Семейство h периодических решений ограниченной задачи при малых m
( The Family h of Periodic Solutions of the Restricted Problem for Small m
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Брюно А.Д., Ваpин В.П.
(A.D.Bruno, V.P.Varin)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2005
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-01-00050) и программы Президиума РАН "Математические методы в нелинейной динамике"

Аннотация

Приведены результаты вычисления семейства h симметричных периодических решений плоской круговой ограниченной задачи трех тел для четырех значений m=0, 10-3,0.1,0.2. Это семейство начинается обратными круговыми орбитами вокруг тела большей массы. Для каждого значения m дана: таблица критических орбит, рисунки орбит, графики характеристик семейства в четырех системах координат, графики периода и следов (плоского и вертикального). Отмечаются закономерности на семействе и его связь с порождающим семейством.

Abstract

We present the results of computations for the family h of symmetric periodic solutions of the plane circular restricted three-body problem for four values of m=0, 10-3,0.1,0.2. This family begins with the retrograde circular orbits around the biggest primary. For each value of m, we give: the table of critical orbits, figures of orbits, plots of characteristics of the family in four coordinate systems, plots of the period and both traces (the plane and the vertical one). We point out regularities on the family and its connection with the generating family

E-mails:    bruno@keldysh.ru,    varin@keldysh.ru

 


Глава II. СЕМЕЙСТВО h



В рамках программы, описанной в [1], здесь изучается семейство h симметричных периодических решений ограниченной задачи трех тел. Это семейство начинается обратными круговыми орбитами вокруг тела P1 большей массы. Используются обозначения из [2].

 

§ 1. Порождающее семейство (m = 0)



1.1. Описание семейства. Порождающее семейство h было сначала описано в [3, § 3] как семейство IR+, затем - в [4, гл. 10, п. 10.2.6].

В табл. 1 приведены данные по 16 критическим орбитам вычисленного куска этого семейства. В каждом столбце табл. 1 приведены значения, указанные в его заголовке, а именно: номер орбиты k, координаты x1(0) и y2(0) на плоскости симметрии P, затем координаты v1(T/2) и v2(T/2) скорости входа орбиты в точку P2=(1,0) (если орбита в нее входит), Затем нормированный период орбиты, [(T)\tilde] = (1-mT/(2p), значение константы Якоби C, следы (плоский Tr и вертикальный Trv), начальные точки орбиты в астрономических координатах [(a)\tilde](0) и [(e)\tilde](0) согласно (2.2) [1], затем точка орбиты через полупериод [(a)\tilde](T/2), [(e)\tilde](T/2) только для орбит 4 и 11 и этих же колонках значения [(a)\tilde]*(T/2), [(e)\tilde]*(T/2) в координатах (1.1) для остальных орбит (координаты [(a)\tilde](T/2), [(e)\tilde](T/2) приведены только для тех орбит, где |[(e)\tilde](T/2)| 2, а координаты [(a)\tilde]*(T/2), [(e)\tilde]*(T/2) - где [(e)\tilde]*(T/2) 2), затем снова указан номер орбиты. Характеристики семейства в координатах x1,y2 показаны на рис. 1.1, а в координатах x1,C - на рис. 1.2. На рис. 1.3 показаны 6 критических орбит в координатах x1,x2; около каждой орбиты указан ее номер из табл. 1. На рис. 1.4 показаны характеристики семейства в координатах [(a)\tilde],[(e)\tilde]. На нем крестиками отмечены критические орбиты из табл. 1. Порождающее семейство h начинается как часть семейства Ir обратных круговых орбит вокруг тела P1 массы 1. Эта часть заканчивается орбитой 1, где семейство h переходит в часть семейства A0 с [(e)\tilde] > -1, до орбиты 4. При этом на орбите 2 происходит столкновение с телом P2, т.е. в точке P2 координата скорости v2 = 0, и это столкновение сохраняется при m > 0, а на орбите 3 константа Якоби C достигает максимума. В орбите 4 семейство h становится семейством E+1/2 до орбиты 6. При этом на орбите 5 происходит столкновение с телом P1. От орбиты 6 семейство h продолжается как семейство A1 до орбиты 11. При этом на орбите 7 константа Якоби C достигает минимума. На орбите 8 происходит перескок вертикального следа Trv от + до -. На орбите 9 происходит столкновение с телом P2 нулевой массы. На орбите 10 константа Якоби C достигает максимума. От орбиты 11 семейство h продолжается как семейство E+1/4 до орбиты 13. При этом на орбите 12 происходит столкновение с телом P1. От орбиты 13 семейство h продолжается как семейство A0 до пересечения с семейством E+1/6. При этом на орбите 14 константа Якоби C достигает минимума; на орбите 15 вертикальный след Trv перескакивает от + до -, а на орбите 16 происходит столкновение с телом P2. В целом семейство h состоит из кусков

