Содержание

1. Введение.......................................................................................................... 4

2. Функциональное назначение программного комплекса.............................. 4

3. Описание программного комплекса.............................................................. 6

4. Постановка граничных условий................................................................. 10

5. Входные и выходные данные...................................................................... 11

6. Визуальное представление результатов...................................................... 12

7. Результаты тестовых расчетов..................................................................... 12

8. Обсуждение................................................................................................... 14

9. Заключение................................................................................................... 15

Список литературы.......................................................................................... 16

1. Введение

Эта работа содержит описание  свойств, реализованных в прототипе программного комплекса для расчета и визуального представления процесса распространения звуковых волн внутри трехмерной об­ласти, содержащей источник звука. Данная работа опирается на работы [1,2,3], в которых реализовывались некоторые из подходов к расчетам распространения звуковых волн, в частности для двумерного случая. Данная работа отчасти представляет собой развитие и обобщение разработанного ра­нее двумерного программного комплекса на трехмерный случай.

Основным результатом  работы  является  создание   прототипа программного комплекса для моделирования трехмерного распростра­нения звуковых волн. Для расчетов в комплексе реализованы два численных метода: метод конечных объемов и метод, основанный на расщеплении по направлениям. Визуальное представление результатов позволяет пользователю изучать как общую картину распространения возмущений в области, так и исследовать более тонкие структуры в срезах.

Комплекс позволяет проводить расчеты распространения звуковых волн в замкнутых объемах содер­жащих внутри себя заданные объекты. Комплекс позволяет приближен­но моделировать задаваемые звукопоглощающие свойства границ объ­ема и расположенных внутри него объектов. Проведенные расчеты мо­дельных задач показали качественное воспроизведение таких физических эффектов как дифракция звуковой волны на препятствии внут­ри объема, частичное отражение от препятствия.

2. Функциональное назначение программного комплекса.

Программный комплекс 3D Linear Sound Solver (3DLS) - это па­кет программ, позволяющий рассчитать и получить в каждый момент времени звуковые характеристики замкнутого объема, содержащего внутри некие объекты. С целью упрощения геометрии счетной области и представления результатов в прототипе программного комплекса используется ортогональная декартова сетка. Звуковые волны расс­матриваются как малые возмущения воздуха внутри объема. Условия частичного отражения/поглощения звука на поверхностях границ задаются с по­мощью специальных граничных условий. Численное решение находится с помощью одного из двух, реализованных в настоящий момент в прототипе программного комплекса, численных методах. Один из них - метод конечного объема, основанный на законах сохранения, запи­санных для ячеек вычислительной сетки. Взаимодействие между ячей­ками находится из хорошо известного решения задачи о взаимодейс­твии потоков. Второй - метод переменных направлений, где на каж­дом направлении последовательно применяется неявная разностная схема второго порядка точности по времени и пространству, облада­ющая дополнительным свойством регулируемой искусственной вязкос­ти, необходимой для подавления возможных нежелательных осцилля­ций, искажающих и разрушающих решение.

Программный комплекс 3DLS позволяет исследовать распростра­нение звуковых волн в замкнутой трехмерной области, содержащей внутри себя заданные объекты и моделировать физические эффекты, которые невозможно получить с помощью других акустических моделей - диффузной модели распространения звука или геометрических мето­дов:

а) Дифракция. Если внутри исследуемого объема расположена преграда, а перед ней - источник звуковых волн, то характеристики звукового поля за преградой определяются не только отраженными звуковыми волнами, как в лучевой геометрической модели акустики. Если размер преграды сравним с длиной волны, то эффект дифракции приобретает большое значение. Программный комплекс 3DLS позволяет моделировать этот эффект.

б) Частичное отражение. Если звукопоглощающие свойства любой граничной поверхности известны, то соответствующее задание гра­ничных условий позволяет пользователю программного комплекса мо­делировать частичное отражение звуковых волн от этой граничной поверхности. Комплекс позволяет задавать эти граничные условия изменяющимися во времени, что значительно расширяет спектр воз­можных практических приложений.

В результате расчетов пользователь может получать данные, характеризующие процесс распространения звуковых волн в объеме. Их визуальное представление и численные характеристики позволяют пользователю получать информацию, недоступную для методов статистической и геометрической акустики.

