Курсы кафедры прикладной математики

Введение в теорию самоорганизованной критичности

Подлазов Андрей Викторович
Введение в теорию самоорганизованной критичности Курс посвящен теории самоорганизованной критичности, составляющей ядро третьей парадигмы нелинейной динамики – парадигмы сложности. Термин «слож-ность» в его наиболее общем смысле понимается как несводимость некоторой системы к простой сумме составляющих ее элементов.
С физической точки зрения сложность системы неразрывно связана с целостно-стью ее поведения. Целостные свойства могут быть либо организованы искусственно, либо возникать естественным путем в результате процесса самоорганизации. В любом случае их математическим выражением служит степенной вид корреляционных зави-симостей и законов распределения вероятностей. Степенные зависимости являются масштабно инвариантными, т.е. для описываемых ими величин отсутствуют характер-ные значения, наличие которых обыкновенно является непременным условием для ма-тематического моделирования.
Свойства степенных распределений занимают в курсе особое место. В описы-ваемых ими системах крупные события происходят недостаточно редко, чтобы их ве-роятностью можно было пренебречь, в результате чего такие системы демонстрируют склонность к катастрофическому поведению. В этой связи масштабно инвариантные системы служат объектом пристального внимания активно развивающей в настоящее время теории управления риском. Степенные распределения обладают рядом свойств, качественно отличающих их «нестепенных». В частности, для описания подчиняющих-ся им величин приходится вводить новые статистические характеристики, поскольку привычные (например, математическое ожидание) утрачивают смысл.
Целостные свойства и описывающая их степенная статистика типична для т.н. критических явлений, примерами которых являются фазовые переходы II рода. Однако «обыкновенные» критические явления возможны лишь при тонкой подстройке управ-ляющих параметров, но не в ситуации общего положения. Существование сложных систем говорит о наличии иного механизма возникновения целостных свойств. Он свя-зан с самоорганизацией в критическое состояние, возможной в открытых нелинейных системах, находящихся вдали от положения равновесия. Самоорганизация происходит за счет установки параметра порядка в значение +0, что вынуждает управляющий па-раметр принять критическое значение.
Данный механизм достаточно прост и универсален, чтобы его реализации могли действовать в системах самой различной природы. Исследователями построено и изу-чено целое семейство самоорганизованно критических моделей, описывающих различ-ные процессы, наблюдаемые в биологии, астро- и геофизике, экономике и ряде других областей. Подробному изучению этих моделей отводится значительная часть курса.
Наряду с природой степенных распределений интерес представляют также кон-кретные механизмы их возникновения. Их исследование проливает свет на соотноше-ние ролей самоорганизации и целостности в появление у системы масштабно инвари-антных свойств. Если поведение элементов системы зависит от ее интегральных харак-теристик, то этого оказывается достаточно, чтобы у нее возникли целостные свойства на основе линейных механизмов. Если же поведение элементов строго локально, то для возникновения целостных свойств существенно необходимы нелинейность и самоорганизация.