Классификация идеалов алгебр вещественных матриц и ее приложения в теории чисел
( Classification of ideals of algebras of real matrices and its applications in the number theory
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Введение

Главная цель этой работы - дать явную классификацию идеалов матриц второго порядка над полями вещественных и рациональных чисел, а также над конечными полями. Помимо самостоятельного интереса такая классификация идеалов имеет применения в некоторых теоретико-числовых проблемах: она позволяет определять количество примитивных пифагоровых троек (§ 2) и количество точек дискретных окружностей в конечных полях (§ 3).

Наиболее общий результат, касающийся идеалов матричных алгебр, состоит в том, что каждому идеалу (правому или левому) однозначно соответствует одномерное подпространство, и этот идеал состоит из всех матриц, аннулирующих это подпространство (справа или слева), т.е. отображающих его в нулевой вектор [1]. В настоящей работе, классифицируя идеалы алгебры матриц второго порядка, мы не пользуемся этой теоремой. Идея нашей классификации подсказана работой [2], где для конкретной обобщенной кватернионной алгебры явно построены все правые идеалы [2, § 2], каждый из которых однозначно определяется комплексным числом, модуль которого равен 1. Таким же образом описываются все левые идеалы этой алгебры. Сама обобщенная кватернионная алгебра и ее правые идеалы имеют важное значение в задаче Лагранжа о колебаниях дискретной струны [2]. В настоящей работе эта алгебра введена в определении 1.2 § 1 и обозначается, как алгебра B. Далее оказалось, что алгебра B изоморфна алгебре A матриц второго порядка над полем вещественных чисел (лемма 1.2, § 1), и, рассматривая образы идеалов алгебры B при этом изоморфизме, мы даем явное описание идеалов алгебры A (§ 1). Подобная явная конструкция осуществлена также для алгебр матриц второго порядка над полем рациональных чисел (§ 2) и над полем характеристики p ≥ 3 (§ 3). В случае поля рациональных чисел эта конструкция связана с пифагоровыми тройками, состоящими из целых чисел r,s,t, удовлетворяющими уравнению r²+s²=t², а в случае конечного поля, содержащего p ≥ 3 элементов, она приводит к новому решению задачи о числе решений сравнения u²+v² ≡ [^(R)]² mod p, где [^(R)] - заданное целое число.

Выражаю глубокую благодарность Н.С. Семенову и Т.В. Локоть за полезные обсуждения.

§ 1. Явная классификация идеалов алгебры матриц
второго порядка над полем вещественных чисел

Определение 1.1. Введем алгебру A вещественных матриц второго порядка.

Определение 1.2. Введем множество B, состоящее из всех матриц второго порядка, имеющих вид

где a,b,c,d - произвольные вещественные числа, i - мнимая единица.

Непосредственно проверяется утверждение следующей леммы.

Лемма 1.1. Множество B есть алгебра.

Лемма 1.2. Алгебры A и B изоморфны между собой.

Доказательство. Алгебра A есть четырехмерное линейное пространство над полем вещественных чисел R, имеющее базис, состоящий из четырех матриц

удовлетворяющих соотношениям

тогда как алгебра B есть четырехмерное линейное пространство над полем R, имеющее базис, состоящий из четырех матриц

удовлетворяющих соотношениям

Отображая элементы j₁,j₂,j₃,j₄ базиса пространства B соответственно в элементы e₁,e₂,e₃,e₄ базиса пространства A и продолжая это отбражение по линейности на всю алгебру B, в силу соотношений (1.2) и (1.3) получаем изоморфизм алгебр A и B. Лемма 1.1 доказана.

Замечание 1.1. В силу (1.2) и (1.3) A и B - обобщенные кватернионные алгебры [3].

Лемма 1.3. Для каждого вещественного числа j, удовлетворяющего условию 0 ≤ j < 2p, существует правый идеал [^(I)](j) в алгебре B, состоящий из матриц (1.1), удовлетворяющих условию

и левый идеал [^(J)](j) в алгебре B, состоящий из матриц (1.1), удовлетворяющих условию

Идеалами [^(I)](j) и [^(J)](j) исчерпываются соответственно все правые и левые идеалы алгебры B.

