Содержание

Модель деформируемого пневматика  3

Модель колеса. 3

Модель свойств оболочки колеса. 4

Формальная постановка задачи. 5

Модель газа внутри оболочки колеса. 6

Модель действия осевого момента. 7

Необходимость возникновения складок оболочки. 7

Возможная форма нитей оболочки. 8

Механизм передачи момента  от колеса оболочки к её периферии. 9

Расчёт сил и моментов  10

Условия равновесия неподвижного колеса. 10

Условия равновесия подвижного колеса. 10

Метод расчёта "От геометрии к силам" 11

Простейший случай деформирования тора – "камень – перевёртыш" 11

Геометрическая зависимость. 12

Вычисление сил наезда на камень. 13

Более сложный случай: колесо стоит на плоскости или на уклоне. 14

Общие соображения. 14

Модель взаимодействия оболочки колеса с плоскостью.. 15

Колесо, стоящее на уклоне. 18

О боковом смещении колеса  19

Модель деформаций трёхкамерного пневматика  21

Структура сил и объёмов трёхкамерного колеса. 21

Расчётная схема. 22

Примеры результатов расчетов. 25

Расчёт однокамерного колеса. 25

Расчёт трёхкамерного колеса. 26

Заключение  27

Использованная литература  27

Приложение 1. 28

Приложение 2. 29

Модель деформируемого пневматика

Приведенная ниже простая модель может быть уточнена по работам [1 – 12].

Модель колеса

Рассмотрим пневматическое колесо с давлением Р, которое в ненагруженном состоянии представляет собой тор с центральным радиусом R_ц и меридиональным радиусом r_м, надетый на жесткий диск радиуса r_Д с обхватом тора по его радиусу r_м с углом 2j_Д (рис.1). Тогда наибольший (экваториальный) радиус ненагруженного тора равен R_Э =R_ц + r_м, а хорда L_Д =2r_мsin(j_Д).

Если такое колесо поставить на плоскость и нагрузить вертикальной силой F, то новыми параметрами его равновесного положения будут высота оси от опорной поверхности H<R_Э и новое давление внутри пневматика P_H (рис.2). Приложенная сила F уравновешивается силами давления и силами упругости оболочки пневматика. При отсутствии сил упругости в случае нерастяжимой безмоментной оболочки осевой клиренс H будет наименьшим.   Эта простейшая модель будет рассмотрена в первую очередь, - она представляет особый интерес, поскольку позволяет оценить (и в статике, и в динамике) наихудшие параметры, как режима движения такого колеса, так и конструктивных условий работы оболочки пневматика.

Модель свойств оболочки колеса

Введём определения для некоторых, используемых ниже понятий.

Тороидальная оболочка (далее просто "оболочка") – полое тело, ограниченное двумя достаточно близкими поверхностями (не обязательно эквидистантными), с их серединной ("свободной") поверхностью в виде тора.

Безмоментная оболочка (которая предполагается не имеющей толщины) – это оболочка, не сопротивляющаяся локальному изгибу в любом её месте и по любому направлению [3]. В такой оболочке кроме отсутствия моментов сопротивления её изгибу отсутствует и память исходного состояния, - если её сплющить, она остаётся в таком состоянии, не выпрямляясь.

Нерастяжимая оболочка (которая тоже предполагается не имеющей толщины) – это оболочка, не допускающая никакого изменения площади её локальных элементов. Заметим, что нерастяжимость, обычно предполагает и несжимаемость элементов поверхности, хотя эти требования в ряде случаев противоречат свойствам дифференциальной геометрии поверхностей.

Ниже предполагается, что у пневматика с тонкой оболочкой типа композитной ткани (с её малым сопротивлением изгибу и большим сопротивлением касательным силам) влияние сил сопротивления деформациям оболочки мало по сравнению с силами давления, определяемыми геометрическими формами взаимодействия пневматика с опорной поверхностью. Это приводит к модели нерастяжимой безмоментной оболочки, – оболочки, не имеющей толщины, не сопротивляющейся локальному изгибу в любом её месте и по любому направлению и не допускающей увеличения площади её локальных элементов. При деформациях такой оболочки под действием внешних и внутренних сил полностью исключаются силы упругости. Упомянутая возможность уточнения модели потребуется лишь при учёте сил упругости оболочки, соизмеримых с силами давления, или - в расчёте динамики быстрого движения. Медленное движение тонкой оболочки позволяет свести её модель к учёту только геометрических ограничений деформирования тора.

В свою очередь, учёт чисто геометрических деформаций нерастяжимой оболочки тора, как было упомянуто, противоречит требованиям диф­ференциальной геометрии. В частности, тор, как и все выпуклые тела вращения, не изгибаем, т.е. не может в принципе повторить любую соприкасающуюся с ним поверхность опорного рельефа. При этом свойство нерастяжимости приведет к локальным спрямлениям не выпуклых элементов поверхности опоры, но неизгибаемость тора, возможно, потребует по необходимости сокращения его опорной площади.  Такое сокращение площади опоры изменяет равновесие сил и обязательно должно учитываться при расчётах

Именно по этой причине в приведенном определении нерастяжимости поверхности предполагается допустимым, в случае необходимости, уменьшение её локальной и суммарной площади. Физическая модель способа сокращения площади действия сил опорных реакций большого значения не имеет. Например, наиболее адекватной реальности моделью является возникновение складок в определенных местах поверхности тора, что вполне допустимо в условиях безмоментного приближения.

Формальная постановка задачи

Имеется тороидальная безмоментная и нерастяжимая, оболочка с внутренним избыточным давлением Р, ограниченная со стороны оси тора на углах 2j_Д = 2p/n его меридиональных сечений соответствующей частью другой жесткой тороидальной поверхности, эквидистантной поверхности оболочки ("граничная поверхность"). Геометрические параметры оболочки и граничного условия показаны на рис.1. Угол j_Д в каждом меридиональном сечении измеряется от направления на ось тора. Этим параметрам соответствуют площадь свободной поверхности оболочки и объём её полости, равные соответственно:          S₀=4p²r_м(R_ц- R_ц/n + r_м sin(p/n)) и V₀=2p²R_цr_м².

При осевом нагружении оболочки в её экваториальной плоскости силой F (как это показано на рис.2) под действием сил реакции опоры внутренний объём оболочки уменьшается на величину DV, в результате чего давление возрастает на величину DP [1]. Эффективная площадь поверхности при этом, как было упомянуто, может несколько сократиться за счет образования складок.

