Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения

( Asymptotics and Expansions of Solutions to an Ordinary Differential Equation
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Брюно А.Д.
(A.D.Bruno)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2003
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-01067)

Аннотация

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение весьма общего вида. Показывается, как с помощью алгоритмов степенной геометрии находить: (a) все степенные асимптотики решений такого уравнения; (b) все степенно-логарифмические разложения решений, имеющих степенную асимптотику; (c) все нестепенные (экспоненциальные и логарифмические) асимптотики решений такого уравнения. Кроме теории и алгоритмов приводятся примеры вычислений указанных объектов для одного и того же уравнения. Основной упор делается на объяснение алгоритмов таких вычислений.

Abstract

We consider an ordinary differential equation of a very general form. We show how one can find the following objects by means of algorithms of Power Geometry: (i) all power asymptotics of solutions to the equation; (ii) all power logarithmic expansions of the solutions having the power asymptotics; (iii) all nonpower (exponential or logarithmic) asymptotics of solutions to the equation. We present the corresponding theory and algorithms and give examples of calculations of mentioned objects for an equation as well. The main attention is given to explanations of the computational algorithms.


E-mail: bruno@spp.keldysh.ru

ancy
Введение

В классическом анализе для решений регулярных (квазилинейных и аналитических) уравнений были получены локальные разложения по целым степеням независимой переменной (теоремы Коши о неявной функции и о решениях обыкновенных дифференциальных уравнений). В более сложных случаях получались локальные разложения решений по дробным степеням независимой переменной (ряды Пюизе). Теперь на основе степенной геометрии разработаны общие алгоритмы, позволяющие вычислять асимптотики решений, а также локальные асимптотические разложения решений существенно нелинейных или сингулярных уравнений. Оказалось, что для широкого круга дифференциальных уравнений эти разложения являются степенно-логарифмическими, т.е. по комплексным степеням независимой переменной с коэффициентами, являющимися многочленами от логарифмов этой переменной. И если для алгебраических кривых типичным является разложение по дробным степеням, то для решений обыкновенных дифференциальных уравнений типичным является указанное степенно-логарифмическое разложение. Однако встречаются решения более сложной структуры, у которых указанное степенно-логарифмическое разложение имеется только для кратного логарифма решения.

В настоящей работе рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение f(x,y,y',...,y(n))=0 весьма общего вида, где x --- независимая, а y --- зависимая переменные. Показывается, как с помощью алгоритмов степенной геометрии при x 0 или е находить:

a) все степенные асимптотики решений такого уравнения (зз 1, 2);

b) все степенно-логарифмические разложения решений, имеющих степенную асимптотику (зз 3, 4);

c) все нестепенные (экспоненциальные и логарифмические) асимптотики решений такого уравнения (зз 5, 6).

При этом в зз 1, 3, 5 излагаются соответствующая теория и алгоритмы, а в зз 2, 4, 6 даны примеры вычислений указанных объектов для одного и того же уравнения. Основной упор делается на объяснение алгоритмов вычисления. Поэтому не для всех утверждений даны полные доказательства. Поскольку тут только две малые или большие координаты, то используется только двумерная степенная геометрия, иллюстрированная 14 рисунками, что, как надеется автор, делает изложение геометрически наглядным и более понятным. Похожее изложение (для других задач) см. в главах I и II книги [1].
з 1. Степенные асимптотики решений



1.1. Постановка задачи. Сначала напомним некоторые понятия степенной геометрии [1,2]. Пусть x --- независимая и y --- зависимая переменные, x,y╬C. Положим X=(x,y). Дифференциальным мономом a(x,y) называется произведение обычного монома
cx r1y r2
  def
=
  cXR,     (1.1)
где c=const╬C, R=(r1,r2)╬R2, и конечного числа производных вида
dly/dxl,   l╬N.     (1.2)
Сумма дифференциальных мономов
f(X)=хai(X)     (1.3)
называется дифференциальной суммой.

Пусть задано обыкновенное дифференциальное уравнение
f(X)=0,     (1.4)
где f(X) --- дифференциальная сумма, в которую y входит в целых степенях. Положим
w= ь
э
ю
-1, если  x 0,
1, если  xе.
    (1.5)
Пусть x 0 или е и решение уравнения (1.4) имеет вид
y=crxr+o ( |x|r+ ) ,     (1.6)
где коэффициент cr=const╬C, cr╣ 0, показатели степени r,╬R и w<0. Тогда выражение
y=crxr,  cr╣ 0     (1.7)
является степенной асимптотикой решения (1.6).

Задача 1. Для заданного уравнения (1.4) найти все степенные асимптотики (1.7) его решений вида (1.6).

Для решения задачи 1 степенная геометрия дает теорию и алгоритмы, основанные на выделении укороченных уравнений.




1.2. Выделение укороченных уравнений. Каждому дифференциальному моному a(X) ставится в соответствие его (векторный) показатель степени Q(a)=(q1,q2)╬R2 по следующим правилам. Для монома вида (1.1) Q(cXR)=R, т.е. Q(cx r1y r2)=(r1, r2); для производной (1.2) Q(dly/dxl)=(-l,1); при умножении дифференциальных мономов их показатели степени складываются как векторы Q(a1a2)=Q(a1)+Q(a2). Множество S(f) показателей степеней Q(ai) всех дифференциальных мономов ai(X), входящих в дифференциальную сумму (1.3), называется носителем суммы f(X). Очевидно, S(f)╬R2. Замыкание выпуклой оболочки G(f) носителя S(f) называется многоугольником суммы f(X). Граница ╢G(f) многоугольника G(f) состоит из вершин Gj(0) и ребер Gj(1). Их называют (обобщенными) гранями Gj(d), где верхний индекс указывает размерность грани, а нижний --- ее номер. Каждой грани Gj(d) соответствуют граничное подмножество Sj(d)=S(f)╟Gj(d) множества S и укороченная сумма
fj(d)(X)=хai(X)  по  Q(ai)╬Sj(d).     (1.8)
Пусть плоскость R*2 сопряжена плоскости R2 так, что для P=(p1,p2)╬R*2 и Q=(q1,q2)╬R2 определено скалярное произведение с P,Qё  def /=  p1q1+p2q2. Каждой грани Gj(d) в плоскости R*2 соответствуют: свое нормальное подпространство Nj(d)={P: с P,Qё=с P,Q'ё   по  Q,Q'╬Sj(d)} и свой нормальный конус
Uj(d)= ь
э
ю
P: с P,Qё=с P,Q'ё, Q,Q'╬Sj(d),
  с P,Qё>с P,Q''ё, Q''╬S(f) \Sj(d)
№
¤
■		 .
Для ребра Gj(1) нормальное подпространство Nj(1) это прямая, ортогональная ребру Gj(1) и проходящая через начало координат P=0, а нормальный конус это тот луч прямой Nj(1), который направлен от ребра Gj(1) наружу многоугольника G(f). Для вершины Gj(0) нормальное подпространство Nj(0)=R*2, а нормальный конус Uj(0) это открытый сектор (угол) на плоскости R*2 с вершиной в нуле P=0, и ограниченный лучами, являющимися нормальными конусами ребер, примыкающих к вершине Gj(0). Итак, каждой грани Gj(d) соответствуют: нормальное подпространство Nj(d) и нормальный конус Uj(d) в R*2 и укороченное уравнение
fj(d)(X)=0.     (1.9)

Носитель степенной асимптотики (1.7) состоит из двух точек E2  def /= (0,1) и (r,0). Их выпуклая оболочка является ребром, которое обозначим g1(1). Его нормальное подпространство n является прямой, натянутой на вектор (1,r). Нормальным конусом u решения вида (1.6) назовем луч lw(1,r), где w определено по (1.5) и l>0.

Теорема 1.1 [2, гл. VI, теорема 1.1]. Если уравнение (1.4) имеет решение (1.6) и u╬Uj(d), то укорочение (1.7) решения (1.6) является решением укороченного уравнения (1.8), (1.9).

Поэтому для нахождения всех укороченных решений (1.7) уравнения (1.4) надо вычислить: носитель S(f), многоугольник G(f), все его грани Gj(d) и их нормальные конусы Uj(d). Затем для каждого укороченного уравнения (1.8), (1.9) надо найти все его решения (1.7), у которых вектор (1,r) лежит в Nj(d), и из них отобрать те, у которых один из векторов ▒(1, r) лежит в нормальном конусе Uj(d). Если d=0, то это означает, что один из векторов ▒(1,r) лежит в Uj(d). Если d=1, то это свойство всегда выполнено.


1.3. Решение укороченного уравнения. Здесь рассмотрим по отдельности два случая: вершины Gj(0) и ребра Gj(1).

Вершине Gj(0)={Q} соответствует укороченное уравнение (1.9) с точечным носителем Q. Положим g(X)  def /=  X-Q fj(0)(X), тогда решение (1.7) уравнения (1.9) удовлетворяет уравнению g(X)=0. Подставляя y=cxr в g(X), получаем, что g(x,cxr) не зависит от x и c и является многочленом от r, т.е. g(x,cxr)║c(r), где c(r) --- характеристический многочлен дифференциальной суммы fj(0)(X). Следовательно, для решения (1.7) уравнения (1.9) показатель r является корнем характеристического уравнения
c(r)
  def
=
  g(x,xr)=0,     (1.10)
а коэффициент cr --- произвольный. Из корней ri уравнения (1.10) надо отобрать только те, для которых один из векторов w(1,r), где w=▒ 1, лежит в нормальном конусе Uj(0) вершины Gj(0). Соответствующие выражения (1.7) с произвольной константой cr являются кандидатами на роль укороченных решений уравнения (1.4). При этом согласно (1.5), если w=-1, то x 0, а если w=1, то xе.

Укороченное уравнение (1.9) называется алгебраическим, если оно не содержит производных.

Замечание 1.1. Если укороченное уравнение (1.9) c d=0 является алгебраическим, то оно не имеет решений вида (1.7). Поэтому укорочения, состоящие из одного алгебраического монома, можно не рассматривать.

