Семейства периодических решений уравнения Белецкого
( Families of Periodic Solutions of the Beletskii Equation
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Брюно А.Д.
(A.D.Bruno)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2000
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 99-01-01063)

Аннотация

Дается обзор достижений в изучении плоских периодических колебаний и вращений спутника вокруг его центра масс, который движется по эллиптической орбите в центральном гравитационном поле. Эти колебания и вращения спутника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (Белецкого) второго порядка с периодическими коэффициентами и двумя параметрами. Уравнение эквивалентно периодической системе Гамильтона с одной степенью свободы и имеет сингулярность. Оказалось, что двупараметрические семейства обобщенных периодических решений этого простого уравнения устроены довольно сложно. В частности, вблизи сингулярности уравнения эти семейства образуют сложные структуры нового типа.

Abstract

We give a survey of achievements in the study of planar periodic oscillations and rotations of a satellite around its masscenter that moves along the elliptic orbit in the central gravitational field. These oscillations and rotations are described by the ordinary differential (Beletskii) equation of the second order with periodic coefficients and two parameters. The equation is equivalent to the periodic Hamiltonian system with one degree of freedom and has a singularity. It appeared, that two-parameter families of generalized periodic solutions of the simple equation have the unexpetedly complicated structure. In particular, near the singularity of the equation these families form the very complicated structures of a new type.



1. Введение. Здесь дан обзор основных результатов изучения периодических и обобщенно периодических решений уравнения В.В. Белецкого [3], описывающего плоские колебания и вращения спутника вокруг его центра масс, движущегося по эллиптической орбите. Модификации этого уравнения здесь не рассматриваются. Основное внимание уделяется описанию общих свойств семейств указанных решений, их бифуркациям и взаимному расположению в расширенном фазовом пространстве. При этом излагаются лишь те результаты, которые не перекрыты к настоящему времени. Вопросы приоритета, как правило, не обсуждаются. Предыдущий обзор см. в § 1.3 [39].
Уравнение Белецкого и ограниченная задача трех тел [12] содержат основные особенности, встречающиеся в небесной механике. Поэтому на уравнении Белецкого удобно совершенствовать старые и разрабатывать новые методы изучения таких особенностей. К ним относятся методы усреднения и нормальной формы [11], изучение сингулярностей с помощью степенной геометрии [13], составление для специальных решений исходного уравнения системы краевых задач, включающей высшие вариации исходного уравнения [26-28], численное решение этих систем методами без насыщения [1] и с использованием нормальной формы [14-18].
Поскольку в разных публикациях одни и те же объекты обозначались и назывались по-разному, то в настоящей статье пришлось ввести некую единую систему названий и обозначений, отличную от всех, использовавшихся ранее.


2. Уравнение колебаний спутника и общие свойства его решений. Рассмотрим плоское движение спутника относительно его центра масс, который движется в центральном гравитационном поле по эллиптической орбите. Пусть главная ось инерции спутника, момент инерции относительно которой равен B, все время перпендикулярна плоскости орбиты. Моменты инерции относительно двух других главных осей инерции обозначим через A и C. Уравнение относительного движения вывел В.В. Белецкий в 1956 г. и опубликовал в 1959 г. [3]. Оно имеет вид
(1+ecosn)  d2d
d n2
 -2esinn  dd
d n
 +msind = 4esinn.
 (2.1)
Здесь d - удвоенный угол между радиус-вектором центра масс и осью инерции, относительно которой момент инерции равен C; m = 3(A-C)/B; e - эксцентриситет орбиты; n - угловое расстояние радиус-вектора от перигея орбиты (истинная аномалия). Из известного неравенства |A-C| Ј B следует, что |m| Ј 3.
Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка (2.1) имеет периодические коэффициенты и два параметра e и m, лежащие в прямоугольнике
{e,m: 0 Ј e Ј 1,  |m| Ј 3},
 (2.2)
но мы его будем рассматривать в полосе 0 Ј e Ј 1, |m| Ј Ґ, ибо в ней заметнее общие закономерности семейств решений. Уравнение (2.1) инвариантно при заменах
n,d,e,m  ®  n+p,d,-e,m;
n,d,e,m  ®  n,d+p,e,-m;
n,d,e,m  ®  -n,-d,e,m.
(2.3)
При e=0 уравнение (2.1) является уравнением математического маятника и интегрируется в эллиптических функциях [29,39-42]. При m = 0 оно также интегрируется в явном виде [4,5,7]. При 0 Ј e < 1 уравнение регулярно, при e=1 оно имеет особенность: для n = p коэффициент при старшей производной обращается в ноль. Тем не менее, при e=1 можно выделить все ограниченные решения уравнения (2.1). Используя методы теории регулярных возмущений, можно исследовать решения уравнения (2.1) при малых e и при малых m. В остальных случаях решения уравнения (2.1) находились и исследовались численно.
Решения d(n) и d(n+2p) уравнения (2.1) будем рассматривать как одно. Решение d(n) уравнения (2.1) будем называть обобщенно периодическим (ОПР), если оно имеет вид
d(n)=j(n)+n p/q,
 (2.4)
где p и q - целые взаимно простые числа, q і 1, функция j(n) является 2pqr-периодической с целым r і 1. Число T=2pqr будем называть его периодом. Если p=0, то полагаем q=1; в этом случае решение (2.4) является обычным периодическим (ПР) или колебательным. При p № 0 ОПР (2.4) называется также вращательным. Если на ОПР (2.4) при некотором n0, кратном p, значение d(n0) также кратно p, то будем его называть симметричным, ибо, применяя нужное число раз две первые симметрии (2.3), можно перевести это ОПР в такое решение d(n), что d(0)=0. Согласно третьей симметрии (2.3) такое решение d(n) является нечетным. Для симметричного ОПР (2.4) с периодом T и с парой значений (n0,d(n0)), кратных p, значения (n0+T/2,d(n0+T/2)) также кратны p.
В случае общего положения ОПР (2.4) расположено на двупараметрическом семействе S ОПР с теми же значениями чисел p,q,r и той же симметричностью. Локальными параметрами на семействе S служат e и m. На каждом семействе ОПР фиксирован набор следующих величин: (p,q,r) согласно (2.4) и симметричность. Для семейства ПР числа p=0 и q=1, а период T=2pr.
Уравнение (2.1) эквивалентно системе Гамильтона
 dx1
dn
 =  H
x2
 ,        dx2
dn
 =-  H
x1
(2.5)
с одной степенью свободы и с периодической функцией Гамильтона
H=  1
2
 x22+  1
2
 x12  ecosn
1+ecosn
 -4ex1sinn-m(1+ecosn)cos  x1
1+ecosn
 .
При этом
x1=(1+ecosn)d    x2=xў1    def
=
 
