Установившееся течение двухкомпонентной квазинейтральной плазмы в плоском канале

( The steady-state flow of two-component quasineutral plasma in plane-parallel channel
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

    Введение. В работе исследуется установившееся течение гидродинамической плазмы в плоском бесконечном канале. Плазма предполагается полностью ионизованной двухкомпонентной электропроводной вязкой несжимаемой и квазинейтральной. Основная цель работы – изучить влияние взаимодействия электронов и ионов на установившееся течение плазмы. Хорошо изучены два относящиеся к этой теме классических результата.

       Пуазейль (1840г.) исследовал установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале и вывел параболический закон распределения скорости жидкости.

      Гартман (1937г.) исследовал влияние поперечного магнитного поля   на установившееся течение вязкой несжимаемой МГД-плазмы в плоском канале. Им было показано, что поперечное магнитное поле приводит к сплющиванию параболического профиля скорости, профиль становится более пологим (или, как говорят, заполненным). Результаты этих исследований кратко приведены в§1.

      Что произойдет с установившимся течением, если еще учесть взаимодействие электронов и ионов, предполагая плазму по-прежнему квазинейтральной вязкой и несжимаемой? Как установлено в этой работе, во-первых, направление течения плазмы отклоняется от направления антиградиента давления, которое изначально это течение и вызывает; иными словами, плазма течет не туда, куда заставляет ее двигаться гидродинамическое давление, а в сторону от этого направления (своеобразный гидродинамический эффект Холла – следствие двухкомпонентности плазмы). Во-вторых, профиль скорости плазмы в канале становится пространственным, а не плоским, как это было в течениях Гартмана и Пуазейля. В-третьих, профиль скорости плазмы является суммой двух гармонических колебаний с частотами ω, ω и с промодулированными по некоторому закону амплитудами. Это указывает на плазму, как на сложную колебательную систему. Заметим, что в условиях задачи об установившемся течении никаких частот не содержится, и предоставленная самой себе плазма (сдерживаемая только непериодическими граничными условиями и постоянным градиентом давления) по собственной инициативе начинает колебаться подобно двухчастотному маятнику. С другой стороны, поскольку плазма предполагалась квазинейтральной, указанные колебания с частотами  ω,  ω  не могут вызываться разделением зарядов. Частоты ω, ω,  разумеется, не имеют никакого отношения к известным характерным частотам колебаний плазмы (циклотронным, плазменным и пр.) и могут быть явно вычислены.

     Полученное в работе решение в пределе r ® +¥ (r - плотность плазмы в канале) переходит в течение Гартмана. На языке колебаний этот процесс выглядит так.  При  r ® +¥  одна из частот, ω, стремится к конечному пределу , а отвечающая ей амплитуда при этом  стремится к 0,  другая частота, ω,  напротив, стремится к  0, а соответствующая ей амплитуда – к конечному пределу, а именно, к профилю скоростей Гартмана. Практический вывод из этого анализа для  МГД-теории следующий. Поскольку в действительности реализуется некоторое возмущение течения Гартмана (ибо плотность r  всегда конечна), то это возмущение получается из течения Гартмана некоторой его деформацией и наложением ряби с частотой  ω,  что,  в  частности,  делает профиль Гартмана пространственным. Частоту ряби  ω, однако, нельзя вычислить по МГД-теории, еë величина получена в настоящей работе. Другой полезный результат, недоступный МГД-теории, - подсчет силы трения электронов и ионов о стенки канала. Кроме того, установлен факт постоянства продольного электрического поля в канале и получено выражение этого поля через среднюю скорость потока плазмы в канале. Полученное соотношение, отличающееся от аналогичного в МГД-теории существенными поправками, актуально для расчетов плазменных расходометров и насосов кондукционного типа. Приведенные рассуждения позволяют предположить, что, по -видимому, МГД-теория описывает асимптотику (в МГД-пределе) амплитуд некоторых типов колебаний, из которых складывается реальная динамика плазмы.

 Стенки канала в работе считались изоляторами и ставились простейшие (нулевые) граничные условия. Без особого труда все полученные результаты переносятся на другие случаи: стенки-проводники с конечной проводимостью (или одна из стенок – проводник, а другая – изолятор), одна из стенок подвижная, вне стенок вакуумные магнитное поле и поперечное электрическое поле – произвольные константы и т.д.

