-1 ( 5+(-1)m-1 i √ 5 )
1/2
 
 
,
    (6.13)
g1/6(3,m,k)= ж
з
з
и
1
2
- i √ 3 ц
ч
ч
ш		 ж
з
з
и
1
10
ц
ч
ч
ш
1/3



 
(-1)k-1 ( 5+(-1)m-1 i √ 5 )
1/2
 
 
,    m,k=1,2
    (6.14)

Укороченное уравнение (6.10) алгебраическое, поэтому его решения не имеют критических чисел. Вычислим носитель разложения решения уравнения (6.9). Сдвинутый носитель уравнения (6.9) находится в решетке, порожденной векторами [(B)\tilde]1=(7/3,0),  [(B)\tilde]2=(1,1). Сдвинутый носитель решений (6.11) приводит к вектору [(B)\tilde]3=(-1/6,1 ). Согласно п. 8 вычисляем определители |[(B)\tilde]1[(B)\tilde]2|=7/3=|[(B)\tilde]1[(B)\tilde]3|, |[(B)\tilde]2[(B)\tilde]3|=7/6. Поэтому базис новой решетки образуют векторы [(B)\tilde]2,[(B)\tilde]3 или [(B)\tilde]2 и [(B)\tilde]4[(   def) || ( = )]  [(B)\tilde]2-[(B)\tilde]3=(7/6,0). Точки этой решетки имеют вид

Q=(q1,q2)=k(1,1) +m(7/6,0)=(k+7m/6,k)

На прямой q2=-1, имеем k=-1 и поэтому q1=-1+7m/6. Поскольку здесь конус задачи K={k < 1/6}, то носитель разложения K есть

K= м
н
о
1-7n
6
,nОN ь
э
ю		     (6.15)

Разложение решения уравнения (6.9) принимает вид

z(l,m,k)=g1/6(l,m,k) z1/6 +
 
е
n
g(1-7n)/6(l,m,k) z(1-7n)/6,   l=1,2,3;      m=1,2;      k=1,2
    (6.16)

Коэффициенты g1/6(l,m,k) задаются выражениями (6.12)-(6.14). Коэффициент g(l,m,k)-1 принимает значение g-1(l,m,k)=-1/4. Принимая во внимание (6.8), найдем соответствующие добавки u(l,m,k)(z). Имеем

u(l,m,k)(z) = c exp

∫

z(l,m,k)(z) dz

Откуда получаем

u(l,m,k)(z)=C1 z-1/4  exp й
к
к
л
6
7
  g1/6(l,m,k) z7/6 +
∞
е
n=2
6
7(1-n)
g(1-7n)/6(l,m,k) z7(1-n)/6 щ
ъ
ъ
ы
   l=1,2,3;        m=1,2;     k=1,2
    (6.17)

Здесь C1 и далее C2 и C3 - произвольные постоянные. Добавка u(l,m,k)(z) при z → ∞ является экспоненциально малой в тех секторах комплексной плоскости z, где

Re [g(l,m,k)7/6 z7/6] < 0

(6.18)

Таким образом к каждому из трех разложений G(1)3l получаем по четыре однопараметрических семейства добавок G3(1)l G11 mk, где m=1,2 и k=1,2.

Найдем    экспоненциальные    добавки    второго   уровня  v(p),  то есть добавки к решениям  u(l,m,k)(z). Укороченное уравнение для добавки v(p) имеет вид

Mp(2) (z) v(p)=0

где оператор Mp(2) находится как первая вариация от квадратной скобки в (6.9). Это уравнение для v=v(p) есть

vzzz + 4zzz v+ 4zvzz +6zz vz + 12zzz v + 6z2 vz + 4z3 v -10 j(l) vz -20j(l)zv - 10jz(l) v=0

(6.19)

Полагая

d lnv/dz=x

(6.20)