При нагружении оболочки такой силой F и, кроме того, крутящим моментом M, приложенным к её граничной поверхности, чисто геометрическое свойство нерастяжимости оболочки приводит к возникновению касательных сил по её поверхности, которые под действием момента M вызывают вращение оболочки вокруг оси тора. С этим связано дополнительное уменьшение объема полости оболочки и увеличение давления в ней.

При таком вращении - в зависимости от условий трения в точках контакта оболочки с опорным рельефом - возникают различные режимы качения оболочки по опорной поверхности. Достаточно большой сумме касательных сил реакции соответствует качение без буксования. При небольших (относительно действующего момента) коэффициентах трения k_тр, и равномерно распределенных сил трения по поверхности контакта, симметричной относительно экваториальной плоскости тора, возникает качение с буксованием или только буксование. Но если силы реакций трения в точках опоры создают момент относительно любой оси, принадлежащей экваториальной плоскости тора, дополнительно возникает закручивание оболочки вокруг этой оси и возможно возникновение режима вращения оболочки с крутильными колебаниями типа "шимми" [2].

Заметим ещё раз, что здесь описывается чисто геометрическая постановка задачи о моделировании взаимодействия сил деформирования тора, без учёта сил упругости его оболочки, но с учётом сил упругости газа внутри оболочки пневматика. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в определении параметров DV(F,M), DP(F,M) и соответствующей величины нового осевого клиренса H(F,M) в условиях стояния или качения оболочки. При этом, в случае медленного движения кинематические и динамические параметры режима качения можно определять в квазистатическом приближении при разных предположениях относительно состояния газа.

Модель газа внутри оболочки колеса

Построим далее газокинетическую функцию  P(V) в полости оболочки пневматика. Обозначим давление и объём газа внутри оболочки ненагруженного пневматика соответственно P₀ и V₀, а искомые давление  и объём после нагружения - P=P₀+DP  и V=V₀-V_сег. Тогда в изотермическом случае сжатия идеального газа      

P = P₀V₀/(V₀-2V_сег.)=» ,     где V₀=2p²Rr².

Таким образом, в изотермическом случае текущее давление определяется относительным изменением объёма оболочки при наезде пневматика на  камень. Например, при 10-процентном изменении объёма давление так же изменится на 10%.

Более точная зависимость изотермического давления от объёма оболочки пневматика с учетом параметров a, b Ван-дер-Ваальса для неидеальных газов имеет вид:

P =;

 Однако изотермическое сжатие представляет собой мало интересную модель, ввиду того, что для его реализации требуются либо сверх-медленные процессы, либо очень малый коэффициент теплопроводности. Более интересной является модель другого крайнего случая - адиабатического сжатия, протекающего без обмена тепловой энергией с внешней средой.

При адиабатическом сжатии газа оболочки зависимость P(V) иная:

P ₌   (g = – показатель адиабаты).

Реальный процесс, скорее всего, будет происходить с некоторым обменом теплотой с внешней средой. Поэтому наиболее адекватной моделью, по-видимому, является модель политропного процесса с единственным предположением постоянства только теплоемкости газа

P ₌ ,

где n= – показатель политропы для модели процесса сжатия газа оболочки, а теплоемкость  (M_г и m_г – масса и молекулярный вес газа). В случае изменения внутренней температуры газа при неизменном объёме оболочки начальное давление P₀, измеренное при температуре T₀ изменится в отношении температур:  P_0T=P₀

Модель действия осевого момента

Приложим теперь к оси колеса момент`M и рассмотрим схему сил, действующих в его нерастяжимой и безмоментной оболочке.

Необходимость возникновения складок оболочки

Прежде всего, исследуем проблему: что происходит с тонкой оболочкой тора на жестком диске при её закручивании осевым моментом и равновесным ему противоположным моментом сил реакций? Для этого рассмотрим простейший случай  сил реакций, равномерно распределённых по всей линии внешней (экваториальной) окружности тора. Тогда поставленный вопрос аналогичен вопросу о возможности изометричного преобразования ("изгибания") оставшейся поверхности тора в некую новую осесимметричную поверхность с выполнением граничных условий на экваториальной окружности и на границах жесткого диска.

Понятно, что без удлинения экватора тора нельзя вытянуть вдоль радиуса тора дуги меридианов тора (пусть, - с изменением их формы). Но остаётся вопрос, можно ли совместить такое растяжение дуг меридиональных сечений с их одновременным закручиванием вокруг оси тора?

Для большей очевидности рассуждений представим экватор тора в виде тонкого неизгибаемого, несжимаемого и нерастяжимого кольца, а оболочку - виде ткани с нерастяжимыми нитями вдоль меридианов и параллелей тора. При этом выделим два случая:

- все нити "склеены" друг с другом так, что и линейный элемент ds, и площадь любого замкнутого  контура нерастяжимы, а если сжимаемы, то путем образования "морщин" или складок ("нерастяжимая ткань");

- нити скреплены только в узлах так, что может быть допустимы не противоречащие условиям изометрии нитей сдвиговые деформации с изменением площади линейных элементов ("нерастяжимая сеть"). 

Очевидно, что одним из условий допустимости преобразования закручивания тора (без потери устойчивости его оболочки) является сохранение длины закрученных в новой позиции бывших меридиональных нитей тора (точнее – их частей вне диска колеса) с одновременным сохранением его экваториального радиуса. Другим условием является сохранение новыми меридиональными сечениями тора формы дуг окружности (в силу симметрии действия нормальных сил внутреннего давления оболочки). Это возможно лишь в том случае, когда длина дуг и кривизна окружностей новых меридианов поверхности оболочки, оставаясь (в силу симметрии) главной кривизной, уменьшается, в то время как длина исходных нитей-меридианов и кривизна параллелей (другая главная кривизна) сохраняются. Но тогда изменяется внешняя кривизна (произведение главных кривизн) оболочки, которая в силу теоремы Гаусса должна сохраняться при изгибании.

Итак, закручивание торовой оболочки моментом вокруг оси тора с реакцией момента на экваториальной окружности или невозможно, или оно не есть изгибание поверхности тора и должно приводить к сокращению площадей её линейных элементов с уменьшением площади суммарной поверхности оболочки. В случае нерастяжимой ткани это должно приводить к образованию складок, а в сетевом приближении – к сдвигу линейных элементов вдоль поверхности тора с сохранением длин их сторон.

Возможная форма нитей оболочки

Что происходит в случае закручивания сети, натянутой на тор, путём вращения экваториального обруча относительно диска оболочки с одновременным снижением равновесного давления внутри тора?

Всегда полезно представить предельные случаи. Пусть диск оболочки имеет нулевую ширину (т.е. момент сообщается оболочке внутренним экватором тора, который тоже предполагается неизгибаемым, несжимаемым и нерастяжимым тонким кольцом). Тогда предельной формой такого закрученного тора является плоский кольцевой диск (рис.4).