            §1.  Предыстория вопроса.

 1.Течение вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале. Рассмотрим бесконечный плоский канал, стенки которого параллельны плоскости Oyz  и отстоят друг от друга на расстояние 2l. Пусть стенки канала задаются уравнениями x = l ( правая стенка ), x= – l (левая стенка), и мы рассматриваем установившееся (/t=0) течение вязкой несжимаемой жидкости в канале под действием градиента давления. Условие несжимаемости дает для скорости v  и плотности  r  жидкости: div v = 0,  r =const. Предположим, v_x=0, v_y=0,  v_z=v_z(x),  p=p(x,z)   (p-давление жидкости). На стенках канала ставится условие “прилипания”:   v_z( ±l )=0.  При этих предположениях уравнения вязкой несжимаемой жидкости дают решение, известное как течение Пуазейля (J.L.Poiseuille, 1840г.):

         v_z(x)=(2μ)^-1. .(x²–l²),        |x|≤l,                                                 (1)

          ≡ const,         p=p(z),    

         <v_z> = – ,

где  μ – коэффициент вязкости, а

         < f > =

среднее по сечению канала значение функции f.  Итак, профиль скорости v_z(x) – параболический,  а жидкость двигается, как и положено, в сторону антиградиента давления:   v(x),   <v> || – grad p.

2. Течение вязкой несжимаемой электропроводной МГД-плазмы в

 плоском канале.  Рассмотрим установившееся ( /t =0) течение вязкой несжимаемой электропроводной МГД-плазмы в плоском канале. Теперь к параметрам течения добавляется напряженность магнитного поля H. Основной вопрос: как влияет поперечное магнитное поле на поток заряженной жидкости? Дополним предположения п.1 соглашением относительно магнитного поля H:  /y = 0,   /z = 0,  H_y = 0. Тогда 

H_x ≡ H₀ = const – напряженность поперечного магнитного поля. Будем считать стенки канала изоляторами и положим  H_z(±l) = 0  (сохранив для скорости  v_z(x) граничное условие “прилипания”  v_z(±l) = 0 ). При сделанных допущениях уравнения вязкой несжимаемой МГД- плазмы дают решение, известное как течение Гартмана (J.Hartmann, 1937г.) :

          v_z(x) = –                                   (2)

         H_z(х) =

              ,

                               |x| ≤ l

            ,

где  μ – коэффициент гидродинамической вязкости, μ_m= c² (4πσ)^-1 –

коэффициент магнитной вязкости   (σ – проводимость плазмы),

Ha = lH_o(4πμμ_m)^-1/2  –  безразмерный параметр (число Гартмана) .

 Ответ на поставленный выше вопрос составляет содержание эффекта Гартмана: с ростом напряженности поперечного магнитного  поля H_o (или,     

что эквивалентно, числа Гартмана Ha ) профиль v_z(x) становится все более приплюснутым, при  Ha→ +∞  скорость   v_z(x)   становится почти константой, стремящейся к 0, - происходит “запирание” потока плазмы. Заметим, что при Ha → 0  формула  (2)  переходит в формулу  (1). Эффект Гартмана легко объясним.  На поток плазмы вдоль  оси z   действует, помимо градиента давления, пондеромоторная сила:

         P_z= (Div )_z =  ,      |x| ≤ l,

где const не зависит от H₀ (здесь  = H²(8π)^-1E₃ – H∙H∙(4π)^-1 – тензор пондероматорных напряжений). Легко видеть, что  P_z обращается в нуль только в двух точках   x = ±x(H₀),  где

         x(H₀)=· [² – 1)^1⁄2]  .       

Причем при  |x| ≤ x(H₀)  имеем  P_z > 0,   и  пондеромоторная  сила действует против потока плазмы, тормозя его, а при  x(H₀) ≤ |x| ≤ l имеем   P_z< 0,  и пондеромоторная сила действует вдоль потока, ускоряя его. При  H₀ → +∞ имеем  x(H₀) →l  и таким образом почти во всëм канале поток тормозится. Итак, частицы плазмы с  малыми скоростями (в пристенной области) ускоряются, а с большими скоростями (в основной части канала) тормозятся – в итоге происходит затупление профиля скорости.

          §2.  Уравнения гидродинамики несжимаемой             

                          квазинейтральной плазмы.

