\documentstyle[12pt,fancy]{article}
%\documentstyle[12pt]{article}
\setlength{\textwidth}{16.3cm}
\setlength{\textheight}{25.3cm}
\topmargin -2.5cm
\oddsidemargin 0.5cm
\language=1
\renewcommand{\topfraction}{.9}
\renewcommand{\textfraction}{.1}
\pagestyle{empty}
\font \Bbb=msbm10 scaled 1440
\language=1
\newcommand{\R}{\mbox{\Bbb R}}
\newcommand{\N}{\mbox{\Bbb N}}
\newcommand{\Q}{\mbox{\Bbb Q}}
\newcommand{\C}{\mbox{\Bbb C}}
\newcommand{\Z}{\mbox{\Bbb Z}}
\newcommand{\K}{\mbox{\Bbb K}}
\renewcommand{\emptyset}{\mbox{\Bbb \symbol{"3F}}}
\setlength{\itemsep}{-\parsep}
%\newcommand{\K}{{\rm{I\! K}}}
\newcommand{\defi}{{\;\buildrel \rm def \over =}\;}

\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\tx}{{\tilde{\tilde x}}}
\newcommand{\ty}{{\tilde{\tilde y}}}
\newcommand{\ti}{{\tilde{\tilde {\rm I}}}}

%\emergencystretch=3pt
\hfuzz=2pt
\tolerance=2500
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\large
\vbox{
\vskip 1 cm

\centerline{РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК}
\centerline{ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ}
\centerline{ИМЕНИ М.В. КЕЛДЫША}
\bigskip
\vskip 5cm


\centerline{А.Д.~Брюно}
\vskip 2cm
\centerline{СТЕПЕННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ}
\centerline{РЕШЕНИЙ}
\centerline{ОДНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ИЛИ}
\centerline{ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ}

\vskip 8cm
\centerline{Москва, 2000 г.}
}
\large
\newpage
\bigskip
\vbox{
\quad УДК 513+517

А.Д. Брюно. Степенные разложения решений одного алгебраического или
дифференциального уравнения.
Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 2000.

\bigskip

Здесь даются обобщения классических теорем Коши и Коши--Ковалевской о существовании
и единственности аналитического решения одного аналитического или
дифференциального уравнения.
Эти обобщения формулируются в терминах степенной геометрии и описывают
ситуации, когда можно оборвать вычисление дальнейших членов локального или
асимптотического степенного разложения решения одного уравнения (\S~1).
Даны также дальнейшие обобщения (\S~2).
Показано как применять эту теорию в сложных случаях (\S~3). В качестве примера
рассмотрено первое уравнение Пенлеве (\S~4).

\vskip 2.cm

A.D. Bruno. Power expansions of solutions of one algebraic or differential equation.
Preprint of the Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS. Moscow, 2000.

\bigskip

We give the generalizations of the classical theorems of Cauchy and
Cauchy--Kovalevskaya on the existence and uniqueness of the analytical solution
of one analytical or differential equation. The generalizations are given
in terms of Power Geometry and describe situations when we can stop the computation
of following terms of the local or asymptotic power expansion of a solution of one
equation (\S~1). We give also further generalizations (\S~2).
We show how to apply the theory in the complicated cases (\S~3).
As an example, we consider the first Painleve equation (\S~4).

\vskip 1.cm
\copyright\phantom{B}ИПМ им. М.B. Келдыша РАН, Москва, 2000 г.
}

\bigskip

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований, грант 99-01-01063.

\bigskip

E-mail: bruno@spp.keldysh.ru


\newpage
%\pagestyle{plain}
\input fancy

\begin{center}
{\bf \S~1. Класссические формулировки}
\end{center}
\smallskip

Напомним некоторые определения степенной геометрии [1, гл. VI, \S~1]. Пусть $u$ ---
зависимая переменная, а ${X}=(x_1,\ldots,x_n)$ --- независимые переменные $(n\ge 1)$.
{\it Дифференциальным мономом} $a(u,X)$ называется произведение обычного монома вида
$$
 {\rm const}\,u^pX^Q,   \eqno  (1.1)
$$
где $Q=(q_1,\ldots,q_n)$, $X^Q=$ {\Large $x_1^{q_1}\ldots x_n^{q_n}$}, и конечного числа
частных производных вида {\Large
$$
\frac{\partial^l u}{\partial x_1^{l_1}
\partial x_2^{l_2}\ldots\partial x_n^{l_n}}\defi\frac{\partial^{\|L\|}u}
{\partial X^{L}},    \eqno  (1.2)
$$}
где $L=(l_1,\ldots,l_n)$, $l=\|L\|\defi |l_1|+\ldots+|l_n|$.
{\it Дифференциальной суммой} $f(u,X)$ называется
(конечная или бесконечная) сумма дифференциальных мономов. Каждому дифференциальному моному
$a(u,X)$ ставится в соответствие его {\it векторный показатель степени} $R=(p,Q)\in\R^{n+1}$
по следующему правилу. Моному (1.1) соответствует показатель $(p,Q)$. Производной (1.2)
соответствует показатель $(1,-L)$. При умножении мономов их векторные показатели
степени складываются, т.е.
$$
\left(p(ab),Q(ab)\right)=\left(p(a),Q(a)\right)+\left(p(b),Q(b)\right).
$$
Дифференциальной сумме $f(u,X)$ соответствует множество ${\bf S}(f)$ векторных
показателей степеней ее дифференциальных мономов, называемое {\it носителем суммы} $f$,
и многогранное множество $\Gamma(f)$, являющееся замыканием выпуклой оболочки
носителя ${\bf S}(f)$.

Рассмотрим уравнение
$$
f(u,X)\defi{\cal L}(X)u+g(u,X)+h(X)=0,  \eqno  (1.3)
$$
где $f(u,X)$ --- дифференциальная сумма, у всех дифференциальных мономов которой
в сомножителе вида (1.1) число $p$ целое неорицательное,
${\cal L}(X)$ --- линейный дифференциальный
оператор, у всех точек $(p,Q)$ носителя ${\bf S}(g)$ координата $p\ge 1$, а
$h(X)$ не зависит от $u$. На слагаемые в уравнении (1.3) наложим следующие условия.

{\bf Условие 1.1.} Точка $(p,Q)=(1,0)$ является вершиной выпуклой оболочки
$\Gamma(f)$  носителя ${\bf S}(f)$, в сумме $f(u,X)$ ей соответствует слагаемое
${\cal L}(X)u$ и только оно.

Введем функцию:
$$
\nu(Q)\defi X^{-Q}{\cal L}(X)X^Q,
$$
и два множества в $\R^n$:
$$
{\bf L}=\left\{Q:\,Q\in\Z^n_{+},\,\nu(Q)=0\right\},\;\;
{\bf M}'=\left\{Q:\,Q\in\Z^n_{+},\,\nu(Q)\ne 0\right\},
$$
где $\Z^n_{+}$ --- множество целочисленных $n$-мерных векторов с неотрицательными
компонентами. Пусть ${\bf M}$ --- подмножество множества ${\bf M}'$, удовлетворяющее
следующим условиям.

{\bf Условие 1.2.} Для $Q_1,\ldots,Q_l\in{\bf M}$ сумма $Q_1+\ldots+Q_l\in{\bf M}$.