{A0,E+1/(4k-2),A1,E+1/(4k)},     k=1,2,...

Выше был описан первый такой кусок (k=1) и начало второго (k=2).



1.2. Характеристики семейства h показаны на рис. 1.1, 1.2, 1.4-1.5 в разных системах координат. При этом жирными линиями показаны тела P1 и P2 и для каждого куска указано семейство A0, A1, E+N, к которому этот кусок относится. На характеристиках крестиками отмечены критические орбиты 1-16 из табл. 1. На рис. 1.1 пунктиром ограничена область
|[(e)\tilde]| 2, попадающая на рис. 1.4. Рис. 1.5 изображает характеристики семейства вблизи тела P2 в астрономической системе координат [(a)\tilde]*, [(e)\tilde]*:

 

~

e

 


* 

=

 V+|v1|


|v1|

 sign (v1 v2),    

~

a

 

* =

 sign v1


V2

=

 sign v1


3-C

.

(1.1)

Здесь (v1,v2) - это скорость входа орбиты в точку P2, V2=v12+v22, а |[(e)\tilde]*|-1 и |[(a)\tilde]*| - суть предельные значения эксцентриситета e* и нормированной действительной полуоси a*/m локальной гиперболической орбты пролета вблизи тела P2 при малых m. Рисунок 1.5 состоит из двух фрагментов с разными масштабами, чтобы избежать участков характеристик вблизи |[(e)\tilde]*|=2. При этом первому участку семейства A0 соответствуют верхние характеристики обоих фрагментов рис. 1.5. В соответствии с формулами (1.1) они имеют вертикальные асимптоты при [(a)\tilde]* -34.4 ([(e)\tilde]* -, орбита 4) и при [(a)\tilde]* -0.25 ([(e)\tilde]* +, орбита 1). Участку семейства A1 соответствуют средние характеристики с вертикальными асимптотами при [(a)\tilde]* -14.1 ([(e)\tilde]* -, орбита 11) и при [(a)\tilde]* -0.21227 ([(e)\tilde]* +, орбита 6). Второму участку семейства A0 соответствуют нижние характеристики обоих фрагментов рис. 1.5. с вертикальными асимптотами [(a)\tilde]* -10.9 ([(e)\tilde]* -, орбиты нет) и [(a)\tilde]* -0.19472 ([(e)\tilde]* +, орбита 13).



1.3. Период и следы. На рис. 1.6 показана зависимость нормированного периода [(T)\tilde] от координаты x1(0) левой характеристики семейства h. Горизонтальные участки [(T)\tilde] = 2, 4 проходятся дважды: сначала справа налево (от орбиты 4 до орбиты 5 и от орбиты 11 до орбиты 12), а затем обратно (от орбиты 5 до орбиты 6 и от орбиты 12 до орбиты 13).

