1. Введение. В данной работе изучается возможность длительного при­ме­нения режима одноосной солнечной ориентации на искусственном спутнике Земли, снабженном солнечным парусом. Орбита спутника близка круговой и имеет высоту около 900 км. Ос­новными факторами, определяющими движение спутника относительно центра масс, являются гравитационный момент, мо­мент сил светового давления и эволюция орбиты.

Спутник (вместе с парусом) пред­ставляет собой осесимметричную кон­ст­рукцию, причем его ось симметрии явля­ется главной центральной осью мак­си­мального момента инерции. Центр давле­ния паруса лежит на этой оси и смещен относительно центра масс спут­ника. Ось симметрии направляется на Солнце так, чтобы центр масс спутника располагался между Солнцем и цен­тром давления. Затем спутник закручива­ется вокруг этой оси с угловой скоро­стью несколько градусов в секунду. Такое вращение устой­чиво, и если бы на спутник не дейст­вовали внешние моменты, то ось симметрии сохраняла бы не­изменное направле­ние в абсолютном про­странстве. Внешние моменты, прежде всего, гравитацион­ный и момент сил светового давления вызы­вают прецессию оси симметрии, что в общем случае должно приводить к нару­шению ориента­ции этой оси на Солнце. Однако в случае рассматриваемого спутника действие момента сил светового давления направляет прецессию таким образом, что эта ориентация сохраняется.

Если бы спутник не испытывал возмущающего действия гравитацион­ного момента, то угол между его осью симметрии и направлением на Солнце не пре­вышал бы нескольких градусов. Действие этого момента приводит к по­грешно­сти ориентации около . Возможность солнечной ориентации рас­сматривае­мого спутника следует считать несколько неожиданной. Во-первых, максималь­ное значение приложенного к спутнику гравитационного момента составляет примерно 70% от максимального значения момента сил светового давления (эти максимумы достигаются на разных положениях спутника). Во-вторых, при неко­торых положениях орбиты спутника относи­тельно направле­ния на Солнце на ор­бите имеется теневой участок, на кото­ром момент сил све­тового давления отсут­ствует и возмущающее действие гра­витационного мо­мента особенно велико.

Возможность реализации режима одноосной солнечной ориентации обос­новывается в рамках анализа уравнений вращательного движения спут­ника, ус­редненных по регулярной прецессии Эйлера. Описывающие этот ре­жим решения усредненных уравнений построены численно и исследованы с помощью сущест­вующего в данной задаче адиабатиче­ского инварианта. Ис­следовано влияние на рассматриваемый режим отсутст­вие части солнечного паруса из-за неполного развертывания последнего и возмущающее действие создаваемого парусом про­пеллирующего момента.

2. Момент сил светового давления. Спутник представляет собой не­боль­шое центральное тело, к которому прикреплен солнечный парус. Парус состоит из восьми одинаковых плоских лепестков, имеющих форму равнобед­ренного треугольника. Все лепестки без перекрытия можно уложить в пра­вильный вось­ми­угольник. Форму паруса опишем следующим образом. Пусть указан­ный вось­миугольник расположен в координатной плоскости  сис­темы координат , образованной главными центральными осями инер­ции спутника, при­чем точка  является центром восьмиугольника, а ось  про­ходит через сере­дину одной из его сторон. Лепестки последова­тельно за­нумеруем числами 1, 2, … , 8, приписав номер 1 лепестку, содержащему отре­зок положительной полуоси , номер 2 лепестку, содержащему биссектрису первого квадранта системы координат , и т. д. Лепестки с нечетными номерами перенесем вдоль оси  параллельно самим себе в плоскость , лепестки с четными номерами перенесем точно также в плоскость , . Затем каждый лепесток по­вернем на угол  вокруг прямой, проходящей через вершину лепестка на оси  параллельно его противоле­жащей стороне. Поворот выполним в сторону от­рицательной полуоси . По­лучим солнеч­ный парус.

Приведем некоторые геометрические характеристики такого паруса. Нор­маль к лепестку с номером  обозначим   и положим , . Тогда в системе координат  будем иметь

,   ,   ,   ,

,   ,   ,   .

Радиус-вектор геометрического центра -го лепестка (точки пересечения ме­диан соответствующего треугольника) относительно точки  обозначим . В системе

,   ,   ,   ,

,   ,   ,   .