{\bf Условие 1.3.} Для любого $Q\in{\bf M}$ имеем
$
{\bf S}(g(X^Q,X))\subset{\bf M}.
$

{\bf Условие 1.4.}
$
{\bf S}(h(X))\subset{\bf M}.
$

\bigskip

{\bf Теорема 1.1.} {\it Если уравнение $(1.3)$ удовлетворяет условиям
$1.1$--$1.4,$ то оно имеет единственное решение вида
$$
u=u^{*}(X)\defi\sum c_Q X^Q,    \eqno  (1.4)
$$
где $u^{*}(X)$ --- формальный степенной ряд с ${\bf S}(u^{*})\subset{\bf M}$.
}

Для доказательства показатели $Q\in\Z^n_{+}$ вполне упорядочиваются следующим
образом. Пусть вектор $(s,N)\in\R^{n+1}_{*}$ лежит в нормальном конусе ${\bf U}$
вершины (1,0) множества $\Gamma(f)$ (см. [1]). Частично упорядочим векторы $Q\in
\R^n_{+}$ по величине $-\langle N,Q\rangle$, и произвольно полностью упорядочим
векторы $Q$ с равными значениями $\langle N,Q\rangle$. Теперь, двигаясь по
векторам $Q\in\Z^n_{+}$ соответственно этой полной упорядоченности, для каждого
коэффициента $c_Q$ из (1.4) получаем линейное уравнение
$$
{\cal L}(X)c_Q X^Q=\theta_Q X^Q,
$$
где $\theta_Q$ --- многочлен от коэффициентов $c_P$ с векторными индексами $P$,
предшествующими вектору $Q$ по введенной упорядоченности. Если $\theta\in{\bf M}$,
то $c_Q=\theta_Q/\nu(Q)$. Это дает и способ вычисления коэффициентов ряда (1.4).

Формальное решение (1.4) аналитического уравнения (1.3) может быть неаналитическим.

\bigskip

{\bf Пример 1.1} [2,3]. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
$$
f(u,x)\defi u-x^2\,du/dx-x=0.  \eqno  (1.5)
$$
Это уравнение вида (1.3) с $n=1$, ${\cal L}=1$, $g(u,x)=-x^2\,du/dx$, $h(x)=-x$.
Покажем, что оно удовлетворяет условиям 1.1--1.4. Поскольку вектор $Q$ одномерен
$(n=1)$, то $Q\defi q$. Носитель дифференциальной суммы
$f(u,x)$ состоит из трех точек: $R_1=(1,0)$, $R_2=(1,1)$, $R_3=(0,1)$.  Их
выпуклая оболочка является треугольником с вершинами $R_1$, $R_2$, $R_3$, и вершине
$R_1=(1,0)$ соответствует часть ${\cal L}u\equiv u$ суммы $f$, т.е. выполнено
условие 1.1. Поскольку оператор ${\cal L}=1$, то функция $\nu(q)=1$ для любых $q$.
Следовательно, множество ${\bf L}$ пусто, а множество ${\bf M}={\bf M}'$
состоит из всех
целых неотрицательных чисел, т.е. выполнено условие 1.2. Поскольку $g(x^q,x)=-q
x^{q+1}$, то ${\bf S}(g(x^q,x))=q+1$ и условие 1.3 выполнено. Наконец, ${\bf S}
(h(x))={\bf S}(-x)=1$, т.е. условие 1.4 выполнено. У формального степенного ряда
$$
u=\sum\limits_{k=0}^{\infty} c_k x^k,    \eqno  (1.6)
$$
удовлетворяющего уравнение (1.5), коэффициенты связаны соотношениями
$c_0=0$, $c_1-1=0$  и
$$
c_k-(k-1)c_{k-1}=0,\;\;k=2,3,\ldots.
$$
Следовательно, единственный формальный степенной ряд (1.6) есть
$$
u=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(k-1)! x^k.
$$
Он расходится при любом $x\ne 0$.

Дополнительные условия на уравнение (1.3), обеспечивающие аналитичность решения
(1.4), сформулируем следующим образом.

{\bf Условие 1.5.} Порядки  $l$ производных (1.2) в дифференциальной сумме $g(u,X)$
не превосходят максимального порядка производных в операторе ${\cal L}(X)$.

Обозначим через ${\bf M}_k$ пересечение
$$
{\bf M}\cap\left\{Q:\,|q_1|+\dots+|q_n|\le 2^k\right\}
$$
и положим
$$%b
\omega_k =
\left\{
\begin{array}{l}
1,\;\;\mbox{если}\;\;{\bf M}_k\;\;\mbox{пусто},\\
\min|\nu(Q)|\;\;\mbox{по}\;\;Q\in{\bf M}_k,\;\;\mbox{если}\;\;{\bf M}_k
\;\;\mbox{не пусто}.
\end{array}
\right.
\eqno  (1.7)
$$%e

{\bf Условие 1.6.}
$$
\beta=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\ln\omega_k}{2^k}>-\infty.   \eqno  (1.8)
$$

Это условие на малые знаменатели [3]. В примере 1.1 оно тривиально выполнено,
но не выполнено условие 1.5.

\bigskip

{\bf Теорема 1.2.} {\it Если в ситуации теоремы $1.1$ уравнение $(1.3)$ аналитично
вблизи $u=0,$ $X=0$ и удовлетворяет условиям $1.5$ и $1.6,$ то решение $(1.4)$
аналитично.}

Теперь рассмотрим ситуацию с заданным начальным значением $u=u^{**}(X)$, где
$u^{**}(X)$ --- степенной ряд.

{\bf Условие 1.7.} ${\bf S}(u^{**})\subset{\bf L}$.

{\bf Условие 1.8.} Если множество ${\bf L}$ не пусто, то точка $(p,Q)=(1,0)$
является вершиной выпуклой оболочки множества ${\bf S}(f)\cup{\bf M}$.

{\bf Условие 1.9.} Для любого $Q\in\Z_{+}^n$ имеем
${\bf S}(g(X^Q,X))\subset{\bf M}$.

Условия 1.8 и 1.9 являются усилениями условий 1.1 и 1.3 соответственно.

\bigskip

{\bf Теорема 1.3.} {\it Пусть уравнение $(1.3)$ удовлетворяют  условиям
$1.8,$ $1.2,$ $1.9,$ $1.4$ и степенная сумма $u^{**}(X)$ --- условию $1.7$.
Тогда уравнение $(1.3)$  имеет единственное формальное решение
$$
u(X)=u^{**}(X)+u^{*}(X),     \eqno  (1.9)
$$
где ${\bf S}(u^{*})\subset{\bf M}$.}

Для доказательства делается подстановка $u=u^{**}+v$, которая приводит к ситуации
теоремы 1.1.

\bigskip

{\bf Теорема 1.4.} {\it Если в ситуации теоремы $1.3$ сумма $u^{**}(X)$
аналитична вблизи $X=0,$ уравнение $(1.3)$ аналитично вблизи
$u=u^{**}(X),$ $X=0$ и удовлетворяет условиям $1.5,$ $1.6,$ то решение
$(1.9)$ аналитично вблизи $X=0$.}

Вариант теоремы 1.4 для линейного уравнения (1.3) сформулирован в [4]. Покажем,
что классичесские теоремы Коши и Коши--Ковалевской о существовании и единственности
аналитического решения являются частными случаями теоремы 1.4.

