Двумерное моделирование динамики термоэмиссионных электронов в неэлектроотрицательном газе

( Two-dimensional Modeling of Dynamics of Thermo-emission’ Electrons in no Electronegative Gas
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Введение

В работе рассмотрены вопросы, связанные с проблемой получения и поддержания неравновесных приповерхностных электрических разрядов в быстрых потоках газа, а также с проблемой экологически чистого получения электрической энергии в электро-газодинамических ^[1] (ЭГД) преобразователях.

Рассматриваемые в данной работе физические явления, лежащие в основе ЭГД преобразования, тесно связаны с процессом термоэмиссии электронов проводимости твердых тел ^[2] в окружающий их газ. Успехи в области разработок современных материалов с работой выхода электронов £ 1 эв , способных даже при нормальных условиях создавать в газе у поверхности твердого тела концентрации заряженных частиц ~ 10¹⁰ част/см³ , дают предпосылки для создания новых технологий, основанных на методе механического разделения объемного приповерхностного заряда потоками газов ^[3].

В работе ^[3] в случае плоской одномерной геометрии были получены данные о характерных размерах и инерционных свойствах отрицательно заряженных слоев у поверхности пластины, эмитирующей электроны в воздушную среду. В ^[3] показаны большие потенциальные возможности ЭГД – механизмов преобразования кинетической энергии газовых потоков в энергию электрических полей большой напряженности (вплоть до пробойных).

Данная работа является продолжением изучения диффузионно-дрейфовых распределений электронов в газах в случае, когда эмиссия электронов осуществляется металлической пластиной конечной длины и толщины в покоящийся неэлектроотрицательный газ.

1 Распределение зарядов в случае неэлектроотрицательных газов

         Рассмотрим распределение электрического поля и концентрации заряженных частиц в газе, вблизи металлической пластины, способной эмитировать электроны проводимости в окружающую среду. Оценим характерные размеры и инерциальные свойства отрицательно заряженных слоев у поверхности пластины.

         Задача решается в двухмерной постановке в плоскости XY. Вдоль оси Z эмитирующая металлическая пластина не ограничена, а газовая среда считается однородной. В плоскости XY пластина ограничена контуром w , изображенным на рис. 1, где L – длина пластины; 2 - её толщина;  - радиус округления краев пластины.

                                                                 Рис. 1

Рассмотрим задачу, в которой пространство вне пластины заполнено газом из молекул азота, а источником эмиссии свободных электронов является поверхность пластины w. Выбранный нами газ характеризуется тем, что в нем свободные электроны  не образуют устойчивых отрицательно заряженных соединений с молекулами , иначе говоря, в таком газе электроны могут пребывать только в свободном состоянии. Считаем, что температура пластины  равна температуре газа  , а в начальный момент времени в пространстве {r-,y-} > d электроны практически отсутствуют. Здесь d - некоторый характерный размер начального распределения электронов . При условии  электроны эмиссии в плотном газе (р ~ 1 атм.) практически всегда находятся в термолизованном состоянии, т.е. выполняется соотношение:  (где  - температура электронов).

         Будем считать, что объемный заряд в газе, представленный свободными электронами, образуется исключительно за счет термоэлектронной эмиссии. Так, что суммарный объемный заряд электронов в газе и поверхностный заряд пластины, равен нулю.

         По мере протекания эмиссии электроны, покинувшие проводник создают объемное распределение заряда в газе, приводящее к возникновению электрических полей в пространстве (иные электрические поля в рассматриваемой задаче  отсутствуют).

         В газе отрицательно заряженные частицы приобретают направленную скорость движения. Это связано с диффузией заряженных частиц в пространстве, их столкновениями с направленно движущимися молекулами газового потока, и их дрейфом в самосогласованном электрическом поле. Так происходит до тех пор пока система не достигнет стационарного состояния, в котором перечисленные выше компоненты потока электронов компенсируют друг друга в каждой точке пространства. При этом значение величины объемного эмиссионного заряда выходит на насыщение.

В силу пространственной симметрии будем решать задачу в левой верхней четверти плоскости XY. Система уравнений, описывающая пространственно-временную эволюцию концентрации электронов и потенциала электрического поля F в газе, имеет вид^[2]:

(1.1)                               

в области плоскости XY : {0 ≤ x ≤ , y ≥ }. Здесь e – заряд электрона;

                                     ,  

                                     ,     ,

где  - коэффициент диффузии электронов в газе, - подвижность электронов в газе ^[2], - масса электрона, - частота столкновений электронов с частицами газа.

