Асимптотически близкие решения системы ОДУ

Asymptotically Сlose Slutions to an ODE System
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Брюно А.Д.
(A.D.Bruno)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2003
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-01067)

Аннотация

Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений весьма общего вида. Пусть для нее найдено степенно-логарифмическое разложение решения, имеющего степенную асимптотику. Здесь показано как с помощью степенной геометрии вычислить степенные и экспоненциальные добавки к этому разложению, соответствующие решениям системы близким к найденному ранее. Это позволяет находить некоторые экспоненциально малые эффекты с помощью степенной геометрии. Приводятся примеры таких вычислений. Основной упор делается на объяснение алгоритмов вычислений.

Abstract

We consider a system of ordinary differential equations of a very general form. Let we have found a power-logarithmic expansion of its solution with the power asymptotics. Here we show how by methods of Power Geometry one can compute all power and exponential additions to the expansion, corresponding to such solutions to the system that are close to the found one. This allows to find some exponentially small effects by means of Power Geometry. We give examples of the calculations. The main attention is given to explanations of the computational algorithms.



E-mail: bruno@keldysh.ru
§ 1. Теория
1.1. Постановка задачи. Сначала напомним некоторые понятия степенной геометрии [1-5]. Пусть x0[(   def) || ( = )]  t - независимая и x1,╝,xn - зависимые переменные, xi ╬ C. Положим X=(x0,x1,╝,xn) ╬ Cn+1. Дифференциальным мономом a(X) называется произведение обычного монома cx0m0x1m1╝xnmn[(   def) || ( = )]  cXM, где c=const ╬ C, M=(m0,m1,╝,mn) ╬ Rn+1, и конечного числа производных вида dlxi/dxl0[(   def) || ( = )]  dlxi/dtl,    l ╬ N,    i > 0. Сумма дифференциальных мономов
f(X)= х
ai(X)
(1.1)
называется дифференциальной суммой. Каждому дифференциальному моному a(X) ставится в соответствие его (векторный) показатель степени Q(a)=(q0,q1,╝,qn) ╬ Rn+1. Множество S(f) показателей степеней Q(ai) всех дифференциальных мономов ai(X), входящих в дифференциальную сумму (1.3), называется носителем суммы f(X). Очевидно, S(f) ╬ Rn+1. Замыкание выпуклой оболочки G(f) носителя S(f) называется многогранником суммы f(X). Граница ╢G(f) многогранника G(f) состоит из граней Gj(d), где верхний индекс указывает размерность грани, а нижний - ее номер. Каждой грани Gj(d) соответствует укороченная сумма
^
f
 
 (d)
j 
 (X)= х
ai(X)    по    Q(ai) ╬ S(f)╟Gj(d).
Пусть пространство R*n+1 сопряжено пространству Rn+1 так, что для P=(p0,p1,╝,pn) ╬ R*n+1 и Q=(q0,q1,╝,qn) ╬ Rn+1 определено скалярное произведение сP,Qё[(   def) || ( = )]  p0q0+p1q1+╝+pnqn. Каждой грани Gj(d) в пространстве R*n+1 соответствует свой нормальный конус Uj(d). Он образован всеми такими векторами P ╬ R*n+1, для которых опорная к G(f) гиперплоскость с нормалью P пересекает многогранник G(f) в точности по грани Gj(d), при этом нормаль P направлена вне многогранника G(f).
Пусть задана система обыкновенных дифференциальных уравнений
fi(X)=0,    i=1,╝,n,
(1.2)
где fi(X) - дифференциальные суммы. Каждое уравнение имеет свой носитель Si[(   def) || ( = )]  S(fi), свой многогранник Gi[(   def) || ( = )]  G(fi) со своими гранями Gij(d), нормальными конусами Uij(d) и укороченными уравнениями [^(f)]ij(d)(X)=0. Если пересечение
UJ(D)    def
=
 