Ребру Gj(1) соответствует укороченное уравнение (1.9), нормальное подпространство Nj(1) которого является прямой. Нормальное подпространство n укороченного решения (1.7) пересекается с Nj(1) только если вектор (1,r)╬Nj(1). Этим однозначно определяется показатель степени r укороченного решения (1.7). Для определения коэффициента cr надо выражение (1.7) подставить в укороченное уравнение (1.9). После сокращения на некоторую степень x получаем алгебраическое уравнение для коэффициента cr
f(cr)
  def
=
  x-s fj(1)(x,cxr)=0.     (1.11)
Каждому его корню cr=cr(i)╣ 0 соответствует свое выражение (1.7), которое является кандидатом на роль укороченного решения уравнения (1.4). При этом согласно (1.5), если в нормальном конусе Uj(1) координата p1<0, то x 0, а если p1>0, то xе. Итак, каждое укороченное уравнение (1.9) имеет несколько подходящих решений (1.7) с u ╠ Uj(d). Объединим их в непрерывные по w, r, cr и параметрам уравнения (1.4) семейства, которые обозначим Fj(d)k, где k=1, 2,....

Если нас интересуют не все решения (1.6) уравнения (1.4), а только те решения (1.6), у которых нормальный конус u лежит с некотором заданном конусе K, то K называется конусом задачи [2, гл. I, з 6]. Например, для укороченного уравнения (1.9) конус задачи K это нормальный конус Uj(d).


1.4. Критические значения укороченного решения. Если найдено укороченное решение (1.7), то замена
y=crxr+z,     (1.12)
приводит уравнение (1.4) к виду
f(x,z)
  def
=
  f(x,cxr+z)=0,     (1.13)
где f(x,z) --- дифференциальная сумма, все точки Q=(q1,q2) ее носителя S( f) имеют целую неотрицательную координату q2. К уравнению (1.13) можно применить описанные выше вычисления (т.е. носителя, многоугольника, укорочений и т.д.) и получить для решения (1.6) следующий член разложения c k0x k0, у которого k0>r, если x 0, и k0<r, если x е. Следовательно, получилась задача 1 для уравнения (1.13), но теперь с конусом задачи
K= ь
э
ю		 P=(p1,p2):
 p2/p1>r,  p1<0, если x 0;
 p2/p1<r,  p1>0, если xе.
№
¤
■
Согласно (1.5) для k=p2/p1 этот конус задачи можно записать в виде
K={k=p2/p1: kw<rw}.     (1.14)

Однако во многих случаях дифференциальная сумма f(x,z) имеет специальный вид, что позволяет существенно сократить вычисления разложений решения (1.6). Предположим, что уравнение (1.13) имеет вид
f(x,z)
  def
=
  L(x)z+g(x,z)+h(x)=0,     (1.15)
где L(x) --- линейный дифференциальный оператор и носитель S( Lz) состоит из одной точки (v,1), являющейся вершиной многоугольника G( f), у всех точек Q=(q1,q2) носителя S(g) координата q2│ 1 и среди них нет точки (v,1), а h(x) не зависит от z.

Напомним, что дифференциальная сумма f(x,y) имеет производную Фреше [3] (или первую вариацию) d f(x,y)/d y, которая обладает следующими свойствами: d(c xq1yq2)/d y=cq2xq1yq2-1, d(dl y/d xl)/d y=dl/dxl, d(f+g)/d y=d f/d y+d g/d y, d(fg)/d y=(d f/d y)g+f(d g/d y).

Теорема 1.2 [4, 6, 7]. Пусть (1.7) --- решение укороченного уравнения (1.9) с u ╬ Uj(d). Тогда в уравнении (1.15) оператор
L(x) =
d fj(d) (x,y)
d y
   на   y=crxr,     (1.16)
т.е. равен производной Фреше, вычисленной на решении (1.7).

Следовательно, после подстановки (1.13) уравнение (1.4) принимает вид (1.15), если L(x)м ║0. Пусть n (k) --- характеристический многочлен дифференциальной суммы L(x)z, т.е.
n (k)=x-v-k L(x)xk.     (1.17)
Если n(k)м ║0, то корни k1,...,ks многочлена n(k) называются собственными значениями укороченного решения (1.7). Те из вещественных собственных чисел ki, которые лежат в конусе задачи, т.е. удовлетворяют неравенствам (1.14), называются критическими числами. Они играют важную роль при нахождении разложения решения (1.6), что будет показано в з 3.

Замечание 1.2. Степенное решение (1.7) алгебраического укороченного уравнения (1.9) с d=1 не имеет собственных значений, ибо для него n(k)║ n0= const . Если cr --- простой корень уравнения (1.11), то n0╣ 0. Если cr --- кратный корень уравнения (1.11), то n0=0.

Если L(x)║ 0 или n (k)║ 0, то этот случай является вырожденным и для уравнения (1.13) надо решать задачу 1 как описано в пп. 1.2 и 1.3 с учетом конуса задачи (1.14).

1.5. Решения с комплексными показателями степени. В задаче 1 п. 1.1 искались только решения вида (1.6) с вещественными показателями r. Теперь рассмотрим решения вида
y=crxr+o ( |x|r+ ) ,  cr╣ 0     (1.18)
с комплексным показателем r=r+is, где w<0. Их асимптотики имеют вид
y=crxr,  cr╣ 0.     (1.19)
Для таких решений справедливо все сказанное в предыдущих пунктах, если r=Re r. Уточним только, что решения вида (1.19) укороченного уравнения (1.9) возникают только для вершин Gj(0), т.е. для d=0. В этом случае характеристическое уравнение (1.10) может иметь комплексные корни, которые обозначим r1,...,rl. Подходящим корнем ri является такой, для которого один из векторов ▒(1,Re ri) лежит в нормальном конусе Uj(0). Для укороченного уравнения (1.9), соответствующего ребру Gj(1), ищутся только решения (1.7) с вещественным показателем r, который однозначно определяется нормалью к этому ребру.

Если вместо (1.12) сделать замену
y=crxr+z,     (1.20)
то дифференциальная сумма f(x,z)  def /=  f(x,crxr+z) будет содержать мономы вида (1.1) с комплексными q1. Теорема 1.2 сохраняется, только производную Фреше надо вычислять на решении (1.19). Характеристический многочлен также определяется по (1.17). Его корни также являются собственными значениями укороченного решения (1.19). Те из них, у которых вещественные части лежат в конусе задачи, т.е. удовлетворяют неравенствам (1.14), называются критическими числами укороченного решения (1.19).

з 2. Примеры вычисления степенных асимптотик

Методами з 1 были найдены степенные асимптотики решений первого уравнения Пенлеве -y''+6y2+x=0 в [2, гл. VI, з 1, пример 1.1] и четвертого уравнения Пенлеве -2yy''+y'2+3y4+8xy3+4(x2-a)y2+2b=0 в [4, з 7]. Однако первые четыре уравнения Пенлеве [5] не имеют слишком сложных решений, они хороши для иллюстрации степенных разложений решений, но не пригодны для иллюстрации степенно-логарифмических разложений. Пятое и шестое уравнения Пенлеве имеют достаточно сложные решения, но сами уравнения слишком громоздки, чтобы служить иллюстрацией. Поэтому здесь в качестве примера рассмотрим уравнение
f(X)
  def
=
  x2y'2-2x2yy''+ay2+x2y2-x4=0,     (2.1)
в котором a --- вещественный параметр. В [2, гл. VI] вычислены степенные асимптотики решений уравнения Эмдена--Фаулера y''=axsy╡ (примеры 1.2 и 2.1) и его обобщения y'''=xsy╡ (з 4).


2.1. Многоугольник и нормальные конуса граней. Легко видеть, что в уравнении (2.1) f(X) является дифференциальной суммой. Найдем показатели степеней Q=(q1,q2) для ее дифференциальных мономов. Первые три монома имеют показатель Q1=(0,2), показатель четвертого монома есть Q2=(2,2), а у пятого он равен Q3=(4,0). Следовательно, носитель S(f) состоит из трех точек
Q1=(0,2),  Q2=(2,2),  Q3=(4,0),     (2.2)
показанных на рис. 1. Их выпуклая оболочка это треугольник G(f) с вершинами Q1,Q2,Q3 (заштрихован на рис. 1). Его граница состоит из трех вершин Gj(0)=Qj, j=1,2,3 и трех ребер Gj(1) (см. рис. 1). Ребро G1(1) соединяет точки Q1 и Q3. Поскольку разность Q1-Q3=(-4,2)=2(-2,1), то вектор R=(-2,1) является направляющим для этого ребра. Следовательно, нормальным к ребру G1(1) является вектор N1=(1,2) и нормальное подпространство N1(1)={P=╡ N1,  ╡╬R}. Но вектор N1 направлен от ребра G1(1) внутрь многоугольника G1(1). Внешней же нормалью к ребру G1(1) является вектор N1=- N1=(-1,-2). Следовательно, для ребра G1(1) нормальный конус U1(1)={P=lN1,  l>0}, т.е. это луч, показанный на рис. 2. Аналогично находим нормальные конуса
Uj(1)={P=lNj,  l>0},  j=2,3,     (2.3)
где
P2=(0,1),  P3=(1,1).     (2.4)
Нормальный конус Uj(0) вершины Gj(0) это сектор, ограниченный лучами, которые являются нормальными конусами ребер, примыкающих к этой вершине (рис. 2). Теперь для каждой обобщенной грани Gj(d) найдем подходящие укороченные решения (1.7) соответствующего укороченного уравнения (1.9) и критические числа решения (1.7).


2.2. Вершина G1(0). Ей соответствует укороченное уравнение
f1(0)(X)
  def
=
  x2y'2-2x2yy''+ay2=0.     (2.5)
Согласно рис. 2 у всех векторов P=(p1,p2)╬U1(0) всегда p1<0. Поэтому здесь x 0. Подставляя y=xr в f1(0)(X) и сокращая результат на x2r, получаем характеристическое уравнение
c(r)
  def
=
  r2-2r(r-1)+a=-[r2-2r-a]=0.     (2.6)
Его корни
r1,2=1▒1+a.     (2.7)

Если a>-1, то оба корня разные вещественные, т.е. ri=ri. Если a╬(-1,0), то оба вектора -(1,r1) и -(1,r2) лежат в U1(0). Если a╬[0,+е), то в U1(0) лежит только один вектор -(1,r2)=(-1,-1+1+a). Итак, для a>-1 имеется два семейства подходящих степенных решений (1.7)
F1(0)1={y=cxr1,  w=-1,  a╬(-1,0)},
F1(0)2={y=cxr2,  w=-1,  a╬(-1,+е)},
    (2.8)
где c╣ 0 --- любая постоянная из C.