На рис. 1.7 схематически показана зависимость плоского следа Tr от нормированного периода [(T)\tilde]. На участках A0, A1, A0 след Tr=+. Перескок происходит на орбитах, где константа Якоби C достигает экстремума. Согласно формулам (3.4) и (3.5) из [1] на участках Ir и E+1/2, E+1/4 след Tr=2 cosT и Tr=2. Семействам E+1/2 и E+1/4 отвечают постоянные значения [(T)\tilde]=2 и 4 соответственно. На рис. 1.7 для наглядности эти точки раздвинуты в маленькие интервалы. В местах сочленения участков разных семейств след Tr перескакивает от конечного значения к бесконечному (см. табл. 1, колонку Tr).

На рис. 1.8 схематически показана зависимость вертикального следа Trv от нормированного периода [(T)\tilde]. На участках A0, A1, A0 след Trv= ±∞ . Согласно табл. 1, перескок происходит на орбитах с полуцелыми [(T)\tilde] > 1, т.е. [(T)\tilde]=(2k+1)/2, k=1,2,..., где либо v2=-2, либо v2=0. Согласно формулам (3.4) и (3.5) из [1] на участках Ir, E+1/2, E+1/4 вертикальный и плоский следы равны: Tr=Trv. На рис. 1.8 также раздвинуты участки, соответствующие cемействам E+1/2 и E+1/4. В местах сочленения участков разных семейств след Trv перескакивает от конечного значения к бесконечному (см. табл. 1, колонку Trv).

Отметим, что линейная устойчивость в обоих направлениях (плоском и вертикальном), т.е. неравенства (3.4) из [1], имеется только на участках семейств Ir, E+1/2, E+1/4, вошедших в семейство h.



1.4. Пересечения с другими семействами. На участке Ir семейство h пересекается с семействами E
±N с 1 < N < (см. [2, гл. 7, 8]). В частности, при N=2 семейство h пересекает семейство E2 как локально трехкратное, ибо на орбите пересечения семейства h след Tr=-1. Семейство E2 - это часть порождающего семейства i. Впрочем, всякое семейство EN с N=(p+1)/p входит в порождающее семейство i и пересекается с h как локально (2p+1)-кратное. На орбите 1 след Tr=-2, а при m > 0 здесь образуется интервал с Tr -2. Поэтому на орбите 1 заканчиваются два локально двукратных семейства b и c. Кроме того, на орбитах, где происходит перескок следа Tr через интервал [-2,2], также происходит пересечение с другими семействами. На орбитах, где вертикальный след Trv перескакивает через интервал [-2,2], происходят пересечения семейства h с пространственными семействами дважды симметричных периодических решений пространственной круговой ограниченной задачи трех тел [5].

 

§ 2. Случай Солнце-Юпитер (m = 0.00095388)



2.1. Описание семейства. Для этого случая кусок семейства h был вычислен в [3, § 4] как семейство IR+J. В табл. 2 приведены данные о 35 критических орбитах вычисленного участка семейства h при
m = mJ [(   def) || ( = )]  0.00095388. Табл. 2 организована так же, как табл. 1, только вместо v1(T/2) и v2(T/2) даны значения x1(T/2) и y2(T/2). Кроме того, пары значений [(a)\tilde](T/2), [(e)\tilde](T/2) и [(a)\tilde]*(T/2), [(e)\tilde]*(T/2) разнесены в разные пары колонок. При этом более точные значения x1(T/2) для некоторых орбит суть

k

5

6

19

x1(T/2)

0.999999407087

0.999999537683

0.999999930558

 

 

 

 

k

20

33

34

x1(T/2)

0.999999944993

0.999999961994

0.999999969812

а более точные значения Trv для орбит 12 и 26 суть

Trv(12) = 1.99999842294,    Trv(26) = 1.99999646745.