\bigskip

{\bf Пример 1.2.}  Рассмотрим теорему Коши о неявной функции [5;6;1,  гл. II,
теорема 1.1]. Она утверждает, что уравнение
$$
f(u,X)=0     \eqno  (1.10)
$$
имеет в нуле $X=0$ единственное аналитическое решение $u(X)$, $u(0)=0$, если
функция $f(u,X)$ аналитична в точке $u=0$, $X=0$, и в ней $f=0$, $\partial f/\partial
u\defi a\ne 0$. В этом случае уравнение (1.10) записывается в виде (1.3):
$$
f(u,X)\defi au+g(u,X)+h(X)=0,     \eqno  (1.11)
$$
где $h(X)=f(0,X)$, $g=f-au-f(0,X)$. При этом  ${\cal L}u=au$. Проверим выполнение
условий 1.1--1.9. Поскольку $f(0,0)=0$, то точка $(p,Q)=(0,0)$ не принадлежит
носителю суммы $f(u,X)$ и для всякой точки $(p,Q)$ носителя ${\bf S}(f)$ имеем
$p+q_1+\ldots+q_n\ge 1$ и $p\ge 0$, $q_i\ge 0$. Но точка $(p,Q)=(1,0)$ принадлежит
этому носителю и является вершиной выпуклой оболочки носителя $\Gamma(f)$,
ибо она является
вершиной симплекса $p+q_1+\ldots+q_n=1$, $p\ge 0$, $q_i\ge 0$. Этой точке
соответствует член $au$  в сумме (1.11) и условие 1.1 выполнено. Функция $\nu(Q)=a$
для всех $Q\in\Z_{+}^n$, поэтому множество ${\bf L}$ пусто, а множество
${\bf M}={\bf M}'=\Z_{+}^n$
и условия 1.2--1.4, 1.8, 1.9 тривиально выполнены. Поскольку в сумме $f(u,X)$ производные
отсутствуют, то их порядки равны нулю и условие 1.5 выполнено. Наконец, в формуле
(1.7) имеем $\omega_k=|a|$, т.е. в сумме (1.8) имеем $\beta=\ln|a|>-\infty$, и условие
1.6 выполнено. Здесь $u^{**}=0$, поэтому условие 1.7 также выполнено.

\bigskip

{\bf Пример 1.3.}  Рассмотрим теорему Коши о существовании и единственности
аналитического решения
$$
u(x),\;\;u(0)=u_0^{**},\;\;u'(0)=u^{**}_1,\ldots,u^{(l-1)}(0)=u^{**}_{l-1}  \eqno  (1.12)
$$
обыкновенного дифференциального уравнения
$$
u^{(l)}=\varphi(u,u',\ldots,u^{(l-1)},x),  \eqno  (1.13)
$$
где функция $\varphi$ аналитична в точке $(u_0^{**},$ $u^{**}_1,\ldots,u^{**}_{l-1},0)$
и целое $l\ge 1$ [5;7, гл. I, \S~5]. Здесь $n=1$, поэтому $Q=q$.
Чтобы записать уравнение (1.13)  в виде (1.3), умножим его на $x^l$. Получим уравнение
$$
f\defi x^l u^{(l)}+x^l{\tilde\varphi}(u,u',\ldots,u^{(l-1)},x)+x^l\psi(x)=0,
 \eqno  (1.14)
$$
где
$$
\psi(x)\defi -{\varphi}(0,0,\ldots,0,x),\;\;
{\tilde\varphi}\defi -\varphi+\psi.     \eqno  (1.15)
$$
Проверим выполнение условий 1.1--1.9 для уравнения (1.14) и начальной задачи (1.12).
В уравнении (1.14) в записи (1.3) имеем
$$
{\cal L}=x^l d^l/dx^l,\;\;g=x^l{\tilde\varphi},\;\;h=x^l\psi(x).  \eqno  (1.16)
$$
При этом ${\bf S}(x^l u^{(l)})=(1,0)$, носитель ${\bf S}(g)$ лежит в множестве
$$
\left\{(p,q):\,p\ge 1,\;q\ge -p(l-1)+l\right\}, \eqno  (1.17)
$$
и ${\bf S}(h)$ лежит на полупрямой
$$
\left\{(p,q):\,p=0,\;q\ge l\right\}. \eqno  (1.18)
$$
Поскольку для всех точек $(p,q)$ множеств (1.17) и (1.18) выполнено неравенство
$p(l-1)+q\ge l$, то оно выполнено и для выпуклой оболочки этих множеств. Но для
$(p,q)=(1,0)$ имеем $p(l-1)+q=l-1<l$. Поэтому точка $(p,q)=(1,0)$  является
вершиной выпуклой оболочки
носителя уравнения (1.14), (1.16) и ей соответствует только слагаемое ${\cal L}u$
(т.е. выполнено условие 1.1).  Здесь $\nu(q)=q!/(q-l)!$. Поэтому
$$
{\bf L}=\left\{q:\,0,1,\ldots,l-1\right\},\;\;
{\bf M}={\bf M}'=\left\{\mbox{целые}\;\;q\ge l\right\}.   \eqno  (1.19)
$$
Выполнение условия 1.2 следует из (1.19), а условий 1.3 и 1.4 --- из (1.16),
(1.15) и (1.18). Выполнение условия 1.5 следует из уравнения (1.14) и формул
(1.15),  (1.16). Согласно формуле (1.7) имеем
$$%b
\omega_k =
\left\{
\begin{array}{l}
1\;\;\mbox{для}\;\;{2^k<l},\\
l!\;\;\mbox{для}\;\;2^k\ge l.
\end{array}
\right.
\eqno  (1.20)
$$%e
Поэтому в сумме (1.8)
$$
\beta=\sum\limits_{k\ge\theta}
\frac{\ln(l!)}{2^k}=\ln(l!)
\sum\limits_{k\ge\theta}
\frac{1}{2^k}\ge 0>-\infty, \eqno  (1.21)
$$
где $\theta={\rm log}_2 l$, т.е. условие 1.6 выполнено. Положим
$$
u^{**}(x)=u_0^{**}+u^{**}_1 x+\ldots+u^{**}_{l-1} \frac{1}{(l-1)!} x^{l-1},
$$
тогда условие 1.7 также выполнено. Выполнение условия 1.8 следует из
того, что множество ${\bf M}$ из (1.19) лежит в множестве (1.18),
а условия 1.9 --- из вида множества ${\bf M}$ в (1.19) и вида суммы $g$ в (1.16).