Если a=-1, то характеристическое уравнение имеет двукратный корень r=1 и вектор -(1,1)╬U1(0). Здесь одно семейство степенных асимптотик
F1(0)3={y=cx,  c╬C,  c╣ 0,  a=-1}.     (2.9)

Если a<-1, то оба корня (2.7) комплексные с вещественной частью r=1. Поскольку -(1,1)╬U1(0), то имеем два семейства подходящих степенных асимптотик
F1(0)4={y=cxr1,  w=-1,  a╬(-е,-1)},
F1(0)5={y=cxr2,  w=-1,  a╬(-е,-1)},
    (2.10)
где c╣ 0 --- любая постоянная из C.

Согласно п. 1.4 найдем теперь критические числа этих степенных решений. Для этого вычислим производную Фреше
d f1(0)/d y=2x2y'
d
dx
-2x2y''-2x2y
d2
dx2
+2ay.     (2.11)
На решении y=cxr получаем оператор
L(x)=2cxr щ
ъ
ъ
ы		 r x
d
dx
-r(r-1)-x2
d2
dx2
+a ∙
·
·
√		 .     (2.12)
Применяя оператор L(x) к xk и сокращая результат на xr+k, получаем характеристический многочлен
n(k)=2c[r k-r2+r-k(k-1)+a].     (2.13)
Согласно (2.6) a=r2-2r, поэтому n(k)=2c[r k-k(k-1)-r]=2c(k-1)(r-k). Следовательно, асимптотика y=cxr имеет два собственных числа k1=1 и k2=r. Очевидно, что число k2=r не является критическим. Число k1=1 является критическим только в случае k1> Re r , т.е. только на семействе F1(0)2.

Итак, вершине G1(0)=Q1 соответствуют пять семейств подходящих степенных решений F1(0)1 -- F1(0)5 и только одно из них F1(0)2 имеет критическое значение k=1.

Вершинам G2(0) и G3(0) соответствуют укорочения f2(0)(x)=x2y2 и f3(0)(x)=-x4. Согласно замечанию 1.1 соответствующие укороченные уравнения не имеют подходящих степенных решений.


2.3. Ребро G1(1). Ему соответствует укороченное уравнение
f1(1)(X)
  def
=
  x2y'2-2x2yy''+ay2-x4=0.     (2.14)
Поскольку к ребру G1(1) нормальным является вектор P1=(1,2), то у уравнения (2.14) ищем степенные решения вида y=cx2. Подставляя это выражение в (2.14), сокращая на x4 и приводя подобные члены, получаем алгебраическое уравнение для коэффициента c
ac2-1=0.     (2.15)
Следовательно, c2=a-1  и  c1,2=▒a-1. При a╣ 0 получаем два семейства степенных асимптотик
F1(1)1={y=a-1x2,  a╬R,  a╣ 0},
F1(1)2={y=-a-1x2,  a╬R,  a╣ 0}.
    (2.16)
Поскольку для производных Фреше справедливо равенство d f1(1)(X)/d y=d f1(0)(X)/d y, то формула (2.11) применима и здесь, а формулы (2.12) и (2.13) справедливы при r=2 и c=c1,2. Следовательно,
n(k)=2c1,2[2k+a-2-k2+k]=-2c1,2[k2-3k+2-a].
Собственные числа суть k1,2=(3▒1+4a)/2. При a>0 одно из них k1>2 и является критическим. При a<0 оба собственных числа имеют Re k1,2<2 и не являются критическими.

Итак, здесь имеются два семейства степенных асимптотик (2.16). При a>0 они имеют одно критическое число k1=(3+1+4a)/2 и не имеют критических чисел при a<0.




2.4. Ребро G2(1). Ему соответствует укороченное уравнение
f2(1)(X)
  def
=
  x2y'2-2x2yy''+ay2+x2y2=0.     (2.17)
Поскольку к ребру G2(1) нормальным является вектор N2=(0,1), то здесь нет степенных решений вида (1.9).


2.5. Ребро G3(1). Ему соответствует укороченное уравнение
f3(1)(X)
  def
=
  x2y2-x4=0     (2.18)
и нормальный конус U3(1)={P=lN3=l(1,1),  l>0}. Поскольку в нормальном конусе p1>0, то xе и w=1. Поскольку N3=(1,1), то решение укороченного уравнения ищем в виде y=cx. Подставляя это выражение в (2.18) и сокращая результат на x4, для c получаем алгебраическое уравнение c2=1. Следовательно, c1,2=▒ 1, т.е. имеются два семейства степенных решений
F3(1)1={y=x, a╬R},   F3(1)2={y=-x, a╬R}.     (2.19)
Поскольку укороченное уравнение (2.18) алгебраическое и корни c=▒ 1 уравнения (1.11) простые, то согласно замечанию 1.2 решения (2.19) не имеют собственных чисел (а следовательно и критических) и для них n(k)║ const╣ 0.

Итак, ребру G3(1) соответствуют два семейства степенных асимптотик (2.19), которые не имеют критических значений.


2.6. Сводка результатов. В этом параграфе найдены следующие степенные асимптотики решений уравнения (2.1).
  • I. Два двупараметрических (по c и a) семейства F1(0)1 и F1(0)2 из (2.8).
  • II. Одно однопараметрическое (по c) семейство F1(0)3 из (2.9).
  • III. Два двупараметрических (по c и a) семейства F1(0)4 и F1(0)5 из (2.10).
  • IV. Два однопараметрических (по a) семейства F1(1)1 и F1(1)2 из (2.16).
  • V. Два однопараметрических (по a) семейства F3(1)1 и F3(1)2 из (2.19).

з 3. Степенно-логарифмические разложения решений



3.1. Постановка задачи. Если для уравнения (1.15) с n(k)м ║0 искать решения в виде степенного ряда
z=хckxk,  w k<w r,     (3.1)
где ck=const╬C, то согласно [6,7] такое разложение решений существует только при определенных условиях. При этом основное условие это отсутствие критических значений. Если же не накладывать этих условий, то получаются разложения вида (3.1), где ck суть многочлены от lnx. Но такого же вида разложения решений получаются и у уравнений более общего вида, чем (1.15). Поэтому расширим класс уравнений.

Сначала дополним определения з 1. Дифференциально-логарифми-
ческим (ДЛ) мономом называется произведение дифференциального монома a(x,z) на многочлен a(lnx) от lnx. Векторный показатель степени Q=(q1,q2) ДЛ-монома
a(lnx)a(x,z)
равен показателю степени дифференциального монома a(x,z). Сначала рассмотрим случай, когда в сомножителе
cx r1z r2     (3.2)
дифференциального монома a(x,z) показатель r1╬R, а в конце параграфа --- случай r1╬C. Дифференциально-логарифмической (ДЛ) суммой f(x,z) называется (конечная или бесконечная) сумма ДЛ-мономов. Если это бесконечная сумма, то будем предполагать, что в ней (а) конечно число ДЛ-мономов с одним показателем Q и (б) показатели Q ДЛ-мономов не имеют точек накопления в R2. ДЛ-сумме f(x,z) соответствует множество S(f) векторных показателей степеней ее ДЛ-мономов, называемое носителем суммы f(x,z), и многоугольник G(f), являющийся замыканием выпуклой оболочки носителя S(f). Рассмотрим уравнение
f(x,z)
  def
=
  L(x)z+g(x,z)+h(x)=0,     (3.3)
где f(x,z) --- ДЛ-сумма, у всех ДЛ-мономов которой в сомножителе (3.2) число r2 целое неотрицательное, L(x) --- линейный дифференциальный оператор; у всех точек Q носителя S(g) координата q2│ 1, а h(x) не зависит от z.

Задача 2. Для решений уравнения (3.3) найти разложения
z=хbk(lnx)xk,
где bk суть многочлены от lnx и показатели k лежат в конусе задачи (1.14), если он есть.


3.2. Носитель разложения решения. Для определенности на слагаемые в уравнении (3.3) наложим следующие условия.

Условие 3.1. Точка (v,1) является вершиной многоугольника G(f). В сумме f(x,z) ей соответствует слагаемое L(x)z и только оно. ДЛ-сумма L(x)z не содержит логарифмов, т.е. является дифференциальной суммой.

Если это условие выполнено, то дифференциальная сумма L(x)z имеет характеристический многочлен (1.17).

Условие 3.2. n(k)м ║0.

Для невырожденного уравнения (1.15) условия 3.1 и 3.2 всегда выполнены.

Параллельно сдвинем носитель S(f) на вектор (-v,-1). Тогда вершина (v,1), соответствующая члену L(x)z, перейдет в начало координат. Пусть задано такое число r, что для всякой точки Q╬S(f)-(v,1) скалярное произведение с R,Qё либо │ 0 либо г 0, где R=(1,r). В первом случае положим w=-1, а во втором w=1. Пусть k1,...,ks --- все те вещественные корни многочлена n(k), которые удовлетворяют неравенству kw<rw из (1.14). Пусть S+(k1,...,ks) --- множество конечных сумм векторов Q╬S(f)-(v,1) и векторов (k1,-1),...,(ks,-1). Обозначим
K=S+(k1,...,ks)╟{q2=-1}.     (3.4)
Можно показать, что множество K не имеет точек накопления в R, если носитель S(f) не имеет точек накопления в R2.


3.3. Вычисление разложений.

Теорема 3.1. Если уравнение (3.3) удовлетворяет условиям 3.1 и 3.2, то оно имеет формальное решение
z=z*(x)
  def
=
 хbk(lnx)xk,  k╬K,     (3.5)
где bk(lnx) суть многочлены от lnx.