    U1j1(d1)╟╝╟Unjn(dn),
(1.3)
 где D=(d1,╝,dn) и J=(j1,╝,jn), не пусто, то ему соответствует укороченная система уравнений
^
f
 
 (di)
iji 
 (X)=0,    i=1,╝,n.
(1.4)
 Положим
w = ь
э
ю
-1,
если    tо 0,
1,
если    tое.
Степенные решения укороченной системы (1.4)
xi=bitri,    bi ╣ 0,    i=1,╝,n,
(1.5)
где коэффициенты bi=const ╬ C, показатели степени ri ╬ R, и
P    def
=
 
   wR    def
=
 
   w(1,r1,╝,rn) ╬ UJ(D),
(1.6)
являются степенными асимптотиками решений полной системы (1.2) [6].
Напомним, что всякая дифференциальная сумма f(X) имеет первые вариации (или производные Фреше) [7] df(X)/dxi,    i=1,╝,n.
Согласно [6] решению (1.5) укороченной системы (1.4) соответствуют операторы
Lil(t)=
d
^
f
 
 (di)
iji 
 (X)
dxl
     при    (1.5),    i,l=1,╝,n
(1.7)
 и критические числа
si,    siw < 0,    i=1,╝,m.
(1.8)
Согласно [6, § 2] можно продолжить степенную асимптотику (1.5) в виде степенно-логарифмических разложений
xi=tri(bi+ х
bists)    def
=
 
   ji(t),    i=1,╝,n
(1.9)
решений системы (1.2), где bis суть многочлены от lnt с комплексными коэффициентами, показатели степени r,s ╬ R и ws < 0.
Задача 5. Найти все такие разложения вида
yi=tri х
gists,    ws < 0,    i=1,╝,n
(1.10)
и вида
y1=exp[tk1(g1+
х
s 
 g1sts)],    ws < const,
yi=y1tki(gi+
х
s 
 gists),    i=2,╝,n,
(1.11)
что сумма xi=ji+yi, i=1,╝,n соответствует разложению решений системы (1.2). Здесь gis суть многочлены от lnt.
Для одного ОДУ эта задача решена в [8]. В дальнейшем изложении используются понятия, методы и результаты из [6].
1.2. Степенные добавки. Здесь опишем все добавки вида (1.10) к решению (1.9).
Теорема 1.1. Все добавки (1.10) к решению (1.9) имеют такие показатели s, что sw г wsi, где si - критическое число (1.8) степенной асимптотики (1.5). При этом g1ki(lnt) - произвольный многочлен степени li-1, где li - кратность критического числа si.
Замечание 1.1. Наличие или отсутствие добавок (1.10) определяется по укороченной системе (1.4), т.е. не требует больших вычислений.
1.3. Экспоненциальные добавки. Здесь опишем все добавки (1.11) к решению (1.9). После подстановки
xi=ji(t)+yi,    i=1,╝,n
система (1.2) принимает вид
fi(X)    def
=
 
   
~
f
 
i 
 (Y)    def
=
 
    х
Mij(t)yi+gi(Y)=0,    i=1,╝,n,
(1.12)
где y0[(   def) || ( = )]  t, Y=(y0,y1,╝,yn), Mij(t)=Lij(t)+╝ - линейные дифференциальные операторы и у всех точек Q носителя S(gi) координаты q1,╝,qn │ 0, q1+╝+qn │ 2. Так что y1=╝ = yn=0 является решением системы (1.12), соответствующим решению (1.9) системы (1.2).
Лемма 1.1. В системе (1.12) операторы
Mij(x)=dfi/dxj    на    xi=ji(t),
т.е. Mij(x) это первая вариация дифференциальной суммы fi(X) по xj, вычисленная на решении (1.9).
Согласно [6] логарифму lnt приписываем нулевой показатель степени. Так что произведение b(lnt)XR, где b - многочлен от lnt имеет показатель степени Q=R. Теперь дифференциально-логарифмическая сумма [(f)\tilde]i имеет носитель S([(f)\tilde]i) и многоугольник G([(f)\tilde]i). Многоугольники G([(f)\tilde]i) системы (1.12) имеют гиперграни Gi1(n), лежащие в Rn+1 на гиперплоскости q1+╝+qn=1, соответствующие суммам хj=1nMij(t)yj, т.е. Gi1(n)=G(хj=1nMij(t)yj). Все эти гиперграни Gi1(n) имеют общий нормальный вектор P=-(0,1,╝,1). Следовательно, им соответствует укороченная система
^
~
f
 