Здесь , , ,  – высота лепестка-треуголь­ника, опущенная на его основание.

Перейдем к вычислению главного момента действующих на спутник сил светового давления. В качестве полюса выберем точку . Поскольку цен­траль­ное тело мало, будем учитывать действие света только на парус. Примем, что доля  попавших на парус фотонов отражается от него зеркально, доля фото­нов  полностью им поглощается. Будем рассматривать только такие поло­жения спутника, в которых угол между осью  и ортом  направления на Солнце меньше . Взаимное зате­нение лепестков учитывать не будем. При сде­ланных предположениях глав­ный момент приложенных к парусу сил светового давления определяется фор­мулами

,

,    .

Здесь  – давление света на плоское идеальное зеркало, расположенное пер­пен­дикулярно солнечным лучам в точке ,  –  площадь одного лепестка па­руса. Выписанные суммы вычислялись в системе координат . Сумми­ро­вание проводилось раздельно по четным и нечетным индексам. При этом выражения для сумм по четным индексам получаются из выражений для сумм по нечетным индексам заменой . После несложных, но громоздких вы­кладок для мо­мента сил светового давления была получена формула

,

.

Здесь  – орт оси .

Приведем числовые оценки. На орбите Земли  Н/м. Па­ра­метры конструкции паруса возьмем следующие: , , м, м (основание лепестка-треугольника несколько меньше  – стороны упоминавшегося выше восьмиугольника), м. В этом случае Нм.

          Полученные формулы относятся к освещенному Солнцем участку ор­биты спутника. В тени Земли действующий на спутник момент сил свето­вого давления равен нулю. Условие пребывания спутника в тени Земли запи­шем в предположе­нии, что Земля представляет собой шар радиуса  км. Это условие выражается неравенствами , , где  – геоцентрический радиус-вектор спутника. Выполнение первого неравенства означает, что спутник находится в прямом круговом цилиндре, касающемся поверхности Земли по ок­ружности большого круга, перпендику­лярного орту . Солнце лежит на оси этого цилиндра. Выполнение второго не­равенства озна­чает, что спутник и Солнце лежат в указанном цилиндре по раз­ные стороны от Земли.  Введем гео­центрическое расстояние спутника  и орт его ра­диуса-вектора . То­гда условие пребывания спутника в тени Земли можно вы­разить неравенством

.

3. Гравитационный момент. Действующий на спутник гравитационный момент можно представить в виде [1]

.

Здесь  – гравитационный параметр Земли,  – тензор инерции спутника. Рас­сматриваемый спутник осесимметричен, и в системе координат ,  образо­ванной его главными центральными осями инерции, тензор  имеет матрицу diag. Здесь  и  – осевой и экваториальный моменты инерции спут­ника. Следующие выкладки проведем в системе . Пусть в этой системе . Тогда

 .

Подставим найденное выражение для  в формулу гравитационного момента. Получим

.

          Приведем числовые оценки. Орбита рассматриваемого спутника близка к круговой. В случае круговой орбиты последняя формула принимает вид

,

где  – среднее движение (орбитальная частота) спутника. В рассматривае­мом случае  с,  кгм и  Нм. Из приве­ден­ных оценок следует, что максимальные значения гравитационного момента и момента светового давления сравнимы по величине.

4. Уравнения вращательного движения спутника. Спутник считаем твердым телом. Его уравнения вращательного движения под действием момента сил светового давления и гравитационного момента запишем в виде

         ,     .         (1)

Здесь  – время,  – кинетический момент спутника в его движении относи- тельно центра масс. Первое уравнение выражает обшую теорему динамики об изменении этого момента, второе уравнение – следствие кинематического уравнения Пуассона для орта . Исходная форма уравнения Пуассона

,

где  – угловая скорость спутника. Поскольку , то (ср. приведенную выше формулу  для )  и

.

Подстановка последнего соотношения в выписанное кинематическое уравнение приводит ко второму уравнению (1).

Уравнения (1) не дают полного описания вращательного движения спутника. Они описывают только изменение его собственного кинетического момента и движение оси . Однако для описания режима одноосной солнечной ориентации спутника – движений, в которых ось  составляет малый угол с ортом , – эти уравнения достаточны.