Доказательство. Двигаясь по точкам k множества K в направлении возрастания -w(k-r), для каждого коэффициента bk из (3.5) получаем линейное уравнение
L(x)bkxk=qkxk+v,     (3.6)
где qk --- многочлен от коэффициентов bj и их производных с -w(j-r)<-w(k-r). Кроме того, коэффициент qk зависит от коэффициентов сумм g и h в (3.3). Пусть утверждение теоремы справедливо для всех bj с -w(j-r)<-w(k-r). Тогда qk является многочленом от x  def /= lnx.

Лемма 3.1. Уравнение (3.6) эквивалентно линейному дифференциальному уравнению
Nk(x)bk(x)
  def
=
 х
1
m!
n(m)(k)bk(m)(x)=qk(x),     (3.7)
где n(m)(k)=
dmn(q)
dqm
╜
╜
╜
╜
 



q=k
, bk(m)=dmbk(x)/dxm,  m=0,1,2,...

Пусть ╡(k) --- наименьшее значение m, для которого n(m)(k)╣ 0, и l(k) --- степень многочлена qk(x); при этом l(k)=-1, если qk║ 0.

Лемма 3.2. Пусть qk(x) --- многочлен степени l(k), тогда уравнение (3.7) имеет решение bk(x), являющееся многочленом степени ╡(k)+l(k) и содержащее ╡(k) произвольных коэффициентов.

Действительно, оператор Nk(x) в (3.7) имеет вид
Nk(╡)(x)+ Nk(╡+1)(x)+...,
где Nk(╡) означает оператор порядка ╡. Если разложить многочлены bk(x) и qk(x) по степеням x в виде
b k=
╡+l
х
l=0
b klxl,   qk=
l
х
l=0
qklxl
и в обеих частях уравнения (3.7) приравнять члены с одинаковыми степенями x, то получается неоднородная линейная система l+1 уравнений для l+╡+1 коэффициентов bkl. Будем вычислять эти коэффициенты, начиная со старшей степени l=╡(k)+l(k). Для этого коэффициента получается уравнение
Nk(╡)bk,╡+lx╡+l=qk,lxl,
т.е. согласно (3.7)
1
╡!
n(╡)(k)
(╡+l)!
l!
bk,╡+l=qk,l.
По определению ╡ коэффициент n(╡)(k)╣ 0, поэтому это уравнение имеет однозначное решение. Для коэффициента bk,╡+l-1 получается аналогичное уравнение, только правая часть зависит от qk,l-1 и bk,╡+l и т.д. Наконец, согласно (3.7) для l<╡(k) коэффициент bk,l отсутствует в указанной линейной системе и может быть взят любым.

Семейство разложений решений (3.5), соответствующее семейству Fj(d)l степенных асимптотик решений (1.7), будем обозначать Gj(d)l. Как правило, удается вычислить не все разложение (3.5), а только его начальный отрезок. При этом желательно, чтобы этот отрезок содержал все показатели k, соответствующие критическим значениям k1,...,ks. Тогда он содержит все произвольные постоянные семейства Gj(d)k. Семейство такого отрезка разложения (3.5) будем обозначать Gj(d)k.

Замечание 3.1. Если критические числа kt+1,...,ks таковы, что точки (kt+1,-1),...,(ks,-1) не лежат в множестве S+(k1,...,kt), то уравнение (3.3) имеет решение вида (3.5), носитель которого лежит в множестве S+(k1,...,kt)╟{q2=-1}.


3.4. Степени логарифмов в разложении. Очевидно, что степень ord bk(x) многочленов bk растет вместе с ростом -w(k-r). Оценим ее сверху для случая, когда уравнение (3.3) не содержит логарифмов. Положим ц(j)=╡(j)/|j-r| и q*=max q2 по (q1,q2)╬S(f).

Теорема 3.2. Если в уравнении (3.3) нет логарифмов, то в ситуации замечания 3.1 в решении (3.5)
ord b kг q*|k-r|
 
х
0<-w(j-r)<-w(k-r)
ц(j),     (3.8)
где j,k╬S+(k1,...,kt)╟{q2=-1}.

Замечание 3.2. В частности, если n(k)╣ 0 для k╬S+╟{q2=-1}, то это случай замечания 3.1 с t=0. При этом для указанных k все ╡(k)=0; следовательно, все ц(j)=0 и теорема 3.2 дает оценку ord bkг 0, т.е. коэффициенты bk не зависят от логарифмов и являются константами, что согласуется с результатами из [6,7].


3.5. Решетка носителя разложения. Дискретное множество Z в Rn называется решеткой, если оно замкнуто относительно векторных сложения и вычитания. Векторы B1,...,Bn образуют базис решетки Z, если всякая точка Q╬Z может быть представлена в виде
Q=m1B1+...+mnBn,  где все  mi╬Z.

Теорема 3.3 [6,7]. Если множество S(f)-(v,1) и точки (k1,-1),..., (ks,-1) лежат в некоторой решетке Z, то в теореме 3.1 множество K╠Z╟{q2=-1}.


3.6. Комплексные показатели. Сначала рассмотрим случай, когда в уравнении (3.3) у всех ДЛ-мономов в множителе (3.2) показатель r1 вещественный, но среди собственных чисел ki имеются комплексные, у которых вещественная часть Re ki лежит в конусе задачи (1.14). Так что теперь k1,...,ks все критические значения оператора L(x), включая комплексные, т.е. wRe ki<w r. В этом случае множество S+(k1,...,ks) содержит точки Q=(q1,q2), у которых q1╬C, q2╬Z+, а K это множество на комплексной плоскости q1╬C. Тогда теорема 3.1 остается справедливой, только в разложении (3.5) показатели k частично упорядочены по росту -w(Re k-r). Все дальнейшие утверждения пп. 3.2--3.5 также остаются справедливыми.

Если же в уравнении (3.3) показатели r1 комплексные, то носитель S(f) лежит в прямой сумме C┼R. Но при построении многоугольника G(f) учитываются только Re q1, т.е. Re S(f). Все дальнейшие конструкции и результаты сохраняются. Разложения решений (3.1) с комплексными показателями k рассматривались в [8].


3.7. Существование решений. Если для уравнения (3.3) разложение (3.5) сходится при достаточно малых |x|-w, то этому разложению соответствует решение уравнения (3.3). Для дифференциальной суммы f в (3.3) и степенного разложения (3.5) условия его сходимости приведены в [6,7,4]. Если дифференциальное уравнение (3.3) и разложение (3.5) вещественны, то у уравнения (3.3) всегда существует такое вещественное решение, для которого ряд (3.5) является асимптотическим разложением. Вообще говоря, такое решение не единственно. Даже разложение с комплексными показателями может быть вещественным для вещественного аргумента, если оно переходит в себя при комплексном сопряжении аргумента.

Гипотеза 3.1. В ситуации теоремы 3.1 для любого достаточно узкого сектора комплексной плоскости x-w уравнение (3.3) имеет решение z(x), для которого ряд (3.5) является асимптотическим разложением.
з 4. Примеры вычисления разложений

Продолжим рассмотрение уравнения (2.1), начатое в з 2, и покажем, какие разложения (3.5) получаются из результатов з 3 для различных семейств Fj(d)k степенных асимптотик, найденных в з 2.


4.1. Семейство F1(0)1 из (2.8). Здесь r=r1=1+1+a>1 и нет критических чисел. Для
f(x,z)
  def
=
  f(x,cxr+z)     (4.1)
носитель S( f) содержит кроме точек (2.2) еще три точки
Q4=(r,1),  Q5=(r+2,1),  Q6=(2r+2,0)     (4.2)
(рис. 3). При этом точка Q4 является вершиной (v,1), т.е. r=v. После сдвига носителя S(f) на вектор (-r,-1) получаем 6 точек Qi=Qi-Q4:
Q1=(-r,1),  Q2=(2-r,1),  Q3=(4-r,-1),
Q4=0,  Q5=(2,0),  Q6=(r+2,-1),
    (4.3)
показанных на рис. 4. Множество S+ конечных сумм векторов Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6 расположено в секторе, ограниченном лучами, натянутыми на Q1 и Q3 (рис. 4). При этом
Q2=Q1+Q5,  Q6=Q5- Q1.     (4.4)
Поэтому множество S+ порождается векторами Q1, Q3, Q5, Q6-Q3= (2r-2,0). Следовательно, множество (3.4) есть
K={k=4-r+2l+2m(r-1);  целые  l,m│ 0}.     (4.5)
Согласно теореме 3.1 и замечанию 3.2 в этом случае семейство G1(0)1 состоит из разложений (3.1) с постоянными однозначно определенными коэффициентами ck, где показатели k пробегают множество (4.5). Если число r рационально со знаменателем t, то множество S+ содержится в решетке Z с базисными векторами B1=(t-1,1), B2=(2t-1,0). Поэтому множество K содержится в множестве k=4-r+2lt-1,  l=0,1,2,....


4.2. Семейство F1(0)2 из (2.8). Для него r=r2=1-1+a<1 и имеется одно критическое число k1=1. Здесь равенства (4.2)--(4.4) остаются, но расположение точек (4.3) другое (рис. 5). Множество S+ расположено в секторе, ограниченном лучами, натянутыми на векторы Q1 и Q6, и порождается векторами Q1, Q6, Q5, Q3-Q6= (2-2r,0). Поэтому множество
S+╟{q2=-1}={k=2+r+2l+2m(1-r);  целые  l,m│ 0}.     (4.6)
Критическое значение k1=1 попадает в это множество только при m=0 и r=-(2l+1), т.е. при
a=(2l+3)(2l+1),  l=0,1,2,...     (4.7)

Если равенства (4.7) не выполнены, то множество
K= {k=s(2+r)+2l+2m(1-r)+n;  целые  l,m,n│ 0,
     s=0  или  1,  s+l+m+n>0}.
    (4.8)
В этом случае семейство G1(0)2 состоит из разложений (3.1) с произвольным постоянным коэффициентом c1 и с однозначно определенными постоянными коэффициентами ck для k╣ 1, где показатели k пробегают множество (4.8).