имеем

 

 dv

dz

=xv,      

 d2v

dz2

=xzv+x2 v,      

 d3 v

dz3

=xzz v + 3xxzv+z3 v

Из (6.19) получаем уравнение

xzz + 3 x xz + x3 + 4zzz+4xz z+4x2 z+ 6 x zz +12 zzz+6 x z2 +

+4 z3 -10 j(l)x-20 z j(l)-10 jz(l)=0

(6.21)

Мономам уравнения (6.21) соответствуют следующие точки плоскости

M1=(-2,1),    M2=(-1,2),    M3=(0,3),    M4= ж
з
з
и		 -
11
6
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,   M5= ж
з
з
и		 -
5
6
,1 ц
ч
ч
ш		 ,   M6= ж
з
з
и
1
6
,2 ц
ч
ч
ш,
   M7= ж
з
з
и		 -
5
6
, 1 ц
ч
ч
ш		 ,   M8= ж
з
з
и		 -
2
3
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,   M9= ж
з
з
и
1
3
, 1 ц
ч
ч
ш		 ,    M10= ж
з
з
и
1
2
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,   M11= ж
з
з
и
1
3
,1 ц
ч
ч
ш,
     M12= ж
з
з
и
1
2
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,    M13= ж
з
з
и		 -
2
3
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,   . . .
    (6.22)

Носитель уравнения (6.21) состоит из точек (6.22). Его выпуклая оболочка образует полосу, аналогичную представленной на рис. 3. Следует рассматривать ребро G1(1), содержащее точки

Q1=(1/2,0),   Q2=(1/3,1),   Q3=(1/6,2),   Q4=(0,3)

Укороченное уравнение для (6.21), соответствующее этому ребру, имеет вид

x3 +4 x2 z+6 x z2+4 z3-20 z j(l)-10 x j(l)=0

(6.23)

Базис решетки, соответствующей носителю уравнения (6.21), есть

B1 ′ =(1,1),    B2 ′ =(7/6,0)

Решения уравнения (6.23) имеют вид

x(l,m,k,p)=r1/6(l,m,k,p) z1/6,    m,k=1,2;    l=1,2,3;    p=1,2,3

(6.24)

где r=r1/6(l,m,k,p),   p=1,2,3 являются корнями уравнения

 r3 +4 r2 g1/6(l,m,k)+(6 g1/6(l,m,k)2 -10 c1/3(l)) r+4 g1/6(l,m,k)3-20 g1/6(l,m,k) c1/3(l)=0

(6.25)

Уравнение (6.25) имеет корни

r1/6 (l,m,k,1)=-2 g1/6(l,m,k) ,    
r1/6(l,m,k,2)=-g1/6(l,m,k)+ ( 10 c1/3(l)-g1/6(l,m,k)2 )
1/2
 
 
r1/6(l,m,k,3)=-g1/6(l,m,k)- ( 10 c1/3(l)-g1/6(l,m,k)2 )
1/2
 
 
  (6.26)

Носитель разложения решения K совпадает с (6.15). Разложение решения для x(l,m,k,p) имеет вид

x(l,m,k,p)=r1/6(l,m,k,p) z1/6 +
∞
е
n=1
r(1-7n)/6(l,m,k,p) z(1-7n)/6,    l=1,2,3;     m=1,2;    k=1,2;   p=1,2,3
  (6.27)

Вычисление коэффициента r-1(l,m,k,p) дает значение: r-1(l,m,k,p)=1/6. Экспоненциальная добавка v(l,m,k,p)(z) к решениям u(l,m,k)(z) имеет вид

v(l,m,k,p)(z)=C2 z1/6 exp й
к
к
л
6
7
  r1/6(l,m,k,p) z7/6 +
∞
е
n=2
6
7(1-n)
r(1-7n)/6(l,m,k,p) z7(1-n)/6 щ
ъ
ъ
ы		 ,
l=1,2,3;     m=1,2;     k=1,2;    p=1,2,3
    (6.28)

Наконец, вычислим экспоненциальные добавки третьего уровня y(s), то есть добавки к решениям v(l,m,k,p)(z). Укороченное уравнение для добавки y(s) имеет вид