Какую форму могут принять меридиональные нити тора, нагруженного осевым моментом (без осевых сил), при таком предельном закручивании? Форма прямой линии, если она вообще возможна, должна удовлетворять следующим условиям:

 Её длина должна равняться pr, а радиус r =R-r+2kr любой окружности параллели тора с его параметром k (R-r£r£R+r и 0£k£1) должен удовлетворять условию:

(r·arccos(1-2k))²= (R-r+2kr)²+(R-r)²-2(R-r+2kr)( R-r)cosa        или

r² ((arccos(1-2k))² –4k²) +(4r( R-r)(1-cosa)k +2(R-r)²(1-cosa)=0

(здесь a - центральный угол от начала меридиональных нитей до их пересечения с окружностью параллели радиуса r).

Это трансцендентное квадратное уравнение определяет зависимость a от k для выпрямленной меридиональной нити. Дискриминант этого уравнения     8r²( R-r)²(1-cosa)[2(1-cosa)–((arccos(1-2k)/k)² -4)] может быть <0.

Иными словами, меридиональные нити в предельном случае могут закручиваться не по прямой, а по спирали - для сохранения изометрии узлов сети.

В более общем случае ненулевой ширины колеса боковые поверхности оболочки тора должны вырождаться в две линейчатые конические поверхности с общим ребром в виде окружности  стандартного экваториального радиуса и наклонными винтовыми линиями  - геодезическими линиями этих конических поверхностей, образованных вытянутыми до предела меридиональными нитями. При этом площадь конусов заведомо меньше доступной для деформации площади оболочки – свободной от связи с колесом поверхности ненагруженного тора.

Такая ситуация не противоречит сетевой модели оболочки, - здесь линейные элементы сети тора регулярно сдвигаются вдоль его параллелей. Но в физически более правильном случае герметичной и нерастяжимой ткани по необходимости должны образовываться намотанные на конусы складки - вдоль геодезических винтовых линий.

Механизм передачи момента  от колеса оболочки к её периферии

Что передаёт усилия из центра на периферию колеса? В рассмотренном предельном равновесном случае максимально закрученной оболочки в виде плоского диска со складками и с нулевым внутренним давлением моментные усилия от диска колеса оболочки передаются к внешнему экваториальному обручу прямолинейными силовыми линиями, создаваемыми выпрямленными меридиональными нитями сетки или (для сплошной оболочки) образованными натяжением материала "дна" складок. Для случая конусообразного диска со складками усилия передаются вдоль геодезических винтовых линий, образованных аналогичными способами.

Если внутри оболочки существует газ, то на максимальном его давлении равновесного закручивания неподвижного пневматика механизм передачи усилий тот же: на поверхности оболочки возникают равновесные линейные силовые образования в виде наиболее натянутых элементов её материала, радиальные и тангенциальные составляющие сил которых являются внутренними силами (они уравновешиваются силами давления), а моменты тангенциальных сил реакций уравновешивают осевой момент.

Совершенно иной механизм передачи осевого момента в случае пневматика, катящегося по опорной поверхности. В этом случае действуют три фактора:

- взаимодействие осевого момента и момента сил опорных реакций закручивает оболочку с образованием складок, увеличивая потенциальную энергию сил внутреннего давления;

- давление внутри оболочки, стремясь увеличить внутренний объём, препятствует образованию складок на поверхности надутой оболочки;

- осевой момент, закручивая оболочку в направлении качения, нарушает симметрию её формы, создавая впереди перед опорной площадкой дополнительную складчатую выпуклость и натягивая материал задней части оболочки, стремясь "оторвать" его от опорной площадки.

Последний фактор приводит к увеличению площади оболочки пневматика впереди оси его вращения и – к сокращению площади в его задней части. В результате несимметричности площадей относительно оси колеса силы внутреннего давления создают момент сил относительно оси вращения колеса, который поворачивает колесо в направлении уменьшения потенциальной энергии сил внутреннего давления, т.е. -  в направлении качения под действием приложенного осевого момента. Заметим, что эти процессы происходят на "микроуровне" – при образовании минимальных складок, как только получаемый момент окажется достаточным для поворота колеса пневматика.

Таким образом, если пневматик может катиться, то крутящий момент будет вращать колесо через касательные проекции сил микро-растяжения материала оболочки. Ниже в первом приближении будет предполагаться, что в случае качения вращающий момент передается силами давления без образования складок на поверхности оболочки, т.е. - с сохранением её исходной формы тора вне окрестности взаимодействия с опорной площадкой.

Расчёт сил и моментов

Условия равновесия неподвижного колеса

Для простейшего случая колеса, нагруженного только вертикальной силой F, и стоящего неподвижно, отметим главное условие равновесия вертикальных сил: интеграл сил давления по площади той части оболочки, которая контактирует с опорной поверхностью, должен быть равен действующей силе F. Иными словами, - величине силы F должно быть равно произведение величины давления на площадь горизонтальной проекции опорной части оболочки. Заметим, что при этих условиях поверхность опорной площадки должна быть симметрична относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось колеса. Иначе в направлении качения будет действовать боковая сила, и колесо или не будет неподвижным, или кроме вертикальной силы к оси колеса должен быть приложены боковая сила или тормозной момент.

Для подобного случая стоящего колеса, нагруженного на оси только силой`F общего вида (без осевого момента), следует рассматривать две проекции интеграла от сил давления пневматика по площади контакта с опорной поверхностью – в направлении, коллинеарном направлению действия вертикальной составляющей силы`F ("поддерживающие силы" F), и - в нормальном к этому направлении ("боковые силы" ). Если сумма боковых сил давления`P_Б в опорных точках колеса не равна нулю, то возникает или сила трения, деформирующая оболочку, или упомянутая сила "скатывания" стоящего колеса с опорного рельефа, которым должна противодействовать сила реакции на оси стоящего колеса или тормозной момент, равный моменту сил реакции опоры (чтобы не возникло движение ввиду нарушения условий равновесия боковых сил или моментов на оси колеса).

Простейшими случаями равновесного в боковом направлении опорного взаимодействия стоящего колеса являются случаи симметричных относительно силы`F опорных поверхностей рельефа (к ним относятся, прежде всего, опорная плоскость и рассматриваемый ниже камень-перевёртыш). В этих случаях, при любой форме опорного рельефа величина поддерживающей силы`P=òPdS определяется лишь площадью проекции на плоскость, нормальную направлению действия силы`F.