Доказательство. Непосредственной проверкой устанавливается, что при выполнении равенств (1.4) и (1.5) множества матриц [^(I)](j) и [^(J)](j) являются соответственно правыми и левыми идеалами. Идеалы [^(I)](j) и [^(J)](j) являются неразложимыми (т.е. не представляются в виде прямой суммы двух различных нетривиальных идеалов), так как, умножая матрицу из этих идеалов справа или слева на некоторую диагональную матрицу из алгебры B, можно получить любую другую матрицу, принадлежащую идеалам [^(I)](j) или [^(J)](j). Далее, из определения идеалов [^(I)](j) и [^(J)](j) следует, что из объединения по всем j из полуинтервала 0 ≤ j < 2p состоят из всех вырожденных матриц алгебры B. Поэтому идеал, отличный от [^(I)](j) и [^(J)](j), должен содержать невырожденную матрицу, и, следовательно, должен совпадать со всей алгеброй B. Лемма 1.3 доказана.

Теорема 1.1. Для каждого вещественного числа j, удовлетворяющего условию 0 ≤ j < 2p, существует правый идеал I(j) в алгебре A, состоящий из матриц (

), таких что выполняются равенства

и левый идеал J(j) в алгебре A, состоящий из матриц (

), таких что выполняются равенства

Для разных значений j идеалы I(j) и J(j) попарно различны и ими исчерпываются все правые и левые идеалы алгебры A.

Доказательство. При изоморфизме алгебр A и B, указанном в доказательстве леммы 1.2, идеалы [^(I)](j) и [^(J)](j) алгебры B, введенные в лемме 1.2, отображаются в идеалы I(j) и J(j) алгебры A. При этом из равенств (1.4) и (1.5) следуют соответственно равенства (1.6) и (1.7). Поэтому утверждения теоремы 1.1 следуют из утверждений леммы 1.3. Теорема 1.1 доказана.

Теорема 1.2. 1) Если ненулевая матрица (

) ∈ I(j), то она аннулирует справа одномерное подпространство, имеющее направляющий вектор

который зависит только от j, но не зависит от вида самой матрицы.

2) Если ненулевая матрица (

) ∈ J(j), то она аннулирует слева одномерное подпространство, имеющее направляющий вектор

который зависит только от j, но не зависит от вида самой матрицы.

Доказательство. Докажем утверждение 1). Предположим, что вектор (q,1) аннулируется справа матрицей (

), т.е.

Введем величины

Из (1.10) и (1.9) следует, что

Поэтому в силу (1.11) имеем равенства

которые справедливы в силу (1.6) и (1.10). Таким образом, число q, удовлетворяющее (1.9), существует и согласно (1.12), (1.10) и (1.6) имеет вид

т.е. вектор [(e)\vec]_j из (1.8) есть направляющий вектор одномерного подпространства, которое справа аннулируется матрицей (

) ∈ I(j). Докажем, что для всех матриц идеала I(j) вектор [(e)\vec]_j - один и тот же. Для этого воспользуемся тем, что идеал I(j) алгебры A - неразложимый. Поэтому для любых двух ненулевых матриц (

) и (

) из этого идеала существует матрица (

) ∈ I(j), такая что

Из этого равенства следует, что

т.е. матрица (

) аннулирует справа тот же самый вектор [(e)\vec]_j.

Утверждение 2) теоремы 1.2 доказывается совершенно аналогично, на основе теоремы 1.1. Теорема 1.2 доказана.

Следствие 1.1. Если матрица (

) ∈ I(j), то она аннулирует справа вектор (q,1), где q=[(1+sinj-cosj)/(1-sinj-cosj)].

Доказательство. Величины a,b,g,d, введенные в (1.10), определяют однозначно матричные элементы a,b,c,d. Поэтому можно так выбрать матрицу (

) ∈ I(j), чтобы выполнялись равенства a =b =1. При этом в силу (1.6) имеем: d =cosj-sinj, g =sinj+cosj. Подставляя эти значения для a,b,d и g в (1.12), получаем утверждение следствия 1.1.

§ 2. Явная классификация идеалов алгебры матриц
второго порядка над полем рациональных чисел
и количество примитивных пифагоровых троек

Определение 2.1. Введем алгебру A_Q вещественных матриц второго порядка над полем рациональных чисел Q.

Определение 2.2. Введем множество B_Q, состоящее из всех матриц второго порядка, имеющих вид (1.1), где a,b,c,d - произвольные рациональные числа, i - мнимая единица.

Лемма 2.1. Множество B_Q есть алгебра.

Лемма 2.2. Алгебры A_Q и B_Q изоморфны между собой.

Доказательство леммы 2.2 повторяет доказательство леммы 1.2 с заменой поля R на поле Q.