  Нас интересует влияние взаимодействия электронов и ионов на установившееся течение вязкой электропроводной несжимаемой плазмы в плоском канале. В МГД- теории взаимодействие электронов и ионов не учитывается. Будем считать гидродинамическую плазму квазинейтральной (e₊n₊ = e_-n_-), а каждую плазменную компоненту -  несжимаемой жидкостью: div v_±= 0, . Для квазинейтральной плазмы условия несжимаемости эквивалентны двум равенствам:

         div U = 0,        =, 

где

         ρ=ρ₊ + ρ_- ,    U = (ρ₊v₊ +ρ_-v_-) / ρ = (χ₊v₊ +χ_-v_-) ⁄ χ

                             χ_± = m_± ⁄ e_± ,        χ = χ₊ + χ_-  .

Это следует из очевидных соотношений:

         v₊ = U+(χ_- / ρ)j,    v_-= U – (χ₊ / ρ)j ,     ρ_± = (χ_± / χ)ρ,     j = en (v₊ –v_-)     

и условия  div j = 0.  Последнее вытекает из равенства:

и уравнения  div E = 0,  справедливого в силу условия квазинейтральности. Теперь рассмотрим систему уравнений, получающуюся объединением трëх систем:  двух систем гидродинамических уравнений вязкой несжимаемой жидкости, написанных отдельно для электронов и ионов, и системы уравнений Максвелла. Переходя в полученной объединенной системе от неизвестных  v₊,  v_-  к  неизвестной  U  получим систему:

               ,

           =                                (3)

          =,

            ,

где    выражается  через  указанным выше способом,

Выражения для тензоров  имеют вид:

                ,   

                                          (4)

Тензоры       вычисляются по формулам:

                                   (5)

где   - суммарное давление. А тензоры  выражаются через тензоры деформаций      по формулам:

            ,         ,

                                                                                                                        (6)

где

               .

Система уравнений (3÷6) состоит из 11 скалярных уравнеий и позволяет в принципе найти 11 скалярных неизвестных функций: компоненты полей  U, H, E  и давления p₊, p_-. После этого гидродинамические скорости электронов и ионов v₊,  v_-  вычисляются по указанным выше формулам.

 Заметим, хотя это и не понадобиться ниже, что температуры Т_± электронов и ионов можно найти из системы:

                 ,                            (7)

где  m_Σ= m₊ + m_- ,    - коэффициенты переноса,       теплопроводность при постоянном давлении (S – плотность энтропии). Для идеального газа  S =km^-1(γ –1)^-1   (k - постоянная Больцмана,

γ – показатель адиабаты), откуда   c_p =  .

 Итак, система (3)÷(7) полностью описывает изменение скоростей, давлений, температур, электрического и магнитного полей несжимаемой квазинейтральной вязкой электропроводной плазмы. Она пригодна для исследования высокочастотных процессов в плазме, равноправным образом учитывающих динамику компонент, в частости их взаимодействие, и в то же время является одножидкостной.

   § 3.     Постановка задачи о течении плазмы в плоском канале.

   Рассмотрим установившееся  () течение вязкой электропроводной квазинейтральной несжимаемой плазмы. Согласно (3), оно подчиняется системе уравнений:

         div U = 0

         Div=  Div P

         E + c²χ₊χ_-(4pρ)^-1 rot rot E = s ^-1 j – c^-1 [U  H ] + r ^-1 Div W

         rot E = 0                                                                                                      (8)

         div E = 0

         div H = 0

         j = c (4p)^-1rot H ,

где  r = const. Пусть теперь плазма заполняет плоский канал (см.§1). Будем считать, что все параметры плазмы, кроме давлений, зависят только от  x,  а  p_±= p_± (x,z). Кроме того, считаем U_x ≡ 0. Из  div H = 0 следует H_x ≡ H₀ = const – постоянное поперечное магнитное поле. Из  div E = 0 следует  E_x ≡ E₀ = const.  Итак, подлежат нахождению в области  |x| ≤ l,    y,    z (где    -совокупность всех вещественных чисел) функции:

            H_y(x),   H_z(x),   U_y(x),   U_z(x),   p_±(x),   E_y(x),   E_z (x). 

Первые четыре функции пишутся из системы:

                                                                      (9)

Давление  p_± находится из системы:

            .

