ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ

О постановке задачи:

• Рассмотрим уравнение диффузии, описывающее, к примеру, остывание нагретого (в общем случае, неравномерно) стержня или переноса примеси в атмосфере:
  

• Здесь:
  
• u(x,t) - распределение температуры вдоль стержня в момент времени t
  
• 
  
• D(u) - коэффициент диффузии (температуропроводность стержня, которая, в общем (нелинейном случае), может меняться в зависимости от его температуры от точки к точке)
  
• 
  
• f(x,t) - источник тепла
  
• 
  
• 
  
• Для того, чтобы корректно поставить задачу, требуется задать начальное распределение температуры вдоль стержня: u(x,t)=Init(x)
  
• 
  
• и граничные условия на концах стержня (условие Дирихле): u(0,t)=Border0(t) и u(0,t)=Border1(t)
  
• 
  
• 
  
• Требуется определить, как с течением времени меняется температура стержня, т.е. функцию двух переменных u(x,t).

Рассмотрим наиболее простой случай:

• линейную задачу,
  
• 
  
• источник отсутствует,
  
• 
  
• 
  
• Зададим, например, одинаковые граничные условия, означающие поддержание постоянной температуры на краях стержня:
  
• 
  
• 
  
• и такое начальное распределение температуры (см. график):

Заметим, что в такой постановке задача имеет точное аналитическое решение, но ее малейшие усложнения делают возможным только численое решение.