   dx1/dn.
Поэтому решения уравнения (2.1) обладают свойствами решений системы (2.5). Локальные свойства периодических решений системы (2.5) описаны в [12, гл. II] и более подробно в [8,9]. Напомним те из них, которые потребуются в дальнейшем.
Для исследования устойчивости ОПР d(n) уравнения (2.1) рассмотрим уравнение в вариациях
(1+ecosn)  d2 y
d n2
 -2e  d y
d n
 sinn+mycosd(n)=0.
 (2.6)
Пусть M - его матрица монодромии, т.е. Y(n+T)=Y(n)M, где Y(n)=(
y1    y2
y1ў    y2ў
) - фундаментальная матрица решений уравнения (2.6). Собственные числа l1, l2 матрицы M, так называемые мультипликаторы, удовлетворяют характеристическому уравнению
l2-Tr l+1=0,
где Tr - след матрицы M. Если |Tr| > 2, то ОПР d(n) неустойчиво, так же как и все близкие к нему ОПР двупараметрического семейства S. Если |Tr| < 2, то ОПР d(n) и близкие к нему решения семейства S устойчивы в линейном приближении. В случае общего положения ОПР d(n) лежит на однопараметрическом подсемействе
SЗ{Tr=const}
 (2.7)
семейства S с фиксированным значением следа. Если |Tr|=2, то на семействе S это подсемейство служит границей между устойчивыми и неустойчивыми ОПР и называется критическим.
Рассмотрим теперь бифуркации семейств ОПР в случаях общего положения. Заметим, что двупараметрическое семейство S таких решений расслаивается на однопараметрические подсемейства (2.7). Если |Tr| > 2 на ОПР (2.4), то на семействе S вблизи этого решения бифуркаций нет. Если |Tr| < 2 на ОПР (2.4) и число
b = (2p)-1arccos(Tr/2)
 (2.8)
рационально, то вдоль подсемейства (2.7) от семейства S ответвляются 2 семейства s-кратных ОПР (т.е. с периодами sT), где s - знаменатель числа b. Обозначим эти семейства T+ и T-. Для нечетных s эти два семейства аналитически переходят друг в друга, поэтому их можно считать одним семейством, пересекающим семейство S. Для четных s эти два семейства не являются продолжением друг друга и заканчиваются на семействе S. Если Tr=-2, то по подсемейству (2.7) ответвляется одно семейство T+ или T- двукратных ОПР.
Если ОПР d(n) несимметрично и у него Tr=2, то по подсемейству (2.7) проходит складка семейства S, т.е. значения параметров e и m на семействе S достигают экстремумов на подсемействе (2.7).
Если ОПР d(n) симметрично, то семейство S состоит из симметричных ОПР и указанные выше семейства T+ и T-, ответвляющиеся от семейства S, также состоят из симметричных ОПР. Только в случае Tr=2 для симметричного ОПР возможна не только складка семейства S, но и бифуркация семейства T несимметричных решений.
Рассмотрим этот случай подробнее. Симметричное ОПР достаточно вычислить на полупериоде T/2. Для него значение следа Tr можно получить, вычисляя решения уравнения в вариациях (2.6) также на полупериоде. Пусть Y(0)=(
1    0
0    1
) и Y(T/2)=(
a    b
c    d
), тогда
Tr=2(ad+bc)/(ad-bc).
 (2.9)
Рассмотрим три случая общего положения:
a) a=0 или d=0, тогда Tr=-2 и по подсемейству (2.7) ответвляется семейство T двукратных симметричных ОПР.
b) b=0, тогда Tr=2 и подсемейство (2.7) является экстремальным на семействе S.
c) c=0, тогда Tr=2 и по подсемейству (2.7) ответвляется семейство T несимметричных ОПР. Подсемейство (2.7) не является экстремальным на семействе S.
В случаях a) и c) для ответвляющихся семейств T подсемейство (2.7) является экстремальным. Устойчивость семейств T и основного семейства S противоположны при одних и тех же значениях параметров e, m.
Возможны отдельные симметричные ОПР, в которых либо a=d=0, либо c=b=0. По этим ОПР на семействе S пересекаются два его подсемейства вида (2.7) и либо ответвляются два семейства симметричных двукратных ОПР, либо происходит и складка семейства S и ответвление несимметричного семейства T. Такие случаи действительно встречаются на семействах ОПР уравнения (2.1). Случай a=d=0 - в [43, рис. 9] (см. ниже фиг. 16) и оба случая - в [23, табл. 5].
Для описания одного двупараметрического семейства ОПР удобно рассматривать его проекцию на плоскость e, m. Чтобы изучать взаимное расположение решений и семейств в 5-мерном расширенном фазовом пространстве R5 уравнения (2.1) с координатами
n,d,dў,e,m
 (2.10)
произведем последовательно четыре его редукции.
10. В фазовом пространстве R5 найдем фундаментальную область относительно группы преобразований, порожденной симметриями (2.3). Будем использовать две фундаментальные области
W1={n О [0,2p),  d О [0,p/2],  dў О R,  e О [0,1],  m О R},
 (2.11)

W2={n О [0,2p),  d О [0,p],  dў О R,  e О [0,1],  m і 0}.
 (2.12)
Область W1 удобнее для изучения семейств симметричных ОПР, а W2 - несимметричных ОПР. В дальнейшем не будем различать решения, которые при этой редукции переходят в одно и то же решение в фундаментальной области. То же самое для семейств.
20. Расположение семейств в фундаментальной области W1 или W2 будем изучать по двум ее сечениям n = 0 и n = p. В каждом из них одно ОПР d(n) периода T представлено T/(2p) точками, двупараметрическое семейство ОПР - двумерными поверхностями, называемыми характеристическими множествами, а однопараметрические подсемейства - одномерными кривыми, называемыми характеристиками.
30. В каждом из этих двух четырехмерных сечений фундаментальной области W1 выделим трехмерную область симметрий d = 0:
W1З{n = 0, d = 0}    и    W1З{n = p, d = 0}.
 (2.13)
Каждое симметричное ОПР имеет две точки в объединении этих двух областей. Если его полупериод кратен 2p, то обе точки находятся в одной области, в противном случае - в разных. В этих областях размерность характеристических множеств семейства равна числу параметров семейства.
40. Наконец, двумерные сечения
e=const
трехмерных областей (2.13) удобны для рисунков, показывающих взаимное расположение одномерных характеристик семейств симметричных ОПР [19]. До 1993 г. для изображения семейств ОПР уравнения Белецкого использовались только их проекции. Изображение семейств их характеристиками в сечениях фазового пространства было давно принято в ограниченной задаче трех тел [12] и оттуда было перенесено на уравнение Белецкого в [19]. В этой статье полужирными буквами обозначены те множества в расширенном фазовом пространстве, размерность которых больше двух.


