Линейная редукция

Рассмотрим  метод линейной редукции решения обратных задач на примере задачи томографии плазмы. Пусть в ходе эксперимента измеряется некоторый параметр (ради определенности, фаза зондирующей радиоволны Ф), зависящий линейно от вектора, подлежащего определению (поля показателя преломления в плазме n)  в виде интеграла
(1)
Фаза измеряется много раз, вдоль различных линейных траекторий радиолуча. Можно показать, что в таком случае выражение вектора измерений через искомый вектор электронной концентрации будет линейным и выражаться матричным соотношением:
(2) .
Алгоритм построения матрицы А выражает геометрию задачи (расположение траекторий радиолуча и способ аппроксимации, т.е. пересчета разностных значений интеграла (1) через неизвестные компоненты вектора n).  

Предположим далее, что шум каждого измерения входит в схему также линейно, тогда модель измерения (2) можно записать в следующем (для простоты сразу векторном) виде: 

(3) Таким образом, имеется хорошо изученная линейная модель измерений. Обратная задача восстановления формулируется так – отыскать такое преобразование R матричной системы линейных уравнений (3), чтобы его результатом была наилучшая (в некотором смысле) оценка:
(4) .
В случае достаточно низкого уровня шума оправдан поиск такой матрицы преобразования R, которая даёт несмещённую оценку , т.е. при котором произведение представляет собой единичную матрицу (редукция к идеальному прибору, [Пытьев]). В задачах дистанционного радиозондирования ситуация, в основном, обратная, поэтому логично рассмотреть задачу построения смещённой оценки с заданным ограничением на уровень шума 
(5)
, в которой ценой минимального смещения может достигаться значительное подавление шума. Решение этой задачи редукции имеет вид:
(6)
где omega - единственный корень уравнения
(7)
а - корреляционная матрица М-мерного вектора шума , Е – единичная матрица, верхний символ «т» справа от матрицы означает процедуру транспонирования «-1» – обращения, а «-» – псевдообращения. 
Таким образом, для завершения построения модели необходимо из априорных соображений попытаться задать матрицу . Например, можно предположить, что все измерения независимы и шум каждого из них имеет дисперсию (которую можно оценить экспериментальным путём для каждой пары передатчика и приёмника). Тогда на диагонали будут стоять соответствующие ковариации, а недиагональные элементы будут равны нулю. Развивая этот поход, можно предположить существенную зависимость соседних и независимость разнесённых (по времени) измерений и попытаться затем опытным путём подобрать соответствующие значения корреляции.

Такой способ формирования матрицы относится скорее к погрешностям измерений, тогда как основной вклад в шумовую составляющую даёт распространение сигнала. Если допустить наличие в реальном поле n(x,z) флуктуационной случайной составляющей, то можно попытаться выразить корреляционную матрицу шума через функцию ковариации неоднородностей электронной концентрации (а значит, и показателя преломления) в плазме, которую уже можно построить из физических соображений конкретной задачи. Кроме того, можно учесть, что ковариация шума на более близких лучах больше, нежели на отдалённых. Таким образом, можно попытаться априорно задать элементы матрицы , исходя из особенностей рассеяния радиоволн в случайно-неоднородной среде и из интегрального расстояния между лучами, соответствующего данным элементам матрицы А. 
Надо признаться, что предложенные попытки ввести корреляционную матрицу как шума, так и искомого сигнала достаточно искусственны, и на успех изложенного подхода можно надеяться, видимо, только после апробации различных моделей экспериментаторами. При практическом использовании изложенных алгоритмов необходимо в зависимости от конкретной структуры корреляционных матриц определять надёжность модели по методам, изложенным в [Пытьев], отметая модели с низкой надёжностью. Вместе с тем, даже скудная информация о свойствах шума может существенно улучшить надёжность реконструкции.