Удар тела о поверхность при наличии дополнительной точки
соприкосновения
|
|
(1) |
Если стопа i-й ноги (i = 1, 2) в результате удара отрывается от опорной поверхности, то после удара скорость стопы направлена вверх
|
(2) |
Кроме того, примем
гипотезу, что ударные реакции в точке опоры этой ноги равны нулю [1–3]
|
(3) |
Это предположение равносильно отсутствию импульсных управлений в степенях подвижности ног, которые могли бы дополнительно “подтолкнуть” тело ногой, которая оторвется от опорной поверхности.
Обозначим
,
,
,
скорость центра
масс C и угловую скорость тела,
соответственно, до удара и после удара. Здесь и далее за положительное
направление угловой скорости принимается направление против часовой стрелки.
До удара тело вращалось вокруг неподвижной
стопы и в момент
соприкосновения стопы
с опорной
поверхностью (до удара) имело угловую скорость
|
(4) |
Тогда
|
(5) |
Предположим, что удар стопы об опорную поверхность является абсолютно неупругим, тогда в силу теорем о движении центра масс и изменении кинетического момента системы относительно центра масс имеем
|
(6) |
Примем гипотезу Рауса [1-3] о том, что при ударе трение сводится к сухому трению с коэффициентом трения f
|
(7) |
До удара скорость центра масс направлена налево, а скорость новой точки соприкосновения вертикально вниз. Если, в результате удара начинается скольжение тела на одной или двух ногах, то имеет место скольжение налево. При скольжении ударные реакции в точках опоры ног удовлетворяют условию
|
(8) |
Возможны четыре различных режима движения замороженной конфигурации машины после удара:
1. Обе ноги остаются на опорной поверхности. Возникают ударные реакции в точках опоры обеих ног. После удара тело останавливается
|
(9) |
2. Обе ноги остаются на опорной поверхности. Возникают ударные реакции в точках опоры обеих ног. После удара тело скользит на обеих ногах. Ниже будет показано, что имеет место скольжение налево
|
(10) |
3. После удара начинается вращение тела вокруг неподвижной стопы с угловой
скоростью
|
(11) |
|
(12) |
4. После удара начинается вращение тела вокруг стопы с угловой скоростью
и скольжение на этой
стопе влево со скоростью
|
(13) |
|
(14) |
Определим, при каких условиях имеет место каждый из этих случаев.
Замечание.
Невозможность скольжения тела направо на одной или
двух ногах в результате удара вполне очевидна и легко проверяется формально.
Также невозможно изменение направления скольжения в процессе удара,
по-видимому, в связи с тем, что скорость стопы в начале удара
направлена вертикально вниз. Подобный весьма нетривиальный тип удара с
изменением направления скольжения возможен при одноточечном ударе тела о
шероховатую поверхность [7-8].
Удар двумя ногами и останов. Подставляя (9) в (6), имеем
|
(15) |
Тогда
|
(16) |
Условие не отрицательности вертикальных составляющих ударных реакций (1) в силу (4) и (16) равносильно условию
|
(17) |
Из уравнений удара (15) невозможно определить горизонтальные составляющие ударных реакций, но из первого этих уравнений определяется их сумма. Условие остановки тела в результате удара (7), запишем в виде
|
|
Это условие в силу (4), (15), (16) равносильно
|
(18) |
Скольжение на двух ногах. Подставляя (10) в (6), имеем
|
(19) |
Тогда
|
(20) |
В силу (1), (4), (10), (20) данный случай имеет место тогда и только тогда, когда
|
(21) |
Из следует
. Из
следует
|
|
Тогда условие (21) эквивалентно совокупности (объединению) двух условий
|
(22) |
и
|
(23) |
Вращение вокруг неподвижной стопы. Подставляя (13), (14) в (6) , имеем
|
(24) |
Тогда
|
(25) |
Вращение вокруг стопы возникает в
результате удара тогда и только тогда, когда
,
и
. В силу (4) и (25) получаем, второе из этих условий
выполнено всегда, а первое и третье равносильны условиям
|
(26) |
Скольжение на стопе и вращение вокруг нее. Подставляя (13), (14) в (6) ,
имеем
|
(27) |
Тогда
|
(28) |
Скольжение на стопе и вращение вокруг
нее возникает в результате удара тогда и только тогда, когда
,
,
. В силу (4) и второго из уравнений (27) получаем, что третье
из этих условий выполнено всегда, когда выполнено первое. Первое и третье
условия равносильны, соответственно, условиям
|
|
Легко видеть, что первое из этих условий всегда не пусто
|
|
и
|
|
так как .
В результате скольжение на стопе и вращение вокруг
нее имеет место тогда и только тогда, когда
|
(29) |
Это условие не пусто
тогда и только тогда, когда правая граница коэффициента трения больше, чем левая
|
|
или
|
(30) |
Обозначим
|
(31) |
Объединяя (17-18), (22-23), (26), (29-31)
получаем, что характер движения после удара стопой об опорную
поверхность определяется следующим утверждением.
Утверждение
1. При после удара тело
либо останавливается при
; либо начинает скользить на двух ногах при
. При
после удара тело
либо скользит на двух ногах при
; либо скользит на стопе
и вращается вокруг
нее при
; либо вращается вокруг неподвижной стопы
при
.
Следствие.
В случае абсолютно шероховатой поверхности характер
движения после удара определяется знаком . При
после удара
начинается вращение вокруг стопы
, а при
в результате удара
тело останавливается.