3. Случай e=0. При e=0 уравнение Белецкого (2.1) превращается в уравнение математического маятника
d"+msind = 0,
 (3.1)
где штрих означает производную по n. При m = a2 > 0 его интеграл энергии имеет вид
dў2/2+m-mcosd = 2mh,
 (3.2)
и общее решение уравнения (3.1) следующим образом выражается через эллиптические функции Якоби:
0 Ј h < 1,  d = 2arcsin[k sn a(n+n0)],  k=Цh,    w = pa/(2K(k));
 (3.3)

h=1,  d = -p+4arctgexp[±a(n+n0)];
 (3.4)

h > 1,  d = s2 am a(n+n0)/k,  k=1/Цh,  w = pa/(kK(k)).
 (3.5)
Здесь h - постоянная интеграла энергии (3.2), k - модуль эллиптических функций, K(k) - полный эллиптический интеграл первого рода, w - частота колебательных (в (3.3)) и вращательных (в (3.5)) движений, n0 - фаза, s = ±1. Случай m < 0 вторым преобразованием (2.3) сводится к рассмотренному случаю m > 0. На фиг. 1 показаны интегральные кривые уравнения (3.1) при некотором m > 0. Точки d = pl, dў=0 являются неподвижными: при четном l - центрами, при нечетном - седлами. Сепаратрисы соответствуют решениям (3.4), овалы внутри сепаратрис - колебательным решениям (3.3), а кривые вне сепаратрис - вращательным решениям (3.5).
При m О R стационарные решения d = 0, dў=0 образуют однопараметрическое семейство, которое обозначим A. Параметром на нем служит m. Эти решения можно рассматривать как 2p-периодические. Тогда у них
Tr= м
п
н
п
о
2cos
Ц
 
m
 
  p,
если    m і 0,
2 ch
Ц
 
|m|
 
  p,
если    m Ј 0.
(3.6)
Множество колебательных решений (3.3) распадается на двупараметрические семейства с фиксированной частотой w. Семейства с рациональной частотой w = p/q обозначим Bw. Они состоят из ПР с периодами 2p/w. Их также можно рассматривать как 2pq-периодические. У этих периодических решений след Tr=2.
Множество вращательных решений (3.5) также распадается на двупараметрические семейства с фиксированным значением произведения sw. Семейства с рациональной частотой w = p1/q обозначим Csw. Эти семейства состоят из ОПР (2.4) с r=1, при этом значение p/q в (2.4) равно sp1/q, т.е. p=sp1 и q=q. У них Tr=2.
На фиг. 2, взятой из [25], показаны характеристики семейств A, B1, B2, B3, B4, C-3, C-2, C-1, C1, C2, C3, расположенные в плоскости симметрии W1З{n = 0, d = 0, e=0} для dў О [-8,8] и m О [-20,20]. При этом характеристика семейства A это ось m, характеристики семейств Bk расположены выше оси dў(0) и обозначены как Kk-1,0 слева от оси m и как Kk,0 справа, характеристики семейств Ck пересекают ось dў(0) и обозначены как K0,k для k < 0 и K1,k для k > 0. При n = p, d(p)=0 расположение характеристик аналогично, а при d(0)=p фиг. 2 надо заменить ее зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.
В каждом семействе Bw имеется по два подсемейства Bw± симметричных ПР. Это все те решения d(n), которые при каком-либо n кратном p принимают значения кратные p. Очевидно, к ним относятся все те решения, точки которых попали на фиг. 2 при n = 0 и n = p. К подсемейству Bw+ отнесем те решения, у которых d(0)=0 и dў(0) > 0 при n = 0. Для q=1,2,3 и некоторых p подсемейства Bw± изучены в [40]. При нечетных q № 1 оба подсемейства Bw± объединяются в одно.
Аналогично, каждое из семейств Csw содержит два подсемейства Csw± симметричных ОПР. Через Csw+ обозначим то из них, у ОПР которого d(0)=0.


4. Случай малых e. При e № 0 и m № 0 уравнение (2.1) неинтегрируемо, и его ОПР образуют двупараметрические семейства, описанные в п. 2. Некоторые из этих семейств продолжаются по e до значения e=0. Их предельные положения при e=0 являются однопараметрическими и называются порождающими семействами. Они составлены из частей семейств, имеющихся при e=0 и описанных в п. 3. При малых e > 0 уравнение (2.1) можно рассматривать как регулярное возмущение уравнения (3.1). Используя нормальные формы [11] или иную технику анализа регулярных возмущений, можно найти как порождающие решения, так и их возмущения. Поскольку возмущение симметрично, то все симметричные ОПР при e=0 являются порождающими. Некоторые из них изучены в [40-42].
Но имеются и несимметричные порождающие ОПР. В [23] для e О [0,1] на семействах F11-F14 симметричных периодических решений (которые вводятся в следующем абзаце) были вычислены подсемейства, соответствующие случаю c) п. 2 и обозначенные в [23] как C2kn. По этим подсемействам от симметричных семейств F1n ответвляются несимметричные семейства ПР. Некоторые (но не все) из этих подсемейств C2kn доходят до e=0 с конечным значением m. Следовательно, при этих значениях m от симметричного порождающего (т.е. предельного) семейства ответвляются несимметричные порождающие семейства. Такие места ответвлений несимметричных порождающих семейств обнаружены на наших подсемействах B2± при m = 5.75095 и подсемействах B4± при m = 18.8. Однако порождающие семейства несимметричных ПР и ОПР пока мало изучены.
Семейства Bw не пересекаются между собой, поэтому нет бифуркаций между решениями разных семейств Bw. Семейства Bw пересекаются только с семейством A (см. фиг. 2). На семействе A бифуркации возможны только на тех решениях, в которых Tr=2. Согласно (3.6) это решения с m = p2, где p=1,2,3ј. Они делят семейство A на части: A0 при m Ј 1, Ap при m О [p2,(p+1)2]. По этим решениям с семейством A пересекаются семейства Bp. Их симметричные подсемейства Bp± действительно объединяются с частями Ap семейства A в порождающие семейства F01, F11, F21,ј. Характер этих бифуркаций виден на фиг. 3 (n = 0) и фиг. 4 (n = p), взятых из [25] и изображающих характеристики порождаемых семейств F01-F41 (обозначены K0,0-K4,0) при e=0.1. Получается счетное число порождающих семейств симметричных ПР. При этом семейство F01 состоит из подсемейства B1- и части A0 семейства A. Каждое из остальных семейств Fp1 состоит из подсемейства Bp+1-, части Ap семейства A и подсемейства Bp+. Эти бифуркации и возмущения можно выразить в виде рядов по степеням e, что и было сделано в [47,45,4,2].
Каждое из семейств Csw не пересекается ни с каким другим семейством. Поэтому нет бифуркаций, связанных с этими семействами. Их симметричные подсемейства Csw± являются порождающими. Неизвестно, имеются ли на семействах Csw порождающие подсемейства несимметричных ОПР. Однако, при e > 0 существуют другие семейства симметричных ОПР (2.4) с теми же значениями p, q, r. При возрастании e эти семейства приходят из бесконечности. Характеристики некоторых таких семейств изображены на фиг. 3 и 4. Они там обозначены K1,2-, K1,1-, K2,-1+, K3,1+, K3,1-.
Характер устойчивости на порождаемых семействах изучался преимущественно численно (см. ниже п. 7).