 (n)

i1 
    def
=
 
    n
х
j=1 
 Mij(t)yj=0,    i=1,╝,n,
(1.13)
и нас интересуют те ее решения, у которых y1(t),╝,yn(t)о 0 при twое. Для анализа решений системы (1.13) сделаем степенное преобразование
yi=y1zi,    i=2,╝,n.
(1.14)
Тогда система (1.13) перейдет в систему
Mi1(t)y1+ n
х
j=2 
 Mij(t)(y1zj)=0,    i=1,╝,n,
(1.15)
у которой носители всех уравнений лежат в гиперплоскости q1=1 на прямых {q2=╝ = qn=0;  qi=1,  qj=0,  i ╣ j,  i,j │ 2 }.
Лемма 1.2. При логарифмическом преобразовании
z1=d lny1/dt
(1.16)
для l > 0 имеем
y1(l)=y1[(z1)l+Pl-1(z1,╝,z1(l-2))],
где штрих означает дифференцирование по t и Pl-1 - многочлен степени l-1 от указанных переменных с постоянными коэффициентами.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.4 гл. VI [2].
Для анализа решений системы (1.15) сделаем логарифмическое преобразование (1.16). Тогда система (1.15) перейдет в систему
hi(Z)    def
=
 
   y1-1[Mi1y1+ е
х
j=2 
 Mij(y1zj)]=0,    i=1,╝,n,
(1.17)
где z0[(   def) || ( = )]  y0[(   def) || ( = )]  t, Z=(z0,z1,╝,zn). Носители уравнений этой системы расположены на n двумерных плоскостях
L1={Q: q2=╝ = qn=0},
Li={Q: qi=1,  qj=0,  j ╣ i,  1 г j г n},  i=2,╝,n.
(1.18)
Здесь конус задачи
K={P: wp0 > 0,  p0+p1 > 0}.
(1.19)
Согласно [6] у системы (1.17) можно искать решения в виде степенно-логарифмических разложений
zi=tki(gi+
х
s 
 gists)    def
=
 
   zi(t),    i=1,╝,n.
(1.20)
Согласно (1.14), (1.16) им соответствуют добавки вида (1.11), где
lny1= є
ї 		z1(t) dt,    yi=y1zi(t),    i=2,╝,n.
(1.21)
Рассмотрим подробнее специфику системы (1.17). Пусть многогранник [(G)\tilde]i=G(hi), а его грани обозначим [(G)\tilde]ij(d). Напомним, что укороченное уравнение [^(h)]ij(d)(Z)=0 называется алгебраическим, если оно не содержит производных.
Лемма 1.3. Всякое укороченное уравнение [^(h)]ij(d)(Z)=0, у которого нормальный конус [(U)\tilde]ij(d) пересекается с конусом задачи (1.19), является алгебраическим.
Следствие 1.1. Укороченные системы
^
h
 