(2.1)

В табл. 2 в колонках [(a)\tilde](T/2), [(e)\tilde](T/2) указаны только значения, где |[(e)\tilde](T/2)| 2. Аналогично, [(a)\tilde]* и [(e)\tilde]* даны только для |[(e)\tilde]*| 2. На рис. 2.1 изображены 6 критических орбит. Увеличение числа критических орбит при m = mJ по сравнению с m = 0 вызвано тем, что зачастую одной критической орбите при m = 0 соответствуют несколько критических орбит при m = mJ. Особенно это относится к критическим орбитам, на которых следы Tr и Trv равны ±2. Ведь при m = 0 на одной орбите происходит перескок следа (следов), включающий оба значения ±2, а при m > 0 значения следов ±2 принимаются на разных орбитах. В табл. 3 показано соответствие между критическими орбитами табл. 1 и 2. Там k1 - номер критической орбиты табл. 1 и k2 - номер критической орбиты табл. 2. Орбиты при m = mJ похожи на орбиты при m = 0, показанные на рис. 1.3. Используя табл. 3, можно определить номера орбит при m = mJ, которым соответствуют орбиты рис. 1.3.



2.2. Характеристики семейства показаны на рис. 2.1-2.4 в разных системах координат. При сравнении с соответствующими рисунками § 1 видно сходство, а иногда и почти полное совпадение. На характеристиках крестиками отмечены критические орбиты из табл. 2. Рис. 2.4 изображает характеристики семейства вблизи тела P2 в астрономических координатах [(a)\tilde]
*, [(e)\tilde]*:

 

~

e

 


* 

=

 x1 h2 |h2|


m

,    

~

a

 

* =

~

a

 


* 


m

=

 x1


m(|

~

e

 


* 

|-2)

,

(2.2)

где

x1 = x1-1,     h2 = y2-1

(2.3)

суть локальные координаты вблизи тела P2. При этом значения x1 и y2 берутся вблизи тела P2, т.е. x1(T/2), y2(T/2) и только для |[(e)\tilde]*| 2. Здесь значения |[(e)\tilde]*|-1 и [(a)\tilde]*=[(a)\tilde]* m суть эксцентриситет и действительная полуось гиперболической орбты пролета вблизи тела P2. Имеется почти полное совпадение рис. 1.5 и 2.4. Особенно на правом фрагменте. На левом фрагменте средняя ветвь имеет почти ту же вертикальную асимптоту, что и при m = 0, а вертикальная асимптота левой ветви сместилась вправо. Это означает, что чем больше [(a)\tilde]*, т.е. чем дальше от тела P2 пролетает тело P3, тем сильнее возмущение.



2.3. Период и следы. На рис. 2.5 показана зависимость нормированного периода [(T)\tilde] от координаты x1(0). Крестами отмечены критические орбиты из табл. 2. Видна аналогия с рис. 1.6. Только теперь период слегка растет на участках, где при
m = 0 он был постоянен. Теперь период монотонно возрастает на всем семействе.

На рис. 2.6 показана зависимость модифицированного плоского следа


~
Tr
 
= м
н
о
Tr,     если   |Tr| ≤ 2,
sign (Tr) (1+log2 |Tr|),     если   |Tr| > 2
(2.4)

от нормированного периода [(T)\tilde]. При сравнении с рис. 1.7 видно, что при m = mJ большие значения |Tr| имеются там, где при m = 0 были протяженные интервалы бесконечных значений. Узкие интервалы отрицательных бесконечных значений Tr при m = 0 теперь превратились в узкие интервалы небольших отрицательных значений Tr при mJ. Отметим, что вблизи [(T)\tilde]=2 и 4 значения следа Tr остаются слегка меньше, чем 2 (см. (2.1)). Это согласуется с вычислениями возмущений следа Tr на семействах EN, приведенными в [2, гл. 7 и табл. 2 приложения]. В табл. 2 приложения в [2] приведены возмущения Tr1 следа Tr=2+mTr1+... на семействах E±1/2 и E±1/4. В частности, для семейств E+1/2 и E+1/4 значения следа Tr1 указаны как Tr1+. На интервалах от орбиты 4 до орбиты 6 для E+1/2, т.е. для |e e| > 1-|[(e)\tilde]| 0.37, и от орбиты 11 до орбиты 13 для E+1/4, т.е. для |e e| > 1-|[(e)\tilde]| 0.6, значения Tr1+ отрицательны и на концах стремятся к -, но при e=1 сильнее, чем при e=-1. Соответственно, на рис. 2.6 вблизи [(T)\tilde]=2 и 4 значения следа Tr меньше слева, т.е. для меньших значений [(T)\tilde], и остаются меньше двух.