Условия равновесия подвижного колеса

В более сложном случае качения колеса требуемая горизонтальная сила тяги (или - развиваемая сила торможения движения) определяются условием их равновесия с силой горизонтальной реакции опоры. Последняя равна суммарной горизонтальной проекции касательных сил реакций от трения, суммируемых по площади контакта с опорной поверхностью, пропорционально произведению величины давления на элементы площади контакта.

Величина этих касательных сил реакций от трения определяется моделью коэффициента сухого трения материала пневматика с опорным грунтом. Заметим, что для существования касательных сил реакций трения должно выполняться предположение: либо существует сила, приложенная к оси колеса и неколлинеарная равнодействующей сил реакции опоры, либо действует момент, развиваемый тяговым двигателем, вокруг этой оси.

В свою очередь, требуемый осевой момент тягового двигателя для неподвижного или равномерно катящегося колеса определяется величиной суммарного момента (относительно оси колеса) упомянутых вертикальных и горизонтальных опорных сил реакций и касательных сил трения. Это показано, например, на рис.4 для случая наезда на камень (см. ниже).

Метод расчёта "От геометрии к силам"

Приведенные условия позволяют получить неявные функции f(P,S,V,F)=0 и f(P,S,V,M)=0, которые распадаются на композицию трёх функций: 

 геометрическую          f₁(S,V)=0      или  V=V(S);

 газокинетическую       f₂(P,V)=0      или   P=P(V);

 механическую              f₃(F,P,S))=0   или   F=F(P,S),

                                      f₄(M,P,S))=0  или  M=M(P,S),

которые зависят только от параметров соответствующей модели. Это  счастливое обстоятельство, - оно позволяет построить алгоритм процедуры последовательного определения действующих на оси колеса сил и моментов, выбирая множество расчётных геометрических форм деформации пневматика (обратную зависимость получить значительно труднее).

Простейший случай деформирования тора – "камень – перевёртыш"

Этот расчётный случай полезен для освоения газодинамических и термодинамических моделей состояния полости оболочки при её деформировании. Итак, пусть на горизонтальной плоской поверхности лежит выпуклое абсолютно жесткое тело (далее - "камень"), форма и объём которого совпадают с формой и объёмом тяжелой жидкости, если её налить в некотором количестве внутрь оболочки. Такие камни, поверхность которых в её некоторой части повторяет деформированную поверхность тора, мы будем называть "изометричными" или, более образно, "перевёртышами". Чтобы оправдать это название рассмотрим случай, когда на такой камень поставлена соответствующая ему оболочка, нагруженная вертикальной силой F (рис.3):

Простота такой модели деформации тороидальной поверхности определяется тем, что в рассматриваемом случае (безмоментной и нерастяжимой оболочки) деформируется лишь та её часть, которая прилегает к камню, а вся остальная поверхность не изменяется. Действительно, если мысленно отсечь часть поверхности тора ниже опорной плоскости, то поверхность отрезанной части можно "вывернуть наизнанку" (т.к. полученная при этом поверхность совпадает с поверхностью тора в противоположной отрезу центрально симметричной её части, а линии отреза "по построению" совпадают)

Если полученный таким способом кусок поверхности тора опять приклеить к тору, то полученную оболочку можно поставить на камень-перевёртыш без новых деформаций, т.к. в силу определения формы такого камня его внешняя поверхность и новая поверхность оболочки не только изометричны (т.е. - длины их соответствующих линий по всем направлениям равны), но и более того, - они совпадают. Заметим, что размеры этого "удобного" камня ограничены условием, что секущая плоскость (или налитая в оболочку тяжелая жидкость) не должна пересекать окружность центрального радиуса R_ц тора, - иначе камень не поместится внутри оболочки.

Геометрическая зависимость

В рассматриваемом случае камня-перевёртыша имеется относительно простое решение геометрической зависимости V=V(S) – через объём сегмента тора V_сег (но - без изменения формы других частей оболочки, - что и определяет "простоту" предлагаемого решения). Для того, чтобы найти объём, вытесненный камнем-перевёртышем из полости оболочки, рассмотрим сегмент, отсекаемый от тора с параметрами R_ц=R и r_м=r на расстоянии H от его центра. Объём этого сегмента V_сег определятся интегрированием по z площадей плоских сегментов кругов, соответствующих окружностям параллелей тора.

Радиусы этих окружностей r и углы a раствора их секторов для соответствующих сегментов в зависимости от координаты z определяются из (см., также, Приложение):               

= 2arccos.

Тогда искомый объём тороидального сегмента (или - камня перевёртыша) равен:                   V_сег==

=.

Вытесняемый тороидальным камнем объём 2V_сег(R,r,H) является функцией трёх переменных, которые должны удовлетворять следующим условиям:

rR;  и   R<HR+r;

 которые определяют область существования функции V_сег(R,r,H).

Вычисление сил наезда на камень

В описанном выше приближении высокого давления в катящемся пневматике рассмотрим случай наезда оболочки на камень перевёртыш. Легко показать, что в любой момент процесса обтекания оболочкой этого камня выполняется условие вытеснения объёма пневматика путём геометрического отражения некоторого сегмента тора внутрь оболочки.

Рис.5 Схема сил и моментов при движении пневматика по камню

   

Действительно, любая часть поверхности камня в форме сегмента тора является поверхностью тора, а её зеркальное отражение совпадает (если мысленно убрать камень в текущей позиции колеса) с вытесненной камнем частью тора (т.е. – той его поверхностью, которая соприкасается в текущей позиции с поверхностью камня). Поэтому в каждый момент наезда колеса на камень-перевёртыш существует плоскость основания текущего сегмента тора, нормаль к которой определяет направление силы реакции, отражающей  давление пневматика и препятствующей наезду колеса на камень (см. рис.5).

Для определения площади опорной проекции камня-перевертыша проинтегрируем по y уравнение сечения тора в основании сегмента в плоскости Y-Z (см. Приложение) в виде:    z(y,H):   z=.

Интегрирование следует выполнить в пределах

±y_max=±= ±a.

Используя симметрию отрезков сечения

z(y)Î ±[0, z_max==b],       имеем: S_осн=4

В качестве оценки величины искомой площади основания сегмента, по-видимому, можно использовать площадь аппроксимирующего её эллипса с полуосями a=y_max и b= z_max:   S_осн» S_э=pab.

         Тогда - для заданных размеров колеса R и r, начального давления P₀(T₀), показателя политропы газа n и температуры газа T - имеем значение поддерживающей силы F пневматика (с безмоментной оболочкой), стоящего на изометричном для тора камне с его объемом:  V_сег(R,r,H)

(*)

F ₌

Величина этой силы определяется по формуле (*), с переменным значением параметра H, который меняется от величины R до величины R-h, где h – высота камня (или – сегмента тора в момент, когда сила реакции вертикальна). 