Наконец,   получаются  из равенства:      

           .                                                                (10)

Систему (9) дополним граничными условиями на стенке. Считая стенку изолятором и предполагая в вакууме  приходим к таким граничным условиям:

                - условия  ”прилипания“                               (11)

Наконец, в нижеследующем решении предполагается  μ_± = const,

σ = const .

 § 4.     Решение задачи о течении плазмы в плоском канале.

       Подставляя функции  H_y(x), H_z(x), U_y(x), U_z(x), p_±(x) систему (9), приходим к следующей линейной системе относительно   H_y(x),  H_z(x),  U_y(x),  U_z(x):

      ,           (12)

где  L_ij(D) – многочлен от  D = d/dx   степени  ≤4,   l₀ ≠ 0 – постоянный вектор. Вот явный вид матрицы L(D) и вектора  l₀ :

   ,

 где выражения для  μ_Σ,  μ_* , μ^*, χ_±   приведены в  §2,  H₀ – магнитное поле,  ρ- плотность плазмы в канале. При этом давления имеют вид:

p_±(x,z) =  A_±z + φ_±(x),

где константы  A_±  должны задаваться, а функции  φ_±  ищутся. Из системы (12) вытекает важный эффект (своеобразный гидродинамический эффект Холла ): в плоскости Oyz   плазма течет не вдоль антиградиента давления, направленного в сторону оси  Oz, а под углом к нему. Формально это выражается в том, что система (12) не имеет решений вида  H_y = 0, U_y =0  и объясняется наличием  y – компоненты пондеромоторной силы  ,  которая и отклоняет движение частиц плазмы от направления антиградиента давления. Этот эффект проявляется и в том, что, как следует из вычислений ниже, средние скорости  <U>,  <v_±>  образуют ненулевой угол с направлением антиградиента давления. В частности, установившееся течение плазмы в плоском канале имеет пространственный профиль скорости.

  Нахождение полей H_y , H_z , U_y , U_z .  Система (12) состоит из линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Она не приведена к каноническому виду, а ее интеграция делается возможной использованием комплексификации. Ниже считается

 H₀ ≠0,  μ₊ ≠ μ_-  (невырожденный случай).

  Рассмотрим элементы  как комплексные числа:  a+ib = (a,b). Умножение комплексных чисел и умножение матрицы на вектор связаны формулой:

                                                                               (13)

С другой стороны  -матрица L(D)  может быть разбита на четыре  - блока, каждый из которых имеет такой же тип, что и матрица в (13). Рассматривая поперечную плоскость OYZ как комплексную (мнимая ось совпадает с осью OZ) и переходя к переменным   w = D(H_y+iH_z) ,

u= D(U_y+iU_z) ,   сведем  систему  (12)  к виду:

  ,

или:

                                      .

Выражая u⁽¹⁾  из первого равенства и подставляя во второе, найдем выражение u через w :

                                              (14)

Подставляя выражение (14) в первое уравнение системы, получим линейное дифференциальное неоднородное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами для нахожления w :

               .             (15)

Частное решение неоднородного уравнения (15) имеет вид

             w_част

Поскольку характеристический многочлен для уравнения (15) – биквадратный, то общее решение однородного уравнения (15) есть линейная комбинация экспонент:

где      - различные решения квадратного уравнения:

(это уравнение не имеет кратных корней). Поэтому, с учетом соотношения (14), решение системы (12) имеет вид:

                       ,

где    - произвольные комплексные константы,   .  Шесть констант интегрирования ищутся из шести граничных условий, являющихся комплексификацией граничных условий (11):

Решая полученную систему шести линейных неоднородных уравнений с шестью неизвестными, находим константы:   , а вместе с тем и поля  . Эта программа доводится до конца, и мы получаем следующие формулы:

                                                            (16)

где

                                       (17)

  Нахождение давлений. Равенство    дает:

откуда:

                                                                       (18)

Далее,  x- компонента равенства (10) дает:                   

откуда:

     (19)

Константа  известна: она равна  x  - компоненте вакуумного электрического поля. Поэтому линейная система (18), (19) позволяет однозначно найти функции    по уже вычисленным функциям   Тем самым и давления определяются однозначно, с точностью до константы.