(1.2)                        

в области плоскости XY : {- ≤ j ≤ 0, r ≥ }. Здесь :

                                     ,  

                                     ,     ,

Задача решается при следующих начальных и граничных условиях:

(1.1^’.1)       

(1.1^’’.1)      

(1.2^’.1)       

(1.2^’’.1)      

Вдоль прямой {x = 0 (j = 0) , ry ≥ } выполняются равенства, определяющие связь плоской и полярной областей:

         В силу того, что характерное время установления равновесных значений концентраций заряженных частиц на поверхности пластины (порядка нескольких десятков наносекунд ^[3]) существенно меньше характерных времен диффузии и дрейфа зарядов в газе, начальное распределение можно представить функциями вида:

                              ,    

                              ,

согласно ^[3] выберем ; где  - характерное дебаевское расстояние. Величина  находятся из граничного условия, отражающего факт равенства прямого и обратного потоков отрицательного заряда через поверхность пластины:

 , при  {x,y и j,r}Îw  .

Здесь  - плотность потока электронов эмиссии вдоль направления по нормали от поверхности пластины;  - плотность обратного потока электронов (поток обусловлен хаотическими столкновениями зарядов с пластиной). Согласно ^[2] (гл. 6, п.2) и статистической теории равновесных газов (см. ^[4], с.142) имеем:

 ,

где ; – работа выхода электрона из материала пластины (в проводимых расчетах  Þ 0,7 эВ);  - константа Больцмана; - вероятность «поглощения» электрона стенкой пластины за одно столкновение (далее мы полагаем, что  Þ 1); .- средняя хаотическая скорость электрона.

В результате получается:        = . 

3 Численная модель

При численной реализации сформулированной задачи следует учитывать характерные пространственные масштабы изменения концентрации электронов и напряженности электрического поля. Как показывают оценки ^[3], основной отрицательный электрический заряд сконцентрирован вблизи поверхности металлической пластины, испускающей электроны эмиссии. Четырехкратный спад концентрации электронов в направлении по нормали от поверхности пластины (при  -  << ) происходит на расстояниях D ~ 2.5^.10^-2 см (для неэлектроотрицательных газов) и D^’ ~ ^.10^-3 см (для электроотрицательный газов, в частности, воздушной смеси) при K. При увеличении температуры пластины на 100 К величины D и D^’ уменьшаются более чем на порядок ^[3]. Таким образом, численное решение рассматриваемой задачи в диапазоне температур пластины = 300 – 500 K требует введения достаточно мелкого шага по пространству в  и  направлениях: 10^-5 – 10^-6 см . В тоже время, для корректной реализации граничных условий на внешней границе расчетной области необходимо учитывать, по крайней мере, ~ 10³ дебаевских слоев, т.е. ~ 1м.

Для численного решения уравнений (1.1)-(1.2) сделаем преобразование координат, приводящее к решению данной задачи на равномерной сетке. Введем новые переменные:

               ,  ,  , 

и введем обозначения: , , .

Значения величин  и   в выражении для  вычисляются из условия плавного сопряжения сеток в полярной и плоской областях вдоль поверхности пластины.

В новой системе координат уравнения (1.1)-(1.2) принимают вид:

(2.1)                

в области : {0 ≤ ≤ 1 , 0 ≤  ≤ < 1}.

                                     ,  

                                     ,     ,

(2.2)           

в области: {- ≤ j ≤ 0, 0 ≤  ≤ }.

                                     ,  

                                     ,     ,

(2.1^’.1)       

(2.1^’’.1)       

(2.2^’.1)       

(2.2^’’.1)      

Вдоль прямой линии { = 0 (j = 0) , } выполняются равенства:

                              ,    

                              ,

где .

Численное решение уравнений (2.1 – 2.2) будем искать на равномерной сетке. Построим сетки {} и {}:

{ ,  , },  и ,

{ ,  , },  и , полагаем  и ,

{ ,  , },  и .

Здесь .

В узлах сеток будем определять потенциал электрического поля и концентрацию электронов, а на сетках, образованных сдвигом узлов на пол шага в каждом направлении, напряженность электрического поля и диффузионно-дрейфовые потоки электронов.

Запишем разностные аналоги уравнений (2.1) и (2.2):

 Уравнение Пуассона:

         Уравнение Пуассона для плоской и полярной областей решается модифицированным полинейным методом, предложенным в работе ^[5].

Разностная форма эллиптических уравнений (2.1’)-(2.2’) получена с помощью метода контрольного объема ^[6] и обеспечивает выполнение интегрального закона сохранения. Балансовое соотношение для узла разностной сетки выводится путем интегрирования (2.1’)-(2.2’) по окружающему контрольному объему, в результате чего получаем разностную пятиточечную аппроксимацию уравнения интегрального баланса:

(2.3)   ,

{} и {},

где , , , ,

  ,  ,

  ,  ,

, , ,

- для плоской области и: , ,  - для полярной области (.,  и ).

Таким образом, разностные аналоги уравнений (2.1’)-(2.2’) записываются в дивергентной потоковой форме, в которой сопряжение плоской и полярной областей осуществляется естественным образом, путем определения потоков через грани контрольного объема, центральная точка которого лежит на прямой линии {}.