Если выполнено одно из равенств (4.7), то множество K совпадает с множеством (4.6) и в разложении решения (3.5) появляются логарифмы для bk с k│ 1. Рассмотрим подробно случай (4.7) с l=0. Тогда a=3, r=-1, множество (4.6) это множество натуральных чисел k=1,2,3,.... Будем искать первый член разложения (3.5) с k=1, т.е. y=cx-1+b x+.... Тогда y'=-cx-2+b+b' x+..., y''=2cx-3+2b'+b'' x+... Подставляя эти выражения в уравнение (2.1) и выписывая члены с x-2 и x0, получаем
x2(-cx-2+b' x+b)2-2x2(cx-1+b x)(2cx-3+b'' x+2b')+
+3(cx-1+b x)2+x2(cx-1+b x)2+...=
=-2c(b' x+b)-4cb-2c(b'' x2+2b'x)+6cb+c2+...
Приравнивая к нулю выписанную сумму членов нулевой степени по x и сокращая ее на -c, получаем уравнение
2b''x2+6b'x=c.     (4.9)
Положим x=lnx и будем точкой обозначать дифференцирование по x. Тогда b'=bx-1, b''=(b-b)x-2, и уравнение (4.9) принимает вид 2(b-b)+6b=c, т.е. 2b+4b=c. Это уравнение имеет решения b=(c/4)x+c1, где c1 --- произвольная постоянная. Следовательно, в этом случае разложение (1.12), (3.5) имеет вид y=cx-1+(c/4)(lnx+c1)x+b3x3+..., где c╣ 0 и c1 --- произвольные постоянные, b3 --- многочлен второй степени от lnx. В общем случае (4.7) разложение (1.12), (3.5) имеет вид
y=cx-(2l+1) ц
ч
ч
ш		 c+
l
х
k=1
c2kx2k Ў
ў
ў
°		 + x ц
ч
ч
ш		 b +
l
х
k=1
b2kx2k Ў
ў
ў
°		 + g2l+3x2l+3+...,     (4.10)
где коэффициент c╣ 0 произволен, коэффициенты c2k постоянны и однозначно определены, коэффициенты b и b2k являются линейными функциями от lnx, при этом b содержит произвольную постоянную, а b2k однозначно определены; коэффициент g2l+3 является квадратичной функцией от lnx и однозначно определен и т.д.


4.3. Семейство F1(0)3 из (2.9). Для него множество K состоит из целых точек: K={k=2,3,...}. Разложение (1.12), (3.5) имеет вид
y=cx+
е
х
k=2
ckxk,     (4.11)
где c╣ 0 произвольная постоянная и все ck однозначно определены. Это семейство G1(0)3.


4.4. Семейство F1(0)4 из (2.10). Для него r=r1=1+1+a=1+is и нет критических значений. Для f(x,z)  def /=  f(x,cxr+z) носитель S( f) состоит из точек (2.2) и точек
Q4=(1+is,1),  Q5=(3+is,1),  Q6=(4+2is,0).
Члену L(x)z соответствует точка Q4. Положим Qi=Qi-Q4. Тогда
Q1=(-1-is,1),  Q2=(1-is,1),  Q3=(3-is,-1),
Q4=0,  Q5=(2,0),  Q6=(3+is,-1).
На рис. 6 показана проекция этих точек на плоскость Re q1, Im q1; при этом точки Q1 и Q2 имеют q2=1, Q4 и Q5 имеют q2=0, а Q3 и Q6 имеют q2=-1. Из рис. 6 видно, что
K={k=3+is+2m;m│ 0}╚{k=l(-1-is)+(l+1)(3-is)+2m;l,m│ 0},     (4.12)
где l и m целые (кружочки на рис. 7). Поэтому разложение (3.5) имеет вид
z=x3+is ц
ч
ч
ш
е
х
l=0
c2lx2l Ў
ў
ў
°		 + x3-is ц
ч
ч
ш
е
х
l=0
c2l(1)x2l Ў
ў
ў
°		 + x5-3is ц
ч
ч
ш
е
х
l=0
c2l(2)x2l Ў
ў
ў
°		 +...,     (4.13)
где все коэффициенты c2l, c2l(1), c2l(2),... постоянны и однозначно определены. Согласно (2.10), (1.20) и (4.13) носитель разложения для y содержит еще точку 1+is, показанную звездочкой на рис. 7, и заключен в угле, выделенном пунктиром на рис. 7. Для семейства F1(0)5 из (2.10) получается разложение вида (4.13), где s надо заменить на -s.


4.5. Семейство F1(1)1 из (2.16). Для него r=2 и при a<0 нет критических значений, а при a>0 имеется одно критическое значение k1=(3+1+4a)/2. Носитель S( f) состоит из точек
Q1,  Q2,  Q4=(2,1),  Q5=(4,1),  Q6=(6,0).
Члену L(x)z соответствует вершина Q4, поэтому v=2. Полагая Qi=Qi-Q4, получаем
Q1=(-2,1),  Q2=(0,1),   Q4=0,  Q5=(2,0),  Q6=(4,-1).
Все они лежат в решетке с базисом B1=(2,0)  def /=  2E1, B2=(0,1)  def /=  E2. Поэтому множество S+╟{q2=-1}={k=4+2l,  l=0,1,...}.

При a<0 множество K=S+╟{q2=-1}. Следовательно, для полусемейства G1(1)1- разложение (1.12), (3.5) имеет вид
y=cx2+
е
х
k=2
c2kx2k,     (4.14)
где c=a-1 и все коэффициенты c2k являются определенными постоянными, зависящими от c. Для полусемейства G1(1)2- разложение решений также имеет вид (4.14), только c=-a-1.

При a>0 имеется критическое число k1=(3+1+4a)/2. Оно попадает в множество S+╟{q2=-1} только при
a=6+10l+4l2,  l=0,1,2,...     (4.15)
Если a отлично от значений (4.15), то
K={k=4+2l+k1m;  целые  l,m│ 0},     (4.16)
и разложение (1.12), (3.1) имеет вид
y=cx2+хckxk  по  k╬K,     (4.17)
где c=a-1, ck1 --- произвольный постоянный коэффициент и все остальные коэффициенты ck постоянны и однозначно определены.

Если выполнено равенство (4.15), то K=S+╟{q2=-1}, но разложение (1.12), (3.5) для семейства G1(1)1 содержит логарифмы для k│ 4+2l, где l из равенства (4.15). При этом коэффициент bk1 содержит произвольную постоянную. Например, при l=0 имеем a=6, k1=4. Поэтому разложение (1.12), (3.5) имеет вид y=cx2+b x4+..., т.е.
y'=2cx+4b x3+b'x4+...,  y''=2c+12b x2+8b'x3+b''x4+...
Подставляя эти выражения в (2.1) и приравнивая нулю коэффициент при x6, получаем для b уравнение 6b'x+b''x2=c/2. Оно имеет решения b=(c/12)lnx+ c, где c --- произвольная постоянная. Следовательно,
y=a-1 x2+[(a-1/12) lnx+ c] x4+...

Итак, при a>0 полусемейство G1(1)1+, если не выполнены все равенства (4.15), состоит из разложений (4.17), (4.16), где постоянный коэффициент ck1 произволен, а если выполнено одно из равенств (4.15), то оно состоит из разложений (1.12), (3.5), где k=4+2l, l=0,1,2,... Полусемейство G1(1)2+ устроено аналогично, оно получается из полусемейства G1(1)1+ заменой a-1 на -a-1.


4.6. Семейства F3(1)1 и F3(1)2 из (2.19). Для них r=1 и w=1, т.е. разложение по убывающим степеням x. Носитель S( f) состоит из точек Q1,  Q2,  Q4=(1,1),  Q5=(3,1),  Q7=(2,0). Члену L(x)z соответствует вершина Q5. Положим Qi=Qi-Q5, тогда
Q1=(-3,1),  Q2=(-1,1),   Q4=(-2,0),  Q5=0,  Q7=(-1,-1).
Все эти точки лежат в решетке с базисом B1=(1,1), B2=(2,0). Поэтому множество K={k=-1-2l,  l=0,1,2,...}. Следовательно, разложения (1.12), (3.5) для семейств G3(1)1 и G3(1)2 имеют вид
y=cx+x-1
е
х
k=0
c-2kx-2k,     (4.18)
где c=▒ 1 и все c-2k однозначно определены для фиксированного c.


4.7. Сводка результатов. В этом параграфе найдены следующие разложения решений уравнения (2.1).
  • I. Двупараметрическое (по c и a) семейство G1(0)1 степенных разложений (3.1) с показателями (4.5).
  • II. Трехпараметрическое (по c,c1 и a) семейство G1(2)2 степенно-логарифмических разложений (4.10). Если не выполнено равенство (4.7), то это семейство степенных разложений (3.1) с множеством показателей (4.8).
  • III. Однопараметрическое (по c) семейство G1(0)3 степенных разложений (4.11).
  • IV. Двупараметрическое (по c и a) семейство G1(0)4 степенных разложений (1.20), (4.13) с комплексными показателями из множества (4.12) и комплексно-сопряженное ему семейство G1(0)5.
  • V. Два однопараметрических (по a<0) полусемейства G1(1)1- и G1(1)2- степенных разложений (4.14).
  • VI. Два двупараметрических (по a>0 и ck1) семейства G1(1)1+ и G1(1)2+ степенно-логарифмичческих разложений (1.12), (3.5). Если не выполнены равенства (4.15), то они состоят из степенных разложений (4.17) с множеством показателей (4.16).
  • VII. Два однопараметрических (по a) семейства G3(1)1 и G3(1)2 степенных разложений (4.18).

з 5. Нестепенные асимптотики решений

5.1. Постановка задачи. Пусть x 0 или xе. Две функции j(x) и y(x) называются слабо (асимптотически) эквивалентными, если y(x)/j(x) 1. При этом функция j(x) является слабой асимптотикой функции y(x) и наоборот. Обозначим k-кратные экспоненту и логарифм через exp(k)x и ln(k)x соответственно, т.е.
exp(k)x
  def
=
 exp(exp(...(expx)...))  и   ln(k)x
  def
=
 ln(ln(...(lnx)...)).