5. Случай малых m. Если вместо истинной аномалии n в качестве независимой переменной взять среднюю аномалию t [46] и положить x = d+2n, то уравнение (2.1) примет вид системы
ЧЧ
x
 
 +m  (1+ecosn)3
(1-e2)3
 sin(x-2n)=0,
Ч
n
 
 =  (1+ecosn)2
(1-e2)3/2
 ,
(5.1)
где точка означает дифференцирование по t. Из второго уравнения можно выразить n как функцию от t и подставить в первое. Получится одно уравнение второго порядка, 2p-периодическое по t.
При m = 0 решения первого уравнения (5.1) суть
x = c0+ct,
где c0 О [0,2p) и c О R - произвольные постоянные, т.е. 
d(t)=c0+ct-2n(t).
 (5.2)
При c=2 это 2p-периодические решения, а при рациональном c=m/q это ОПР (2.4) с r=1 и p/q=c-2, т.е. p=m-2q и q=q.
Итак, для каждого рационального c имеется двупараметрическое семейство ОПР, которое обозначим Dc-2. Параметры на нем суть c0 и e. На семействе Dc-2 имеются два подсемейства Dc-2+ и Dc-2- симметричных ОПР. На этих подсемействах параметром служит e. Вблизи каждого семейства Dc-2 можно применить к уравнению (5.1) метод усреднения или метод нормальной формы [11]. Для этого вблизи семейства Dc-2 вводится локальная координата
x1=x-ct
и уравнение (5.1) записывается в виде системы
Ч
x
 
1 
 =ex2,
Ч
x
 
2 
 =ef(x1,t),
(5.3)
где e = Ц{|m|}, x1 и x2 малы. Посредством формальной 2p-периодической по t замены локальных координат
x1=y1+ Ґ
е
k=1 
 ek uk(y1,y2,t),

x2=y2+ Ґ
е
k=1 
 ek vk(y1,y2,t),
система (5.3) приводится к нормальной форме
Ч
y
 
1 
 =ey2,    
Ч
y
 
2 
 = Ґ
е
k=1 
 ek gk(y1,y2)    def
=
 
   g(y1,y2,e),
 (5.4)
которая является автономной системой. Она описывает поведение решений возмущенной системы (5.3) вблизи невозмущенного семейства Dc-2. В частности, неподвижным точкам системы (5.4) соответствуют ПР системы (5.3) и ОПР уравнения (5.1).
Для q=1 этот подход был реализован в [10, 11, 30-35]. А именно, в нормальной форме (5.4) были вычислены коэффициенты gk(y1,y2,e,p) для k=1-5 как явные функции от e О [0,1] при всех целых p=m-2. Оказалось, что
g2 є g4 є 0,
g1=-Fsiny1,
g3=Ycosy1siny1,
g5=y22 P(y1)+FQ(y1)siny1+R(1)cos2 y1siny1+R(2)sin3 y1,
(5.5)
где функции F, Y, P, Q, R(1) и R(2) зависят от e и p, а P и Q - еще и от y1. Поскольку неподвижные решения нормальной формы (5.4) определяются из системы ey2=0, g=0, при e № 0 эквивалентной уравнению

g(y1,0,e)=0,
 (5.6)
то в первом приближении по малому параметру e они определяются решениями уравнения g1(y1,0)=0, т.е.
F(e,p)siny1=0.
 (5.7)
При фиксированном целом p № -2 функция F(e,p)\not є 0. Это видно из локальных разложений функций F(e,p) вблизи e=0 и e=1, приведенных в [30]. Там же даны подробные таблицы функций F(e,p) для e О [0,1] и -12 Ј p Ј 8. В интервале e О (0,1) функция F(e,p) имеет один простой корень ep при p і 0 и не имеет корней при p=-1 и p Ј -3. При этом согласно огрубленной таблице на стр. 15 [26]
e0=0.6819,      e1=0.7881,      e2=0.8372,      e3=0.8660,
 (5.8)
а остальные ep не вычислены даже приближенно. Известно только, что они монотонно растут вместе с p. Поэтому и согласно (5.7) порождающими на семействе Dp являются симметричные подсемейства Dp± при любом целом p (на них siny1=0 и параметром служит e) и однопараметрическое несимметричное подсемейство Gp при p > 0 (с произвольным y1=c0 О [0,2p) и e=ep).
При p=-2 функции F є Y є 0, R(1) є R(2) и в (5.5)
g5=y22 P(y1)+R(1)siny1.
Функция R(1)(e) вычислена в явном виде (формула (68) в [31]). Она не имеет нулей для e О (0,1]. Следовательно, на семействе D-2 имеются только два порождающих подсемейства D-2±. Кроме порождающих, с помощью этого подхода были вычислены и порождаемые семейства Dp±(m) и Gp(m) для малых m. Отметим, что знак функции F(e,p) определяет устойчивость на порождаемых семействах Dp±(m) симметричных ОПР.
С помощью этого же подхода в [31-35] были изучены семейства ОПР при малых m вблизи e=1. А именно, коэффициенты gk в нормальной форме (5.4) были вычислены как функции от 1-e. Их разложения по возрастающим степеням 1-e начинаются с членов отрицательных степеней. С помощью ломаной Ньютона [11], составленной для уравнения (5.6) относительно 1-e и m, были выделены первые приближения этого уравнения при 1-e® 0 и m® 0. Первому ребру ломаной Ньютона для всех целых p № -2 соответствуют уравнения
-e[F(1,p)+2-33-4(1-e2)-3/2m2]siny1=0.
 (5.9)
Согласно [30, формулы (45) и (48)]
F(1,p)=-  p+2
3
 й
л 		1-J0(p+2)- p+2
у
х
0 
 J0(x) dx +
+ 2 p+1
е
k=0 
 Jk(p+2)+Jp+1(p+2) щ
ы 		< 0,    если    p > -2,
(5.10)
и
F(1,p)=F(1,-p-2)=-2(p+2)/3,    если    p < -2,
 (5.11)
где Jk(x) - функция Бесселя. В [30] приведены численные значения F(1,p) для -12 Ј p Ј 8. Поскольку для p > -2 значения F(1,p) < 0, то для каждого целого p > -2 вблизи e=1, m = 0 кроме семейств Dp± симметричных ОПР, соответствующих siny1=0, имеется также одно семейство несимметричных ОПР, приближенно описываемое равенством
1-e=bpm4/3,    m О [-m0,m0],    m0 > 0,
 (5.12)
где bp=2-33-8/3|F(1,p)|-2/3. Ситуация для p=-2 не известна, но, судя по вычислениям в [27], семейства, проходящего через значение e=1, m = 0 для p=-2, нет (см. ниже п. 7). Согласно равенствам (5.10) и (5.11) при p < -2 значения F(1,p) > 0. Поэтому уравнение (5.9) не имеет вещественных корней, кроме e = 0 и siny1=0.
Согласно [33-35] ломаная Ньютона уравнения (5.6) имеет второе ребро, которому могут соответствовать решения уравнения (5.6) вида
1-e=const m2+ј,
 (5.13)
хотя они и не обнаружены численно.
В работах [36-38] этот подход был распространен на семейства Dp/q с любым целым q > 1. Для них в нормальной форме (5.4) функции
g1 є ј є g2q є 0,    g2q+1=F(q)(e,p)sinq y1\not є 0,
и при e О (0,1) порождающие решения определяются равенством g2q+1=0. Функции F(q)(e,p) имеют в интервале e О (0,1) по q простых корней e(k)p/q, k=1,ј,q, если p > 0, и не имеют корней e О (0,1), если p < 0. Поэтому двупараметрическое семейство Dp/q содержит два симметричных порождающих подсемейства Dp/q± при любом p, и q несимметричных порождающих семейств при p > 0. Дальнейшие приближения нормальной формы (5.4), т.е. gk с k > 2q+1 не вычислялись. Поэтому ситуация вблизи e=1, m = 0 не изучена при q > 1.