Более сложный случай: колесо стоит на плоскости или на уклоне

Общие соображения

Знание давления внутри оболочки пневматика позволяет построить модель сил взаимодействия колеса с опорной плоскостью - F(P,S). Представляют интерес два основных расчётных случая: колесо, стоящее на опорном рельефе, и колесо, катящееся по опорному рельефу, когда на его оси приложены тянущая сила и/или крутящий момент. Как было сказано главным условием механического равновесия является равенство силе`F и моменту`M на оси колеса соответствующих интегралов по площади контакта с опорной поверхностью, от нормальных и касательных сил в точках контакта.

В таком же приближении модели высокого давления в пневматике рассмотрим предварительно случай колеса, стоящего на плоскости. В этой простейшей модели форма оболочки остаётся неизменной везде кроме небольшой опорной площадки колеса, площадь которой по предположению равна площади основания "срезанного" в опоре сегмента тора. Требуемое в этой модели сокращение площади поверхности тора реализуется в виде морщин и/или образования складки.

Параметры нагружения оболочки в этом случае определяются соотношением, аналогичным (*) для стояния на камне перевёртыше, с той разницей, что вытесняемый объём пневматика в этой модели равен не удвоенному, а единичному объёму V_сег(R,r,H) "срезанного" сегмента тора:   

(**)

F ₌

Эта модель, при всей её умозрительности, интересна тем, что позволяет получить оценку сверху для высоты H оси колеса, нагруженного силой F и катящегося по плоскому опорному рельефу.

Реальная высота оси колеса по необходимости должна быть несколько меньше. Действительно, запас площади оболочки позволяет расширить площадь опоры в пределах условий нерастяжимости элементов оболочки, понизив, тем самым, и высоту оси, и давление, требуемое для поддержания силы F, а значит - и значение потенциальной энергии колеса. Это приводит к изменениям формы оболочки в районе её контакта с опорной поверхностью – разным при разных предположениях о характере взаимодействия с внешней средой. Простейшим взаимодействием является нагружение оболочки колеса, стоящего на плоскости вертикальной силой при невысоком давлении внутри оболочки. Рассмотрим этот случай подробнее.

Модель взаимодействия оболочки колеса с плоскостью

В предположении безмоментной оболочки тора и колесе нулевой ширины меридиональные сечения оболочки, взаимодействующие с опорной плоскостью, должны состоять из трёх частей: опорной прямой и двух симметричных дуг окружностей, равномерно "распираемых" внутренним давлением по нормалям к элементам сечения.

Для определённости рассмотрим, прежде всего, одну из симметричных половин центрального меридионального сечения в состоянии опоры. Пусть длина половины опорной линии равна b, тогда длина дуги окружности равна pr-b. Радиус дуги окружности и высота меридионального сечения h связаны для двух крайних случаев соотношениями, вытекающими из геометрических обстоятельств сопряжения двух частей меридионального сечения - опорной прямой и дуги окружности (рис.8):

Если дуга окружности гладко сопрягается с опорной прямой, то:

;

Если дуга окружности минимального радиуса сопрягается с опорной прямой под некоторым углом, то:   4(rp-b)²-(pb)²=(ph)².

Из этих случаев следует выбрать тот, в котором изменение высоты h (а следовательно и работа, производимая силой F) меньше.

Из сравнения положения центров дуг на левой и правой половинах рис.8 видно, что во втором случае высота h больше. Это означает, что безмоментная оболочка под действием сил давления в центральном меридиональном сечении не будет иметь гладкое сопряжение с плоской опорной поверхностью.

В этом случае высота сечения и радиус дуги равны:       h=,  r_д=r-b/ p .  

При этом высота оси колеса будет равна H= R-r+h.

Параметры соседних сечений вычисляются по параметрам b и y из условия, что при смещении вдоль границы диска оболочки на угол y высота h_м в плоскости соответствующего сечения от диска до опорной плоскости увеличится до значения h_м=H/cosy -(R-r).  Тогда новое значение b_м определяется из условия b_м+pr_дм=pr (т.е. r_дм=r-b_м/p), где b_м находится из решения квадратного уравнения

                 b_м²(p²-4)+8pr b_м-p² (4r²- h_м²)=0.

b_м= = b_м(b,y).

Проверка этого выражения на крайних случаях даёт: при нулевой нагрузке на ось колеса (F=0),- h=2r, и b=0; а при максимальной нагрузке F, такой, что h=0,- поперечник площади опоры центрального меридиана b=.

Последний случай особенно интересен, он объясняет, почему не может быть b=pr при h=0. Действительно, когда предельная нагрузка F на ось колеса прижимает его к опоре, то полученная зависимость H(b) определяет избыток длины меридионального сечения, сохраняющего под действием давления форму дуги окружности (рис. 8).

Из условий последовательного по углу y увеличения расстояния h_м меридиональных сечений от диска колеса до опорной плоскости находятся параметры деформации меридиональных сечений, пока b_м не превратится в нуль.         Это произойдёт при h_м=2 r_дм, и r_дм=r, когда долгота y=arccos(H/(R+r).

При этом, форма меридиана оболочки в таком крайнем сечении, когда b=0; в соответствии с приведенными выше соображениями должна стать окружностью меридиана ненагруженного тора радиуса r.

         Но какую форму будут иметь соседние меридианы оболочки? Ответ зависит от модели поведения экваториальной дуги свободного тора при её прижатии к опорной плоскости. Если принята модель возникновения складок в площадке опоры, то оставшаяся часть оболочки сохраняет форму тора (см. рис.7). Но если предположить сохранение длины экватора в продольном размере опорной площадки (это требует нарушения условия концентричности окружностей внутреннего и внешнего экваторов оболочки), то форма меридианов оставшейся части оболочки определяется из условий b=0 и h_м>2r.

Приведенные соотношения простейшей модели тонкого колеса распространяются на общий случай колеса, связанного с оболочкой по некоторой дуге меридионального сечения r_м2j_Д (как это показано на рис.1). Для этого геометрическое условие  b_м+pr_дм=pr следует заменить на b_м+(p-j_Д)r_дм=pr, и учесть условия равновесия каждого меридионального сечения под действием сил давления и силы F на ободе колеса. Эти условия в совокупности определяют в каждом сечении ширину b_M опоры и радиус дуги окружности свободной части меридиана.

Полученная таким образом модель геометрии безмоментной оболочки однозначно определяет нужные площади и объёмы, а при выбранном давлении P₀ – поддерживающую силу F (см., также, Приложение 2).