\bigskip

{\bf Пример 1.4.}  Рассмотрим  уравнение
$$
\frac{\partial^l u}{\partial x^l_n}=\varphi\left(u,\left\{
\frac{\partial^k u}{\partial X^K}\right\},X\right),  \eqno  (1.22)
$$
где функция $\varphi$ аналитически зависит от нескольких производных указанного
вида с $K=(k_1,\ldots,k_n)\in\Z^n_{+}$,
$$
\|K\|\defi k=k_1+\ldots+k_n<l,  \eqno  (1.23)
$$
 и начальные данные при $x_n=0$
$$
\frac{\partial^i u}{\partial x^i_n}=b_i(x_1,\ldots,x_{n-1}),\;\;i=0,\ldots,l-1.
  \eqno  (1.24)
$$
Теорема Коши--Ковалевской [8,9] утверждает существование и единственность
аналитического решения $u(X)$ уравнения (1.22) вблизи точки $X=0$, если в
начальных данных (1.24) все функции $b_i(X)$ аналитичны в этой точке и в (1.22)
функция $\varphi$ аналитична в точке $X=0$,
$$
\frac{\partial^k u}{\partial X^K}=\left.\frac{\partial^k u^{**}}{\partial X^K}\right|
_{X=0}\defi \alpha_K,
$$
где
$$
u^{**}(X)=\sum\limits_{i=0}^{l-1}\frac{1}{i!}b_i(x_1,\ldots,x_{n-1})x_n^i. \eqno (1.25)
$$
Чтобы привести уравнение (1.22) к виду (1.3), умножим его на $x_n^l$. Получим уравнение
$$
f\defi x^l_n\frac{\partial^l u}{\partial x^l_n}+x_n^l{\tilde\varphi}
\left(u,\left\{\frac{\partial^k u}{\partial X^K}\right\},X\right)+x_n^l\psi(X)=0,
  \eqno  (1.26)
$$
где
$$
\psi\defi-{\varphi}(0,\{0\},X),\;\;{\tilde\varphi}\defi-\varphi+\psi.  \eqno  (1.27)
$$
Проверим выполнение условий 1.1--1.9 для уравнения (1.26) и начальных данных (1.24).
В уравнении (1.26) в записи (1.3) имеем
$$
{\cal L}=x_n^l\partial^l/\partial x_n^l,\;\;g=x_n^l{\tilde\varphi},\;\;h=x_n^l\psi.
\eqno  (1.28)
$$
При этом ${\bf S}({\cal L}u)=(1,0)$, носитель ${\bf S}(g)$ лежит в множестве
$$
\left\{(p,Q):\,p\ge 1,\;q_n\ge -p(l-1)+l\right\}, \eqno  (1.29)
$$
и ${\bf S}(h)$ лежит в множестве
$$
\left\{(p,Q):\,p=0,\;Q\ge 0,\;q_n\ge l\right\}. \eqno  (1.30)
$$
Для точек $(p,Q)$ множеств (1.29) и (1.30) имеем
$p(l-1)+q_n\ge l$. Следовательно, это неравенство выполнено для точек $(p,Q)$
 выпуклой оболочки множества ${\bf S}(g)\cup{\bf S}(h)$.  Но для точки
$(p,Q)=(1,0)$ имеем $p(l-1)+q_n=l-1<l$. Поэтому эта точка является вершиной
выпуклой оболочки
носителя уравнения (1.26), (1.28) и ей соответствует только слагаемое ${\cal L}u$
(т.е. выполнено условие 1.1).  Здесь  $\nu(Q)=q_n!/(q_n-l)!$. Поэтому
$$
{\bf L}=\left\{Q:\,Q\in\Z_{+}^n,\;q_n<l\right\},\;\;
{\bf M}={\bf M}'=\left\{Q:\,Q\in\Z_{+}^n,\;q_n\ge l\right\}. \eqno  (1.31)
$$
Выполнение условия 1.2 следует из (1.31), а условий 1.3 и 1.4 --- из (1.28),
(1.27) и (1.30). Выполнение условия 1.5 следует из неравенства (1.23). Здесь
справедливы формулы (1.20) и (1.21), т.е. условие 1.6 выполнено. Поскольку
носитель ряда (1.25) лежит в множестве ${\bf L}$ из (1.31), то условие 1.7
выполнено. Выполнение условия 1.8 следует из того, что множество ${\bf M}$ из
(1.31) лежит в множестве (1.30), а условия 1.9 ---  из вида множества
${\bf M}$ в (1.31) и вида суммы $g$ в (1.28), (1.27).

\bigskip

{\bf Замечание 1.1.}  В дифференциальном уравнении (1.3) координата $x_i$ является
параметром, если в уравнении нет производных по этой координате. Поэтому в
теоремах 1.2 и 1.3 содержатся также классические результаты Перрона об аналитической
зависимости решения от параметров и начальных данных [10;11, гл. II, п. 6.3].

Напомним, что дискретное множество точек (векторов) в $\R^{n+1}$ называется
{\it решеткой}, если оно замкнуто относительно сложения и вычитания. Решетка
${\bf K}\subset\R^{n+1}$ содержит начало координат и определяется своим базисом $B_1,
\ldots,B_{n+1}$. При этом унимодулярная замена базиса дает другой базис той же
решетки. В дальнейшем будем рассматривать только такие решетки
${\bf K}\subset\R^{n+1}$, у всех точек $(p,Q)$ которых координата $p$ --- целая.
Пусть ${\bf K}$ --- решетка, рассмотрим множество ${\bf\tilde K}=(1,0)+{\bf K}$
(т.е. параллельный сдвиг решетки ${\bf K}$ на вектор $(p,Q)=(1,0)$), а его
пересечение с гиперплоскостью $p=0$ обозначим через ${\bf K}'$. Пусть ${\bf K}^{'}
_{+}$ --- пересечение множества ${\bf K}'$ с неотрицательным ортантом $Q\ge 0$.

\bigskip

{\bf Теорема 1.5.}  {\it Если в определении множеств ${\bf L}$ и ${\bf M}'$
множество $\Z^n_{+}$ заменить множеством ${\bf K}^{'}_{+}$ и соответственно
понимать условия $1.2$--$1.9,$ то теоремы $1.1$--$1.4$ остаются справедливыми}.

\bigskip

{\bf Пример 1.5.}  Рассмотрим  первое уравнение Пенлеве [7;12;1, гл. VI, пример
1.1]
$$
u''=6u^2+x.
$$
Если его умножить на $x^2$ и правую часть перенести в левую, то получим уравнение
вида (1.3)
$$
f\defi x^2 u''-6x^2 u^2-x^3=0.
$$
Здесь $n=1$, ${\cal L}=x^2 d^2/dx^2$, $g=-6x^2 u^2$, $h=-x^3$, носитель ${\bf S}(f)$
состоит из трех точек $R_1=(1,0)$, $R_2=(2,2)$, $R_3=(0,3)$, и
вершине $R_1$ соответствует моном ${\cal L}u$. При этом $\nu(q)=q(q-1)$. Разности
между точками $R_i$ дают базис $B_1\defi R_2-R_1=(1,2)$, $B_2\defi R_3-R_2=
(-2,1)$ решетки
${\bf K}$.
Множество
${\bf\tilde K}=(1,0)+{\bf K}$
состоит из точек $(p,q)=(1,0)+kB_1+lB_2$, где $k$ и $l$ --- целые числа. Оно
пересекается с осью $p=0$ при $1+k-2l=0$, т.е. при $k=2l-1$. На множестве
${\bf K}'$  при этом $q=2k+l=5l-2$. Наконец, множество
${\bf K}^{'}_{+}$,
т.е. $q\ge 0$, состоит из точек $q=5l-2$ с $l\ge 1$. На этих
 точках $\nu(q)=(5l-2)(5l-3)\ne 0$. Следовательно, по теоремам 1.5 и 1.1
решение (1.4) имеет вид
$$
u^{*}=x^3\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^{5k}.  \eqno  (1.32)
$$
Поскольку $\nu(0)=\nu(1)=0$, то можно задать начальные данные вида $u^{**}=c_0+
c_1 x$. Если $c_0\ne 0$, то объединение ${\bf S}(f)\cup{\bf S}(u^{**})$ содержит точки
$R_1$, $R_2$, $R_3$ и $R_4\defi(0,0)$. Разности этих точек порождают целочисленную
решетку $\Z^2$ с базисом $(1,0)=R_1-R_4$ и $(0,1)=(R_3-R_2)-2(R_1-R_4)$. Если
$c_0=0$ и $c_1\ne 0$, то разности точек $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_5\defi(0,1)$
порождают решетку с базисом $B_2\defi(R_3-R_1)-(R_5-R_1)=(0,2)$ и $B_1\defi(R_2-R_1)-
(0,2)=(1,0)$. При этом в первом случае множество
${\bf K}^{'}_{+}$
состоит из целых точек $q\ge 0$, а во втором --- из точек вида $q=1+2k$, где
целое $k\ge 0$. Следовательно, в первом случае решение $u^{*}+u^{**}$ --
обычный степенной ряд, а во втором --- ряд  по нечетным степеням $x$.

\bigskip

\begin{center}
{\bf \S~2. Обобщения}
\end{center}
\smallskip

В степенной геометрии рассматриваются следующие преобразования:

1) умножение уравнения на моном $X^T$, что влечет параллельный перенос его
носителя на вектор $T$;

2) степенное преобразование переменных {\Large
$$
u=vX^W,\;\;W\in\Z^n \eqno  (2.1)
$$
$$
x_i=Y^{R_i},\;\;R_i\in\Z^n,\;\;i=1,\ldots,n,  \eqno    (2.2)
$$}
с неособой матрицей $({R}'_1\ldots {R}'_n)$, где штрих обозначает
транспонирование. Это преобразование влечет аффинное преобразоввание
носителя уравнения. Поэтому условия 1.1--1.9 можно сформулировать в форме,
инвариантной относительно этих преобразований.