 (di)
ij 
 (Z)=0,    i=1,╝,n,
(1.22)
в которых одно из di=0, т.е. [^(h)]ij(di)(Z) соответствует вершине, не дают подходящих решений, и их можно не рассматривать.
Носители уравнений системы (1.17) можно изобразить на n2 плоских рисунках в координатах [(q)\tilde]0, [(q)\tilde]1, для каждого уравнения по n рисунков, соответствующих n двумерным плоскостям (1.18).
Обозначим sij=S(hi)╟Lj и Dij - замыкание выпуклой оболочки множества sij. Очевидно, Dij=G(hi)╟Lj. При этом Dij - многоугольники и всякая вершина многогранника G(hi) является вершиной одного из многоугольников Di1,╝,Din. Граница ╢Dij многоугольника Dij состоит из вершин Dijk(0) и ребер Dijk(1). Каждой грани Dijk(l) соответствует свой двумерный нормальный конус uijk(l). Пусть [^(╢)] Dij - та часть границы ╢Dij, каждая грань Dijk(l) которой имеет нормальный конус uijk(l), пересекающийся с конусом задачи (1.19). Грань [(G)\tilde]il(d) многогранника G(hi) с [(U)\tilde]il(d)╟K ╣ 0 либо не пересекает многоугольник Dij либо пересекает его по какой-то грани [^(╢)] Dij.
Пусть p(M) - наибольший порядок дифференцирования в операторе M. Напомним, что Mij(t)=Lij(t)+╝.
Лемма 1.4. Если
p(Mij)=p(Lij)=l,
(1.23)
то множество [^(╢)] Dij состоит из одной точки (q0,l).
Теорема 1.2. Если p(Mij)=p(Lij) для i,j=1,╝,n, то система (1.17) не имеет укороченной системы, нормальный конус которой пересекается с конусом задачи (1.19).
Пусть pj(f) - максимальный порядок дифференцирования xj по t в сумме f(X), j=1,╝,n. Тогда свойство (1.23) означает, что в укороченной системе (1.4)
pj(fi)=pj(
^
f
 
 (di)
iji 
 )=l.
Следствие 1.2. Если в укороченной системе (1.4)
pj(fi)=pj(
^
f
 
 (di)
iji 
 ),    i,j=1,╝,n,
(1.24)
то решение (1.9) не имеет добавок вида (1.11).
Замечание 1.1. Здесь был рассмотрен вариант нахождения добавок (1.11) для разложения (1.9) с вещественными показателями ri,s. Для комплексных ri и s все сказанное выше сохраняется, только теперь w Re s < 0 и w Re si < 0.
Замечание 1.2. Если найдено разложение (1.20) решения системы (1.17), то для него таким же способом можно искать экспоненциальные добавки и т.д.
§ 2. Пример
В работах [6,9-18] были найдены все степенные и степенно-логарифмические разложения решений системы Н. Ковалевского [19]
f1    def
=
 
   
╫╫
s
 
 t+
╫
s
 
╫
t
 
 /2+a1+a2s+a3
╫
t
 
 p+a4t+a5p2=0,
f2    def
=
 
   s
╫╫
t
 
 +
╫
s
 
╫
t
 
 /2+b1+b2
╫
s
 
 p+b3s+b4t+b5p2=0,
(2.1)
где точка означает дифференцирование по p. Здесь p - независимая переменная, а s и t - зависимые, коэффициенты ai и bi суть определенные функции от параметров x,y,z, пробегающих некоторое множество значений. Эта система описывает движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. В обозначениях § 1 здесь n=2, t=p, x1=s, x2=t. Для системы (2.1) во всех рассмотренных случаях, кроме одного, выполнено свойство (1.24) и по следствию 1.2 экспоненциальные добавки отсутствуют. Исключительный случай описан в § 7 [11]. В этом случае система имеет вид
h1    def
=
 
   
╫╫
r
 
 t+
╫
r
 
╫
t
 
 /2-z/y+yr/(y-1)-p
╫
t
 
 /y+t/(y-1)=0,
h2    def
=
 
   -(y-1)p( ...
r
 
 t+3
╫╫
r
 
╫
t
 
 /2+
╫
r
 
╫╫
t
 
 /2)-y
╫╫
r
 
 t-(y-1)
╫
r
 
╫
t
 
 /2+r
╫╫
t
 
 =0,
(2.2)
нас интересуют решения системы (2.2), у которых pое и первое приближение имеет вид
r = r0 pa,    t = t0 pb,    a < 2,    b < 2,
 (2.3)
где r0,t0,a,b =const.
Для этой задачи были найдены четыре следующие семейства разложений решений:
G1 с a =b =2/3;
G2 с a+b =1, a < 0, b =y/(y-1) > 1;
G3 с 2a =b =y/(y-1) > 1;
G4 с a+2b =2, a < 0, b =y/(y-1) > 1.
При этом укорочения [^(h)]1 таковы:
^
h
 