Ms(3) (z) y(s)=0

(6.29)

Оператор Ms(3) находится как первая вариация от (6.21) по x, взятая на решении (6.27). Уравнение (6.29) для y=y(l,m,k,p,s) имеет вид

yzz + 3xz y+ 3xyz +3x2 y+4 z yz+8 x z y++6zz y+6z2 y-10 j(l) y=0

(6.30)

Используя замену

d lny/dz=h

(6.31)

получаем

dy/dz=hy,      d2y/dz2 = hz y+h2 y

(6.32)

Из (6.30) и (6.32) имеем уравнение

hz +h2+ 3xz+3xh+3x2+4 h z+8 x z+6zz+6z2-10 j(l)=0

(6.33)

Мономам уравнения (6.33) соответствуют следующие точки

M1=(-1, 1),    M2=(0, 2),    M3=(-
5
6
, 0),    M4= ж
з
з
и
1
6
, 1 ц
ч
ч
ш		 ,M5= ж
з
з
и
1
3
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,   M6= ж
з
з
и
1
6
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,
   M7= ж
з
з
и
1
3
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,    M8= ж
з
з
и		 -
5
6
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,   M9= ж
з
з
и
1
3
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,   M10= ж
з
з
и
1
3
, 0 ц
ч
ч
ш		 ,    . . .
    (6.34)

Носитель уравнения (6.33) состоит из точек (6.34). Их выпуклая оболочка является также полосой, аналогичной представленной на рис. 3. Следует рассматривать ребро G1(1), проходящее через точки

Q1=(1/3,0),   Q2=(1/6,1),   Q3=(0,2)

(6.35)

Укороченное уравнение, соответствующее этому ребру, имеет вид

h2 + 3xh+3x2+4 h z+8 x z+6 z2-10 j(l)=0

(6.36)

Базис решетки, соответствующей носителю уравнения (6.35), есть B1=(1,1),    B2=(7/6,0). Решения уравнения (6.36) имеют вид

h(l,m,k,p,s)=q(l,m,k,p,s) z1/6 l=1,2,3;    m,k=1,2;     p=1,2,3;    s=1,2;

(6.37)

где q(l,m,k,p,s)=q - корни уравнения

q2 +3 q r1/6 (l,m,k,p)+3r1/6 (l,m,k,p)2+4 q g1/6 (l,m,k)+8 r1/6 (l,m,k,p) g1/6 (l,m,k)+6 g1/6(l,m,k)2-10 c1/3(l)=0

(6.38)

Корни уравнения (6.38) суть

q1/6(l,m,k,p,s)=-
3
2
 r1/6(l,m,k,p)-2 g1/6(l,m,k) +
+(-1) s-1  ж
з
з
и
-
3
4
 r1/6(l,m,k,p)2-2 r1/6(l,m,k,p) g1/6(l,m,k)-2  g1/6(l,m,k)2+10 c1/3(l)
ц
ч
ч
ш
(1/2)



 
,
l=1,2,3;    m,k=1,2;    p=1,2,3;    s=1,2;
    (6.39)

Носитель разложения решения K совпадает с (6.15). Разложение решения для h(l,m,k,p,s) имеет вид

h(l,m,k,p,s)=q1/6(l,m,k,p,s) z1/6 +
∞
е
n=1
q(1-7n)/6(l,m,k,p,s)  z(1-7n)/6 ,
   l=1,2,3;      m=1,2;      k=1,2;     p=1,2,3;;     s=1,2;
    (6.40)

Коэффициенты q(l,m,k,p,s)1/6,   s=1,2 определяются формулами (6.39). Вычисление коэффициента    q(l,m,k,p,s)-1   дает   значение   q(l,m,k,p,s)-1=1/6.   Экспоненциальная   добавка  y(s,p,l,m,k)(z) к решениям v(l,m,k,p)(z) имеет вид

y(l,m,k,p,s)(z)=C3 z1/6exp й
к
к
л
6
7
  q1/6(l,m,k,p,s) z7/6 +
∞
е
n=2
6
7(1-n)
q(1-7n)/6(l,m,k,p,s) z7(1-n)/6 щ
ъ
ъ
ы
l=1,2,3;     m=1,2;     k=1,2;    p=1,2,3;    s=1,2
    (6.41)