Рассмотрим уравнение (1.3), описанное в \S~1, но теперь на его слагаемые
наложим более слабые условия.

{\bf Условие 2.1.} Точка $(p,Q)=(1,T)\defi V$ является вершиной замыкания
выпуклой оболочки $\Gamma(f)$ носителя ${\bf S}(f)$, в сумме (1.3) ей соответствует
слагаемое ${\cal L}(X)u$ и только оно.

Пусть ${\bf T}$ --- касательный конус вершины $V$ многогранного множества $\Gamma(f)$,
т.е. ${\bf T}$ --- коническая оболочка всех направляющих векторов ребер
многогранника $\Gamma(f)$, выходящих из вершины $V$. Пусть ${\bf K}$ --- такая
решетка в $\R^{n+1}$, что ${\bf S}(f)-V\subset{\bf K}$. Определим множество
$$
{\bf K}^{''}_{+}
\defi\left\{{\bf T}\cap{\bf K}+(1,0)\right\}\cap\{p=0\}.  \eqno  (2.3)
$$
Введем функцию
$$
\nu(Q)\defi X^{-Q-T}{\cal L}(X)X^Q  \eqno  (2.4)
$$
 и два подмножества в ${\bf K}^{''}_{+}$:
$$
{\bf L}=\{Q:\,Q\in
{\bf K}^{''}_{+}
,\;\nu(Q)=0\},\;\;
{\bf M}'=\{Q:\,Q\in{\bf K}^{''}_{+},\;\nu(Q)\ne 0\}.  \eqno  (2.5)
$$
Разложения по степенным мономам, векторные показатели которых лежат в произвольном
конусе, были введены в [13,14]. Там же показано, что области сходимости этих
разложений имеют вид {\Large $|X|^{T_i}$ }$<\varepsilon$, $i=1,\ldots,l$, где $T_1,\ldots,
T_l$ --- остов конуса.

{\bf Условия 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9} суть условия
1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9 соответственно, в которых множества
${\bf L}$ и ${\bf M}$ понимаются согласно (2.4) и (2.5), кроме того, в условии
1.8 точка $(1,0)$ заменена точкой $(1,T)$ и в условии 1.9 множество $\Z^n_{+}$
заменено множеством  ${\bf K}^{''}_{+}$.

{\bf Теоремы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4} {\it суть теоремы $1.1,$
$1.2,$ $1.3,$ $1.4$  соответственно$,$ в которых условия $1.1$--$1.9$ заменены соответствующими
условиями $2.1$--$2.9$.}

\bigskip

{\bf Замечание 2.1.}  Для алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений
ситуации с множествами $\Z^n_{+}$ и ${\bf K}^{''}_{+}$ эквивалентны (переводятся
друг в друга степенным преобразованием), но для уравнения в частных производных
условия с множеством ${\bf K}^{''}_{+}$ могут быть излишне жесткими.

\bigskip

{\bf Пример 2.1.}  Вблизи нуля $u=x=y=0$ рассмотрим  уравнение
$$
y^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+
a_1 y^2\frac{\partial u}{\partial x}+a_2 y^2(e^x+e^y)u+a_3 y^2=0,
$$
где $x=x_1$, $y=x_2$ и постоянные $a_1$, $a_2$, $a_3$ не равны нулю. Согласно
примеру 1.4 и формуле (1.30) для него множество ${\bf M}'$ в смысле \S~1 лежит
в квадранте
$$
\{Q:\,q_1\ge 0,\;q_2\ge 2\}.   \eqno  (2.6)
$$
Но носитель этого уравнения имеет точку $(1,-1,2)$, соответствующую второму
члену. Поэтому касательный конус ${\bf T}$ вершины $(1,0,0)$ имеет остов,
состоящий из трех векторов $(0,-1,2)$, $(0,0,2)$, $(-1,0,2)$. Пересечение
множества ${\bf T}+(1,0,0)$ с плоскостью $p=0$ ограничено лучами с направляющими
векторами $(-1,2)$  и $(0,2)$, выходящими из точки $(0,2)$, т.е. множество
${\bf M}'$ в смысле  \S~2 есть
$$
\{(q_1,q_2):\,2q_1+q_2\ge 2, \;q_2\ge 2\},
$$
что больше множества (2.6). Поэтому в теоремах \S~2  в условиях 2.2--2.9
ограничения на $\nu(Q)$ приходится налагать на большем множестве значений
$Q$, чем в теоремах \S~1 в условиях 1.2--1.9.

\bigskip

{\bf Замечание 2.2.}  Если уравнение $f(u,x)=0$ не имеет тривиального решения
$u=0$, то вершина --- единственная грань многогранника $\Gamma(f)$, которая
может лежать на уровне $p=1$. Если $n>1$, то на уровне $p=1$ могут лежать также
грани размерностей $d:\,0<d\le n-1$, например, ребра с $d=1$. Однако, таким
граням соответствуют не степенные разложения, а более сложные. Поэтому степенные
разложения  решений наиболее типичны для алгебраических кривых и обыкновенных
дифференциальных уравнений.

\bigskip

{\bf Пример 2.2.}  Рассмотрим  уравнение
$$
f\defi(x^2+y^2)u+f_4(u,x,y)+{\tilde f}(u,x,y)=0,  \eqno  (2.7)
$$
где $f_4$ --- однородный многочлен четвертой степени, а ${\tilde f}$ --- степенной
ряд без членов меньше пятой степени. Решение этого уравнения имеет вид
$$
u=-\frac{f_4(x,y,0)}{x^2+y^2}+\sum\limits_{k=5}^\infty\frac{h_k(x,y)}{(x^2+y^2)^
{l(k)}},  \eqno  (2.8)
$$
где $h_k$ --- однородные формы степени $k$ и $l(k)$ --- некоторая функция.
Сделаем замену координат
$$
z=x+iy,\;\;{\bar z}=x-iy.
$$
Тогда уравнение (2.7) примет вид
$$
g\defi z{\bar z}u+g_4(u,z,{\bar z})+{\tilde g}(u,z,{\bar z})=0,  \eqno  (2.9)
$$
а решение (2.8) ---
$$
u=\sum\limits_{k=4}^\infty\frac{{\tilde h}_k(z,{\bar z})}{(z{\bar z})^
{l(k)}},  \eqno  (2.10)
$$
Решение (2.8) соответствует ребру многогранника $\Gamma(f)$ уравнения (2.7) и
не является степенным разложением. Решение (2.10) соответствует вершине
многогранника $\Gamma(g)$ уравнения (2.9) и  является степенным разложением.

\bigskip

\begin{center}
{\bf \S~3. Вычисление степенных разложений}
\end{center}
\smallskip

Рассмотрим уравнение
$$
f(u,X)=0,  \eqno  (3.1)
$$
где $f$ --- дифференциальная сумма, $u\in\C$, $X\in\C^n$.  Напомним некоторые
определения из [1].

Пусть $\Gamma(f)$ --- замыкание выпуклой оболочки носителя ${\bf S}(f)$, т.е
многогранное множество. Если множество ${\bf S}(f)$ конечно, то $\Gamma(f)$ ---
многогранник. Его граница $\partial\Gamma$ состоит из {\it граней}
 $\Gamma_{j}^{(d)}$, где $d=\dim\Gamma_{j}^{(d)}$. Каждой грани соответствует
{\it граничное подмножество} ${\bf S}_{j}^{(d)}={\bf S}(f)\cap\Gamma_{j}^{(d)}$
носителя ${\bf S}(f)$. Все эти объекты лежат в пространстве $\R^{n+1}$. Кроме того,
каждой грани $\Gamma_{j}^{(d)}$ соответствует {\it укорочение}
  ${\hat f}_{j}^{(d)}(u,X)$ суммы $f(u,X)$, которая является суммой всех тех
дифференциальных мономов суммы $f$, показатели степеней которых $(p,Q)$ лежат
на грани $\Gamma_{j}^{(d)}$, т.е. --- в граничном подмножестве  ${\bf S}_{j}^{(d)}$.
Грани $\Gamma_{j}^{(d)}$ соответствуют также {\it укороченное уравнение}
$$
{\hat f}_{j}^{(d)}(u,X)=0  \eqno (3.2)
$$
и нормальный конус ${\bf U}_{j}^{(d)}$, лежащий в пространстве $\R^{n+1}_{*}$,
сопряженном пространству $\R^{n+1}$. При этом число $d$ называется {\it размерностью
уравнения} (3.2).