1 
 =yr/(y-1)-p
╫
t
 
 /y+t/(y-1)    для    G1;

^
h
 
1 
 =-p
╫
t
 
 /y+t/(y-1)    для    G2,G3,G4.
Поскольку p1(h1)=2, а p1([^(h)]1)=0 и -1, то условие (1.24) здесь не выполнено. Для p2([^(h)]1) оно выполнено. Поскольку носитель S(h2) состоит из одной точки Q=(-2,1,1), то [^(h)]2 ║ h2 и свойство (1.24) для h2 выполнено. Здесь w =1, ибо pое. Для решения вида
r = r0pa+╝,    t = t0pb+╝
получаем
M11=  dh1
dr
 =t  d2
dp2
 +
╫
t
2
  d
dp
 +  y
y-1
 ,

M12=  dh1
dt
 =
╫╫
r
 
 +
╫
r
2
  d
dp
 -  p
y
  d
dp
 +  1
y-1
 ,

M21=  dh2
dr
 =-(y-1)p щ
ъ
ы 		t  d3
dp3
 +  3
2
╫
t
 
  d2
dp2
 +
╫╫
t
2
  d
dp
 ∙
·
√ 		-yt  d2
dp2
 -  y-1
2
╫
t
 
  d
dp
 +
╫╫
t
 
 ,

M22=  dh2
dt
 =-(y-1)p щ
ъ
ы 		...
r
 
 +  3
2
╫╫
r
 
  d
dp
 +
╫
r
2
  d2
dp2
 ∙
·
√ 		-y
╫╫
r
 
 -  y-1
2
╫
r
 
  d
dp
 +r  d2
dp2
 .
Если y ╣ 4, то M22=const pa d2/dp2+╝. Для M11 множество [^(╢)] D11 состоит из точек (b-2+2,2)=(b,2), 0 и ребра между ними. Для остальных Mij согласно лемме 1.4 множество [^(╢)] Dij состоит из одной точки, а именно,
^
╢
 