6. Случай e=1. При e=1 и n = p в уравнении (2.1) коэффициент при старшей производной обращается в ноль, т.е. вблизи e=1 это уравнение сингулярно. В книге [13] изложены общие алгоритмы для анализа сингулярностей. На их основе в [20] была предложена следующая регуляризация уравнения (2.1). Если в уравнении (2.1) в качестве независимой переменной взять эксцентрическую аномалию E (см. [46]), то оно принимает вид
(1-ecosE)  d2d
d E2
 -esinE  dd
d E
 +msind = 4e

Ц
 
1-e2
 
  sinE
1-ecosE
 .
 (6.1)
Определим число t = t(e) > 0 условием p-n = E=t, и разобъем интервал n О [0,2p] на три части:
I1={n О [0,p-t]},    I2={n О [p-t,    p+t]},    I3={n О [p+t,2p]}.
Теперь для нахождения решений d(n) уравнения (2.1) на интервалах I1 и I3 будем использовать само уравнение (2.1), а на интервале I2 вместо переменной n будем использовать эксцентрическую аномалию E на интервале E О [t,2p-t], где уравнение (2.1) заменяется уравнением (6.1).
Этот подход был усовершенствован в [14-18], что позволило получить пределы семейств симметричных ОПР при e® 1. Суть усовершенствованного подхода заключается в следующем. При e=1 уравнение (2.1) с d1[(   def) || ( = )]  d(n) рассматривается на интервале n О [-p,p], а уравнение (6.1) с d2[(   def) || ( = )]  d(E) - на интервале E О [0,2p]. Решением считается последовательность функций d1(j), d2(j), j=1,2,3,ј, склеенных на границах интервалов для n и E следующим образом:
d1(j)(p)=d2(j)(0),    d1n(j)ў(p)=d2E(j)ў(0);

d2(j)(2p)=d1(j+1)(-p),    d2E(j)ў(2p)=d1n(j+1)ў(-p).
Такое решение 2pl-периодично, если
d2(l)(2p)=d1(1)(-p),    d2E(l)ў(2p)=d1n(1)ў(-p),
и обобщенно периодично, если имеет вид (2.4). Оказывается, что при фиксированном m № 0,-2 множество симметричных решений d1(n) с d1(0)=0 конечно, а множество симметричных решений d2(E) с d2(p)=0 счетно. Причем для каждого из этих решений значения на концах интервалов кратны p, а разности
d1(p)-d1(-p)=2pk1    и    d2(2p)-d2(0)=2pk2,
 (6.2)
где k1 и k2 - целые числа. При изменении m эти решения образуют аналитические семейства.
Для симметричных решений d1(n) с d1(0)=0 эти семейства обозначены K0, K1, K2,ј. Их характеристики в координатах dnў(0), m показаны на фиг. 5, взятой из [14,16]. Вокруг точки dnў(0)=-1, m = -2 характеристика семейства K0 закручивается в спираль с бесконечным числом витков. Эта точка соответствует решению d1*(n)=-n. Другая точка этой характеристики dnў(0)=-2, m = 0 соответствует решению d1**(n) = -2n. Эти два решения делят семейство K0 на три части: K01 с m > 0, K02 - между решениями d1* и d1** и K03 - за решением d1**, включая часть с m < -3. При этом значения числа k1 в (6.2) равны -1 на решениях из K01, -2 на K02 и 0 на K03. Для решений из остальных семейств Km число k1=(-1)m+1.
Для симметричных решений d2(E) с d2(p)=0 семейства предельных решений обозначены через L0, L±1, L±2,ј. В координатах d2Eў(p), m их характеристики показаны на фиг. 6, взятой из [14,16]. Семейства Ln с нечетным индексом n имеются только при m і 0, а с четным n - только при m Ј 0 (включая семейство L0). Для решений из семейств Ln число k2 из (6.2) равно -n.
Предельные ОПР склеиваются из решений семейств Km и семейств Ln при одинаковых значениях m. Так, предельное решение 2p-периодично, если оно составлено из решений d1 и d2 с k1+k2=0. Поэтому симметричные 2p-периодические решения образуют в пределе семейство F10, состоящее из пяти кусков
K01ИL-2,    m = 0,    K02ИL-1,    m = -2,    K03ИL0,
 (6.3)
и счетное число семейств
KmИL-1    (с четным  m)     и    KmИL1    (с нечетным  m),
 (6.4)
которые существуют только при m > 5. Отметим, что при e® 1 и m № 0,-2 симметричные ОПР в регуляризованных координатах непрерывно стремятся к предельным ОПР, составленным указанным образом из решений d1(n) и d2(E) семейств Km и Ln.
Для обеих предельных задач имеются также семейства несимметричных решений d1(n) и d2(E) с указанными свойствами. Они сейчас вычисляются автором и В.П. Вариным. Оказалось, что они устроены гораздо сложнее, чем предельные семейства симметричных решений. Проекция характеристики такого семейства несимметричных решений d1(n) на плоскость d1(0)/p, m это та из двух кривых фиг. 7, у которой минимум по m больше. Эта проекция имеет две спирали, которые не видны в масштабе фиг. 7. О других таких семействах см. в п. 7, ближе к концу.