Уравнения (1) допускают первый интеграл const и интегральное со­отношение . Для численного интегрирования эти уравнения записывались во второй геоэкваториальной системе координат , связанной со средним экватором эпохи даты. Точка  – центр Земли, оси  и  направлены в соответствующие точку весеннего равноденствия и се­верный полюс мира, ось  дополняет систему до правой. Эта система коор­динат счи­талась инерциальной. Геоцентрическое движение Солнца рассчиты­валось по формулам [2], в качестве орта  принимался орт направления “Земля – Солнце”. Движение центра масс спутника рассчитывалось по формулам за­дачи двух тел, в которых учитывались вековые изменения элементов орбиты, обусловленные «».

Для реализации одноосной солнечной ориентации спутника на длитель­ных интервалах времени предлагается использовать движения с достаточно большим собственным кинетическим моментом. Эти движения близки регу­лярной прецес­сии Эйлера осесимметричного твердого тела, и при изучении этих движений внешние моменты можно рассматривать как малые возмуще­ния. Для прибли­женного интегрирования первого уравнения (1) в такой ситуа­ции воспользуемся методом усреднения. А именно, усредним правую часть этого уравнения по ре­гулярной прецессии Эйлера, считая положение Солнца и положение спутника на орбите неизменными. Замена точных уравнений ус­редненными допустима, если за период прецессии кинетический момент спут­ника практически не меняется. Приемы использования метода усреднения в рассматриваемой ситуации разрабо­таны в [1].

Выполнение усреднения начнем с рассмотрения регулярной прецессии Эй­лера. В этом движении const, изменение орта  описывается вторым уравнением (1), и в силу этих двух соотношений const. Для описания ре­гулярной прецессии введем  новый ортонормированный базис

,   ,   ,   .

Орт  сохраняет неизменное направление в пространстве и образует посто-янный угол с ортом , орты  и  вращаются вокруг  с постоянной угловой скоростью . Последнее утверждение следует из соотношений

,

.

          Перейдем к усреднению правой части первого уравнения (1). Начнем с гравитационного момента. Операцию усреднения некоторой функции  по регулярной прецессии Эйлера будем обозначать угловыми скобками с индексом 1: . Поскольку при усреднении величины  и  считаются неизменными, имеет место соотношение

.

Дальнейшие вычисления основаны на равенствах

,

.

Первое из них – следствие ортонормированности базиса ,  и , при выводе второго следует учесть, что здесь  и воспользоваться приве-денными выше выражениями для производных  и . Усредним эти равенства по регулярной прецессии Эйлера и учтем, что среднее значение полной производной по времени должно быть равно нулю [3]. Получим

,  .

Отсюда находим

.

Так как , , , то

.

Имеем также , поэтому

.

Окончательно получаем

.

Структура зависимости моментов  и  от  одинакова, поэтому аналогичные выкладки позволяют установить соотношение

.

Усредненное уравнение, описывающее изменение кинетического момента спутника, имеет вид

,

,    .

Левую часть выписанного уравнения представим следующим образом

.

Умножим это соотношение скалярно на . Поскольку  и в силу усредненного уравнения , получаем , const. Как уже говорилось, уравнения (1) допускают первый интеграл const, поэтому

.

Усредняя правую часть последнего соотношения по регулярной прецессии Эйлера, устанавливаем неизменность скалярного произведения . С учетом сделанных замечаний усредненное уравнение запишем в виде 

          ,        (2)

и величины  и  будем считать параметрами, характеризующими  пре­цес­сию, по которой выполнялось усреднение. Описание вращательного движе­ния спутника выглядит теперь следующим образом. Это движение пред­став­ляет со­бой быструю регулярную прецессию Эйлера с параметрами  и . Ось пре­цессии, задаваемая ортом , медленно изменяет свое направ­ление в соответст­вии с уравнением (2).

Уравнения (1), (2) записаны в предположении, что спутник освещен Солн­цем. В тени Земли члены этих уравнений, содержащие коэффициент , должны быть отброшены. Для удобства будем считать, что в этих уравнениях ука­занные члены присутствуют всегда, но  – кусочно-постоянная функция вре­мени: на освещенном участке орбиты , в тени Земли .