Задача 3. Для решений уравнения (1.4), где f(x,y) --- дифференциальная сумма, найти все (слабые) асимптотики вида
y=cxr(expx) s1...(exp(k)x) sk (lnx) t1...(ln(l)x) tk,     (5.1)
где c=const╬C, c╣ 0, si,ti=const╬R. В [2, гл. VI, зз 1--4] содержатся алгоритмы решения этой задачи.

В з 1 изложен метод вычисления всех степенных асимптотик, т.е. вида (1.7). Поэтому здесь сосредоточимся на вычислении всех нестепенных асимптотик решений, т.е. не имеющих вида (1.7). Порядком функции j(x) называется число r=lim(ln|j(x)|/ln|x|)╬[-е,+е], если предел существут. Очевидно, что слабо эквивалентные функции имеют одинаковый порядок. Две функции j(x) и y(x) сильно (асимптотически) эквивалентны, если
j(x)=y(x)[1+o ( |x|w1|y(x)|w2 ) ]
для некоторого <0, где
w1=w= ь
э
ю
-1, если  x 0,
1, если  xе;
w2= ь
э
ю
-1, если  y(x) 0,
0, если  y(x)const╣ 0,
1, если  y(x)е.
При этом функция j(x) является сильной асимптотикой функции y(x) и наоборот. Пусть y=j(x) --- решение уравнения (1.4), и функция j(x) имеет порядок r. Тогда нормальным конусом u этого решения является луч
u= ь
э
ю
lw(0,-1), если  r=-е;
lw(1,r), если  r╬R;
lw(0,1), если  r=+е,  l>0.
Понятие конус задачи применимо и к решениям с так определенным нормальным конусом u.

Теорема 5.1 [2, гл. VI, теорема 1.1]. Если решение y=j(x) уравнения (1.4) имеет норальный конус u, то укороченное уравнение (1.9), для которого u╠Uj(d), имеет сильно асимптотически эквивалентное решение.

Таким образом, задача 3 сводится к нахождению всех укороченных уравнений и их нормальных конусов и к конечному числу следующих задач.

Задача 4. Для укороченного уравнения (1.9) найти все (слабые) асимптотики его решений y=y(x) с (1,r)╬Nj(d). Из этих решений надо оставить только те, у которых w(1,r)╬Uj(d).

Согласно з 1 уравнению (1.4) соответствует многоугольник G(f), а укороченному уравнению (1.9) --- его ребро или вершина Gj(d). Ниже рассмотрим по отдельности 4 способа редукции задачи 4: три для ребра (в зависимости от его наклона) и один для вершины.

Замечание 5.1. Алгебраическое укороченное уравнение (1.9) не имеет нестепенных решений, т.е. не дает нестепенных асимптотик решений уравнения (1.4).


5.2. Случай вертикального ребра Gj(1). Если ребро Gj(1) вертикально, то его нормальный конус
Uj(1)=lw(1,0),  l>0,     (5.2)
и у всех точек Q=(q1,q2)╬Gj(1) координата q1 одинакова. Положим
g(x,y)=x-q1 fj(d)(x,y),     (5.3)
тогда носитель S(g) лежит на координатной оси q1=0. Согласно (5.2) все степенные решения (1.7) с (1,r)╬Nj(1) имеют вид y=y0=const, где y0 --- корень алгебраического уравнения
g(y)
  def
=
  g(0,y)=0.     (5.4)
Корень y0 уравнения (5.4) называется кратным, если в нем производная d g(y)/dy равна нулю. Для отыскания нестепенных решений уравнения (1.9) сделаем логарифмическое преобразование
x
  def
=
  lnx.     (5.5)
Согласно теореме 2.4 из [2, гл. VI] при этом дифференциальная сумма g(x,y) перейдет в дифференциальную сумму h(x,y)  def /=  g(x,y) и уравнение (1.9) примет вид
h(x,y)=0.     (5.6)
Из (5.5) видно, что xе при x 0 и при xе, т.е. для уравнения (5.6) получаем задачу 3 с конусом задачи
p1│ 0.     (5.7)

Теорема 5.2. Конечные предельные точки y0 нестепенных решений уравнения (5.3) являются кратными решениями уравнения (5.4).

Пусть ребро Gj(1) соединяет вершины Gj-1(0)=(q1,q2) и Gj(0)=(q1,q2), где целые q2>q2. Будем говорить, что уравнение (5.4) имеет бесконечный корень, если степень многочлена (5.4) меньше q2; и имеет нулевой корень, если у многочлена (5.4) наименьшая степень по y больше q2.

Теорема 5.3. Если уравнение (5.4) не имеет бесконечного (нулевого) корня, то уравнение (5.6) не имеет решений стремящихся к бесконечности (нулю).

Следовательно, если уравнение (5.4) не имеет кратных корней, а также бесконечного и нулевого корней, то уравнение (1.9) не имеет подходящих нестепенных решений, т.е. преобразование (5.5) и дальнейшие исследования делать не нужно. В противном случае надо сделать преобразование (5.5) и рассмотреть уравнение (5.6). Укорочение уравнения (5.6) относительно вектора (1,0) является уравнением (5.4), т.е. g(y)║ h(x,y). Для нахождения решений уравнения (5.6) с бесконечными и нулевыми предельными значениями y надо для уравнения (5.6) выделить укороченные уравнения, соответствующие конусу задачи (5.7). Для нахождения решений уравнения (5.6) с конечными предельными значениями надо найти все кратные корни уравнения (5.4). Пусть y0 --- такой кратный корень. Тогда параллельным сдвигом y=y0+z надо поместить его в начало координат. Уравнение (5.6) примет вид
h(x,z)
  def
=
  h(x,y0+z)=0.     (5.8)
Теперь для уравнения (5.9) надо выделять его укороченные уравнения с конусом задачи p1│ 0, p2г 0. Это опять задача 3. Итак, для вертикального ребра здесь был описан один шаг, позволяющий найти все степенные решения уравнения (1.9) и для нахождения нестепенных асимптотик его решений сводящий задачу 4 к конечному числу задач 3.


5.3. Случай наклонного ребра Gj(1). Пусть вектор (1,r) с r╣ 0 является нормальным к ребру Gj(1).

Теорема 5.4 [2, гл. VI, теорема 2.2]. Степенное преобразование
y=zxr     (5.9)
приводит уравнение (1.9) к виду f(x,z)  def /=  fj(1)(x,zxr)=0, где f(x,z) --- дифференциальная сумма и ее носитель S( f) расположен на вертикали q1=const.

Итак, степенным преобразованием (5.9) случай наклонного ребра сводится к случаю вертикального ребра. Если в укороченное уравнение (1.9) подставить y=cxr, то для коэффициента c получается уравнение
xs f(c)
  def
=
  fj(1)(x,cxr)=0,     (5.10)
где f(c) --- многочлен от коэффициента c. Здесь он играет ту же роль, что и многочлен g(y) из уравнения (5.4). В частности, если этот многочлен не имеет бесконечного, нулевого и кратных корней, то уравнение (1.9) не имеет подходящих нестепенных решений, т.е. преобразование (5.9) и дальнейшее исследование делать не надо.


5.4. Случай горизонтального ребра Gj(1). В этом случае у всех точек Q=(q1,q2) ребра Gj(1) координата q2 одинакова. Положим
g(x,y)
  def
=
  y-q2 fj(1)(x,y)     (5.11)
и сделаем логарифмическое преобразование
h=dlny/dx.     (5.12)
Согласно теореме 2.4 [2, гл. VI] при этом преобразовании дифференциальная сумма g(x,y) перейдет в дифференциальную сумму h(x,h)  def /=  g(x,y) и уравнение (1.9) примет вид
h(x,h)=0.     (5.13)
Теперь для уравнения (5.13) получаем задачу 3 с конусом задачи p1+p2│ 0. Сумму порядков всех производных (1,r), входящих в дифференциальный моном a(x,y), назовем порядком дифференцирования монома a(x,y) и обозначим D(a). Для дифференциальной суммы (1.3) порядок дифференцирования D(f)=maxiD(ai). Пусть ребро Gj(1) соединяет вершины Gj-1(0)=(q1,q2) и Gj(0)=(q1,q2) с q1<q1.

Теорема 5.5. Если D( fj-1(0))=D( fj(1)) (или D( fj(0))=D( fj(1))), то уравнение (1.9) не имеет подходящих решений при x 0 (или xе).

Следовательно, если D( fj-1(0))=D( fj(1))= D( fj(0)), то преобразование (5.12) и дальнейшее исследование делать не надо.


5.5. Случай вершины Gj(0). Пусть Gj(0)={Q} . Положим
g(x,y)
  def
=
  X-Q fj(0)(x,y),     (5.14)
тогда S(g)={0}. Степенные решения y=cxr уравнения g(x,y)=0 имеют произвольную постоянную c и показатель r, удовлетворяющий алгебраическому уравнению
c(r)
  def
=
  g(x,xr)=0.     (5.15)

Для нахождения нестепенных решений сделаем логарифмическое преобразование
x=lnx,   h=dlny/dlnx.     (5.16)
Согласно теореме 2.4 [2, гл. VI] при этом дифференциальная сумма g(x,y) перейдет в дифференциальную сумму h(x,h)  def /=  g(x,y) и уравнение (1.9) примет вид
h(x,h)=0.     (5.17)
Из (5.16) видно, что xе, т.е. p1│ 0. Таким образом, для уравнения (5.17) получаем задачу 3 с конусом задачи p1│ 0, p1+p2│ 0. Теперь заметим, что согласно (5.16) для степенных решений (1.7)
h=r=const.     (5.18)

Теорема 5.6. Конечные ненулевые предельные точки h0 нестепенных решений уравнения (5.17) являются кратными корнями уравнения (5.15).

Пусть D(g(x,y))=k. Обозначим через g*(x,y) сумму всех тех дифференциальных мономов суммы g(x,y), у которых порядок дифференцирования равен k, т.е. максимальный в g(x,y). Через coef (g*) обозначим сумму всех числовых коэффициентов в дифференциальных мономах суммы g*(x,y).