Пусть теперь степенное разложение
$$
u=\eta(X)=\sum\eta_Q X^Q,  \eqno (3.3)
$$
где показатели $Q$ не обязательно целочисленны, удовлетворяет уравнению (3.1).
Для него в $\R^{n+1}$ имеется свой носитель ${\bf S}(u-\eta)$, который состоит из
точки $E_0=(1,0)$ и носителя ${\bf S}(\eta)$, расположенного в подпространстве
$p=0$. Замыкание выпуклой оболочки носителя ${\bf S}(u-\eta)$ обозначим через
$\Delta$. Его граница $\partial\Delta$ состоит из граней $\Delta_{k}^{(e)}$,
где $e=\dim\Delta_{k}^{(e)}$. В дальнейшем нас будут интересовать только те
грани, которые содержат как точку $E_0=(1,0)$, так и хотя бы одну точку из
${\bf S}(\eta)$. Для них $1\le e\le n$. Каждой  такой грани соответствует
{\it укороченное решение}
$$
u={\hat\eta}_{k}^{(e)}(X)  \eqno (3.4)
$$
и нормальный конус ${\bf V}_{k}^{(e)}$. Если конус ${\bf V}_{k}^{(e)}$ пересекается
с конусом ${\bf U}_{j}^{(d)}$, то укороченное решение (3.4) является решением
укороченного уравнения (3.2), т.е.
$$
{\hat f}_{j}^{(d)}({\hat\eta}_{k}^{(e)}(X),X)\equiv 0.
$$

Напомним также, что максимальное линейное подпространство ${\bf N}_j^{(d)}$ в
$\R_{*}^{n+1}$, нормальное к грани $\Gamma_{j}^{(d)}$, называется {\it нормальным
подпространством} укороченного уравнения (3.2).  Аналогично определяется нормальное
подпространство ${\bf N}_k^{'(e)}$ укороченного решения (3.4) и размерность $e$
этого решения. Поскольку ${\bf U}_j^{(d)}\subset{\bf N}_j^{(d)}$ и
 ${\bf V}_k^{(e)}\subset{\bf N}_k^{'(e)}$, то для непустоты пересечения
 ${\bf U}_j^{(d)}\cap{\bf V}_k^{(e)}$ необходима непустота пересечения
 ${\bf U}_j^{(d)}\cap{\bf N}_k^{'(e)}$, но не достаточна. Отметим также, что у
укороченного уравнения (3.2) и укороченного решения (3.4) размерности меньше
$n+1$, т.е. они квазиоднородны.

Это дает основу для нахождения разложений вида (3.3) решений уравнения (3.1).
По носителю ${\bf S}(f)$ составляются все укороченные уравнения (3.2) и их
нормальные конусы ${\bf U}_j^{(d)}$. Для каждого такого уравнения (3.2)
согласно [15] находятся все такие квазиоднородные решения (3.4), для которых
пересечение ${\bf U}_j^{(d)}\cap{\bf N}_k^{'(e)}$ не пусто. Для каждого такого
решения (3.4) в уравнении (3.1) делается замена зависимой переменной
$$
u={\hat\eta}_{k}^{(e)}(X)+v.   \eqno  (3.5)
$$
Чтобы вычислить линейную по $v$ часть укороченной дифференциальной суммы
${\hat f}_{j}^{(d)}(u,X)$ воспользуемся производной Фреше.

Напомним, что дифференциальная сумма $f(u,X)$ имеет {\it производную Фреше} [16]
(или {\it первую вариацию})
$$
\delta f(u,X)/\delta u,
$$
которая обладает следующими свойствами.
Для обычного монома $cu^p X^Q$ имеем
$$
\delta(c u^p X^Q)/\delta u=cpu^{p-1}X^Q,\;\;c={\rm const},
$$
для производной $\partial^l u/\partial X^L$ имеем
$$
\delta(\partial^l u/\partial X^L)/\delta u=\partial^l/\partial X^L,
$$
для суммы $f(u,X)+g(u,X)$ имеем
$$
\delta[f(u,X)+g(u,X)]/\delta u=\delta f(u,X)/\delta u+\delta g(u,X)/\delta u,
$$
для произведения $f(u,X)$ и $g(u,X)$ имеем
$$
\delta(fg)/\delta u=(\delta f/\delta u)g+f(\delta g/\delta u).
$$
Здесь $g(u,X)$ --- дифференциальная сумма.

\bigskip

{\bf Лемма 3.1.} {\it Пусть $\eta(X)$ --- степенная сумма и при подстановке
$u=\eta(X)+v$ в дифференциальную сумму $f(u,X)$ получаем $\varphi(v,X)\defi f(\eta+v,X)$.
Тогда линейная по $v$ часть дифференциальной суммы $\varphi(v,X)$ есть ${\cal L}
(X)v,$ где
$$
{\cal L}(X)=\left.\frac{\delta{f}(u,X)}{\delta u}\right|_
{\displaystyle
{u=\eta(X)}}.
$$}
Это означает, что оператор ${\cal L}(X)$ является производной Фреше от $f$,
вычисленной для $u=\eta(X)$.

Теперь для укороченного уравнения $(3.2)$ и его решения $(3.4)$ положим
$$
{\cal L}(X)=\left.\frac{\delta{\hat f}_j^{(d)}(u,X)}{\delta u}\right|_
{\displaystyle
{u={\hat\eta}_k^{(e)}(X)}}.  \eqno  (3.6)
$$

\bigskip

{\bf Теорема 3.1.} {\it Если ${\cal L}(X)\not\equiv 0$ и пересечение
${\bf U}_{j}^{(d)}\cap{\bf N}_{k}^{(e)}$
не пусто$,$ то уравнение $(3.1)$ принимает вид
$$
\varphi(v,X)\defi f({\hat\eta}_{k}^{(e)}(X)+v,X)\defi{\cal L}(X)v+g(v,X)+h(X)
=0.    \eqno  (3.7)
$$
При этом многогранник $\Gamma({\cal L}v)$ является гранью многоганника
$\Gamma(\varphi)$.}

Для применимости теорем 1.1, 1.2 или 2.1, 2.2 необходимо, чтобы эта грань
$\Gamma({\cal L}v)$ была
вершиной. Как правило, это будет только в тех случаях, когда размерность $d$
исходного укороченного уравнения (3.2) равна нулю или единице.

Если к уравнению (3.7) не применимы теоремы 1.1, 1.2 или 2.1, 2.2, то для него
надо строить многогранник $\Gamma(\varphi)$, по его граням выделять укороченные
уравнения и с их помощью находить следующие члены разложения решения (3.4). Эту
процедуру надо продолжать шаг за шагом, пока не придем к ситуации, где
применима одна из указанных теорем.

Чтобы проверить условия 2.1--2.9 для уравнения (3.7), надо знать носитель
${\bf S}(\varphi)$. Его можно оценить, не вычисляя всей дифференциальной суммы
$\varphi (v,X)$. Напомним, что через $E_0$ обозначен такой вектор $(p,Q)\in\R^{n+1}$,
у которого $p=1$ и $Q=0$.