          Уравнения (2) допускают дальнейшее упрощение. А именно, если за время одного оборота спутника по орбите его собственный кинетический почти не ме­няется, то уравнения (2) можно усреднить по орбитальному дви­же­нию [1]. При усреднении орбитальное движение спутника следует считать кеп­леровым эллип­тическим, орты  и  неизменным. Операцию усреднения по орбитальному движению будем обозначать угловыми скобками с индексом 2. Справедлива формула [1]

.

Здесь  и  – большая полуось и эксцентриситет орбиты спутника,  – орт ор­битального кинетического момента (нормаль к плоскости орбиты). 

Эксцентриситет орбиты рассматриваемого спутника мал, поэтому при ус­реднении по орбитальному движению величины  орбиту будем считать круго­вой с радиусом, равным большой полуоси исходной орбиты. Тогда , где 

  при  ,     при  .

Величина  представляет собой отношение длины отрезка орбиты, находяще­гося в тени Земли, к длине всей орбиты. Для наибольшего затенения номи­наль­ной орбиты .

Усредненное по орбитальному движению уравнение (2) имеет вид

        .     (3)

Здесь  – среднее движение спутника.

Для численного интегрирования уравнения (2) и (3) записывались во вто­рой геоэкваториальной системе координат.

Сравним результаты интегрирования уравнений (1) – (3).  Начальный мо­мент  отнесем к  декретного московского (зимнего) времени 22.09.2001. Полагаем, что спутник в этот момент находится в восходящем узле орбиты. Параметры ор­биты возьмем следующие: большая полуось  км, эксцентриситет ,  наклонение – , начальное значение аргу­мента широты пе­ригея – . Начальное значение  долготы восходящего узла варьировалось. Для выбранного момента  целесообразно принять  или . Это позволяет получить длительные начальные уча­стки движения спутника без захода в тень Земли. Параметры паруса возьмем, как в разделе 2; бу­дем использовать два варианта значений моментов инерции спутника: 1)  1620 кгм, кгм, 2) кгм, кгм. Примем, что в нчаль­ный момент времени , , . Эти соот­ношения за­дают началь­ные условия уравне­ний (1). Из них же получаем на­чальное усло­вие  для уравнений (2), (3) и значения параметров этих уравнений , .

При сравнении результатов интегрирования уравнений (1) и (2) решения этих уравнений будем представлять графиками зависимости от времени ком-понент орта  во второй геоэкваториальной системе коор-динат. Для решений уравнений (1) . Результаты интегрирования приведены на рис. 1, 2. Здесь графики решений обоих уравнений изображены в одних и тех же координатных осях. Вычисленные решения достаточно хорошо совпадают по амплтудам и вековому изменению переменных , но при малых значениях  и больших значениях  фазы этих переменных заметно отли-чаются. Полученные результаты согласуются с типичными оценками погреш-ности метода усреднения.

При сравнении результатов интегрирования уравнений (2) и (3) решения этих уравнений будем представлять графиками зависимости от времени углов , , . Углы  и  служат для задания компонент орта  во второй геоэкваториальной системе координат: , , ;  – угол между ортами  и : . Результаты интегрирования приведены на рис. 3, 4. Графики решений обоих уравнений изображены на этих рисунках в одних и тех же координатных осях. Полученные результаты можно характеризовать также, как и в предыдущем случае. При малых значениях  и больших значениях  вычисленные решения заметно расходятся по фазе, но они всегда достоточно хорошо совпадают по амплтудам и вековому изменению переменных.

Проведенное сравнение показывает, что уравнение (3) в общем случае не пригодно для предсказания деталей движения спутника на срок в несколько суток (или десятков суток, в зависимости от значения ), но оно позволяет правильно оценить погрешность ориентации, исследовать эволюцию движения и решать другие подобные задачи, требующие знания амплитуд различных характеристик движения, а не их фаз. Ниже при изучении движения спутника на длительных интервалпх времени будет использоваться только уравнение (3). Преимущество этого уравнения перед уравнениями (1) и отчасти уравнением (2) – ничтожно малое время интегрирования на длительных интервалах времени и возможность качественного исследования.

5. Исследование усредненных уравнений. Будем считать, что , и введем обозначения

,    ,    .