7. Случай не малых e,1-e и m. При e № 0,1 и m № 0 существуют те семейства ПР и ОПР, которые соответствуют порождающим семействам, найденным при e=0, m = 0 и e=1 в пп. 4,5,6. А именно, это семейства симметричных ПР периода 2pq, которые обозначим Fqk, где k - номер семейства. При e=0 их порождающими служат симметричные подсемейства Bw и Bw± семейства Bw с w = p/q. А семейство F10 с d(0)=0 имеет порождающую часть D0+ при m = 0 и порождающую часть F10 при e=1, описанную в (6.3).
Имеются также семейства несимметричных ПР периода 2pq, которые обозначим Gqk. Их порождающие части при e=0 и e=1 пока не выделены, но найдены их порождающие части при m = 0 (см. п. 5). Так, порождающая часть семейства G10 при m = 0 состоит из подсемейств семейства D0 с e=e0 и e=1 (см. (5.8)).
Кроме того, имеются семейства симметричных ОПР (2.4) типа (p,q,1), которые обозначим Hksw с sw = p/q. Их порождающими являются симметричные подсемейства семейств Csw при e=0 и семейств Dsw при m = 0. Имеются также семейства несимметричных ОПР (2.4) того же типа (p,q,1). Их порождающие при e=0 и e=1 пока не найдены, а при m = 0 это подсемейства семейств Dsw с фиксированным значением e=e(k)p/q < 1 , k=1,ј,q (см. конец п. 5) для p > 0 и e=1 для любого p > -2 и q=1.
Имеются также семейства ПР и ОПР, которые сами не имеют порождающих, но связаны бифуркациями (т.е. пересекаются) с указанными семействами. Кроме того, могут быть семейства, не пересекающиеся с вышеперечисленными.
Вдали от значений e=0 и m = 0 семейства ПР и ОПР можно найти только численно. К настоящему времени вычислено несколько семейств ПР видов Fkq и Gk1 и семейств ОПР вида H1sw с sw = ±1,±2,±3, а также несколько кратных семейств, пересекающихся с этими. На фиг. 2-4 и 8-12, взятых из [25], показаны характеристики семейств Fk1 для k=0-4 (обозначены Kk,0) и семейств H1p для p=±1,±2,±3 (обозначены K0,p и K1,p) с d(0)=0 при n = 0 и e=0,0.1,0.3,0.5 (фиг. 2,3,8,9 соответственно) и при n = p и e=0.1,0.3,0.5,0.999 (фиг. 4,10,11,12 соответственно). При n = 0 и e=0.99 расположение характеристик не отличимо от случая e=1 (см. фиг. 5). При n = p и e=0.999 (фиг. 12) оно отличается от случая e=1 (фиг. 6) наличием горизонтальных отрезков вблизи m = ±2 и намечающихся горизонтальных отрезков вблизи m = 0. На фигурах видно появление новых участков семейств, обозначенных как Ki,j±, которые исчезают в бесконечности по m при e® 0. При увеличении e их характеристики встречаются с другими характеристиками семейств того же типа и происходят бифуркации. Наличие таких бифуркаций заметно при сравнении фиг. 8 с 9 и фиг. 10 с 11. В частности, имеется бифуркация семейства H11 (на фигурах оно обозначено как K1,1±). Заметим, что на фиг. 4, 10-12, показывающих сечения при n = p для ОПР (2.4) с q=1, координата m на фигуре отличается от настоящей координаты m множителем (-1)p, что соответствует этой координате в фундаментальной области W1.
Более детально были изучены семейства F10 , F11, G10, H11, H-11 и H-21. Семейства F10 и F11 и значения следа Tr на них были вычислены в прямоугольнике (2.2) [40-45]. На фиг. 13, взятой из [39] и [24], показаны проекции этих семейств на плоскость e, m. Там кривая L1[`(L)]1 , идущая от точки (0,1) является проекцией подсемейства F11З {Tr=2}, по ней происходит складка семейства F11 (см. случай b) п. 2). Области устойчивости семейств F10 и F11 заштрихованы соответственно горизонтально и вертикально. Их границы это прямая m = 0 и кривые, выходящие из точек L1 (Tr=2), L2 (Tr=-2), L3 (Tr=-2), L4 (Tr=2). Согласно [10,42] по кривой, проходящей через точку L4 от семейства F10 ответвляется семейство G10 несимметричных ПР. При этом точка L4 это точка e=e0, m = 0 в (5.8). Кривая, проходящая через эту точку вверх, проходит также через точку e=1, m = 0 в область отрицательных значений m [20] и при этом приближенно описывается формулой (5.12). При m < -1.4 и e > 0.9 семейство F10 имеет сборку. На самом деле, при e® 1 это семейство закручивается в спираль, которая имеется на предельном семействе K0 при e=1 вокруг точки d1ў(0)=-1, m = -2 (фиг. 5), а эта сборка - первый виток спирали. Дальнейшие витки этой спирали и другие критические подсемейства семейства F10 вычислены в [24]. Критические подсемейства других семейств F1k с k=1,2,3,4 вычислены в [23]. На фиг. 13 от точки L2 отходят две кривые, являющиеся проекциями критических подсемейств семейства F10 с Tr=-2, соответствующих случаю a) п. 2. Согласно [42] по каждому подсемейству ответвляется семейство двукратных симметричных ПР (периода 4p). Оба эти семейства ПР периода 4p продолжаются до e=0 и имеют порождающие части на семействе B1/2.
В [40-42] вычислены также семейства симметричных ПР периодов 4p и 6p, порождающие которых при e=0 лежат в семействах B1/2, B3/2, B1/3, B2/3, B4/3 и B5/3. Они ответвляются от семейств F10 и F11 по их критическим подсемействам с Tr=-2 и по их резонансным подсемействам с Tr=-1.
Кроме того, в [48] была изучена устойчивость по Ляпунову решений семейств F10 и F11 в строгой нелинейной постановке. Для этого по резонансным подсемействам с Tr=-1 и Tr=0 (т.е. третьего и четвертого порядков) были вычислены младшие члены нормальной формы функции Гамильтона (2.5) и по ним были выделены участки устойчивости и неустойчивости на этих подсемействах. Осталась неопределенной устойчивость на подсемействе, где равен нулю некоторый определитель из коэффициентов нормальной формы. На самом деле, неустойчивость на этом подсемействе может быт только в местах резонансов порядков q=5 и 6 (т.е. Tr=2cos(2pp/q)), а в остальных местах будет устойчивость по Ляпунову.
Итак, при e® 1 семейство F10 переходит в семейство (6.3), а семейство F11 - в семейство (6.4) с m=1. При e® 0 семейства F10 и F11 переходят в порождающие семейства F10 и F11 соответственно, при m® 0 семейство F10 переходит в порождающее семейство D0+.
В [44] для e Ј 0.98 вычислено семейство G10 несимметричных ПР, ответвляющееся от семейства F10. В [27,28] оно вычислено для e > 0.98, а к настоящему времен - до e=0.999 (автор и В.П. Варин). Напомним, что d(0)=0 на семействе F10. Обозначим через F10 семейство, которое получается второй симметрией (2.3) из семейства F10, на нем d(0)=p.