Таким образом, для разложения решений уравнения вблизи точки z= ∞ найдены экпоненциальные добавки трех уровней. Решение w(z) при z →∞ с учетом экспоненциальных добавок имеет разложение

w(z)=c1/3(l) z1/3 -
1
18z2
+
5
108 c1/3(l)z11/3
+
∞
е
n=3
c(1-7n)/3(l)  z(1-7n)/3 +
+C 1 z-1/4  exp{F1(z)+C2 z1/6exp{F2(z)+C3 z1/6exp{F3(z)}}}
    (6.42)

где c1/3(l) вычисляются по формулам (6.2), (6.3) и (6.4), F1(z)=F1(l,m,k)(z), F2(z)=F2(l,m,k,p)(z) и F3(z)=F3(l,m,k,p,s)(z), (l=1,2,3;   m,k=1,2;   p=1,2,3;   s=1,2) имеют вид:

F1(l,m,k)(z)=
6
7
  g1/6(l,m,k) z7/6 +
∞
е
n=2
6
7(1-n)
g(1-7n)/6(l,m,k) z7(1-n)/6
    (6.43)
F2(l,m,k,p)(z)=
6
7
  r1/6(l,m,k,p) z7/6 +
∞
е
n=2
6
7(1-n)
r(1-7n)/6(l,m,k,p) z7(1-n)/6
    (6.44)
F3(l,m,k,p,s)(z)=
6
7
  q1/6(l,m,k,p,s) z7/6 +
∞
е
n=2
6
7(1-n)
q(1-7n)/6(l,m,k,p,s) z7(1-n)/6
    (6.45)

Коэффициенты g(l,m,k)1/6, r(l,m,k,p)1/6 и q(l,m,k,p,s)1/6 определяются формулами (6.12), (6.14), (6.26) и (6.39). Остальные коэффициенты последовательно вычисляются. При этом добавки первого уровня F1(l,m,k)(z) имеются только в тех секторах комплексной плоскости z1, где выполнено условие (6.18), т.е.

Re[g1/6(l,m,k)z7/6] < 0,

добавки второго уровня F2(l,m,k,p) - там, где выполнено еще и условие

Re[r1/6(l,m,k,p)z7/6] < 0,

а добавки третьего уровня F3(l,m,k,p,s) - там, где выполнены оба предыдущих неравенства, и еще

Re[q1/6(l,m,k,p,s)z7/6] < 0.

Поскольку укороченное уравнение (6.1) алгебраическое, то оно не имеет нестепенных решений и не дает нестепенных асимптотик.

7  .   Сводка результатов и их обсуждение.

Для решений аналога первого уравнения Пенлеве четвертого порядка (2.1) получены следующие разложения.

В окрестности точки z=0:

1. Четырехпараметрическое (произвольные постоянные c0,  c1,  c2 и c3) семейство G1(0)1 разложения решения (3.9).

2. Трехпараметрическое (произвольные постоянные c1,  c2 и c3) семейство G1(0)2 разложения (3.10).

3. Двухпараметрическое (произвольные постоянные c2 и c3) семейство G1(0)3 разложения (3.11).

4. Однопараметрическое (произвольная постоянная c3) семейство G1(0)4 разложения (3.12).

Семейства   G1(0)2, G1(0)3 и G1(0)4   являются частными случаями семейства G1(0)1; G1(0)3 и G1(0)4 - частные случаи G1(0)2; G1(0)4 - частный случай G1(0)3.

5. Семейство G1(1)1 разложения (4.7) решения, которое является частным случаем семейств G1(0)1, G1(0)2, G1(0)3 и G1(0)4.