\bigskip

{\bf Теорема 3.2.} {\it Пусть $R_1\in{\bf S}(f)$ и множества ${\bf S}(f)-R_1$
и ${\bf S}({\hat\eta}_{k}^{(e)})-E_0$ лежат в решетке ${\bf K}$. Тогда в уравнении
$(3.7),$ полученном из $(3.1)$ подстановкой $(3.5),$ множество ${\bf S}(\varphi)-R_1$
также лежит в решетке ${\bf K}$ }.

\bigskip

{\bf Теорема 3.3.} {\it Пусть $(3.4)$ --- решение укороченного уравнения $(3.2)$
и уравнение $(3.7)$ получено из $(3.1)$ подстановкой $(3.5)$. Если вектор
$R_{*}\in\R_{*}^{n+1}$ нормален к носителю
${\bf S}(u-{\hat\eta}_{k}^{(e)})$ и лежит в конусе ${\bf U}_j^{(d)},$ то
$$
\max_{R\in{\bf S}(h)}\langle R_{*},R\rangle\ge\mu\defi\max\langle R_{*},R
\rangle \;\;\mbox{по}\;\;R\in{\bf S}(f-{\hat f}_{j}^{(d)}).
$$ }

Эта теорема позволяет оценить величину показателей $Q$ второго приближения в
разложении решения (3.3), если в (3.6)
$$
{\cal L}(X)u\not\equiv 0.  \eqno  (3.8)
$$
А именно,
$$
\langle Q_{*},Q_1-Q_2\rangle\ge\langle R_{*},R_1\rangle-\mu,
$$
где
$$
R_{*}=(p_{*},Q_{*}),\;\;Q_1\in{\bf S}({\hat\eta}_{k}^{(e)}),\;
Q_2\in{\bf S}(\eta-{\hat\eta}_{k}^{(e)}),\;\;R_1\in
{\bf S}({\hat f}_{j}^{(d)}).
$$

\bigskip

{\bf Следствие 3.1.} {\it Если $n=1,$ то разложение решения $(3.3)$ имеет вид
$$
u=\sum c_q x^q,\;\;q=q_1,q_2,\ldots.
$$
Значение $q_1$ определяется по укороченному уравнению $(3.2)$. При условии $(3.8)$
$$
|q_1-q_2|\ge\min|\langle N,R_1\rangle-\langle N,R_2\rangle|\;\;\mbox{по}\;\;
R_2,  \eqno  (3.9)
$$
где $N=(q_1,1),$ $R_1\in{\bf S}({\hat f}_{j}^{(d)}),$
$R_2\in{\bf S}(f-{\hat f}_{j}^{(d)}).$ }



Если в уравнении (3.1) отсутствуют производные, то это алгебраическое
(аналитическое) уравнение. В этом случае производные Фреше являются обычными
частными производными и функция $\nu(Q)$ не зависит от $Q$, т.е. является
константой. Поэтому условия 1.5, 1.6 и 2.5, 2.6 для них автоматически выполнены,
если $\nu(Q)\ne 0$. Для алгебраического уравнения надо брать только укорочения
(3.2) размерности $d=1$.

Для обыкновенного дифференциального уравнения (1.3) условия 1.6 и 2.6 автоматически
выполнены.

\bigskip

\begin{center}
{\bf \S~4. Первое уравнение Пенлеве}
\end{center}
\smallskip

В качестве примера найдем все степенные разложения решений первого уравнения
Пенлеве [7;12;1, гл. VI, пример 1.1]
$$
f(u,x)\defi d^2u/dx^2-6u^2-x=0.  \eqno  (4.1)
$$
Здесь $n=1$. Носитель уравнения (4.1) состоит из трех точек $R_1=(1,-2)$,
$R_2=(2,0)$, $R_3=(0,1)$. Их выпуклая оболочка $\Gamma$ это треугольник с вершинами
$\Gamma_k^{(0)}=R_k$, $k=1,2,3$ (см. рис. 1). Он имеет три ребра и 3 вершины.
Рассмотрим их последовательно.

Напомним, что согласно примеру 1.5 разности $R_2-R_1$ и $R_3-R_1$ лежат в
решетке ${\bf K}$ с базисными векторами $B_1=(1,2)$, $B_2=(-2,1)$.

Ребру $\Gamma_1^{(1)}$ соответствует укороченное уравнение
$$
{\hat f}_{1}^{(1)}(u,x)\defi u''-6u^2=0.  \eqno (4.2)
$$
Поскольку нормаль к этому ребру есть $N=(-2,1)$, то соответствующие степенные
решения уравнения (4.2) имеют вид $u=bx^{-2}$. Подставляя это выражение в уравнение
(4.2), находим $b=1$. Ищем решение уравнения (4.1) в виде ряда по возрастающим
степеням $x$
$$
u=x^{-2}+\sum c_q x^q,  \;\;q>-2,  \eqno  (4.3)
$$
 поскольку в нормальном конусе  ${\bf U}_1^{(1)}$ ребра $\Gamma_1^{(1)}$ лежит
вектор  $-N=(2,-1)$ и его вторая координата отрицательна. После подстановки
$$
u=x^{-2}+v  \eqno  (4.4)
$$
в уравнение (4.1) получаем уравнение
$$
v''-12vx^{-2}-6v^2-x=0.  \eqno  (4.5)
$$
Носитель этого уравнения состоит из тех же трех точек $R_1$, $R_2$, $R_3$.
Согласно примеру 1.5 решетка ${\bf K}$, порожденная разностями этих векторов и сдвинутая
на вектор $(1,0)$, пересекает ось $p=0$ в точках $q=5l-2$, где $l$ --- целое.
При этом $q>-2$, если $l\ge 1$. С другой стороны, в уравнении (4.5) оператор ${\cal L}=
d^2/dx^2-12x^{-2}$  и $\nu(q)=q(q-1)-12$. Корни этого многочлена суть $q^{(1)}=-3$
и $q^{(2)}=4$. Из них только $q^{(2)}=4>-2$. Но $q^{(2)}=4$ не имеет вид
$5l-2$. Поэтому согласно теореме
 2.2 уравнение (4.5) имеет единственное и аналитическое решение вида
$$
v=x^3\sum\limits_{l=0}^\infty {\tilde c}_lx^{5l}.  \eqno  (4.6)
$$
Этот результат следует также из теоремы 3.2 без выписывания уравнения (4.5).
Однако, корню $q^{(2)}=4$ характеристического уравнения $\nu(q)=0$ могут соответствовать
также решения другого типа. Чтобы выявить их, возьмем укорочение уравнения (4.5):
$$
v''-12x^{-2}v-x=0.
$$
Его решение вида $v=bx^3$ имеет $b=-1/6$. Сделаем замену
$$
v=-\frac{1}{6}x^3+w.   \eqno  (4.7)
$$
Из (4.5) получаем уравнение
$$
w''-12x^{-2}w-6\left(\frac{1}{36}x^6-\frac{1}{3}x^3 w+w^2\right)=0.  \eqno  (4.8)
$$
У этого уравнения  оператор ${\cal L}(x)$ тот же, что и у уравнения (4.5).
Поэтому характеристическое уравнение  $\nu(q)=0$ имеет корень  $q^{(2)}=4$.
Согласно теореме 2.4 для каждого значения $c_4$  уравнение (4.8) имеет
единственное и аналитическое решение вида
$$
w=c_4x^4+\sum\limits_{k=5}^\infty {c}_kx^{k}.  \eqno  (4.9)
$$
Выясним, какие показатели $k$ реально имеются в этом разложении. Носитель уравнения (4.8)
состоит из точек $R_1$, $R_2$ и $(0,6)$, $(1,3)$. Их разности суть векторы
$(2,2)$, $(-1,8)$, $(0,5)$.  Вместе с вектором $(0,4)-(1,0)=(-1,4)$ они
порождают решетку с базисом $(1,0)$, $(0,1)=(0,5)+(-1,4)-(-1,8)$. Поэтому в
разложении (4.9) присутствуют все показатели $k$. Итак, ребру $\Gamma_1^{(1)}$
отвечают одно решение (4.4), (4.6) и однопараметрическое семейство решений (4.4),
(4.7), (4.9) с параметром $c_4$.