На рис. 2.7 показана зависимость вертикального следа [(Tr)\tilde]v от нормированного периода [(T)\tilde]. Видно соответствие с рис. 1.8. Однако для вертикального следа [(Tr)\tilde]v теория регулярных возмущений на семействах EN не построена, хотя ее можно построить. Чтобы разобраться в поведении [(Tr)\tilde]v вблизи [(T)\tilde]=2, графики [(Tr)\tilde]v в двух укрупненных масштабах показаны на рис. 2.8. Из него видно, что между орбитами 10 и 13 всюду [(Tr)\tilde]v < 2 и имеет два минимума (один - на орбите 12). Аналогично обстоит дело вблизи [(T)\tilde]=4 между орбитами 24 и 27.

Из рис. 2.6 и  2.7 и из табл. 2 видно, что линейная устойчивость на семействе h имеется только в трех интервалах: от начала до орбиты 3, между орбитами 11 и 13, а также между орбитами 25 и 27. Эти интервалы соответствуют участкам Ir, E+1/2 и E+1/4 порождающего семейства.



2.4. Пересечения с другими семействами. На участках, где
|Tr| 2 семейство h пересекается с другими семействами плоских периодических решений. В частности, на орбите с x1(0) 0.6 след Tr=-1 и происходит пересечение с локально трехкратным семейством i. По орбитам 1 и 2 семейство h пересекается с семействами a и c соответственно, которые заканчиваются на этих орбитах как локально двукратные. Поскольку Tr=2 только в тех орбитах, где константа Якоби C имеет экстремум (т.е. в орбитах 4, 8, 16, 22, 30), то cемейство h не пересекается с семействами асимметричных периодических решений.

На участках, где |[(Tr)\tilde]v| 2, cемейство h пересекается c семействами пространственных дважды симметричных периодических решений [5], которые пока слабо изучены.



2.5. Случай Земля-Луна
m = mM [(   def) || ( = )]  0.012155. Для этого случая Брук [6] вычислил 10 семейств симметричных периодических решений и опубликовал их с большой полнотой. В частности, cемейство h, обозначенное там A1, вычислено от начала чуть дальше орбиты 12. В [6] представлены подробные таблицы орбит семейства, а также - рисунки многих орбит, характеристики семейства в координатах x1,H=-C/2 и график плоского следа Tr как функции от x1(0). Эти результаты можно рассматривать как возмущения порождающего семейства. Их использовал Хенон [4, гл. 10, п. 10.4.7] как пример хорошего соответствия с порождающим семейством.

 

§ 3. Семейство h при m = 0.1



В табл. 4 приведены данные о 28 критических орбитах вычисленного участка семейства h при
m = 0.1. Она аналогична табл. 2. Для орбиты 10 более точные значения: x1(T/2)=0.999999154316, [(e)\tilde](0)=0.312369180923, [(a)\tilde]*=-0.0000201814. Для орбит 8, 9, 20 и 21 соответственно: [(a)\tilde](0)(8)=-1.290844776096, [(a)\tilde](0)(9)=-1.291462453008, [(a)\tilde](0)(20)=-2.183948330271, [(a)\tilde](0)(21)=-2.184061220002, и для орбиты 9 [(e)\tilde](0)=0.312455778459.