3. Описание программного комплекса

 Физическая модель

Рассмотрим линеаризованные уравнения Эйлера для движения сжимаемого газа, записанные в интегральной форме. Это формализа­ция законов сохранения для любого объема V, ограниченного поверх­ностью S. Изменение во времени консервативных величин (массы, момента, энергии) происходит только за счет потоков величин через поверхность. Силы гравитации не рассматриваются в акустических задачах, источники момента и энергии в объеме V отсутствуют. Если каждую переменную F представить в виде малого возмущения f от на­чального невозмущенного состояния

                                        (3.1)

и подставить (3.1) для каждой переменной в стандартные  уравнения Эйлера, то опустив величины порядка , мы получим известный на­бор уравнений для распространения малых возмущений. Для перемен­ных u ,v ,w, p являющихся соответственно возмущениями компонент скорости и давления, линеаризованные уравнения Эйлера можно запи­сать в интегральной форме следующим образом:

                                     (3.2)         

                               (3.3)

где

p        -        возмущение давления

       -        вектор возмущений скорости;

      -        вектор нормали к поверхности объема;

      -        возмущения скорости, нормальные к поверхности

Приведенные величины являются безразмерными. Основными ха­рактерными величинами являются:

для   –   ;

для геометрических параметров   –   ;

для   p   –     ( -  плотность невозмущенного газа);

 - характерное число Маха;

R - газовая постоянная,

 - температура невозмущенного газа.

Характерные величины характеризуют каждую отдельную задачу и определяют характерное число Маха.

Численные методы

 В программном комплексе 3DLS реализованы два различных чис­ленных алгоритма, позволяющих решать систему уравнений, описанную выше. Первый - это явный метод конечного объема, использующий схему типа Годунова [4],  второй - метод переменных направлений, на каждом направлении применяющий неявную схему второго порядка по времени и пространству [5,6]. Оба метода, реализованные в программ­ном комплексе дополняют друг друга и позволяют пользователю выби­рать тот или иной в зависимости от вычислительных потребностей и возможностей вычислительной техники пользователя.

Метод конечного объема.

В укороченном виде для описания численного метода можно за­писать линеаризованные уравнения Эйлера (3.1-3.3) в общей вектор­ной интегральной форме:

                                                       (3.4)

где ,  - 4-мерные векторы.

В декартовой системе координат с вертикальной осью Z компо­ненты векторов представляются как:

 (A_)

Расчетная область разбивается на малые прямоугольные объемы, стороны которых являются координатными поверхностями. Центр каж­дого прямоугольного объема обозначим индексами (i+1/2,j+1/2,k+1/2), где i,j,k изменяются от 1 до максимального значения, определенного размерностью вычислительной сетки. Пере­пишем уравнения (3.4) для каждого отдельного элементарного объ­ема. Предположим, что переменные (u, v, w, p) постоянны в каждом рассматриваемом объеме в каждый фиксированный момент времени. по­лученную систему решаем явным двухшаговым методом типа предик­тор-корректор. На первом шаге определяются значения в момент вре­мени t+dt/2 на граничных поверхностях элементарных объемов с по­мощью известного решения задачи о взаимодействии потоков [4]. На втором шаге по времени t+dt по известным значениям потоков на границах элементарных объемов определяем значения (u, v, w, p) в центрах.

Разностная схема устойчива при ограничении на шаг по времени dt:

dt(i,j,k)*(1/dtx(i,j,k) + 1/dty(i,j,k) + 1/dtz(i,j,k)) < 1 ,

где

dtx = dx/max(u-c,u+c), dx=x(i+1)-x(i), u=u(i+1/2,j+1/2,k+1/2)

dty = dy/max(v-c,v+c), dy=y(j+1)-y(j), v=v(i+1/2,j+1/2,k+1/2)

dtz = dx/max(w-c,w+c), dx=x(k+1)-x(k), w=w(i+1/2,j+1/2,k+1/2)

 - скорость звука.

Метод переменных направлений.

Задача решается в предположении, что для каждой из перемен­ных u,v,w,p соответствующее уравнение из (3.4) является определя­ющим. Каждое из уравнений системы (3.4) можно представить в обоб­щенном виде

                                  (3.5)

где а,  b,  с - соответствующие коэффициенты.  В Н входят члены с производными по функциям, для которых данное конкретное уравнение не является определяющим.

Для решения системы уравнений используется метод переменных направлений. Последовательно для направлений X, Y, Z по мере продвижения по времени рассматриваются уравнения вида:

                                                          (3.6)

Для решения каждого из уравнений типа (3.6) используется не­явная конечно-разностная WW-схема "с весами" [5,6], разрешаемая с помощью скалярных прогонок.