Лемма 2.3. Для каждого решения (r,s,t) уравнения

в целых числах r,s,t существует правый идеал [^(I)]_Q(r,s,t) в алгебре B_Q, состоящий из матриц (1.1), удовлетворяющих условию

и левый идеал [^(J)]_Q(r,s,t) алгебры B_Q, состоящий из матриц (1.1), удовлетворяющих условию

Идеалами [^(I)]_Q(r,s,t) и [^(J)]_Q(r,s,t) исчерпываются соответственно все правые и левые идеалы алгебры B_Q.

Доказательство. Введем угол j, такой что

Тогда в силу леммы (1.3), (2.2) и (2.3) имеем:

где [^(I)]_Q(j) и [^(J)]_Q(j) - идеалы алгебры B, определенные в лемме 1.3. Поэтому утверждение леммы 2.3 следует из равенств (2.4) и утверждений леммы 1.3. Лемма 2.3 доказана.

Теорема 2.1. Для каждого решения (r,s,t) уравнения (2.1) в целых числах r,s,t, такого что t > 0, существует правый идеал I_Q(r,s,t) в алгебре A_Q, состоящий из матриц (

) таких, что выполняются равенства

и левый идеал J_Q(r,s,t) в алгебре A_Q, состоящий из матриц (

) таких, что выполняются равенства

Для различных целочисленных решений (r,s,t) уравнения (2.1) с условием t > 0 таких, что среди чисел r,s,t есть пара взаимно простых чисел, соответствующие им идеалы I_Q(r,s,t) - различны, и соответствующие им идеалы J_Q(r,s,t) - различны. Идеалами I_Q(r,s,t) и J_Q(r,s,t) исчерпываются соответственно все правые и левые идеалы алгебры A_Q.

Доказательство. Изоморфизм алгебры A_Q и B_Q, построенный в лемме 2.2, есть ограничение изоморфизма алгебр A и B, построенного в лемме 1.2 на подмножества A_Q ⊂ A и B_Q ⊂ B. Поэтому утверждения теоремы 2.1 следуют из равенств (2.4), соотношений (2.5) и утверждений теоремы 1.1. Теорема 2.1 доказана.

Следствие 2.1. Если (r,s,t) - целочисленное решение уравнения (2.1), такое что t > 0, а матрица (

) ∈ I_Q(r,s,t), то она аннулирует справа вектор (q,1), где

Доказательство. Пусть j - угол, такой что выполняются равенства (2.4). Так как I_Q(r,s,t) ⊂ I_Q(j), то в силу следствия 1.1 и (2.4) матрица (

) ∈ I(j) и аннулирует справа вектор ([(1+sinj-cosj)/(1-sinj-cosj)], 1). Подставляя теперь в выражение для его первой координаты вместо sinj и cosj их выражения из равенства (2.4), получаем утверждение следствия 2.1.

Определение 2.3. Назовем пифагоровой тройкой (r,s,t) множество, состоящее из трех попарно взаимно простых чисел с условием 0 < r < s < t, которые удовлетворяют уравнению (2.1).

Определение 2.4. Пифагорова тройка называется примитивной, если число

Пример 2.1. (3,4,5) - примитивная пифагорова тройка, так как m(3,4,5)=3.

Замечание 2.1. Так как функция f(x)=[(x+ √ {1-x²}+1)/(x - √ {1-x²}+1)] в области 0 < x ≤ √ 2/2 монотонно возрастает до бесконечности при x → 0 и справедливы равенства f( √ 2/2)= √ 2+1, m(r,s,t)=f(r/t), то m(r,s,t) > √ 2+1 и lim_{r/t → 0}m(r,s,t)= ∞ .

Теорема 2.2. Пусть 0 < Q < √ 2/2, N_Q - количество примитивных пифагоровых троек (r,s,t), удовлетворяющих уловию r/t ≥ Q. Тогда справедливо равенство

где квадратные скобки обозначают целую часть числа, стоящего внутри них.