 D12=(1,1), 
^
╢
 
 D21=(b-2+3,3)=(b+1,3), 
^
╢
 
 D22=(a-2+2,2)=(a,2).
Поскольку w =1, то будем искать вектор P=(1,p1,p2) ╬ K, который является внешней нормалью для множеств S1={Q1=(b,2,0),  Q2=0,  Q3=(1,1,1)} и S2={Q4=(b+1,3,0),  Q5=(a,2,1)}. Согласно следствию 1.1 в носитель укорочения второго уравнения системы (1.17) должны входить обе точки Q4 и Q5 множества S2. Это означает, что скалярные произведения этих точек с вектором P должны быть одинаковы, т.е.
b+1+3p1=a+2p1+p2
или
p2=p1+b+1-a.
(2.4)
Аналогично, в носитель укорочения первого уравнения системы (1.17) должны входить либо все три точки Q1,Q2,Q3, тогда сP,Q1ё = сP,Q2ё = сP,Q3ё, либо две точки из них, тогда у этих двух точек скалярные произведения с P одинаковы и больше, чем у третьей точки. Имеем
сP,Q1ё = b+2p1,    сP,Q2ё = 0,    сP,Q3ё = 1+p1+p2.
(2.5)
Рассмотрим четыре случая.
Случай а. сP,Q1ё = сP,Q2ё = сP,Q3ё. Тогда согласно (2.5) b+2p1=0=1+p1+p2, т.е. p1=-b/2, p2=b/2-1. Подставляя эти значения в (2.4), получаем b/2-1=-b/2+b+1-a, т.е. a =2, что невозможно по условию (2.3).
Случай б. сP,Q1ё = сP,Q2ё > сP,Q3ё, т.е. согласно (2.5) и (2.4) p1=-b/2, 0 > 1+p1+p2=1-b+b+1-a =2-a, т.е. a > 2, что противоречит условию (2.3).
Случай в. сP,Q1ё < сP,Q2ё = сP,Q3ё, т.е. p1+p1+p2=0 и b+2p1 < 0. Из этого уравнения и (2.4) получаем p1=(a-b)/2-1, p2=(b-a)/2. Согласно конусу задачи 1+p1 > 0, но здесь 1+p1=(a-b)/2. Для всех семейств G1-G4 имеем a г b, т.е. (a-b)/2 г 0. Следовательно, здесь вектор P не лежит в конусе задачи (1.19).
Случай г. сP,Q1ё = сP,Q3ё > сP,Q2ё, т.е. b+2p1=1+p1+p2 > 0. Из этого равенства и (2.4) получаем -1=1-a, т.е. a =-2, что невозможно по условию (2.3).
Итак, у системы (1.17) нет подходящей укороченной системы и решения семейств G1-G4 не имеют экспоненциальных добавок вида (1.11).
Литература
  1. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256 c.

  2. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. 288 c.

  3. Брюно А.Д. Автомодельные решения и степенная геометрия // Успехи математических наук, 2000, т. 55, N 1, с. 3-44.

  4. Брюно А.Д. Степенные разложения решений системы алгебраических и дифференциальных уравнений // ДАН, 2001, т. 380, N 3, с. 298-304.

  5. Брюно А.Д. Степенные разложения решений системы алгебраических и дифференциальных уравнений. Препринт N 68. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2000. 32 с.

  6. Брюно А.Д. Разложения решений системы ОДУ. Препринт N 59. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 27 с.

  7. Тихомиров В.М. Фреше производная // Математическая Энциклопедия. М.: Советская Энциклопедия, 1985, т. 5, с. 666.

  8. Брюно А.Д. Асимптотически близкие решения обыкновенного дифференциального уравнения. Препринт N 31. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 12 с.

  9. Брюно А.Д., Лунев В.В. Модифицированная система уравнений движения твердого тела. Препринт N 49. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2001. 36 с.

  10. Брюно А.Д., Лунев В.В. Локальные разложения модифицированных движений твердого тела. Препринт N 73. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2001. 39 с.

  11. Брюно А.Д., Лунев В.В. Асимптотические разложения модифицированных движений твердого тела. Препринт N 90. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2001. 34 с.

  12. Брюно А.Д., Лунев В.В. Свойства разложений модифицированных движений твердого тела. Препринт N 23. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2002. 44 с.

  13. Брюно А.Д., Лунев В.В. О вычислении степенных разложений модифицированных движений твердого тела // ДАН, 2002, т. 386, N 1, с. 11-17.

  14. Брюно А.Д., Лунев В.В. Семейства степенных разложений модифицированных движений твердого тела // ДАН, 2002, т. 387, N 3, с. 297-303.

  15. Брюно А.Д. Степенные свойства движений твердого тела // ДАН, 2002, т. 387, N 6, с. 727-732.

  16. Брюно А.Д. Асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Препринт N 40. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2002. 23 с.

  17. Брюно А.Д. Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии. Препринт N 41. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2002. 20 с.

  18. Брюно А.Д. Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии // Механика твердого тела (Донецк), 2002, вып. 32, с. 3-15.

  19. Kowalewski N. Eine neue partikulare Losung der Differenzialgleichun-
    gen der Bewegung eines schweren starren Korpers um einen festen Punkt // Math. Ann. 1908, B. 65, S. 528-537.



File translated from TEX by TTH, version 3.40.
On 14 May 2004, 17:09.