Используемая неявная схема [5,6] обладает для линейного уравнения на решении вторым порядком аппроксимации по времени и пространству. Определенный выбор весов позволяет устранять неже­лательные осцилляции, которые могут возникать в процессе расчета.

Данная схема является неявной и не имеет ограничений на шаг по времени, однако проведенные численные эксперименты показали, что реализация этого алгоритма расчета требует выделения большей оперативной памяти. Таким образом пользователю предоставлен выбор - каким из реализованных алгоритмов пользоваться при решении той или иной конкретной задачи.

4. Постановка граничных условий

В прототипе программного комплекса реализовано несколько типов гранич­ных условий, с помощью которых пользователь может моделировать несколько классов задач. Рассмотрим эти условия:

Граничные условия типа "поглощение"

Задание граничных условий, имитирующих полное поглощение звуковых волн на границах, производится следующим образом. На границах задаются следующие соотношения:

                                                    (4.1)

где f = (u,v,w,p)

Граничные условия типа "отражение"

Задание граничных условий, имитирующих полное отражение зву­ковых волн на границах, производится путем задания на соответс­твующих границах следующих соотношений:

                                        (4.2)

Вышеприведенные условия (4.1) и (4.2) являются хорошо известными из газо­вой динамики условиями беспрепятственного протекания возмущений через границу или непротекания.

Граничное условие типа "частичное отражение"

Звукопоглощающие свойства предполагаемого материала границы моделируются путем линейной комбинации условий (4.1) и ( 4.2)

                            (4.3)

где коэффициент  можно приближенно рассматривать как коэффици­ент звукопоглощения конкретного материала.

Граничные условия типа "источник"

Предполагается, что источник колебаний имитирует колебания путем задания колебаний скорости, нормальной к поверхности источ­ника. Предположим, что заданы колебания источника с частотой f и амплитудой Xm. Тогда колебания на границе источника задаются сле­дующими соотношениями:

,                 (4.4)

5. Входные и выходные данные

В качестве входных данных для расчета необходимо задать: геометрическое описание вычислительной области (сцены), описание сетки, акустические свойства поверхностей.

Геометрическое описание включает трехмерную модель вычисли­тельной области и всех объектов, расположенных внутри нее. Пред­полагается задание размеров области, описание ее формы, описание формы, задание размеров и местоположения всех объектов внутри сцены.

Построение сетки проводится с помощью встроенных в программ­ный комплекс алгоритмов, исходя из конкретных свойств задачи. Реализована возможность сгущения сетки в окрестности объекта, представляющего интерес для пользователя.

Акустические свойства задаются исходя из моделирования свойств материалов конкретных поверхностей. В задании граничных условий реализовано грубое приближение учета конкретных свойств звукопоглощения.

В качестве выходных данных пользователь может получать поля данных в интересующий его момент времени, а также следить за раз­витием распространения звуковых волн со временем.

6. Визуальное представление результатов

Визуальное представление результатов реализовано с помощью интеграции в прототип двух модулей, позволяющих пользователю визуальный мониторинг и обработку полученных в расчетах результатов. Трехмерное представление процесса распространения звуковых колебаний в области реализовано с помощью интегрированного графического модуля GeoGraph. (Программный модуль GeoGraph создан и предоставлен В.Н.Кочиным, за что авторы выражают ему свою глубокую признательность). Здесь предусмотрены возможности построения изоповерхностей, комбинированных сечений с изолиниями по трем координатным плоскостям, построения наборов сечений в выбранной координатной плоскости. Все это дает пользователю возможность работы по изучению результатов расчетов в трехмерной области.  Более точное исследование тонких структур, образующихся в расчетной области в процессе расчета в разные моменты времени возможно на основе использования широко известного графического комплекса программ ГРАФОР [7] и его современных версий, адаптированных к использованию в операционных средах Windows и Linux [8,9]. Также существует возможность монтировать компьютерный фильм, иллюстрирующий развитие колебательного процесса во времени.

7. Результаты тестовых расчетов

В процессе работы был проведен ряд тестовых расчетов модельных задач.