Тогда уравнение (3) можно записать в виде

                                       ,                                          (4)

и в виде

                                                     .                                                    (5)

Последняя форма рассматриваемого уравнения и соотношение  позволяют преобразовать это векторное уравнение к гамильтоновой системе двух скалярных уравнений. Воспользуемся введенными выше углами  и . В   качестве незави­симых переменных примем  и . Тогда уравнение (5) можно привести к виду   

                                                              ,       .                                    (6)

В данном случае  выступает в роли обобщенной координаты,  – в роли обобщенного импульса. Указанное свойство уравнения (4) позволяет провести его приближенное аналитическое исследование.

Это исследование основано на следующих оценках. Скорость изменения орта  характеризуется коэффициентами  и . При  кгм,  кгм и /с эти коэффициенты имеют значения  с,   с. В то же время скорость изменения орта  составляет пример-но сут, т. е. с, скорость изменения  примерно на порядок больше. Следовательно, орты  и  – весьма медленно меняющиеся функции времени.

Предположим сначала, что эти орты неизменны. Такое предположение оправдано при изучении движения спутника на интервале времени в несколько суток. При сделанном предположении уравнение (4) допускает первый интеграл const, и его траектории представляют собой замкнутые кривые, являющиеся линиями пересечения единичной сферы  и пря­мого эллипти­ческого цилиндра const. Ось этого цилиндра проходит через центр сферы вдоль вектора . Пусть  и в начальный момент времени . Тогда максимальный угол между  ортами  и  дос­тигается в моменты вре­мени, когда орт  проходит через плоскость, натяну­тую на орты  и . Этот угол задается формулой

 .

Максимизируя правую часть последней формулы по скалярному произведению , найдем, что при любом взаимном расположении векторов  и  продольная ось спутника и направление на Солнца будут составлять угол, не превосходящий

.

Отношение , определяющее углы  и  не зависит от , но за­ви­сит от продолжительности теневого участка.

          Пусть  кгм,  кгм. Если орбита не имеет теневых уча­ст­ков, то в этом случае  и . Для наибольшего затене­ния  и . Пусть теперь  кгм,  кгм. Тогда для орбиты без теневых участков  и . В случае наиболь­шего затенения  и .

Рассмотрим случай медленно меняющихся ортов ,  и коэффициента . Функция  теперь не будет первым интегралом уравнения (4), и здесь следует воспользоваться указанной выше возможностью сведения этого урав-нения к гамильтоновой системе (6). Система (6) допускает адиабатический инвариант

.

Выписанная цепочка соотношений интерпретируется следующим образом. Первые два интеграла цепочки – определение адиабатического инварианта [3]. Они вычисляются по траекториии системы (6) в предположении, что ,  и  неизменны, т. е. по кривой, задаваемой уравнением  (– обозначение постоянной в соответствующем первом интеграле). Таким образом . Последний интеграл берется по области, ограниченной кривой  в плоскости . Как следует из вида этого интегра-ла, он равен площади  области на единичной сфере , ограни­ченной тра­екторией уравнения (4), которая отвечает значению первого инте­грала . Адиабатический инвариант можно считать приблизительно неизменным на всем интервале времени, на котором оказывается достаточно точным (по амплитудам) уравнение (4).

Существование адиабатического инварианта можно использовать так. Пусть для примера  – гравитационный момент не учитываем. Тогда первый интеграл  дает . Траектория орта  на еди­ничной сфере представляет собой окружность, центр которой лежит на ра­диусе сферы, параллельном орту . Рассмотрим траекторию, отвечающую знаку «+» в последнем соотношении. В этом случае , . Сохранение адиабатического инварианта означает, что угол  между ортами  и  остается неизменным в течение всего времени движения спутника несмотря на изменение со временем направления орта . Отсюда следует возможность односной солнечной ориентации спутника в случае, когда на него действует один лишь момент сил светового давления.

Аналогичная ситуация имеет место и при , только форма кривой, по которой движется конец орта , более сложна. Чтобы упростить использование адиабатического инварианта в этом случае, заменим площадь области, ограниченной кривой , на единичной сфере площадью проекции этой области на плоскость, перпендикулярную орту . Поскольку интерес представляют траектории уравнения (4), лежащие в окрестности конца этого орта, ошибка должна быть приемлемой. Введем систему коодинат  так, чтобы ось  была направлена вдоль орта  и орт  лежал в первом или втором квадранте плоскости . В этой системе , где , . Искомая область в плоскости  будет близка внутренности эллипса, задаваемого уравнением

                                  ,                             (7)

,   ,   .