Доказательство. Сопоставим каждой пифагоровой тройке (r,s,t) три целых числа

которые также удовлетворяют уравнению (2.1). Согласно следствию 2.1, если матрица (

) ∈ I_Q([(r)\tilde],[(s)\tilde],[(t)\tilde]) то она аннулирует одномерное подпространство с направляющим вектором (q,1), где q=[([(r)\tilde] + [(t)\tilde] - [(s)\tilde] )\tilde]) / ( [(t)\tilde] - [(r)\tilde] - [(s)\tilde])]. Из (2.8), (2.10), (2.1) т определения 2.4 следует, что

где f(x)=[(x+ √ {1-x²}+1)/(x- √ {1-x²}+1)]=[(2+x-[(x²)/(1+ √ {1-x²})])/(x+[(x²)/(1+ √ {1-x²})])] - функция, введенная в замечании 2.1. Так как согласно замечанию 2.1 функция f(x) в области 0 < x ≤ √ 2/2 монотонно возрастает при x → 0 и f( √ 2/2)= √ 2+1, то в силу теоремы 2.1 и следствия 2.1 для любого натурального числа [(q)\tilde] > [ √ 2+1]=2 существует тройка целых   чисел     [(r)\tilde],[(s)\tilde],[(t)\tilde],    удовлетворяющих   условиям    [(r)\tilde] > 0, 0 < -[(s)\tilde] < [(r)\tilde],   [(t)\tilde] > [(r)\tilde]   и уравнению (2.1), для которых координата q=[([(t)\tilde] + [(r)\tilde] - [(s)\tilde] )\tilde]) / ( [(t)\tilde] - [(r)\tilde] - [(s)\tilde])] вектора (q,1) из (2.8) имеет вид q=f(r/t), где r=-[(s)\tilde], t=[(t)\tilde]. Поэтому в силу (2.11) все примитивные пифагоровы тройки (r,s,t), для которых r/t ≥ Q, однозначно соответствуют всем натуральным числам q, удовлетворяющим условиям √ 2+1=f( √ 2/2) < q ≤ f(Q), и равенство (2.9) следует из (2.11). Теорема 2.2 доказана.

§ 3. Явная классификация идеалов алгебры матриц
второго порядка над конечными полями и число точек
дискретных окружностей

Пусть p ≥ 3 - простое число, а F_p - поле характеристики p, которое мы будем рассматривать, как поле вычетов по модулю p.

Определение 3.1. Введем алгебру A_p матриц второго порядка с элеметами из F_p.

Определение 3.2. Предполагая, что число -1 является квадратичным невычетом по модулю p, а e²=-1, введем алгебру B_p, состоящую из матриц второго порядка, имеющих вид

где a,b,c,d - произвольные элементы из F_p.

Лемма 3.1. Алгебры A_p и B_p изоморфны между собой.

Доказательство. Алгебра A_p есть четырехмерное линейное пространство над полем F_p, имеющее базис

с соотношениями

тогда как алгебра B_p есть четырехмерное линейное пространство над полем F_p, имеющее базис,

с соотношениями

Отображая элементы j₁,j₂,j₃,j₄ базиса пространства B_p соответственно в элементы e₁,e₂,e₃,e₄ базиса пространства A_p и продолжая это отбражение по линейности на всю алгебру B_p, в силу соотношений (3.2) и (3.3) получаем изоморфизм алгебр A_p и B_p. Лемма 3.1 доказана.

Замечание. В силу (3.2) и (3.3) A_p и B_p - обобщенные кватернионные алгебры [3].

Лемма 3.2. Для каждого решения (r,s) сравнения

где r,s - вычеты по модулю p, существует правый идеал [^(I)]_p(r,s) в алгебре B_p, состоящий из матриц (3.1), удовлетворяющих условию

и левый идеал [^(J)]_p(r,s) алгебры B_p, состоящий из матриц (3.1), удовлетворяющих условию

Идеалами [^(I)]_p(r,s) и [^(J)]_p(r,s) исчерпываются соответственно все правые и левые идеалы алгебры B_p.

Доказательство. То, что при выполнении сравнения (3.4) [^(I)]_p(r,s) и [^(J)]_p(r,s) являются соответственно правыми и левыми идеалами алгебры B_p, следует непосредственно из определения 3.2 алгебры B_p и условия, согласно которому e²=-1, а число -1 - квадратичный невычет по модулю p. Идеалы [^(I)]_p(r,s) и [^(J)]_p(r,s,) являются неразложимыми, так как, умножая матрицу из этих идеалов справа и слева на некоторую диагональную матрицу из алгебры B_p, можно получить любую другую матрицу идеалов [^(I)]_p(r,s) и [^(J)]_p(r,s). Далее, из определения 3.2 алгебры B_p следует, что идеалы [^(I)]_p(r,s) и [^(J)]_p(r,s) при всех r и s, удовлетворяющих сравнению (3.4), состоят из всех матриц алгебры B_p. Поэтому идеал, отличный от [^(I)]_p(r,s) и [^(J)]_p(r,s) должен содержать невырожденную матрицу, и, следовательно, должен совпадать со всей алгеброй B_p. Лемма 3.2 доказана.