6. Трехпараметрическое (произвольные постоянные c0,  c3 и c6) семейство G2(1)1 разложения (5.7) решений уравнения (2.1).

7. Двухпараметрическое (произвольные постоянные c6 и c8) семейство G2(1)2 разложения (5.8) решения уравнения (2.1).

Все перечисленные разложения сходятся для достаточно малых |z|.

В окрестности точки z= ∞ :

8. Три разложения G3(1)l  (l=1,2,3) представленные формулами (6.2), (6.3) и (6.4). К каждому из этих разложений найдено по 4 экспоненциальные добавки G3(1)lG11mk  (m,k=1,2), выраженные формулой (6.17).    К ним   вычислены   снова   экспоненциальные   добавки   G3(1)lG11mkG1(1)p  (m,k=1,2;p=1,2,3), к которым также найдены соответствующие экспоненциальные добавки G3(1)lG1(1)mkG1(1)pG1(1)s  (m,k=1,2;p=1,2,3;s=1,2).

Существование и аналитичность разложений 1-7 следуют из теоремы Коши [3]. Семейства G2(1)l   и G2(1)2 впервые найдены в работе [13]. Однако структура разложений G2(1)1 и G2(2)2 раньше не обсуждалась. Остальные семейства разложений решений найдены здесь впервые.

Сравнивая степенные разложения решений уравнения (2.1) со степенными разложениями решений уравнений Пенлеве P1 ╕P6 [26-36], можно заметить, что они отличаются. Это дополнительный аргумент в пользу того, что уравнение четвертого порядка (2.1), как и уравнения P1 ╕P6, определяет новые трансцендентные функции.

8  .   Добавление. Вычисление базиса решетки.

Пусть на плоскости R2 дано множество S точек Q1, … ,Qm, и среди этих точек есть ноль. Наша цель - вычислить базис B1,B2 минимальной решетки Z, содержащей все точки множества S. Минимальность решетки Z означает, что отсутствует другая решетка Z1 ⊂ Z и Z1 ≠ Z, которая тоже содержит множество S. Вычисление разбито на несколько шагов.

Шаг 1. Пусть Qm=0, а остальные Qj ≠ 0. Для всех пар векторов Qj,Qk, 1 ≤ j,k < m, j ≠ k составим определители

 

det

 (QjQk)

   def
=
 

  Djk.

Для пар с Djk ≠ 0 найдем такую, для которой |Djk|=min |Djk| ≠ 0 по всем j,k=1, … ,m-1. Если таких пар несколько, то берем любую из них. Пусть для простоты это пара Q1,Q2. Остальные Q3, … ,Qm-1 упорядочены произвольным образом.

Шаг 2. Найдем базис решетки, порождаемой векторами Q1,Q2,Q3. Пусть Q3=aQ1+bQ2, где a и b - рациональные числа. Через [a] и {a} обозначаются целая часть числа a ∈ R и его дробная часть, т.е. {a}=a-[a]. Пусть Q3 ′ ={a}Q1+{b}Q2. Пусть min|det (Q3 ′ Qi)| для i=1,2 достигается при i=1. Тогда берем за основные векторы Q1 и Q3 ′ и через них выражаем Q2, т.е. получаем Q2=a1Q1+b1Q3 ′ . Заменяем вектор Q2 на Q2 ′ ={a1}Q1+{b1}Q3 ′ . Из трех векторов Q1,Q2 ′ ,Q3 ′ находим пару с наименьшим модулем определителя. По этой паре раскладываем третий вектор, берем его дробную часть и т.д. На некоторм шаге l получаем, что дробная часть третьего вектора равна нулю. Последняя пара векторов, скажем Q2(l),Q3(l) дает базис минимальной решетки, содержащей точки Q1,Q2,Q3.

Шаг 3. Для векторов Q2(l),Q3(l),Q4 делаем шаг 2, получаем векторы [(Q)\tilde]3,[(Q)\tilde]4 и т.д. Перебрав все Qj, j ≤ m-1, получим пару векторов Q*m-2,Q*m-1, которые и являются базисом минимальной решетки, содержащей множество S.