Ребру $\Gamma_2^{(1)}$ соответствует укороченное уравнение
$$
{\hat f}_{2}^{(1)}(u,x)\defi -6u^2-x=0.  \eqno (4.10)
$$
Оно имеет два квазиоднородных простых решения $u=\pm ix^{1/2} /\sqrt{6}$. На них
$\partial{\hat f}_{2}^{(1)}/\partial u=\mp 2i\sqrt{6} x^{1/2}$, т.е. $\nu(q)=
\mp 2i\sqrt{6}\ne 0$. Поскольку вектор $N=(2,1)\in{\bf U}_2^{(1)}$  и $n_2>0$,
то разложение соответствующего решения полного уравнения (4.1) должно быть по
убывающим степеням $x^q$  с $q<\frac{1}{2}$. С другой стороны, после подстановки
$$
u=\pm ix^{1/2}/\sqrt{6}+v
$$
уравнение (4.1) принимает вид
$$
v''\mp\frac{i}{4\sqrt{6}}x^{-3/2}-6v^2\mp{2i}\sqrt{6}x^{1/2}v=0.  \eqno  (4.11)
$$
Его носитель состоит из точек $R_1$, $R_2$ и точек $(0,-3/2)$, $(1,1/2)$. Их
разности порождают решетку ${\bf K}$ с базисом $B_1=(1,2)$, $B_2=(0,5/2)$.
Множество $(1,0)+kB_1+lB_2$ пересекает ось $p=0$ при $k=-1$ и произвольном целом
$l$ в точках с $q=-2+5l/2$. При этом $q<\frac{1}{2}$, если $l<1$. Согласно
теореме 2.1 уравнение (4.1) имеет два формальных решения вида
$$
u=\frac{\sigma i}{\sqrt{6}}x^{1/2}+\sum\limits_{k=0}^\infty c_k(\sigma)x^{-2-5k/2},
\;\;\sigma=\pm 1.   \eqno  (4.12)
$$
Но для уравнения (4.11) с ${\cal L}=\pm 2i\sqrt{6}$ условие 2.5, тождественное условию
1.5, не выполнено. Поэтому эти ряды не обязаны сходиться, и, повидимому, расходятся
везде, и каждому из них соответствует бесконечно много решений. При $x=\infty$
эти решения имеют как алгебраическую особенность (квадратный корень), так и
существенную особенность, связанную с расходимостью рядов.

Ребру $\Gamma_3^{(1)}$ соответствует укороченное уравнение
$$
{\hat f}_{3}^{(1)}\defi u''-x=0.
$$
Его решение $u=\frac{1}{6}x^3$. Соответствующее решение полного уравнения (4.1)
является разложением по возрастающим степеням $x^q$  с $q\ge 3$.
После подстановки
$$
u=\frac{1}{6}x^3+v  \eqno  (4.13)
$$
уравнение (4.1) переходит в
$$
v''-6\left(\frac{1}{36}x^{6}+\frac{1}{3}x^{3}v+v^2\right)=0.   \eqno  (4.14)
$$
Характеристическое уравнение $\nu(q)\defi q(q-1)=0$ имеет корни $q^{(1)}=0$ и $q^{(2)}=1$,
оба они меньше, чем 3. Решетка, порождаемая  носителем уравнения (4.13), рассмотрена
в примере 1.5. Поэтому уравнение (4.14) имеет единственное и аналитическое решение вида
$$
v=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^{8+5k}.     \eqno  (4.15)
$$
Это решение (1.32) примера 1.5. Лишь это решение соответствует ребру $\Gamma_3^{(1)}$.

Вершине $\Gamma_1^{(0)}=R_1$ согласно примеру 1.5 соответствуют: а) двупараметрическое
семейство аналитических решений вида
$$
u=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^{k},     \eqno  (4.16)
$$
где $c_0\ne 0$  и $c_1$ --- параметры; б) однопараметрическое семейство
аналитических решений вида
$$
u=\sum\limits_{k=0}^\infty c_{2k+1} x^{2k+1},     \eqno  (4.17)
$$
где параметром служит $c_1\ne 0$.

Вершине $\Gamma_2^{(0)}=R_2$  соответствует укороченное уравнение
$$
v^2=0.
$$
Его решение $v=0$  тривиально и не может служить началом для разложения решения.
Аналогично, вершина $\Gamma_3^{(0)}=R_3$ не дает асимптотик решений.

Итак, уравнение (4.1) имеет следующие степенные разложения решений:

I. (4.4), (4.6), единственное.

II. (4.4), (4.7), (4.9), однопараметрическое семейство с параметром $c_4\ne 0$.

III. Два формальных решения (4.12).

IV. (4.13), (4.15) или  (1.32), единственное.

V. (4.16) --- двупараметрическое семейство с параметрами $c_0\ne 0$ и $c_1$.

VI. (4.17) ---  однопараметрическое семейство с параметром $c_1\ne 0$.

При этом все решения, кроме III, аналитичны.

\bigskip

\begin{center}
{\bf Литература}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item%1
Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях.
М.: Физматлит, 1998.
\item%2
Euler L. De seriebus divergentibus // Novi Comment. Acad. Sci. Petropolitanae
1754/55, t. 5, s. 205--237. Also in: Opera omnie. ser. I, vol. 14, Teubner,
Leipzig, 1925, p. 585--617.
\item%3
Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений //
Труды Моск. матем. об-ва 1971, т. 25, с. 119--239.
\item%4
Bruno A.D. Local and asymptotic expansions of solutions of differential equations
// Теория уравнений с частными производными и специальные вопросы теории
обыкновенных диференциальных уравнений. Тезисы докладов. Санкт-Петербург,
2000. С. 19--20.
\item%5
Cauchy A.L. Oeuvres Completes, t. 4--7, 10, 1897--1898.
\item%6
Гурса Э. Курс математического анализа.
М.--Л.: ГТТИ, 1933. Т. 1, ч. 2.
\item%7
Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений
М.--Л.: ГИТТЛ, 1941. 2-е изд. 1950.
\item%8
Ковалевская С.В. К теории дифференциальных уравнений в частных производных //
В книге: Научные работы. М.--Л.: АН СССР, 1948, с. 7--50.
\item%9
Солдатов А.П. Коши задача // Матем. Энциклопедия. М.: Советская Энциклопедия,
1982, т. 3, с. 45--49.
\item%10
Perron O. Mathematische Annalen, 1936, B. 113, S. 292--300.
\item%11
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ГИФМЛ, 1961.
\item%12
Розов Н.Х. Пелеве уравнение // Математическая Энциклопедия. М.: Советская
Энциклопедия, 1984, т. 4, с. 233--234.
\item%13
Брюно А.Д. Элементы  нелинейного анализа. Самарканд: СамГу, 1973.
\item%14
Брюно А.Д.
Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений.
М.: Наука, 1979.
\item%15
Брюно А.Д.
Автомодельные решения и степенная геометрия // Успехи матем. наук, 2000. Т. 55,
N 1, с. 3--44.
\item%16
Тихомиров В.М. Фреше производная // Математическая Энциклопедия. М.: Советская
Энциклопедия, 1985, т. 5, с. 666.

\end{enumerate}

\vspace{58ex}

\centerline{Рис. 1.}


\end{document}