Теорема 3.1. Если число -1 - квадратичный невычет по модулю p, то для каждого решения (r,s) сравнения (3.4) в поле F_p существует правый идеал I_p(r,s) в алгебре A_p, состоящий из матриц (

) ∈ A_p, таких что справедливы сравнения

и левый идеал J_p(r,s) в алгебре A_p, состоящий из матриц (

) ∈ A_p, таких что справедливы сравнения

Идеалы I_p(r,s) и J_p(r,s) попарно различны для разных пар (r,s) и ими исчерпываются все правые и левые идеалы алгебры A_p.

Доказательство. При изоморфизме алгебр A_p и B_p, указанном в доказательстве леммы 3.1, идеалы [^(I)]_p(r,s) и [^(J)]_p(r,s) алгебры B_p, введенные в лемме 3.2, отображаются в идеалы I_p(r,s) и J_p(r,s) алгебры A_p, причем из сравнений (3.5), (3.6) следуют сравнения (3.7) и (3.8). Поэтому утверждения теоремы 3.1 следуют из утверждений леммы 3.2. Теорема 3.1. доказана.

Определение 3.3. Дискретной окружностью S_p радиуса [^(R)] по модулю p называется множество, состоящее из всех пар (u,v) ∈ S_p вычетов по модулю p, удовлетворяющих сравнению

где [^(R)] - целое число.

Обозначим через Q_p([^(R)]) число точек (u,v) дискретной окружности S_p.

Теорема 3.2. Если число [^(R)] не делится на p, то, представляя число p в виде p=4n ± 1 (n - целое число), имеем равенство Q_p([^(R)])=4n, а, если число [^(R)] делится на p, то

Доказательсто. Предположим, что число [^(R)] не делится на p. Тогда, разделив обе части сравнения (3.9) на [^(R)]², получим сравнение (3.4) относительно переменных r=u/[^(R)], s=v/[^(R)]. Если число -1 - квадратичный невычет по модулю p, то в силу известного равенства для символов Лежандра ([4]) имеем: (-1)^(p-1)/2=-1, т.е. p=4n-1. В этом случае согласно теореме 3.1 число Q_p([^(R)]) равно количеству правых (или левых) идеалов алгебры A_p. Но согласно общей теореме, касающейся матричных алгебр ([1]), количество правых (или левых) идеалов алгебры A_p совпадает с числом одномерных подпространств двумерной плоскости над полем F_p, которое равно p+1=4n: если ввести координаты x,y на плоскости, то это подпространства, заданные уравнениями x=0,  y=0 и y=kx, где k=1, … ,p-1. Если же число -1 - квадратичный вычет по модулю p, то (-1)^(p-1)/2=1, p=4n+1 и -1 ≡ t²  mod p, где t ∈ F_p. В этом случае в силу (3.4) имеем:

Количество решений сравнения XY ≡ 1  mod p  в поле  F_p   равно  p-1=4n: X=1, … ,p-1; Y=X^-1  mod p, а для каждой такой пары X и Y величины r и s однозначно определяются из системы сравнений X ≡ r-ts,    Y ≡ r+ts,  mod p. Таким образом, в случае, когда число [^(R)] не делится на p, теорема 3.2 доказана.

Предположим, что число [^(R)] делится на p. Тогда сравнение (3.9) сводится к сравнению

Из вида этого сравнения следует, что, если число -1 - квадратичный вычет, (т.е. -1 ≡ t²  mod p, t ∈ F_p, p=4n+1), то существует ровно 2p-1 различных решений сравнения (3.10): переменная v=0,1, … ,p-1, а при v ≠ 0 переменная u= ± tv. Если же число -1 - квадратичный невычет (т.е. p=4n-1), то существует только одно решение: u=v=0. Теорема 3.2 доказана.

Список литературы

[1]

M.A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost, J.P. Tignol. The Book of Invo-
lutions. American Mathematical Society, Colloquium Publications, Volume 44, 1998.

[2]

Л.Д. Пустыльников. О спектре дискретного неоднородного волнового уравнения и колебаниях дискретной струны // Матем. сб. Том 183 (1992), N 3, 38-54.

[3]

И.Р. Шафаревич. Алгебра 1, Современные проблемы математики, т. 11, ВИНИТИ, Москва. 1986.

[4]

И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М. 1965.

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 12 Apr 2005, 18:26.