Выписанное уравнение получено из точного уравнения границы искомой области отбрасыванием членов третьей и более высокой степени относительно  и . В данном случае

,       .

Пусть  - максимальный угол между ортами  и  на кривой . На кривой (7) соответствующему экстремальному положению орта  отвечает точка

,       ,

причем в рассматриваемом приближении . С помощью адиабатичес-кого инварианта указанный максимальный угол можно представить следую-щим образом

                                               .                                      (8)

Функция (8) медленно меняется во времени и должна служить достаточно точной оценкой сверху угла . Эта функция ограничена, причем из построе­ния указан­ной выше оценки следует неравенство . Значение  в (8) определяется по начальным условиям решения уравнения (4). Для решения с начальным условием  имеем

.

          Из полученных оценок угла , следует, в частности, возможность реа­ли­зации одноосной солнечной ориентации при . Эти оценки можно ис­пользовать и для тестирования программ интегрирования уравнений движе­ния спутника.

          Результаты интегрирования уравнения (4) на продолжительных интерва­лах времени при различных значениях моментов инерции спутника и угловой скоро­сти закрутки приведены на рис. 5 – 9. Эти результаты получены при ука­занных выше элементах орбиты и параметрах паруса. На рисунках изображены графики зависи­мости от времени углов , ,  и функции (8), а также ана­логичный график для угла  между ортами  и . Графики угла  и функции (8) при­ве­дены в одних и тех же координатных осях. Графики угла  сильно осцилли­руют, графики функции (8) – представляют собой плавные кривые. Во всех пред­ставленных вариантах расчетов, за исключением части решения, приве­денного на рис. 8, функция (8) является достаточно точной оценкой сверху угла . Чтобы проиллюстрировать сохранение адиабатиче­ского инварианта, на рис. 5 – 8 приведены графики зависимости от времени  величины  и ее составляющих

,       ,       .

Для удобства на графиках представлены не сами величины ,  и , а их отношения к значению  адиабатического инварианта в начальный момент времени. Сопоставление этих графиков показывает нетривиальность факта существования адиабатического инварианта.  

Согласно теории адиабатических инвариатов [3] их постоянство не явля­ется таким точным, как постоянство первых интегралов. Сохранение адиаба­ти­че­ского инварианта означает лишь отсутствие в нем монотонно меняющейся с те­чением времени составляющей. Иными словами, допускаются колебания значе­ний адиабатического инварианта относительно некоторого неизменного среднего уровня.  Если последние слова трактовать широко, то их можно счи­тать справед­ливыми для функций , чьи графики представлены на рис. 5 – 7, но они явно не относятся к графику на рис. 8. На этом рисунке хорошо видны изменения среднего значения , связанные с наличием на орбите тене­вых участков, точнее, с обусловленной их возникновением или исчезновением негладкостью функции . Впрочем, влияние этой негладкости заметно и на рис. 5 – 7.  Сле­дует  также напомнить, что формула, определяющая , яв­ляется приближен­ной, при­чем ее ошибка тем больше, чем дальше от конца орта  удалена траек­тория ре­шения уравнения (4).

Как видно из приведенных оценок и рис. 5 – 9, экстремальные значения угла  практически не зависят от угловой скорости закрутки . Важно лишь, чтобы абсолютная величина этой скорости была достаточно большой и можно было использовать ур­авнение (4). Однако начальная долгота восходя­щего узла орбиты может оказывать на эти значения существенное влияние (см.  рис. 10, 11).

