ЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ЭЙЛЕРА
ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ТЕПЛА

• Рассмотрим линейное уравнение диффузии , описывающее распределение температуры u(x,t) вдоль стержня (от x=0 до 1) в момент времени t:
  

• коэффициент диффузии:
  
• 
  
• источники тепла отсутствуют:
  
• 
  
• поддержание постоянной температуры на краях стержня:
  
• 
  
• начальное распределение температуры (см. график):

• Покрываем расчетную область сеткой

шаг по времени:

число точек по оси X:

соответственно, пространственный шаг:


дискретизация начального условия на сетке

Заменяем на сетке исходное дифференциальное уравнение

его разностной аппроксмацией в соответствии с шаблоном (см.рис.):

Выписанные равенства определяют (N-1)M линейных алгебраических уравнений относительно (N+1)(M+1) неизвестных чисел u_i,n (искомых значений функции в узлах сетки).
Еще M+1 равенств дадут начальные условия (для u_i,0) и еще 2N равенств дадут граничные условия (для u_0,i).

Уравнения образуют разностную явную схему Эйлера.

Решение этой системы уравнений очень просто, т.к., зная u_i,n для можно явно выразить через них искомые u_i,n+1 (на следующем шаге по времени):