В трехмерной счетной области решается система линеаризован­ных уравнений Эйлера для сжимаемого невязкого газа. Расчетная область представляет собой параллелепипед, обладающий размерами 4*3*3 по координатам X, Y, Z соответственно. На входной поверхности заданы колебания источника обладающего мощностью 1 Вт и частотой 250. Колебания моделируются с помощью соответствующего граничного ус­ловия типа (4.4). Координаты расположения источника на поверхнос­ти ABA'B' следующие:

X = 0; 1.4 < Y < 1.9; 1.1 < Z < 1.7

Рассмотрим результаты расчетов различных задач, рассматри­вавшихся при сохранении вышеуказанных условий.

а) Задача рассматривается в предположении отсутствия объек­тов внутри вычислительной области. На всех границах задается гра­ничное условие, имитирующее полное поглощение звуковых возмущений (4.1).

Пример общей картины результатов в трехмерной области представлен на рис. 1 - 4. Здесь расчетные данные представлены в виде комбинации трех сечений в различных координатных плоскостях с изоповерхностями, а также в виде наборов сечений по координатным плоскостям. Более тонкая структура отражена на рис. 5 – 7, где представлено линиями постоянного давления распространение возмущений в плоскости перпендикулярной оси Y при Y =1.7 на моменты времени t = 0.0012; 0.0035; 0.0116 соответственно. Эти рисунки иллюстрируют начальную фазу распрост­ранения звуковых возмущений от источника в сечении, проходящем через источник.

Представленные сечения позволяют увидеть картину расп­ространения звуковых возмущений при условии полного поглощения их граничными поверхностями.

б) Данная задача также рассматривается в предположении от­сутствия объектов внутри вычислительной области. На всех границах задается граничное условие, имитирующее полное отражение звуковых возмущений (4.2).

Рис.8 представляет картину течения в сечении, перпендикулярном оси Y при Y = 3.0. Приведенные результаты показывают, что по мере удаления от источника возмущений в счетной области образуется картина те­чения схожая с полученной при аналогичных граничных условиях в [1] в двумерной постановке задачи картиной наложения отраженных звуковых колебаний.

в) Данная задача рассматривалась в предположении наличия внутренней преграды в счетной области. На всех границах счетной области и на преграде были заданы условия, имитирующее полное от­ражение звуковых возмущений (4.2).

Результаты приведены на момент времени t = 0.0464. Рис. 9 представляет се­чение, перпендикулярное оси Y при Y = 3.0. Здесь отражены процессы отражения звуковых возмущений перед прегра­дой, разворот звуковых возмущений около кромок преграды, образо­вание области акустической "тени" за преградой. Рассчитанные про­цессы качественно схожи с результатами аналогичной двумерной за­дачи, рассчитанной в [2].

в) Данная задача также рассматривалась в предположении нали­чия аналогично предыдущей задаче расположенной внутренней прегра­ды в счетной области. На всех границах счетной области и на прег­раде были заданы условия, имитирующее частичное отражение звуко­вых возмущений (4.3). Коэффициент звукопоглощения выбирался рав­ным 0.5.

Все результаты также приведены на момент времени t = 0.0464. Рис.10 выбран в сечении, аналогично предыдущей зада­че.  Изменения в картине течения схожи с двумерной аналогией [2] и обусловлены наличием частичного поглощения возмущений.  

8. Обсуждение

В настоящее время создание программных модулей для проведения наукоемких расчетов, их визуального представления и обработки результатов с целью интеграции в программные комплексы более широкого функционального профиля и содержания является актуальной задачей. Требования и задачи по созданию подобных модулей описаны в большом количестве публикаций [10–13]. Прототип программного модуля 3DLS изначально разрабатывался как подсистема, предназначенная к интеграции в программный комплекс, обладающий более широкой функциональностью. Примеры такой интеграции наукоемких модулей изложен в [12]. Поэтому дальнейшее развитие данного прототипа во многом будет определяться назначением, свойствами и функциональным наполнением того программного комплекса, куда данный модуль предполагается интегрировать.

Также следует отметить, что при визуализации тонких нестационарных эффектов возникает проблема недостаточно информативной визуализации в трехмерной области, подробно описанная в [14,15]. В прототипе 3DLS данная проблема решается паллиативным путем – объединением двух модулей визуализации, что позволяет сочетать общую трехмерную картину с визуальным представлением более тонких структур. В дальнейшем предполагается для решения вышеуказанной проблемы использовать предложенные в [14,15] статистичесие и комбинированные подходы.