Колесо, стоящее на уклоне

При стоянии на уклоне под действием равновесного момента или силы на его оси, порождаемая сила реакции трения на площади опоры от сил вертикальной нагрузки, уравновешивает горизонтальные и вертикальные проекции сил, и колесо остаётся неподвижным. Избыток момента или тянущей силы порождает увеличение сил реакций. Это приводит к движению колеса вверх по уклону в моделе равновесия сил и моментов в квазистатическом приближении движения.

         В более ранний момент первого контакта с уклоном в процессе движения по горизонтальной опорной поверхности под действием равновесного момента возникает горизонтальная проекция торможения нормальной силы этого контакта. Для её преодоления требуется увеличение тягового момента колеса до получения равновесия двуопорных сил давления и сил реакций трения. По мере наезда на уклон этот момент растёт до равновесного значения, соответствующего схеме сил, показанных на рисунке 10.

Для увеличения сил трения при движении по уклону или в других двигательных ситуациях в конструкцию колеса вставляется цилиндрическая беговая дорожка с грунтозацепами [8] (рис.11). Модель деформации такого колеса отличается от модели тора только учётом длин меридианов, площади опоры и объёма, добавляемых не изгибаемой цилиндрической вставкой.

 О боковом смещении колеса

Рассмотрим геометрию тора при его боковом смещении под действием только горизонтальной силы. Вначале рассмотрим случай, когда контактная площадка, сформированная под действием сил до возникновения бокового усилия, не может оторваться от опорной поверхности. Это, довольно умозрительное предположение, тем не менее, имеет смысл для лучшего понимания процессов боковой устойчивости колеса с одной стороны, а с другой, - ввиду выполнения этого условия, когда на внешней экваториальной поверхности колеса имеется несгибаемая цилиндрическая вставка (см. ниже).

В этом случае любое боковое смещение оси колеса приводит к "наезду" на опорную поверхность избытка поверхности оболочки спереди (относительно направления действия силы) и вытягиванию её поверхности сзади. Это, по необходимости, вызывает появление опорной площадки даже в случае отсутствия вертикальных сил (при сцеплении ненагруженного тора с опорной поверхностью в единственной точке внешнего экватора) и момента пары сил сцепления колеса с грунтом и сил на оси колеса.

         Для компенсации этого момента необходимо прикладывать соответствующий момент на оси колеса. При этом обязательно возникает сокращение объёма полости тора, ограниченного в каждом меридиональном сечении постоянной длинной его периметра, в его конфигурации состоящей из двух хордовых дуг окружностей и прямолинейного участка между ними. Геометрия центрального сечения для простейшего колеса с плоским диском и цилиндрической вставкой нулевой ширины (которая, тем не менее, по предположению, не может оторваться от опоры) показана на рис. 10. Крайние случаи бокового смещения в принятом предположении показаны на рис.11.

Что показывает анализ этого случая? - Два обстоятельства:

Если прижимающая сила F мала и отсутствует "прилипание" оболочки поверхности опоры, то при отсутствии вертикального нагружения равновесному состоянию с минимальной потенциальной энергией соответствует конфигурация, показанная на рис. 12 слева и в центре. В этой конфигурации дуги периметра в каждом меридиональном сечении опираются на диаметры (а не на хорды, как на рис.10 и 11), что обеспечивает максимальный объём оболочки и наименьшее увеличение давления.

Однако, если колесо нагружено вертикальной силой, то в обязательно возникает опорная площадка в соответствии с соображениями рис.8.

         В любом случае в рассматриваемой модели колеса под действием боковой силы "сдвиговая" деформация соседних меридианов оболочки колеса заменяется деформацией их относительного "кручения". Допустимость последней и возможное уменьшение объёма полости колеса из-за образования складок зависят от направления волокон ткани оболочки, отвечающих за анизотропные свойства деформационных перемещений соседних дифференциальных элементов её поверхности.

Если же в конструкции колеса присутствует несгибаемая цилиндрическая вставка ("беговая дорожка"), то равновесная конфигурация зависит от величины боковой и вертикальной сил (рис.13). Начиная с некоторого бокового усилия момент от давления на опорную площадку становится меньше момента от действия боковой силы, что приводит к отрыву цилиндрической дорожки от опорной поверхности и превращению сдвиговой деформации соседних меридианов в крутильную. Величина соответствующей "критической боковой силы" зависит от геометрических параметров ненагруженного колеса и от начального давления, - чем больше объём оболочки колеса и чем меньше начальное давление, тем больше боковая критическая сила.

Рис.15 Деформация сдвига у колеса с цилиндрической беговой дорожкой

Модель деформаций трёхкамерного пневматика

         Для проверки возможности увеличения боковой устойчивости колеса была рассмотрена трёхкамерная конструкция колеса (рис. 16) с продольной перемычкой в основном объёме колеса и конической перемычкой на его внешней стороне. Эти нерастяжимые поверхности создают структуру сил, препятствующих боковым сдвигам колеса под действием осевой силы.

Структура сил и объёмов трёхкамерного колеса

Рис. 16. Схема трёхкамерного колеса с перемычками

Главным элементом, препятствующим боковым сдвигам, при наличии давления в основной камере колеса является разделяющая её нерастяжимая диафрагма, закреплённая по её внешнему и внутреннему периметрам к конструкции ступицы и беговой дорожке колеса. Любая попытка при боковом сдвиге ступицы превратить плоскую поверхность такого диска в коническую поверхность со складками будет встречать противодействие сил давления уменьшению объёма камер и внешнего радиуса колеса.

Заметим, что максимальный объём боковой камеры формируется суммой объёма усечённого конуса и объёма, присоединённого к нему сегмента сферы (см. рис. 16). Отсюда следует, что если в боковой камере давление держать выше давления в основном объёме колеса, то при деформации последнего форма и объём боковой камеры остаются неизменными. Поэтому главной целью расчётов здесь является расчёт деформаций только основного объёма оболочки колеса. При этом элементом, значительно усложняющим расчёты, является упомянутая продольная диафрагма основной камеры колеса, ограничивающая в силу её нерастяжимости величину возможных деформаций оболочки.

Расчётная схема

Исходные формы оболочек камер пневматика, как и раньше, разбиваются меридианами и параллелями (относительно оси пневматика) на отдельные клетки (рис. 17). Форма каждого меридионального сечения имеет вид, показанный на рис.18. В отличие от однокамерного колеса картина деформация меридионального сечения определяется не только параметром длины его периметра, но и расположением на этом периметре точки E сопряжения границ оболочки колеса и его боковой камеры (см. рис. 16 и 18). В расчётах эта точка принималась неподвижной (в соответствии с изложенным выше утверждением о неизменности формы боковой камеры колеса). В такой модели геометрии колеса расчёт формы деформации оболочки хотя и несколько усложняется, но в принципе остаётся прежним. 