Теорема 5.7. Если дифференциальная сумма g(x,y) из (5.14) содержит ненулевую постоянную (или для нее coef (g*)╣ 0), то уравнение (5.17) не имеет решений, стремящихся к нулю (или к бесконечности).

Следовательно, если для fj(0)(x,y) характеристическое уравнение не имеет кратных корней, сумма g(x,y) имеет ненулевой свободнвй член и coef (g*)╣ 0, то уравнение (1.9) не имеет подходящих нестепенных решений. Укорочение уравнения (5.17) относительно вектора (1,0) является уравнением (5.15), т.е. c(h)║ h(x,h). Для нахождения решений уравнения (5.17) с бесконечными и нулевыми предельными значениями надо для уравнения (5.17) выделять укороченные уравнения, у которых нормальный конус пересекается с конусом задачи p1│ 0, p1+p2│ 0, и т.д. Для нахождения решений уравнения (5.17) с конечными ненулевыми предельными значениями надо найти все кратные корни уравнения (5.15). Пусть h0 --- такой корень. Параллельным переносом h=h0+z надо поместить его в начало координат. Уравнение (5.17) примет вид
h(x,z)
  def
=
  h(x,h0+z)=0.     (5.19)
Теперь надо выделять укорочения уравнения (5.19) с конусом задачи p1│ 0, p2г 0. Это опять задача 3.

Замечание 5.2. Доказательства теорем 5.2--5.7 основаны на рассмотрении специфики многоугольника G(h), получающегося после логарифмического преобразования. При этом преобразования (5.12) и (5.16) удобнее делать в два этапа: сначала ввести логарифм w=lny зависимой переменной y, а затем ввести его производную h=dw/dx в (5.12) и h=dw/dx в (5.16). Кроме того, этим способом легко доказать, что после преобразования (5.12) или (5.16) конус задачи лежит в множестве p1+p2│ 0.


5.6. Последовательность редукций. Итак, в пп. 5.2--5.5 был описан один шаг, позволяющий найти все степенные асимптотики решений уравнения (1.4) и для нахождения нестепенных асимптотик сводящий задачу 3 к конечному числу задач 3 для преобразованных уравнений вида (1.4). Каждая из них имеет конечное число задач 4 для укороченных уравнений вида (1.9).

Теорема 5.8. Через конечное число таких шагов получается укороченная система, имеющая только степенные асимптотики решений.

Последовательность таких вычислений состоит в том, что по исходному уравнению (1.4) вычисляется многоугольник G(f), его грани Gj(d) и соответствующие укороченные уравнения (1.9). Согласно теореме 5.1 точное решение укороченного уравнения (1.9) является сильной асимптотикой решений исходного уравнения (1.4). Сначала находим все семейства Fj(d)k степенных решений уравнения (1.9). Вблизи каждого невырожденного семейства Fj(d)k методами з 3 можно получить семейство Gj(d)k степенно-логарифмических разложений решений исходного уравнения (1.4). Согласно теоремам 5.2--5.7 укороченное уравнение (1.9) может иметь подходящие нестепенные решения только вблизи семейств Fj(d)k, соответствующих кратным корням, а также вблизи нуля (что обозначим через Fj(d)0) и вблизи бесконечности (что обозначим через Fj(d)е). Если согласно теоремам 5.2--5.7 такие решения могут быть, то после соответствующих степенного преобразования, логарифмического преобразования и сдвига из уравнения (1.9) для каждого случая Fj(d)k получаем свою задачу 3 со своим уравнением h(x,h)=0, своим многоугольником G=G( h) и своим конусом задачи. Пусть G j1( d1) --- грань этого многоугольника. Соответствующие ей семейства степенных решений обозначим как Fj(d)k  F j1( d1)k1. Каждому такому семейству соответствует семейство Fj(d)k  G j1( d1)k1 разложений решений уравнения h(x,h)=0. Ему соответствует семейство нестепенных решений уравнения (1.9) и семейство нестепенных асимптотик решений исходного уравнения (1.4), для которых будем использовать те же обозначения. Эту процедуру можно продолжать и получать семейства вида
Fj(d)k  Fj1(d1)k1... Fjl-1(dl-1)kl-1  Fjl(dl)kl,     (5.20)
и вида
Fj(d)k  Fj1(d1)k1... Fjl-1(dl-1)kl-1  Gjl(dl)kl,     (5.21)
где k и ki принимают значения из множества {0}╚N╚{е}. Если проделать обратные преобразования и вернуться к исходным координатам x,y, то при l=1 семейство (5.20) дает слабые асимптотики вида (5.1), а семейство (5.21) --- сильные. Вообще семейства (5.20) дают выражения вида (5.1). При l>1 они являются слабыми асимптотиками для ln(l-1)y. Согласно теореме 5.8 число l в семействах (5.20) и (5.21) не превосходит некоторой константы, определяемой исходным уравнением (1.4). При этом, чем больший отрезок разложения семейства G jl( dl)kl в (5.21) удастся вычислить, тем точнее будет найдена асимптотика решений исходного уравнения (1.4).

Замечание 5.3. Степенные и логарифмические преобразования, описанные в з 5, сильно упрощают уравнение. Может случиться, что преобразованное уравнение решается в явном виде [9]. В этом случае можно не вычислять степенные разложения его решений.
з 6. Примеры вычисления нестепенных асимптотик

Рассмотрим уравнение (2.1) и найдем нестепенные асимптотики его решений, соответствующие вершинам Gj(0) и ребрам Gj(1).


6.1. Вершина G1(0) (п. 2.2). Ей соответствует укороченное уравнение (2.5) и G1(0)=(0,2). Действуем согласно п. 5.6. Положим
g(x,y)
  def
=
  y-2 f1(0)(x,y)=x2y-2y'2-2x2y-1y''+a=0.     (6.1)
Характеристическое уравнение (2.6) имеет кратные корни (r1,2=1) только при a=-1. Для суммы g(x,y) из (6.1) имеем D(g)=2, g*=x2y-2y'2-2x2y-1y'', coef (g*)=1-2=-1╣ 0. В сумме g(x,y) из (6.1) постоянная (свободный член) равна a. Согласно теоремам 5.6 и 5.7 при a╣ -1 и a╣ 0 уравнение (6.1) не имеет подходящих нестепенных решений, но при a=-1 и при a=0 могут быть такие решения.

Логарифмическое преобразование (5.16) сделаем по частям. Сначала положим x=lnx и производную по x будем обозначать точкой: dy/dx  def /=  y. Тогда
y'= yx-1,  y''=( y- y)x-2.     (6.2)
Уравнение (6.1) принимает вид
y-2 y2-2y-1( y- y)+a=0.     (6.3)
Теперь положим h=(lny)=dlny/dx. Тогда
y=h y,   y=hy+h2 y.     (6.4)
Уравнение (6.3) принимает вид h(x,h)  def /= h2-2(h+h2-h)+a=0 или
h(x,h)
  def
=
 -2h+2h-h2+a=0     (6.5)
с конусом задачи
p1│ 0,  p1+p2│ 0.     (6.6)
Теперь по отдельности рассмотрим два случая a=-1 и a=0.

Если a=-1, то носитель и многоугольник уравнения (6.5) показаны на рис. 8, а нормальные конусы и конус задачи (6.6) --- на рис. 9. Из него видно, что с конусом задачи (6.6) пересекаются только нормальные конусы U1(0), U2(0) и U1(1). Однако, укороченные уравнения h1(0)  def /= -1=0 и h2(0)  def /= -h2=0 не имеют подходящих решений. Следовательно, уравнение (6.5) не имеет подходящих решений с hе и h 0. Наконец, уравнение h1(1)  def /=  2h-h2-1=0 имеет кратное решение
h0=1,     (6.7)
которое согласуется с (2.7). Сделаем параллельный перенос
h=1+z.     (6.8)
Тогда уравнение (6.5) при a=-1 примет вид
h(x,z)
  def
=
 -2z-z2=0.     (6.9)
Это уравнение имеет тривиальное решение
z=0.     (6.10)
Носитель уравнения (6.9) состоит из двух точек (-1,1), (0,2). Их выпуклая оболочка это отрезок с нормальным вектором (1,-1). Поэтому будем искать степенное решение уравнения (6.9) в виде z= cx-1. Подставляя это выражение в (6.9) и сокращая на x-2, получаем алгебраическое уравнение 2 c- c2=0. Следовательно, c=2 и уравнение (6.9) имеет еще степенное решение
z=2x-1.     (6.11)
Возвращаясь по преобразованиям (6.8) и (5.16) к исходным координатам x,y, получаем из решений (6.10) и (6.11) решения (2.9) и
y=cx(lnx)2,  0╣ c=const╬C.     (6.12)
Эту слабую асимптотику вида F1(0)3  F1(1)1 можно еще уточнять, вычисляя для уравнения (6.9) решения, отличные от (6.10) и (6.11). Это можно сделать двумя способами:

а) вычисляя степенное разложение решений по убывающим степеням x, начинающееся с (6.11), z=2x-1+хk=2е ckx-k, т.е. получить сильную асимптотику вида F1(0)3  G1(1)1; это оставляем для читателя как упражнение;

б) решая уравнение (6.9) в явном виде с помощью разделения переменных, получаем z=2(x+ c)-1, где c --- произвольная постоянная. Согласно (6.8) и (5.16) получаем
y=cx(lnx+ c)2,     (6.13)
т.е. двупараметрическое семейство асимптотик в конечном виде, уточняющее однопараметрическое семейство нестепенных асимптотик (6.12) (ср. замечание 5.3).

Если a=0, то многоугольник уравнения (6.5) является треугольником. Конусу задачи (6.6) соответствуют только укорочения h=2h, h=-h2 и h=2h-h2, соответствующие двум вершинам и одному ребру. Соответствующие укороченные уравнения не имеют подходящих решений.

Вершинам G2(0) и G3(0) соответствуют алгебраические укороченные уравнения. Согласно замечанию 5.1 они не дают нестепенных асимптотик.