На фиг. 14 показана проекция семейства G10 на полуплоскость e,m і 0. Кривая G это проекция критического подсемейства F1[(   def) || ( = )]  F10З {Tr=2} семейства F10, по которому семейство G10 ответвляется от семейства F10. Кривые G1 и G1ў это проекции критических подсемейств F10 З{Tr=2} семейства F10 , по которым семейство G10 ответвляется от семейства F10 . Обе кривые G1 и G1ў являются отражениями продолжений кривой G в область отрицательных m. Вблизи точки e=1, m = 0 кривая G1ў проходит левее кривой G и пересекается с ней при m = 0.61 [20]. Кривые g и gў ответвляются от кривой G при m = 1.376 [42,44,28] и m = 0.3084 (новый результат автора и В.П. Варина, как и вся кривая gў) соответственно; они являются проекциями экстремальных подсемейств (Tr=2) несимметричного семейства G10 (см. п. 2). Кривые G, G1, G1ў, g, gў и прямая e=1 делят прямоугольник значений параметров e О (0,1), m О (0,3) на несколько областей. На рис. 14 цифрами 0, 2, 4 указано количество периодических решений семейства G10, проектирующихся в одну точку соответствующей области.
На фиг. 7 кривая с меньшим значением минимума по m это проекция сечения e=0.999 семейства G10 на плоскость d(0)/p, m. Она мало отличается от аналогичной кривой предельного семейства при e=1. Верхняя точка этой кривой соответствует кривой g фиг. 14, нижняя - кривой gў, точки с d(0)/p = 1 соответствуют кривым G1 и G1ў фиг. 14. В [44] вычислены также зоны линейной устойчивости семейства G10.
Согласно [14,16,24] при e® 1 семейство F01 закручивается в спираль, состоящую из двух ветвей, у каждой из которых число витков возрастает до бесконечности при росте e до единицы (см. фиг. 5). При проекции семейства F01 на плоскость e, m каждому витку спирали соответствует своя сборка, ограниченная экстремальным подсемейством, относящимся к случаю b) п. 2. В [24] эти экстремальные подсемейства обозначены C02k+1, где k=0,1,2,ј. Согласно [24] каждому подсемейству C02k+1 соответствует подсемейство, относящееся к случаю c) п. 2, которое в [24] обозначено C02k+2. По этому подсемейству от семейства F10 ответвляется семейство несимметричных ПР, которое обозначим G10(k). При этом G10=G10(0). При каждом e=const семейство G10(k) является ограниченным замкнутым множеством. В частности, при e=1 семейство G10(k) является замкнутым однопараметрическим семейством, которое обозначим G(k). Семейство G(0) обсуждалось в конце п. 6. Оно имеет две спирали. Недавно В.П. Варин вычислил семейство G(1). Оказалось, что оно также имеет две спирали.
Гипотеза (автор). На каждом семействе G(k) имеется по две спирали.
Поскольку при k®Ґ несимметричные семейства G(k) стягиваются к решению d1**(n)=-2n, являющемуся центром спирали симметричного семейства K0, то согласно гипотезе это решение является местом накопления бесконечного числа спиралей, образованных семействами несимметричных ПР.
Семейство H11 симметричных ОПР периода 2p вычислено в [6,43]. На фиг. 15, взятой из [43], показана его проекция на плоскость e, m. Штриховкой выделены зоны устойчивости в линейном приближении. Вблизи e=0.3, m = 1.3 семейство имеет сборку, связанную с бифуркацией, отмеченной ранее в этом пункте и видную на фиг. 8-11. Вершина сборки вычислена в [28] с большой точностью. Там же обнаружен тонкий эффект вблизи вершины. При e > 0.9 и m < -1.5 семейство имеет другую сборку, которая является внешним витком бесконечной спирали, связанной со спиралью фиг. 5. Кривая [^(G)]1+ это проекция критического подсемейства с Tr=2. Кривая [^(G)]1+ пересекает ось e в точках e=e1 и e=1 и продолжается через последнюю точку по формуле (5.12) в область m < 0 (на фиг. 15 этого участка нет). По критическому подсемейству, соответствующему кривой [^(G)]1+ происходит бифуркация семейства несимметричных ОПР периода 2p. В [6] вычислено семейство симметричных двукратных ОПР, ответвляющееся от семейства H11 по критическому подсемейству с Tr=-2 с проекцией [^(G)]2- на фиг. 15 вблизи верхней сборки семейства H11. При e® 0 семейство H11 переходит в семейство C1+, при m® 0 - в семейство D1+, при e® 1 - в два семейства: одно K1ИL0, а другое K01ИL-2, m = 0, K02ИL-3, m = -2, K03ИL-1. Либрационное вращение Меркурия соответствует семейству H11 [6]. Эксцентриситет орбиты Меркурия e=0.2056. Значение параметра m для Меркурия неизвестно, но оно должно лежать в одном из двух интервалов устойчивости, имеющихся у семейства H11 при указанном e согласно фиг. 15.
Семейство H-11 вычислено в [43]. Его проекция на плоскость e, m показан на фиг. 16, взятой из [43]. Здесь в соответствии с п. 5 кривая [^(G)]1+ пересекает ось e только в точке e=1 и приближенно описывается там формулой (5.12). Отметим, что верхняя и нижняя кривые [^(G)]1+ подходят к оси e=0 с однинаковым значением |m|. Вдоль критических подсемейств, соответствующим этим кривым, от семейства H-11 ответвляется семейство несимметричных ОПР периода 2p. Кривые [^(G)]2± соответствуют случаю а) п. 2. Видна точка их пересечения. При e > 0.8 и m < -1.5 семейство H-11 имеет сборку, и при e® 1 оно закручивается в спираль фиг. 5. При e® 0 семейство H-11 стремится к семейству C-1+, при m® 0 - к семейству D-1+, при e® 1 - к семейству K01ИL0, m = 0, K02ИL-1, m = -2, K03ИL1.
Часть семейства H-21 с m і 0 вычислена в [29]. Его проекция на плоскость e, m показана там же на рис. 5. В соответствии с п. 5 у этого семейства нет критического подсемейства с Tr=2, пересекающего ось m = 0 при e < 1. По-видимому нет даже такого подсемейства, пересекающего m = 0 при e=1. Этим семейство H-21 отличается от семейств Hpk с p > -2, которые согласно п. 5 при любом p имеют такое пересечение по формуле (5.12). Впрочем, отсутствие такого подсемейства и подсемейства вида (5.13) надо бы проверить точными вычислениями семейства H-2ў и следа на нем при очень малых 1-e, а также - вычислением старших членов нормальной формы (5.4). У семейства H-21 найдено только критическое подсемейство с Tr=-2. По-видимому, при m < 0 у семейства H-21 должна быть сборка с последующим (при e® 1) закручиванием в спираль. При e® 0 семейство H-21 стремится к семейству C-2+, при m® 0 - к семейству D-2+, а при e® 1 - к семейству K01ИL1, m = 0, K02ИL0, m = -2, K03ИL2.
Автор благодарит В.П. Варина за полезные замечания.