Расчёт выполняется так:

Каждое новое меридиональное сечение рассматривается в отношении соседства с сечением, рассчитанным на предыдущем шаге расчёта. Расчёт ведется в двух симметричных направлениях, начиная с центрального опорного сечения, определяемого плоскостью действия осевых сил нагружения и бокового сдвига (плоскостью симметрии деформаций). На каждом шаге расчёта:

1.     Строятся точки меридиональной линии С-D внутреннего обода колеса.

2.     Боковое смещение опорной части сечения (прямые A-B и A-F) устанавливается через заданное исходное смещение и условие нерастяжимости оболочки и перемычки (см. ниже п. 5), а боковое смещение всех остальных точек сечения  – линейной интерполяцией к нулю до верха колеса.

3.     Расстояние до оси колеса определяется пересечением контура ненагруженного меридиана с опорной поверхностью (в простейшем случае – с опорной плоскостью).

4.     Проверяется длина линии пересечения плоскости меридиана и плоскости средней перемычки на условие её нерастяжимости (нарушение этого условия означает конец множества меридианов, принадлежащих опорной площадке).

5.     Из условия нерастяжимости оболочки проверяется допустимость горизонтального сдвига точек соседних меридиональных сечений в плоскости симметрии деформаций (все остальные точки периметров меридианов в предположении сохранения их плоскостей можно не проверять)  . Если условие нарушается, то величина сдвига и расстояние до оси колеса корректируются.

6.     Для каждого сечения по известным отрезкам хорд B-C и E-F строятся точки, принадлежащие их дугам окружностей в контуре оболочки колеса:

Для этого:

·        В окрестности участка В-С ищется центр окружности, проходящей через точки «В» и «С», и имеющей ту же длину, что и в исходном контуре меридиана. Возможно, что часть окружности окажется ниже линии BF. Тогда решается задача поиска центра дуги, при условии, что часть окружности лежит на прямой BF. Новая точка «В» увеличивает расстояние А-B.

·         Отрезок С-D неизменен. Точка «Е» задается.

·         Для линии DE рассматриваются два варианта – отрезок прямой, если расстояние DE равно максимально допустимому, или дуга окружности. Центр соответствующей окружности рассчитывается исходя из длины отрезка и координат точек «Е» и «D». Аналогично дуге ВС рассчитывается центр дуги EF. Учитывается возможность её прилегания к линии BF. Таким образом, длина участка BF, вообще говоря, отличается от исходной.

7.     Проверяются на реализуемость все длины участков ВС, DE, EF.

8.     Вычисляются параметры формы клеток, получаемых от пересечения соседних меридианов и параллелей оболочки. При этом, взаимные смещения и деформации клеток при нагружении колеса вычисляются из квадратичных условий нерастяжимости главного диагонального направления клетки и сохранения длин меридианов и параллелей колеса, но с учётом возможного образования складок и соответствующего уменьшения площадей и объёмов.

9.     Суммируются площади всех клеток, получаемых от пересечения меридианов и параллелей оболочки, и связанные с ними объёмы.

10.  В рамах принятой газодинамической модели вычисляется новое внутреннее давление и его относительное изменение.

11.  Для каждой клетки, взаимодействующей (совпадающей) с опорной поверхностью, вычисляется произведение её площади на единичный вектор направления нормали лежащей под ней опорной поверхности. Далее вычисляются векторы соответствующих сил нормальных и касательных реакций опоры колеса и, если требуется, -  параметры деформации грунта и буксования [?]..  Суммирование полученных сил определяет силы и момент, приведенные к оси колеса.

      Описанная модель реализована в интерактивной программе, позволяющей выбирать картину деформации колеса и определять соответствующие условия нагружения. Расчётная модель пневматического колеса описывается 30-ю параметрами (геометрические размеры, объёмы, давления, число сечений, параметры деформации и др.). Кроме этого имеется 18 параметров процедур рисования, движения и изменения масштаба изображения колеса (см. таблицы 1 и 2).

Таблица 1

Таблица 2

Примеры результатов расчетов

Расчёт однокамерного колеса

         Простейший пример расчёта колеса, сжатого осевым нагружением, показан на рис.20. В частности, здесь хорошо видно, какую форму принимает опорная площадка при 40% продавливания от максимально возможной величины (опора на  диск колеса). Более интересный пример – расчёт бокового давления на такое колесо (рис.21). Здесь при виде снизу на ту же опорную площадку и её среднею линию хорошо видно, что при боковом осевом нажиме, стоящее под нагрузкой однокамерное колесо очень плохо ему сопротивляется. Это объясняется тем, что при боковом сдвиге такого колеса, его объём практически не изменяется в процессе "перекатывания" оболочки через требуемую опорную площадь.

В этом примере исходный объём при нулевом нагружении этого колеса составлял величину 0,74м³. После вертикального продавливания он уменьшился до 0,66м³, а при последующем боковом нажиме этот объём с точностью до третьего знака после запятой не изменился. Заметим, что сам факт плохой боковой устойчивости слабо надутого пневматика хорошо известен. Здесь этот феномен получил лишь свое модельное и численное представления.

         На рис.22 показан общий результат расчётов однокамерного колеса – график зависимости удельной силы вертикальной нагрузки (отнесённой к начальному давлению)  при вертикальной и боковой деформациях колеса.

Расчёт трёхкамерного колеса

Моделирование однокамерного пневматика показало целесообразность применения внутренней продольной перегородки в основном объёме пневматика для увеличения боковой устойчивости колеса. На рис.23 показан общий результат расчётов параметров деформирования трёхкамерного колеса. Как и выше, это – график зависимости  удельной силы F/P₀ (вертикальной нагрузки, отнесённой к начальному давлению) при вертикальной и боковой деформациях колеса.

Сравнение этого графика с предыдущим показывает, что трёхкамерное колесо является значительно более жестким в боковом направлении действия сил. Как показывают расчёты, оно позволяет иметь боковой сдвиг на порядок меньший возможного бокового сдвига однокамерного пневматика. Это обстоятельство особенно важно при реализации схемы бортового поворота. Заметим, что ограничения бокового сдвига колеса вызвано не противодействием сил давления, а чисто геометрическими ограничениями (в предположении необходимой прочности) работы нерастяжимой оболочки пневматика.

В то же время, удельные вертикальные податливости обеих конструктивных схем пневматика практически одинаковы (0,6 м²/250мм). При этом, важными особенностями полученных результатов является обнаруженная (вне начального участка сжатия) примерно линейная зависимость деформаций от сил нагружения в вертикальном направлении и независимость этого свойства работы пневматика от начального давления. Это означает, что в геометрическом приближении работы нерастяжимой безмоментной оболочки отношение величины опорной площади к объёму пневматика  линейно зависит от клиренса оси колеса.