6.2. Ребро G1(1) (п. 2.3). Ему соответствует укороченное уравнение (2.14). Действуем сначала согласно п. 5.3. Уравнением (5.10) здесь является уравнение (2.15). Оно не имеет нулевого корня и конечных кратных корней. Но имеет бесконечный (кратный) корень при a=0. Рассмотрим этот случай подробнее. Нормальным к ребру G1(1) является вектор (1,2). Поэтому степенное преобразование (5.9) есть
y=x2z.     (6.14)

Поскольку y'=2xz+x2z',  y''=2z+4xz'+x2z'', то уравнение (2.14) при a=0 принимает вид
f(x,z)=x4[(2z+xz')2-2z(2z+4xz'+x2z'')-1]=0.
После сокращения на x4 и приведения подобных получаем уравнение
g(x,z)
  def
=
  x2z'2-2x2zz''-4xzz'-1=0.     (6.15)
Теперь действуем согласно п. 5.2. Делаем преобразование (5.5). Согласно (6.2) с заменой y на z уравнение (6.15) принимает вид
h(x,z)
  def
=
  z2-2z z-2z z-1=0.     (6.16)
Здесь конус задачи есть p1│ 0, ибо xе, и разложение решения h(x) должно быть по убывающим степеням x. Носитель и многоугольник G уравнения (6.16) показаны на рис. 10. Нормальные конусы показаны на рис. 11. С конусом задачи p1│ 0 пересекаются три нормальных конуса U1(0), U2(0) и U1(1). Но укороченное уравнение h1(0)  def /= -1=0, соответствующее вершине G1(0)=0, не имеет решений. Укороченное уравнение h2(0)  def /= -2z z=0, соответствующее вершине G2(0)=(-1,2), имеет решение z=const с нормальным вектором (1,0), который не пересекается с нормальным конусом U2(0). Следовательно, это решение не годится. Ребру G1(1) соответствует укороченное уравнение
h1(1)
  def
=
 -2z z-1=0.     (6.17)
Поскольку нормальный вектор к ребру G1(1) есть (1,1/2), то для уравнения (6.17) ищем степенное решение вида
z= c x1/2.     (6.18)
Подставляя его в уравнение (6.17), получаем алгебраическое уравнение - c2-1=0. Оно имеет два корня
c1,2=▒ i.     (6.19)
Согласно (6.14), (5.5), (6.18), (6.19) получаем две слабые нестепенные асимптотики
y=▒ i x2(lnx)1/2     (6.20)
вида F1(1)е  F1(1)k, k=1,2. Вычислим собственные значения решения (6.18) уравнения (6.17). Производная Фреше d h1(1)/d z=-2zd/dx-2 z. На решении (6.18) она дает оператор
L(x)=-
c
x1/2
ц
ч
ч
ш		 2
d
dx
+1 Ў
ў
ў
°		 .     (6.21)
Следовательно, n (k)=- c (2k+1), и решение (6.18), (6.19) имеет собственное значение k1=-1/2. Поскольку k1<1/2, то k1 является критическим значением. Если в уравнении (6.16) сделать замену
z= c x1/2+u,     (6.22)
то получим уравнение с носителем, состоящим из 5 точек:
Q1=(-2,2),  Q2=(-1,2),  Q3=(-3/2,1),  Q4=(-1/2,1),  Q5=(-1,0)
(рис. 12). Согласно (6.21) члену L(x)u соответствует точка Q4. Положим Qi= Qi- Q4, i=1,...,5. Все эти точки Qi лежат в решетке Z с базисом B1=(1,0) и B2=(1/2,1). Точка (k1,-1) также лежит в этой решетке. С множеством q1<1/2 на прямой q2=-1 решетка Z пересекается по точкам q1=-1/2-l, где целое l│ 0. Следовательно, разложение решения уравнения (6.16) имеет вид
z= c x1/2+b  x-1/2+x-1/2
е
х
l=1
bl x-l,     (6.23)
где b и bl суть многочлены от lnx. Вычислим функцию b(lnx). Дифференцируя (6.23) по x, получаем z= c x-1/2/2+b x-1/2-b  x-3/2/2+..., z=- c x-3/2/4+b x-1/2- b x-3/2+3b x-5/2/4+.... Подставим (6.23) и эти разложения в уравнение (6.16) и выпишем члены степеней 0 и -1 по x. Получаем
1
4
c2 x-1- c2+2 c ц
ч
ч
ш		 b-
1
2
b x-1 Ў
ў
ў
°		 + c bx-1-
1
2
c2 x-1-1=2 c b-
1
4
c2  x-1.
Приравнивая коэффициент при x-1 к нулю, получаем, что b=( c/8) x-1. Следовательно,
b=( c/8) lnx+const.     (6.24)
Согласно (6.14) и (5.5) в исходных координатах разложению (6.23), (6.24) соответствуют два однопараметрических семейства F1(1)е  G1(1)k, k=1,2 асимптотик
y=▒ x2 ( lnx )
1/2
 
 
щ
ъ
ъ
ы		 i+ ц
ч
ч
ш
i
8
lnlnx+ c Ў
ў
ў
°		 ( lnx )
-1
 
 
+... ∙
·
·
√		 ,     (6.25)
где c --- произвольная постоянная, которые уточняют асимптотики (6.20). Похожие вычисления асимптотик встретились в гидродинамической задаче [10, лемма 2].


6.3. Ребро G2(1) (п. 2.4). Ему соответствует укороченное уравнение (2.17). Действуем согласно п. 5.4. Ребро G2(1) расположено между вершинами G1(0) и G2(0), которым соответствуют укороченные уравнения (2.5) и f2(0)  def /=  x2y2=0. Следовательно, порядки дифференцирования суть D
( f1(0) )
=D
( f2(1) )
=2,   D
( f2(0) )
=0. По теореме 5.5 укороченное уравнение (2.17) не имеет подходящих решений при x 0, но может иметь их при xе. Найдем их. У всех точек Q=(q1,q2) ребра G2(1) координата q2=2. Согласно (5.11) положим g(x,y)  def /=  y-2 f2(1)(x,y). Сделаем преобразование (5.12). Тогда согласно (6.4) уравнение (2.17) перейдет в уравнение вида (5.13):
h(x,h)
  def
=
 -2x2h'-x2h2+a+x2=0     (6.26)
с конусом задачи p1+p2│ 0. Носитель S(h) и многоугольник G(h) показаны на рис. 13, а нормальные конусы --- на рис. 14. Каждой вершине соответствует укорочение h, состоящее из одного обычного монома. Поэтому согласно замечанию 1.1 вершины не интересны. Что касается ребер, то согласно рис. 14 с конусом задачи p1+p2│ 0 пересекаются только нормальные конусы U1(1) и U2(1) ребер G1(1) и G2(1). Рассмотрим их по отдельности. Ребру G1(1) соответствует нормальный конус
U1(1)={P=l(-1,1),  l>0}     (6.27)
(см. рис. 14). Поскольку в нем p1<0, то x 0, но по теореме 5.5 нет подходящих решений с x 0. Поэтому ребру G1(1) не соответствуют подходящие решения. Ребру G2(1) соответствует укороченное уравнение
h2(1)
  def
=
  -x2h2+x2=0     (6.28)
и нормальный конус p1>0, p2=0 (рис. 14). Уравнение (6.28) имеет два решения
h1,20=▒ 1.     (6.29)
Согласно (5.12) им соответствуют два однопараметрических семейства F2(1)е  F2(1)k, k=1,2 слабых асимптотик
y=c exp(▒ x),  0╣ c=const╬C.     (6.30)
Поскольку укороченное уравнение (6.28) алгебраическое, то согласно замечанию 1.2 решения (6.29) не имеют критических чисел и в уравнении (6.26) им соответствуют разложения решений вида
h=h 0+
е
х
k=2
ck x-k,     (6.31)
где все коэффициенты ck постоянны и однозначно определены значениями h0 и a. Например, c2=-a/(2h0). Разложениям (6.31) соответствуют асимптотики
y=c exp щ
ъ
ъ
ы		 h0 x-
е
х
k=1
( ck+1/k )  x-k ∙
·
·
√		 ,  h0=▒ 1,     (6.32)
где c --- произвольно, c╣ 0, образующие два двупараметрических (по c и a) семейства F2(1)е  G2(1)k, k=1,2. Они уточняют асимптотики (6.30).

Ребру G3(1) соответствует алгебраическое укороченное уравнение (2.18). Согласно замечанию 5.1 оно не дает нестепенных асимптотик.


6.4. Сводка результатов. В этом параграфе найдены следующие нестепенные асимптотики решений уравнения (2.1).
  • I. Двупараметрическое (по c и c1) семейство F1(0)3  G1(1)1 асимптотик (6.13).
  • II. Два однопараметрических (по c) семейства F1(1)е  G1(1)1 и F1(1)е  G1(1)2 асимптотик (6.25).
  • III. Два двупараметрических (по c и a) семейства F2(1)е  G2(1)1 и F2(1)е  G2(1)2 асимптотик (6.32).

Литература
  1. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256 c.
  2. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. 288 c.
  3. Тихомиров В.М. Фреше производная // Математическая Энциклопедия. М.: Советская Энциклопедия, 1985, т. 5, с. 666.
  4. Bruno A.D. Power Geometry as a new calculus // Proceeding of ISAAC 2001. Amsterdam: Kluwer, 2003.
  5. Розов Н.Х. Пенлеве уравнение // Математическая Энциклопедия. М.: Советская Энциклопедия, 1984, т. 4, с. 233--234.
  6. Брюно А.Д. Степенные разложения решений одного алгебраического или дифференциального уравнения. Препринт N 63. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2000. 22 с.
  7. Брюно А.Д. Степенные разложения решений одного алгебраического или дифференциального уравнения // ДАН, 2001, т. 380, N 2, с. 155-159.
  8. Chang Y.F., Greene J.M., Tabor M., Weiss J. The analytic structure of dynamical systems and self-similar natural boundaries // Physica D, 1983, v. 8, p. 183--207.
  9. Брюно А.Д. Автомодельные решения и степенная геометрия // Успехи математических наук, 2000, т. 55, N 1, с. 3-44.
  10. Брюно А.Д., Шадрина Т.В. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью // ДАН, 2002, т. 387, N 5, с. 589-595.
This document was translated from LATEX by HEVEA.