  Вычисление функций   Из формулы (10) следуют равенства:

В правых частях стоят уже вычисленные функции. В комплексном виде эти формулы переписываются так: Поскольку  , то, как следует из второго равенства написанной выше системы дифференциальных уравнений для  u  и  w ,  . Поэтому. . Итак, электрическое поле в канале постоянно. Отсюда следует, что среднее по сечению канала от  совпадает с , поэтому имеем:

                               ,

где .  Используя формулы (16), (17), находим:

    , 

где величина  вычисляется по формуле:

      ,         .

Учитывая выражения для  ,   , получим:

      .

 Эта формула отличается от аналогичной в МГД–теории двумя первыми слагаемыми в правой части, которые при конечных плотностях дают существенный вклад в электрическое поле в канале.

  Тем самым получено решение задачи об установившемся течении несжимаемой плазмы в плоском канале. Согласно этому решению (16), скорости    являются суммами синусоидальных колебаний с частотами  ,  промодулированных линейными комбинациями экспонент    В невырожденном случае заведомо 

    Вычисление других характеристик течения. Вычислим плотность тока, скорости компонент плазмы, средние по сечению канала скорости и силу трения плазмы и ее компонент о стенки канала.

 Имеем:

где были использованы соотношения (17) и очевидное равенство:

Силы трения электронов и ионов о правую и левую стенки равны:

Где   - тензоры вязких напряжений плазменных компонент:

Вычисления в координатах дают:

Отсюда следует, что   - компоненты всех сил течения равны нулю. В комплексных обозначениях для  и   компонент получим:

     ,

где точка означает дифференцирование по  .

Подсчет с помощью формул (16), (17) приводит к выражениям:    ,

где

В частности, суммарная сила трения плазмы  о стенки равна:

              .

§ 5.     Вычисление величин   λ₊ ,  λ_- .

  Ключевую роль в основных формулах  § 4,  задававших установившееся течение плазмы в плоском канале, играли величины  λ₊ ,  λ_- .  Они могут быть вычислены в явном, хотя и громоздком виде. Обозначим:

                                 (20)

Тогда (см. § 4) :

         .

Используем формулу для извлечения квадратного корня:

Из этой формулы для невырожденного случая      следует:

          ,

где

                      (21)

Отсюда, учитывая, что в невырожденном случае    и, более того,  , получаем окончательно:

            (22)

Фомулы (20) ÷ (22) дают явное вычисление величин ,  в частности, частот  .

§ 6.     МГД-предел.

  Покажем, что полученные в § 4  формулы в МГД – пределе дают течение Гартмана. МГД – предел получается при ρ→ +∞. Тогда  ε = 1⁄ρ  является малым параметром, и мы разложим  λ₊(ε),  λ_–(ε)  в ряд по степеням  , ограничившись при этом первыми членами разложения.  Из § 4  следует, что  является решением квадратного уравнения 

        ,

где     

       .

Решая квадратное уравнение, получим :

Откуда:

Отсюда следует, что:

В частности, при   имеем:

         ,

где    -  число Гартмана из § 1, а предельная частота   равна:

          .

Отсюда следуют предельные при   соотношения:

             ,

причем последняя сходимость равномерная по    . Наконец, функции

локально ограничены в точке    равномерно по  ,  а

     при   .

Обозначим    для любого  вектора   . Тогда из формулы  (16)  следует:

Из предельных соотношений, написанных выше с учетом      при    следуют пределы:

Правые части совпадают с формулами  (2)  из § 1,  а пределы равномерные по  .  Итак, МГД – предел есть в точности течение Гартмана.

§ 7.     Обзор других результатов

  1.  Электрон-позитронная плазма. Более широко, речь идет о случае, когда  χ₊= m₊ / e₊ = χ_–= m_– / e_– ,  μ₊= μ_– , но  H₀ ≠ 0.  Тогда    удовлетворяет уравнению относительно  ξ :

          ,

где   μ =  μ₊ = μ_– , откуда:

         .

  Характер установившегося течения в плоском канале зависит от напряженности поперечного магнитного поля H₀ . При

      |H₀| < H_кр.= ρс(σχ)^-1     все корни характеристического многочлена вещественные и попарно различные, а установившееся течение является линейной комбинацией экспонент,  ,  где

                   .

При |H₀| > H_кр  корни характеристического многочлена комплексные и попарно сопряженные, а установившееся течение имеет одночастотный характер и является гармоническим колебанием с частотой

                       ,

промодулированным некоторой линейной комбинацией экспонент

 ,  где    и

                 .