Орбиты аналогичны рис. 1.3. На рис. 3.1-3.4 показаны характеристики семейства в разных системах координат. Заметно отличие от соответствующих рисунков § 1 и § 2. На рис. 3.3 и 3.4 видно, что отличие от характеристик порождающего семейства возрастает вместе с [(a)\tilde](0) и [(a)\tilde]*(T/2), т.е. возмущение тем больше, чем дальше орбита от тела P1 или тела P2. На рис. 3.5 показана зависимость нормированного периода [(T)\tilde] от координаты x1(0). Заметен дальнейший отход от рис. 1.6, но зависимость здесь строго монотонна, как и на рис. 2.5. На рис. 3.6 и 3.7 видна дальнейшая эволюция следов в направлении возмущений, обозначившихся на рис. 2.6 и 2.7 по сравнению с рис. 1.7 и 1.8. Опять для б\'ольших [(T)\tilde], т.е. б\'ольших [(a)\tilde](0), отклонение от порождающих значений сильнее. Так у следа [(Tr)\tilde] кроме начального участка устойчивости имеются только четыре узких устойчивых участка. А у вертикального следа [(Tr)\tilde]v сильно выражены эффекты, которые заметны при m = mJ только в увеличенном масштабе на рис. 2.8.

В целом линейно устойчивы в плоском и вертикальном направлении только орбиты, принадлежащие трем участкам семейства: 1) от начала до орбиты 1; 2) от орбиты 2 до орбиты 3; 3) от орбиты 8 до орбиты 10.

На орбитах 1 и 2 происходят пересечения с семействами a и c.

 

§ 4. Семейство h при m = 0.2



В табл. 5, аналогичной табл. 4, приведены данные о 27 критических орбитах вычисленного участка семейства h при
m = 0.2. Для орбиты 20 более точные значения: x1(T/2)=0.999997451263, [(a)\tilde](0)=-2.06422013438, [(e)\tilde](0)=-0.000009046988. Для других орбит:

k

7

8

21

[(a)\tilde](0)

-1.115637023969

-1.116478994229

-2.064249299804

[(e)\tilde](0)

0.100598007243

0.100565693989

-0.000005716504

 

 

 

 

k

22

23

24

[(a)\tilde](0)

-2.068852563918

-2.069062897608

-2.087996577682

[(e)\tilde](0)

0.000027544242

0.000027134384

-0.000187286305

Орбиты похожи на орбиты рис. 1.3. На рис. 4.1-4.4 изображены характеристики семейства, а на рис. 4.5-4.7 показаны нормированный период и следы. На всех рисунках видна эволюция семейства. У плоского следа [(Tr)\tilde] появился дополнительный участок линейной устойчивости. У вертикального следа [(Tr)\tilde]v расширились интервалы устойчивости.

В целом линейная устойчивость периодических решений семейства h согласно табл. 5 имеется в 6 интервалах: 1) от начала до орбиты 1; 2) между орбитами 2 и 3; 3) между орбитами 8 и 9; 4) между орбитами 13 и 14; 5) между орбитами 16 и 17; 6) между орбитами 26 и 27.

Заключение. При возрастании m от нуля семейство h отходит от порождающего тем больше, чем дальше от тела P1 (или P2) находится орбита (т.е. чем больше [(a)\tilde](0) или [(a)\tilde]*(T/2)). Это справедливо как для координат орбит, так и для их следов. Для регулярных возмущений это согласуется с табл. 1 и 2 приложения в [2], где представленные возмущения для семейств Gp и EN возрастают по модулю вместе с ростом a.

 

Литература


1. Брюно А.Д., Варин В.П. О семействах периодических решений ограниченной задачи трех тел // Препринт N 10. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2005, 20 с.
2. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990. 296 с.
3. Брюно А.Д. Нулькратные и обратные периодические решения ограниченной задачи трех тел // Препринт N 93 Института прикладной математики, М.; 1996. 32 с.
4. Henon M. Generating Families of the Restricted Three-Body Problem. Springer, Berlin etc., LNP NsM 52, 1997. 278 p.
5. Bray T.A., Goudas C.L. Three-dimensional periodic oscillations about L1, L2, and L3 // Advances in Astronomy and Asprophysics (Z. Kopel ed.). Academic Press, N.Y. and L., 1967, v. 5, p. 71-130.
6. Broucke M.R. Periodic Orbits in the Restricted Three-Body Problem with Earth-Moon Masses. NASA Technical Report 32-1168. Pasadena, 1968, 92 p.





File translated from TEX by TTH, version 3.40.
On 27 Sep 2005, 17:06.