9. Заключение

Разработанный прототип программного комплекса 3DLS позволяет решать в замкнутом объеме, содержащем внутренние конструктивные элементы, задачи распространения звуковых возмущений. Данный про­тотип позволяет решать линеаризованные уравнений Эйлера двумя ре­ализованными программно алгоритмами, отражать особенности тече­ния, появляющиеся благодаря наличию внутри объема различных конс­труктивных элементов. Данный подход позволяет моделировать и по­лучать информацию о таких физических эффектах как дифракция зву­ковых волн на преградах и частичное отражение. Эти данные невоз­можно получить находясь в рамках более простых инженерных акусти­ческих моделей, таких как диффузная модель или геометрическая. Применение 3DLS позволяет дополнить акусти­ческую информацию полученную с помощью вышеуказанных инженерных моделей. Программный комплекс позволяет приближенно учитывать ре­альные звукопоглощающие свойства материалов в расчетах и их влия­ние на процессы распространения звуковых волн. Пользователь может получать поля физических данных как результаты расчета и отобра­жать их графически.

Список литературы.

[1]  А.Е.Бондарев, Ю.А.Молотилин. Численное моделирование нестационарного распространения звуковых волн в закрытой об­ласти / Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 1994, № 64, 13 с.

[2]  А.Е.Бондарев, Ю.А.Молотилин. Численное моделирование дифракционных эффектов при распространении звуковых волн / Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 1995, №10, 13 с.

[3]  Ю.М.Баяковский, А.К.Алексеев, А.Е.Бондарев, Т.Н.Михайлова, Ю.А.Молотилин. Численное моделирование распространения звуковых волн в трехмерной области / Отчет ИПМ, 1996, 29 с.

[4]  С.К.Годунов, А.В.Забродин, М.Я.Иванов, А.Н.Крайко, Г.П.Прокопов.  Численное решение многомерных задач газо­вой динамики // М.:"Наука",  1976.

[5]  А.Е.Бондарев. Численное решение уравнения Бюргерса в области высоких градиентов / Препринт  ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, № 12, 1990, 13 с.

[6]  А.Е.Бондарев. Применение методов научной визуализации для оптимизации вычислительных свойств конечно-разностных схем / Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 79, 2006, 17 с.

[7]  Ю.М.Баяковский, В.А.Галактионов, Т.Н.Михайлова. Графор.  Графическое расширение Фортрана // M.:"Наука", 1985.

[8]  С.Б.Базаров, Ю.М.Баяковский. Комплекс графических программ ГРАФОР в среде WINDOWS / Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 30, 2000, 10 с.

[9]  С.Б.Базаров, Ю.М.Баяковский, Ф.Ф.Сейдалиева, А.Ю.Скачков. Адаптация комплекса графических программ ГРАФОР в операционных системах WINDOWS и LINUX / Препринт ИПМ им.М.В. Келдыша РАН, № 27, 2002, 16 с.

[10] А.И.Зенков. Реализация модульного подхода при построении унифицированной системы научной визуализации // Proc. Of Graphicon-2002, Russia, Nizhny Novgorod, 2002, pp.239-242.

[11] Zibarov A., Babayev D., Mironov A., Komarov I., Konstantinov P. Main Features of the Scientific VR© Visualization Package // Proc. Of Graphicon-2002, Russia, Nizhny Novgorod, 2002, pp.173-178.

[12] Vassiliev V., Voloboy A., Vyukova N. Context-Aided Visualization of Volumetric Data // Proc. 14th International Conference on Computer Graphics and Vision GraphiCon-2004, Russia,  Moscow, September 6 -10, 2004, p.151-154.

[13] А.Н.Карпов. Визуализация данных на параллельных вычислительных комплексах // Труды 15-ой международной конференции по компьютерной графике и ее приложениям - Графикон-2005, Россия, Новосибирск,  июнь 20-24, с.211-215.

[14] D.V.Mogilenskikh. Nonlinear Color Interpretation of Physical Processes Presentation // Proc. Of Graphicon-2000, Moscow, 2000, pp.202-211.

[15] D.V.Mogilenskikh, I.V.Pavlov. Algorithms of Color Interpolation in Visualization of Results of Numerical Simulation // Proc. Of Graphicon-2001, Russia, Nizhny Novgorod, 2001.

                                                    Рис.1

                                                    Рис.2

                                                    Рис.3

                                                    Рис.4

                                                    Рис.5

                                                    Рис.6

                                                    Рис.7

                                                    Рис.8

                                                    Рис.9

                                                    Рис.10