2. Частные случаи
Рассмотри несколько частных случаев, для которых удалось построить графически области, в которых имеет место тот или иной тип удара.
Стопы ног
расположены симметрично относительно центра масс
или . Введем безразмерные параметры
|
|
В силу утверждения 1 после удара тело
§ останавливается, если
|
|
§ скользит на двух ногах, если либо
|
|
либо
|
|
§
скользит на стопе и вращается вокруг
нее, если
|
|
§
вращается вокруг неподвижной , если
|
|
Покажем графически области, соответствующие этим
условиям на плоскости безразмерных параметров и коэффициент трения
при фиксированном
значении
. Введем функции ограничивающие значения этих параметров
|
|
При функция
является гиперболой
монотонно убывающей и
|
|
Функция имеет локальный
максимум в точке
, точку перегиба при
и
|
График функции показан на рис. 3.
Если , то функция
и
причем
только при
. Следовательно, удар двумя ногами с последующим остановом
тела или скольжением на двух ногах невозможны. Функция
делит множество
допустимых значений параметров
и
на две области (рис.
3). В области I после удара тело скользит на стопе
и вращается вокруг
нее, а в области II – вращается вокруг неподвижной стопы
.
Если , то возможны все четыре типа удара. Графические картинки
немного отличаются для случаев
(рис. 4)и
(рис. 5). В первом
случае максимум функции
лежит справа от точки
ветвления (бифуркации)
, а втором случае – слева от нее и поэтому он отсутствует на
границе разделяющей области I
и II. В области I после удара тело скользит на двух ногах, в области II – скользит на стопе
и вращается вокруг
нее, в области III – вращается вокруг неподвижной стопы
, в области IV – останавливается.
Во всех этих случаях решение задачи является корректным с точки зрения непрерывной зависимости решения от параметров. На границах пределы из каждой из этих областей совпадают, и решение можно определять по любой из формул соответствующих граничным областям, а в точке бифуркации по формулам соответствующим любому из четырех случаев.
Если тело является материальной точкой (рис. 6), то
. Становится невозможным случай скольжения на стопе
и вращения вокруг
нее, что ранее отмечалось в [4]. На рис. 6 в области I после удара тело
скользит на двух ногах, в области II – вращается вокруг неподвижной стопы
, в области III – останавливается. При этом решение задачи становится некорректным. На
границе областей I и II
решение меняется скачкообразно.
Циркуль. Рассмотрим тело состоящее из двух одинаковых однородных стержней,
скрепленных за концы под углом (рис. 7). Масса
каждого стержня равна
, длина –
. Центр масс тела расположен в точке
, причем
,
. Удар циркуля об абсолютно шероховатую поверхность
рассмотрен в [1]. Определим области, соответствующие различным типам удара, на
плоскости параметров
, где угол
.
Для циркуля
|
|
В силу утверждения 1 после удара тело
§ останавливается, если
|
|
§ скользит на двух ногах, если либо
|
|
либо
|
|
§
скользит на стопе и вращается вокруг
нее, если
|
|
§
вращается вокруг неподвижной , если
|
|
На плоскости безразмерных параметров угол и коэффициент трения
(рис. 8) в области I после удара тело
скользит на двух ногах, в области II – скользит на стопе
и вращается вокруг
нее, в области III – вращается вокруг неподвижной стопы
, в области IV – останавливается. Точка бифуркации имеет координаты
,
.
Однородная
прямоугольная пластина на ножках размерами, которых
можно пренебречь (рис. 1). Ширина пластины равна , высота –
. Определим области соответствующие различным типам удара на
плоскости параметров
, где
безразмерный параметр
– отношение высоты пластины к ее ширине
|
Тогда
|
|
В силу утверждения 1 после удара тело
§ останавливается, если
|
|
§ скользит на двух ногах, если либо
|
|
либо
|
|
§
скользит на стопе и вращается вокруг
нее, если
|
|
§
вращается вокруг неподвижной , если
|
|
На плоскости безразмерных параметров отношение
высоты пластины к ее ширине и коэффициент трения
(рис. 9) в области I после удара тело
скользит на двух ногах, в области II – скользит на стопе
и вращается вокруг
нее, в области III вращается вокруг неподвижной стопы
, в области IV – останавливается. Точка бифуркации имеет координаты
.
Литература
1. Формальский А.М. Перемещение антропоморфных механизмов. М., Наука, 1982.
2. Формальский А.М., Шевальро К., Перра Б. Об ударном взаимодействии тела с опорой. Вестник Московского ун-та, серия “Математика, механика”, 2000, № 1, с. 27-32.
3.
Лапшин В.В. Экстренный останов шагающей машины на абсолютно шероховатой
поверхности. Препринт Ин-та прикл. мат. РАН, 1996, № 85.
4. Lapshin V. Model problem of a walking
machine emergency stop. In: 5th IFAC Symposium on Robot Control, Vol. 3,
Nantes, France, 1997, pp. 807-812.
5. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф. Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата. М., Наука, 1984.
6. Нагаев Р.Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями. М., Наука 1985.
7. Плявниекс В.Ю. Расчет косого удара о препятствие. В кн.: Вопросы динамики и прочности, № 18. Рига, Зинатне, 1969, с. 87-109.
8.
Лапшин В.В. Плоский удар тела о шероховатую поверхность. Препринт Ин-та прикл.
мат. РАН, 2001, № 10.