Замечание. Аналогичный алгоритм позволяет находить базис минимальной решетки в Rn, содержащий заданное конечное множество S. При n=1 это алгоритм Евклида.

Пример 8.1. Рассмотрим уравнение (1.4). Его носитель состоит из четырех точек (2.2). Сдвинем их на вектор Q3=(1,0). Получим

Q1 ′ =(-5,1),    Q2 ′ =(-1,3),    Q3 ′ =0,    Q4 ′ =(-3,2).

Для векторов Q1 ′ ,Q2 ′ ,Q4 ′ вычислим попарные определители

D12=

ú
ú
ú
ú

-5

1

-1

3

ú
ú
ú
ú

=-14,    D14=

ú
ú
ú
ú

-5

1

-3

2

ú
ú
ú
ú

=-7,    D42=

ú
ú
ú
ú

-3

2

-1

3

ú
ú
ú
ú

=-7.

Так что в качестве начальной пары можно взять векторы Q1 ′ ,Q4 ′ или Q2 ′ ,Q4 ′ . Возьмем для определенности Q1 ′ ,Q4 ′ . Ищем разложение Q2 ′ =aQ1 ′ +bQ4 ′ =a(-5,1)+b(-3,2), т.е. решаем линейную систему уравнений

 

-5a

-

3b

=

-1,

a

+

2b

=

3.

 

Получаем a=-1, b=2. Поскольку {a}={b}=0, то векторы B1=Q1 ′ и B2=Q4 ′ образуют базис решетки сдвинутого носителя уравнения (1.4).


Литература

[Kudryashov01]

Kudryashov N.A. The first and second Painlevé equations of higher order and some relations between them // Phys. Letters. A. 1997. V. 224. N 6. P. 353-360.

[Kudryashov02]

Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва - Ижевск.: Институт компьютерных исследований, 2004. 360 с.

[Golubev]

Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953. 288 c.

[Olver]

Olver P.J. Hamilton and non-Hamilton models for water waves // Lecture Notes in Physics. N 195. N.Y.: Springer, 1984. P. 273-290.

[Kudryashov03]

Кудряшов Н.А. Первые интегралы нелинейной волновой динамики // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 2. С. 884-894.

[Henon]

Hénon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments // Astron. J. 1964. V. 69. N 1. P. 73-79.

[Fordy]

Fordy A.P. The Hénon-Heiles system revisited // Physica D. 1991. V. 52. N 2-3. P. 204-210.

[Hone]

Hone Andrew N.W. Non -autonomous Hénon-Heiles system // Physica D. 1998. V. 118 P. 1-16.

[Kudryashov04]

Kudryashov N.A. On new transcendents defined by nonlinear ordinary differential equations // J. Phys. A.: Math. Gen. 1998. V. 31. N 6. P. L.129-L.137.

[Kudryashov05]

Kudryashov N.A. Transcendents defined by nonlinear fourth-order ordinary differential equations // J. Phys. A.: Math. Gen. 1999. V. 32. N 6. P. 999-1013.

[Kudryashov06]

Kudryashov N.A. Fourth-order analogies to the Painlevé equations // J. Phys. A.: Math. Gen. 2002. V. 35. N 21. P. 4617-4632.

[Kudryashov07]

Kudryashov N.A. Amalgamations of the Painlevé equations // J. Math. Phys., 2003, V. 44. N 12. P. 6160-6178.

[Kudryashov08]

Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Uniformization and Transendence of solutions for the first and second Painleve hierarchies // Physics Letters A, 1998, v. 237, p. 206-216.

[Kudryashov09]

Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Discrete equations corresponding to fourth-order differential equations of the P2 and K2 hierarchies // ANZIAM, Industrial and Applied Mathematics, 2002, v. 44, p. 149-160.