Заключение

Рассмотренная модель нерастяжимой безмоментной оболочки пневматического колеса обладает рядом качеств, оправдывающих её использование:

Прежде всего, она позволяет понять основные свойства работы материала оболочки пневматика в процессе движения. Анализ свойств нагружения материала показывает, что помимо очевидных требований герметичности от материала оболочки  необходимо требовать высокую усталостную и "складко-изгибную" стойкость наряду с высокой прочностью в режимах растяжения и прокалывания.

Отмеченная выше практическая линейность модели деформации такого пневматика облегчает грубую оценку работы машины с такими колёсами.

В модели удобным образом учитываются термодинамические свойства работы газа пневматика с возможностью оценки влияния температурных условий внешней среды и параметров теплообмена с ней.

Важным достоинством геометрической модели пневматика является её достаточно высокий порядок точности. Фактически это – модель главного порядка точности, допускающая уточнение следующих порядков погрешности путем оценки вариаций объёмов и площадей от модели сил упругости в легко определяемых местах наибольшего изгиба и растяжения оболочки.

Наконец, рассмотренная модель позволяет построить удобную расчётную схему, обеспечивающую сравнительно просто, но эффективно с учётом предыдущего замечания вычислять требуемые характеристики работы колеса на требуемом уровне точности.

Использованная литература

1.      Клаузиус Р. Кинетическая теория газов

                 В кн. "Основатели кинетической теории материи". М.:ОНТИ. 1937. сс.39-184

2.      Келдыш М.В. Шимми переднего колеса трёхколёсного шасси.

                             Труды ЦАГИ №564. 1945, 33с.

3.      Лурье А.И.  Статика тонкостенных упругих оболочек.

                            М.-Л.: ОГИЗ ГосТехИздат, 1947, 252с.

4.      Норден А.П. Геометрические работы Гаусса. В кн."Карл Фридрих Гаусс".

                            М.: АН СССР 1956. сс.113-144.

5.      Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М.:Наука, 1965, 201с.

6.      Бекер М.Г. Введение в теорию "местность –машина".

М.:Машинострокение, 1973, 520с.

7.      Авотин Е.В. Болховитинов И.С. Кемурджиан А.Л. Маленков М.И. Шпак Ф.П.

                      Динамика планетохода. М.:Наука, 1979, 440с.

8.      Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.:Наука. 1987,160с.

9.      IUTAMM-IASS Symp.on Deploable Stutures. 6-8 Sept1998. Kluwep Acad.Publ. 2000,492p.

10.  Pacejka H.B. Tire and vehicle dynamics.

  Oxford : Elsevier Butrerworth-Heimann, 2002, 627p.

11.  Галанин М.П., Савенков Е.Б.,.Темис Ю.М.

     Метод конечных суперэлементов Федоренко для задач теории упругости.

     М.Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, №38, 2004, 38с.

12.   Якушев В.Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек.

                       М.:Наука. 2004, 275с.

  Приложение 1

Основные геометрические параметры тора

Уравнения тора (оси X и Y принадлежат экваториальной плоскости, ось X на рис.1 направлена из центра тора вниз, ось Y  - вправо, ось Z – на зрителя. все углы положительны при их отсчёте против часовой стрелки):

x=( R_ц + r_м cosj)cosy = y·ctgy ;

y=( R_ц + r_м cosj)siny = x· tgy;

z=  r_м sinj,

где j и y "внутренние углы" тора:

j - угол в меридиональных сечениях тора от линии центр тора-экватор;

y - угол в экваториальной плоскости от оси X до меридиана.

В декартовых координатах тор описывается неявной зависимостью:

,

но можно выписать и явные зависимости каждой координаты от двух других координат:   

Отсечём у тора некоторый сегмент на расстоянии H от центра тора. Размеры его основания по оси Y (в экваториальной плоскости) и по оси Z (по нормали к экваториальной плоскости) соответственно равны:

Соответствующие углы y_max и j _max равны:

y_max=arctg() = arcos();

j _max=arcsin() = arcos().

Уравнение сечения тора в основании сегмента в плоскости Y-Z следующие:

- в виде  z(y,H):   z=;

- в виде  y(z,H):   y=.

или              x=H;  y=Htgy=a_y ;  z== b_{y .}

Заметим, что уравнение "оскулирующего" по y эллипса в плоскости основания сегмента тора имеет вид: 

   Приложение 2

  "Законы сохранения" свойств пневматика с безмоментной оболочкой

I:  При заданной силе на оси стоящего пневматика проекция площади опоры на плоскость, перпендикулярную направлению действия силы, зависит только от избыточного давления внутри пневматика и не зависит ни от его конструкции, ни от его формы, ни от его размеров.

И обратно:

II: У стоящего или равномерно катящегося пневматика мгновенная форма опорной площади и коэффициент трения в её пределах однозначно определяют мгновенное направление действий осевой силы и осевого момента с линейной зависимостью их величин от давления в пневматике.

Эти свойства и однозначная связь действующих сил и моментов с давлением внутри пневматика при выбранной площади опоры определяются условиями механического равновесия внешних сил и моментов, действующих на пневматик.

Например, пусть выбрана некоторая форма опорной площади неподвижно стоящего пневматика с неизвестной силой, приложенной к его оси, и пусть отсутствует момент на его оси. Тогда из условий равновесия равнодействующая сил нормальных реакций и трения в пределах опорной площади должна проходить через ось пневматика. Величина нормальных сил реакций и соответствующих сил трения линейно зависят от давления в оболочке. И тогда из этих параметров равновесия однозначно определяется сила, приложенная к оси пневматика, коллинеарная и равная по модулю равнодействующей сил реакций.

Если же равнодействующая сил реакции не проходит через ось пневматика, то осевая сила должна вместе с силой реакции образовывать пару сил, которую, в свою очередь, должен уравновесить приложенный к оси момент.

Если пневматик катится, то внешние силы реакций, приложенные к его опорной площади, должны уравновешиваться моментом и/или силой, приложенными к оси пневматика.

Таким образом, в каждом из механически разных случаев нагружения пневматика (стоящий пневматик, "пассивный" пневматик, катящийся под действием тянущей за ось силы и "активный" пневматик ведущих колёс машины) при отсутствии сил упругости оболочки все силовые параметры однозначно определяются после выбора формы и величины опорной площадки. Это обстоятельство существенно упрощает расчеты и определяет удобный метод моделирования ("от геометрии к силам", а не наоборот).