В случае электрон - позитронной плазмы легко разделяются вещественные и мнимые части в выражениях для   и  в явном виде выписываются компоненты полей  . Имеем    

Итак, в рассматриваемом случае, как и для течения Гартмана, поток плазмы двигается в направлении антиградиента давления.

  2. Предел  , эффект “запирания” потока.  Величины  являются корнями уравнения относительно  :

                    ,

где    - малый при   параметр,

         ,      .

Решая квадратное уравнение и извлекая из полученных выражений корни, получим:

где  , а  в квадратных скобках стоят аналитические по   в окрестности   функции. Используя эти выражения, несложно установить равномерные по   сходимости  при  . Таким образом, как и для течения Гартмана, с ростом поперечного магнитного поля    происходит “запирание”  потока плазмы в плоском канале: плазма в канале не течет поперек сильного магнитного поля. Функции    являются аналитическими по   в проколотой окрестности нуля, а точка 0 – существенно особая точка этих функций. Поэтому они не разлагаются в степенные ряды по   в окрестности нуля, и стремление к нулю при   этих функций происходит достаточно сложным образом: при      амплитуды колебаний, из которых складываются  ,  равномерно по  стремятся к 0, а частоты   этих колебаний стремятся к бесконечности. Более того,   имеют в нуле  полюс 1-го порядка по   :

Отсюда следует асимптотика   ~  .  Разумеется, в действительности до бесконечности частоты расти не могут, хотя бы из-за того, что характерные масштабы, равные периодам пространственных колебаний   , не могут быть меньше, скажем, длин свободных пробегов электронов и ионов ( в противном случае плазму нельзя считать гидродинамической),  хотя вполне могут быть меньше дебаевского радиуса. Несложно выделить главный член при стремлении средней скорости    .  При    имеем   . Используя разложение    ,  легко установить:

С учетом этого и равенств      для средней скорости имеем:

Итак,    убывает как    при  .  Для больших   средняя скорость    отклоняется от направления антиградиента (совпадающего с направлением мнимой оси) на угол    . Для электрон – ионной плазмы   >>  , и угол отклонения равен  .

3.     Гидродинамические пределы. При  величины    являются корнями уравнения:

                              ,

где      .

Откуда:

Тогда легко проверить, что при    имеют место равномерные по    сходимости:

Таким образом, в пределе  получается течение Пуазейля (см.§1) вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале. Интересно, что течение Пуазейля получатся и в пределе  . В этом случае:

 Где   ,  и, как нетрудно проверить, при  имеют место те же  равномерные по   сходимости .

 4. Замечания о предельных переходах.  Выше считалось, что   не зависят от   и  . Для полностью ионизованной электрон – ионной плазмы это действительно так. Независимость  от плотности  - важный экспериментальный факт, подтверждаемый и кинетической теорией [1]. Можно показать [2], что:

                    ,

где выражение для констант    см. в [2]. Как видно,    зависят только от температуры. Поэтому наше решение неявно предполагало изотермичность плазмы. Безусловно, это не так, поскольку вязкие напряжения и сила трения электронов об ионы будут постоянно нагревать плазму. Формально, если учесть зависимость      от температур  , то система (3) ÷(7) не распадается и скорость, магнитное и электрическое поля и давления нельзя найти, не вычислив температур. Предполагая изотермичность плазмы, мы следовали традиции, отход от которой резко усложняет задачу, и она теряет свой модельный характер.

5.     Замечание о граничных условиях. Примеры постановки других граничных условий см. в [3].

                  § 8. Благодарности.

  Авторы выражают благодарность К.В.Брушлинскому, А.Н.Козлову, В.В.Савельеву, В.С.Рябенькому за участие в обсуждении различных вопросов, относящихся к двухкомпонентной плазмодинамике.

 Мы также признательны Российскому Фонду  фундаментальных Исследований за финансовую поддержку этой работы.

Литература.

1.     К.Черчиньяни. Теория и приложения уравнения Больцмана.

М.:”Мир“, 1978, с.214-224.

2.     Брагинский С.И. В сб. “ Вопросы теории  плазмы“. Под ред. М.А.Леонтовича. Вып.1. М.: Госатомиздат, 1963, с.183. 

3.     Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А.   Магнитогидродинамические течения в каналах. М.: Физматгиз,1970.