Тестовые расчеты показали высокую эффективность модернизированного полинейного метода, отличительной особенностью которого является минимальное требование к матрицы коэффициентов  конечной системы линейных алгебраических уравнений (> 0 ). Как в случае плоской двумерной геометрии, так и в полярных координатах, для получения точного решения разностных уравнений на сетке размером 250 x 500 при заданных сеточных функциях  и  (соответственно) и  требуется несколько десятков итераций. В случае  если двойной интеграл от правых частей уравнений, взятый по контрольному объему, вычисляется аналитически (при линейной интерполяции  по значениям в соседних узлах сетки), точное решение разностных уравнений получалось за 1 – 2 итерации. При решении задачи (2.1’)-(2.2’) с  метод ^[4] сходится (с относительной невязкой в узле ~ 10^-10) в среднем за  max() итераций.

Уравнение диффузии

Диффузионно-дрейфовые уравнения (2.1”)-(2.2”) численно решалась методом переменных направлений ^[7].

(2.4)                         

где  - шаг по времени.

Оператор  записан в дивергентной потоковой форме, чем обеспечивается интегральный закон сохранения полного заряда в пространстве.

                                                ,

где  - площадь контрольного «объема» сеточного узла ();  - контур, ограничивающий ;  - вектор внешней нормали к контуру  в точке ; Î.

         Система уравнений (2.3)-(2.4) является нелинейной. Поэтому, не усложняя существенно алгоритм решения этой системы, введены промежуточные итерации на каждом временном шаге по схеме:

,

при этом на первой итерации выбирается  и .

Как показывают расчеты на каждом временном шаге достаточно выполнить в среднем 4 – 7 итерации (при ~ 1 мкс) для достижения значения величин:

       и      (i,j Î {} и {}).

4 Результаты расчетов

         Рассмотрим диффузию и дрейф электронов в неэлектроотрицательном газе, состоящем из молекул . Считаем, что температура газа и концентрация молекул азота постоянны по пространству и равны: =,  ( и  ^[2]). Температура пластины полагалась равной температуре газа.

В качестве иллюстрации приведем результаты расчетов, выполненные для пластины длинной =10 см и толщиной =1 см. Задача решалась на расчетной сетке {, } с шагом интегрирования по времени  ~ 1 мкс.

Расчеты показывают, что, как и в плоском одномерном случае (рассмотренном в ^[3]) основная доля отрицательного заряда эмитируется пластиной в газ за 20 – 50 мкс на начальной стадии развития диффузионных процессов. За это время диффузионно-дрейфовая «волна» успевает пройти первые 10 дебаевских расстояний .

На рис. 2 и 3 для трех моментов времени {100 мкс, 1 мс и 15 мс} показаны диффузионно-дрейфовые распределения концентрации электронов и () – компоненты напряженности электрического поля как функции расстояния от пластины в трех выбранных направлениях, определяемых нормалью к поверхности пластины в точках: {} – сплошные линии; {} - пунктирные линии; {} – линии, образованные точками. Для наглядности на графиках представлены зависимости  и , где  - расстояние от пластины, выраженное в величинах  ;  см, см^-3 и В/см (значения величин  и  получены в ^[3] для условий данной задачи).

Из приведенных графиков видно, что на начальной стадии распространения объемного заряда в газ основное влияние на распределение отрицательного заряда оказывает диффузия и дрейф электронов в направлении по нормали от поверхности тела. Действительно учитывая симметрию задачи, следует ожидать, что  т.к.  и . В этом случае (вблизи пластины) геометрический фактор играет существенную роль. Так в центре пластины {} пространственное распределение заряда близко к распределению в случае плоской бесконечной пластины, а в полярной области {} проявляется дополнительная зависимость величины  - обратно пропорциональная радиусу. Характерное время установления стационарного распределения зарядов в области  можно оценить по формуле  ^[2] (при ~ 10 – 20 см  1 с).

Анализ расчетных данных показывает, что распределения концентрации электронов и () – компоненты напряженности электрического поля при  достаточно точно описываются параметром , численное значение которого было получено в ^[3] для плоской одномерной задачи.

         Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №  01-01-00057).

Л и т е р а т у р а

^[1]  Б.М.Смирнов. Введение в физику плазмы. – М., Наука. 1982. 224 с.

^[2] Ю.П.Райзер. Физика газового разряда. – М.: Наука. 1987. 592 с.

^[3] В.В.Русанов, В.П.Силаков, А.В.Чеботарев. Диффузионно-дрейфовые распределения зарядов в газах, обусловленные эмиссией электронов с поверхности твердых тел. – Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 64, 2001, 22 с.

^[4] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика. – М., Наука. 1964. 568 с.

^[5] В.Г.Зверев. Модернизированный полинейный метод решения разностных эллиптических уравнений. – ЖВМ и МФ, том 38, № 9, 1998, с. 1553-1562.

^[6] А.А.Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. – М. , Наука. 1989.

^[7] А.А.Самарский. Введение в теорию разностных схем. – М. , Наука. 1971.

Рис. 2

Рис. 3