[Kudryashov10]

Кудряшов Н.А. Нелинейные дифференциальные уравнения четвертого порядка с решениями в виде трансцендент // Теоретическая и математическая физика, 2000, т. 122, вып. 1, с. 72-86.

[Kudryashov11]

Kudryashov N.A., Pickering A. Rational solutions for Schwarzian integrable hierarchies // Journal of Physics A, Math. Gen., 1998, v. 31, p. 999-1014.

[Joshi01]

Creswell G., Joshi N. The discrete first,second and thirty - fourth Painleve hierarchies // Journal of Physics A, Math. Gen., 1999, v. 32, p. 655-669.

[Mugan01]

Mugan U., Jrad F. Painleve test and the first Painleve hierarchy // Journal of Physics A, Math. Gen., 1999, v. 32, p. 7933-7952.

[Cosgrove01]

Cosgrove C.M. Higher - order Painleve equations in the polynomial class. I. Bureau symbol P2 // Study Appl. Math., 2000, v. 104, p. 1-65.

[Gordoa01]

Gordoa P.R. Backlund transformations for the second member of the first Painleve hierarchy // Physics Letters A, 2001, v. 287, p. 365-370.

[Pickering01]

Pickering A. Coalescence limits for higher order Painleve equations // Physics Letters A, 2002, v. 301, p. 275-280.

[Clarkson01]

Clarkson P.A., Hone A.N.W., Joschi N. Hierarchies of difference equations and Backlund transformations // Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 2003 v. 10, p. 13-26.

[Kawai01]

Kawai T., Koike T., Nishikawa Y., Takei Y. On the complete description of the Stokes geometry for the first painleve hierarchy // Ppreprint/RS/RIMS 1471, Kioto, 2004. 28 p.

[Bruno01]

Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях, М., Наука, Физматлит, 1998. 288 с.

[Bruno02]

Брюно А.Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // УМН, 2004, т. 59, вып. 3, с. 31-80.

[Bruno03]

Брюно А.Д., Петрович В.Ю. Особености решений первого уравнения Пенлеве. Препринт N 75. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2004. 17 с.

[Bruno04]

Bruno A.D. Power Geometry as a new calculus // Analysis and Applications - ISAAC 2001 (Eds. H.G.W. Begehr, R.P. Gilbert and M.W. Wong). Kluwer Academic Publishers: Dordrecht/ Boston/ London, 2003, p. 51-71.

[Br]

Брюно А.Д., Завгородняя Ю.В. Степенные ряды и нестепенные асимптотики решений второго уравнения Пенлеве. Препринт N 48. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 32 с.

[Br]

Брюно А.Д., Чухарева И.В. Степенные разложения решений шестого уравнения Пенлеве. Препринт N 49. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 32 с.

[Br]

Брюно А.Д., Карулина Е.С. Степенные разложения решений пятого уравнения Пенлеве. Препринт N 50. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 32 с.

[BRUNO]

Брюно А.Д., Гриднев А.В. Степенные и экспоненциальные разложения решений третьего уравнения Пенлеве. Препринт N 51. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 32 с.

[Bruno09]

Брюно А.Д., Карулина Е.С. Разложения решений пятого уравнения Пенлеве // Докл. АН, 2004, т. 395, № 4, с. 439-444.

[Bruno10]

Брюно А.Д., Горючкина И.В. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве // Докл. АН, 2004, т. 395, № 6, с. 733-737.

[Bruno11]

Гриднев А.В. Степеная и экспоненциальные асимптотики решений третьего уравнения Пенлеве // Дифференциальные уравнения, 2004, т. 40, № 6, с. 855.

[Bruno12]

Завгородняя Ю.В. О некоторых степенных разложениях решений второго уравнения Пенлеве // Дифференциальные уравнения, 2004, т. 40, № 6, с. 856-857.

[Gromak01]

Gromak V.I., Laine I., Shimomura S. Painleve Differential Equations in the Complex Plane, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2002. 303 p.

File translated from TEX by TTH, version 3.40.
On 01 Apr 2005, 20:18.