Полученные результаты показывают, что парус позволяет реализовать ре­жим одноосной солнечной ориентации спутника, хотя (см. разделы 2, 3) мак­си­мальные значения гравитационного момента и момента светового давления срав­нимы по величине. Чтобы показать, что солнечная ори­ентация обуслов­лена именно моментом светового давления, на  рис. 12 приведены графики ре­шений уравнения (4) при . На этом рисунке  – угол между ортами  и . Ри­сунок построен при значении , обеспечивающем практически максимальное влияние гравитацион­ного момента. Для значения  гра­фики за­висимости угла  от времени выглядят так же. Вид представ­ленных на рис. 12 графиков определяется не величинами моментов инерции спутника  и , а их отношением . Поскольку для обоих принятых ва­риантов значений этих мо­ментов , рис. 12 иллюстрирует оба эти варианта. Как видно из рисунка, без учета влияния момента светового давления режим одно­осной солнечной ори­ентации не существует. Графики зависимости от времени угла  показывают, что орт  (фактически ось ) движется так, что  угол между ним и ортом  (нормалью к плоскости орбиты) остается практически неизменным. Неизмен­ность этого угла следует из существования в рассматри­ваемой задаче адиабати­ческого инварианта и обосновывается точно также, как выше была обоснована неизменность угла  в случае . Другое доказа­тельство неизменности угла  приведено в  [1]. Там же показано, что движение орта вокруг орта  происходит с постоянной угловой скоростью. В свою очередь вследствие регрес­сии узла орбиты орт  вращается, но суще­ственно мед­леннее с постоянной уг­ловой скоростью вокруг оси . Резуль­тирующее сложное движение орта , описываемое гра­фиками зависимости от времени углов  и  на рис. 12, служит причиной разрушения режима сол­нечной ориентации.

6. Движение спутника при неполном раскрытии паруса. Исследуем вращательное движение спутника в случае, когда один лепесток паруса не рас­крыт. Пусть это будет лепесток с номером 1. Примем, что отсутствие одного ле­пестка не влияет на положение главных центральных осей инерции спут­ника от­носительно раскрытых лепестков. Момент сил светового давления, дейст­вующий на спутник в рассматриваемой ситуации, представим в виде

,

где слагаемое  определено формулой из раздела 2 для паруса со всеми лепе­стками,

,

,

,

 и  – орты осей  и .

При учете дополнительного слагаемого  в уравнениях (2) и (3) его не­обходимо усреднить по регулярной прецессии Эйлера. Это – несколько бо­лее сложная задача, чем та, которая рассматривалась в разделе 4. В данном случае усредне­ние выполняется независимо по двум движениям спутника – по его вра­щению вокруг оси  и по прецессии этой оси относительно вектора собствен­ного кинетического момента спутника. В разделе 4 вследствие сим­метрии усред­няемых моментов выполнялось только второе усреднение. Первое усреднение (обозначим его ) выполняется примерно также и приводит к ре­зультату

                                          ,                                 (9)

.

Вычисления показывают, что для рассматриваемого паруса . При­веденные соотношения остаются верными, если вместо лепестка 1 отсут­ст­вует один из лепестков 3, 5 или 7. Чтобы получить формулу, описывающую от­сутст­вие одного из лепестков с четным номером, надо в (9) заменить  на . В этом случае . Если приближенно принять , то формулой (9) можно пользоваться при отсутствии любого лепестка.

Формула (9) имеет ту же структуру, что и формула момента светового дав­ления,  действующего на полный парус (см. раздел 2). В результате отсут­ст­вие одного лепестка описывается уменьшением модуля коэффициента  на 1/8 его величины. Дальнейшее усреднение дополнительного слагаемого в фор­муле мо­мента светового давления можно не выполнять, ограничившись ука­занной кор­рекцией коэффициента . Примеры решений уравнения (4) в для скоррек­тиро­ванного таким образом значения   приведены на рис. 13.  На этом ри­сунке представлены два решения, оба для случая  кгм,  кгм, .  Одно решение отвечает значению , другое – значению , при котором достигаются наибольшие значения .

7. Пропеллирующий момент паруса. Солнечный парус, рассматривав­шийся в предыдущих разделах, обладает одним замечательным свойством – соз­даваемый им момент светового давления  потенциален. А именно, этот момент можно представить в виде

,    ,

если рассматривать векторы ,  и  в системе координат , и в виде

с той же самой силовой функцией , если рассматривать те же векторы в сис­теме . Разница между этими способами представления состоит в том, что в системе  орт =const, и дифференцировать по нему си­ло­вую функцию нельзя. Орт  в этой системе – независимая переменная, и произ­водная  имеет смысл. В системе  наоборот, орт  задан, а орт  – независимая переменная.