ЛИТЕРАТУРА
  1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.

  2. Бардин Б.С. О ветвлении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 4. С. 538-548.

  3. Белецкий В.В. О либрации спутника // Сборник "Искусственные спутники Земли". 1959. N 3. М.: АН СССР. С. 13-31.

  4. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 с.

  5. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: МГУ, 1975. 308 с.

  6. Белецкий В.В., Лавровский Э.К. К теории резонансного вращения Меркурия // Астрономический журнал. 1975. Т. 52. Вып. 6. С. 1299-1308.

  7. Белецкий В.В., Хентов А.А. Резонансные вращения небесных тел. Н. Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, 1995. 430 с.

  8. Брюно А.Д. Неустойчивость в системе Гамильтона и распределение астероидов// Математич. сборник. 1970. Т. 83. Вып. 2. С. 273-312.

  9. Брюно А.Д. Исследование по ограниченной задаче трех тел. I. Периодические решения системы Гамильтона. Препринт N 18. М.: ИПМ АН СССР, 1972.

  10. Брюно А.Д. О колебаниях спутника на эллиптической орбите. Препринт N 53. М.: ИПМ АН СССР, 1976.

  11. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256 с.

  12. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1990. 296 с.

  13. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. 288 с.

  14. Брюно А.Д., Варин В.П. Первая (Вторая) предельная задача для уравнения колебаний спутника. Препринт N 124 (128). М.: ИПМ РАН, 1995.

  15. Брюно А.Д., Варин В.П. Фрактальная структура периодических колебаний спутника // Материалы Международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева. М.: МГУ. 1996. Т. 1. С. 75-77.

  16. Bruno A.D., Varin V.P. The limit problems for the equation of oscillations of a satellite // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1997. V. 67. N 1. P. 1-40.

  17. Bruno A.D., Varin V.P. Singularities of oscillations of a satellite on highly eccentric elliptic orbits // Nonlinear Analysis. 1997. V. 30. No. 4. P. 2541-2546.

  18. Bruno A.D., Varin V.P. Generalized periodic solutions to the equation of oscillations of a satellite // ZAMM. 1999. V. 79. Supplement 2. P. S283-S284.

  19. Брюно А.Д., Петрович В.Ю. Вычисление периодических колебаний спутника. Регулярный случай. Препринт N 65. М.: ИПМ РАН, 1993.

  20. Брюно А.Д., Петрович В.Ю. Регуляризация колебаний спутника на сильно вытянутой орбите. Препринт N 4. М.: ИПМ РАН, 1994.

  21. Брюно А.Д., Петрович В.Ю. Вычисление периодических колебаний спутника. Сингулярный случай. Препринт N 44. М.: ИПМ РАН, 1994.

  22. Брюно А.Д., Петрович В.Ю. Вычисление периодических колебаний спутника // Математич. моделирование. 1997. Т. 9. Вып. 6. С. 82-94.

  23. Варин В.П. Критические семейства периодических решений уравнения колебаний спутника. Препринт N 101. М.: ИПМ РАН, 1996.

  24. Варин В.П. Критические подсемейства семейства K0 периодических решений уравнения колебаний спутника. Препринт N 20. М.: ИПМ РАН, 1997.

  25. Варин В.П. Обобщенные периодические решения уравнения колебаний спутника. Препринт N 97. М.: ИПМ РАН, 1997.

  26. Варин В.П. Локализация особенностей на семействах периодических решений ОДУ и их регуляризация. Препринт N 22. М.: ИПМ РАН, 1999.

  27. Варин В.П. Периодические решения уравнения Белецкого и их вырождения. Препринт N 23. М.: ИПМ РАН, 1999.

  28. Varin V.P. Degeneracies of periodic solutions to the Beletskii equation // Regular and Chaotic Dynamics. 2000. V. 5. N 3. P. 38-53.

  29. Златоустов В.А., Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Торжевский А.П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1964. Т. 2. Вып. 5. С. 657-666.

  30. Садов С.Ю. Анализ функции, определяющей устойчивость вращения почти симметричного спутника. Препринт N 84. М.: ИПМ РАН, 1994.

  31. Садов С.Ю. Коэффициенты осредненного уравнения колебаний спутника. Препринт N 27. М.: ИПМ РАН, 1995.

  32. Садов С.Ю. Нормальная форма уравнения колебаний спутника в сингулярном случае // Математич. заметки. 1995. Т. 58.Вып. 5. С. 785-789.

  33. Садов С.Ю. Высшие приближения метода усреднения для уравнения плоских колебаний спутника. Препринт N 48. М.: ИПМ РАН, 1996.

  34. Садов С.Ю. Метод усреднения для уравнения колебаний спутника при эксцентриситете, близком к единице // Материалы Международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева. М.: МГУ. 1996. Т. 2. С. 305-307.

  35. Sadov S. Singular normal form for a quasilinear ordinary differential equation // Nonlinear Analysis. 1997. V. 30. No. 8. P. 4973-4978.

  36. Садов С.Ю. Плоские движения почти симметричного спутника относительно центра масс с рациональными числами вращения. Препринт N 31. М.: ИПМ РАН, 1997.

  37. Sadov S. Functions that determine stability of rational rotations of a near symmetric satellite // Mathematics and Computers in Simulation. 1998. V. 4. N 5-6. P. 465-484.

  38. Sadov S. Lissajous solutions of the satellite oscillation equation: Stability and bifurcations via higher order averaging // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 1999. V. 2. N 2. P. 96-101.

  39. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. М.: ВИНИТИ, 1978. 224 с.

  40. Сарычев В.А., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты. Препринт N 48. М.: ИПМ АН СССР, 1975.

  41. Сарычев В.А., Златоустов В.А., Сазонов В.В. Численное исследование периодических решений дифференциальных уравнений второго порядка. Отчет. М.: ИПМ АН СССР, 1976.

  42. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1977. Т. 15. Вып. 6. С. 809-834.

  43. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1979. Т. 17. Вып. 2. С. 190-207.

  44. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Несимметричные периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1980. Т. 18. Вып. 1. С. 3-10.

  45. Торжевский А.П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1964. Т. 2. Вып. 5. С. 667-678.

  46. Wintner A. The Analytical Foundations of Celestial Mechanics. Princeton: Princeton University Press, 1941. 536 p. = Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967. 524 с.

  47. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс // Журнал вычислительной математики и математич. физики. 1963. Т. 3. Вып. 3. С. 528-538.

  48. Zlatoustov V.A., Markeev A.P. Stability of planar oscillations of a satellite in an elliptic orbit // Celestial Mechanics. 1973. V. 7. N 1. P. 31-45.

          
















Фиг. 1      Фиг. 2      Фиг. 3      Фиг. 4      




Фиг. 5      Фиг. 6      Фиг. 7      Фиг. 8      




Фиг. 9      Фиг. 10      Фиг. 11      Фиг. 12      




Фиг. 13      Фиг. 14      Фиг. 15      Фиг. 16      


File translated from TEX by TTH, version 3.40.
On 06 Oct 2003, 18:13.