Квазирешение

Одним из наиболее простых методов решения некорректных обратных задач является концепция поиска их квазирешения. Рассмотрим обратную задачу AN= f , где неизвестный вектор N, подлежит определению, а оператор (в линейном случае, матрица) А и вектор правых частей уравнений f известны. Подчеркнем, что задача может быть и нелинейной, т.е. оператор А может описывать сложную зависимость. 

Основная идея квазирешения состоит в параметризации неизвестного вектора N, исходя из физических соображений постановки задачи. То есть на основе некоторой имеющейся априорной информации следует заранее задать модельный вид N~N₀, зависящий от ряда параметров s₁, s₂, ... В результате, пространство поиска решений значительно сужается - вместо отыскания всех компонент вектора N, требуется лишь найти значения модельных параметров, решающих (в определенном смысле) задачу.

Квазирешение N₀ системы AN= f находится из решения задачи на минимум
s = arg min {||AN₀(s) - f||}, 
где минимизация проводится по переменным  s₁, s₂, ... - наборе параметров модельной зависимости N₀(s). Следует подчеркнуть, что задача поиска квазирешения является задачей на глобальный экстремум, что важно с позиций выбора вычислительного метода её решения (наиболее популярны градиентные методы поиска минимума в комбинации со сканированием для достижения глобальной минимизации - алгоритмами сплошного или случайного поиска).

Заметим также, что в соответствии с известной теоремой Иванова, задача о поиске квазирешения в такой постановке является корректно поставленной.