Погрешности в изготовлении и установке солнечного паруса могут при­вести к нарушению свойства потенциальности действующего на спутник мо­мента светового давления. Движение спутника в этом случае может заметно от­личаться от движения, исследованного выше. В качестве примера рассмот­рим изменение способа установки лепестков паруса, приводящее к возникно­вению так называе­мого пропеллирующего момента. Для простоты расчетов будем счи­тать, что это изменение одинаково для всех лепестков. Предполо­жим, что все ле­пестки повер­нуты на один и тот же угол в одну и ту же сторону вокруг своих осей симметрии. При этом указанные в разделе 2 радиусы-век­торы  центров лепестков остаются прежними, а нормали к лепесткам прини­мают вид

,    ,    ,

,    ,    ,

,    .

 Здесь , , ,  – угол поворота лепестка от­но­сительно его продольной оси. Для момента сил светового давления справед­лива формула

,

 ,

,     ,

.

Эта формула отличается от формулы для  в разделе 2 измененным выраже­нием для коэффициента в первом слагаемом и наличием двух дополнительных слагаемых. При  прежняя формула дает , новая формула дает

,    .

Последнее соотношение означает, что если продольная ось спутника направ­лена на Солнце, то на спутник относительно этой оси действует постоянный момент. Спутник подобен вертушке, раскручиваемой ветром. Усредненные уравнения, описывающие вековое изменение вектора собственного кинетиче­ского момента спутника при новом выражении для момента сил светового дав­ления, запишем для случая  и орбиты без теневого участка. Эти урав­нения имеют вид

               ,          (10)

.

Теперь модуль кинетического момента испытывает вековое изменение. Для оценки этого изменения положим . Будем иметь . Удоб­нее рассматривать не модуль кинетического момента спутника , а его угло­вую скорость относительно продольной оси . Вековое изменение этой уг­ловой скорости описывается уравнением

.

Приведем числовые оценки. Примем прежние значения параметров па­руса,  и  кгм. В этом случае с. Пусть в началь­ный момент времени . Тогда кинетический момент спут­ника воз­растает, и уравнения (11) остаются справедливыми. При указанном уг­ловом ускорении увеличение  на  происходит за  ч. Разумеется, рас­смот­ренная конфигурация паруса весьма маловероятна. Однако при  уве­личение угловой скорости на  происходит за 63 ч, т. е. менее чем за 3 сут. Увеличение  в первые несколько суток ориентированного движения не ска­жется на точности солнечной ориентации спутника – последний член в квадрат­ных скобках уравнения (11) существенно меньше первых двух членов.

Если угол  положителен, то при начальном значении  происхо­дит замедление вращения. В этом случае режим солнечной ориентации может весьма быстро разрушиться. При начальном значении   время суще­ствования режима может оказаться менее суток.

Для борьбы с пропеллирующим эффектом целесообразно предусмотреть возможность управления углом . Например, во время полета спутника можно систематически измерять его угловую скорость относительно оси  и кор­рек­тировать ее значение изменением этого угла.

8. Заключение. Исследована возможность длительного применения ре­жима одноосной солнечной ориентации на искусственном спутнике Земли, снабженном солнечным парусом в виде восьми одинаковых треугольных лепе­стков.  Рассмотрены два варианта значений главных центральных моментов инерции спутника. Эти значения характеризуют приложенный к спутнику гра­витационный момент, который в данном случае выступает в роли возмущения. Чем меньше  моменты инерции при заданных размерах паруса, тем точнее ори­ентация. В худшем (по точности  ориентации) варианте максимальное значение модуля гравитационного момента составляет около 70% максимального значе­ния модуля момента сил светового давления, погрешность ориентации на наи­более выгодных орбитах не превышает  в течение 60 сут. Если один из ле­пестков паруса не будет раскрыт, то погрешность ориента­ции на таких орбитах не превысит . Пропеллирующий момент, обусловленный неточностью ус­тановки паруса может оказать определяющее влияние на вращательное движе­ние спутника, поэтому следует принять меры по его компенсации.

Литература

1.     Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М., Наука, 1965.

2.     Меес Ж. Астрономические формулы для калькуляторов. М., Мир, 1988.

3.     Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М., Наука, 1973.