ВВЕДЕНИЕ

Моделирование столкновений электронов высокой энергии является актуальной проблемой в задачах о самосогласованном электромагнитном поле, образующемся при эмиссии потоков электронов в газовую среду. Частоты плазменных колебаний, столкновений с нейтральными молекулами среды и генерации электронного потока в ряде практически важных задач сравнимы между собой. Пренебречь можно только столкновениями между электронами.

Рассмотрим поток электронов с энергиями 10 КэВ – 1 МэВ [9] в исходно нейтральном газе. Баланс числа электронов в элементе фазового пространства переменных , где  – декартовы координаты в физическом пространстве, а  – импульс электрона, описывается уравнением Больцмана [1] с интегралами упругого и неупругого рассеяния. Если начальный спектр электронов сосредоточен вблизи 1 МэВ, то для обоих процессов рассеяния можно использовать приближение Фоккера-Планка [2], причем неупругие процессы превалируют при больших энергиях, а упругие становятся главными по мере деградации начального спектра.

Пространственно-трехмерное уравнение Фоккера-Планка представляет собой уравнение второго порядка в частных производных относительно шести независимых переменных. Решение такого уравнения, а тем более уравнения переноса, разностными методами на современном уровне развития вычислительной техники весьма затруднительно.

Ряд практически важных задач состоит в вычислении значений компонент электромагнитного поля и не требует детального описания функции распределения. Данная работа, не претендуя на совершенство математических формулировок, предлагает конструкцию функции распределения, которая позволяет определять самосогласованное электромагнитное поле при допустимых приближениях методом частиц [3].

1 Неупругие столкновения

Основным неупругим процессом взаимодействия электронов высокой энергии с нейтральными молекулами является ионизационное рассеяние. В результате такого столкновения в непрерывном спектре образуется два тождественно неразличимых электрона. Сечение ионизационного рассеяния обратно пропорционально квадрату переданной энергии [4], поэтому наиболее вероятно сообщение одному из образовавшихся электронов существенно большей кинетической энергии, чем второму. В рамках данной работы рассмотрим электроны с высокой энергией. Электроны с низкой энергией в электродинамических задачах такого типа можно исследовать отдельно [5].

Интеграл ионизационных столкновений электронов с высокой энергией в приближении малых передач энергии можно представить в следующем виде:

,                                                                                                          (1)

где [6]:

 – импульс электрона в сферической системе координат;

Z – атомный номер рассеивающего вещества;

N – концентрация атомов рассеивающего вещества;

f – функция распределения электронов;

m – масса электрона;

с – скорость света;

 – классический радиус электрона;

I – средний потенциал ионизации нейтральных молекул газа.

Коэффициенты при первых производных по угловым компонентам импульса обращаются в ноль вследствие угловых симметрий сечения. Коэффициент при второй производной по модулю импульса вычисляется интегрированием произведения дифференциального сечения и квадрата переданной энергии и не содержит отношения кинетической энергии электрона к потенциалу ионизации. Изотропизацией электронного потока за счет ионизационных столкновений можно пренебречь по сравнению с аналогичным следствием упругих процессов. Кинетическое уравнение для электронов с интегралом столкновений (1) можно представить в следующем виде:

,                                                                               (2)

где ;

;

 – самосогласованное электрическое и магнитное поле соответственно;

 – источник электронов.

Покажем, что решение уравнения (2) представимо в виде:

,                                                   (3)

где –внутренние векторные переменные интегрирования, соответствующие по физическому смыслу начальной координате и импульсу частицы, движение которой описывается функциями , причем .

Обозначим , подставим функцию (3) в уравнение (2), умножим на финитную гладкую пробную функцию и проинтегрируем по всем переменным. Приведем промежуточные результаты.

,

,

.

Учтем, что , . Тогда, в силу того, что

,

можно утверждать, что подстановка (3) обращает уравнение (2) в тождество.

2 Упругие столкновения

Рассмотрим кинетическое уравнение Больцмана для электронов с интегралом неупругих столкновений в приближении средних потерь энергии и линейным по функции распределения интегралом упругих столкновений [7] с неподвижными нейтральными молекулами воздуха.

,                                                 (4)

где ;

–дифференциальное сечение упругого рассеяния, зависящее от модуля импульса и косинуса угла между направлениями  и  (далее );

–полное сечение упругого рассеяния, зависящее от модуля импульса.

Разложим функцию  в ряд по сферическим функциям  переменных μ и χ. Получим:

,

где верхняя черта означает комплексное сопряжение.

Введем в правую часть дополнительный коэффициент. Построим новую функцию распределения:

.                 (5)

Здесь .

В соответствии с теоремой сложения для сферических функций правая часть (5) может быть представлена как разложение в ряд по полиномам Лежандра Р.

      (6)

где  – косинус угла между векторами .

Подставим данную функцию в уравнение (1), умножим это уравнение на произвольную пробную функцию  и проинтегрируем по всем аргументам. Рассмотрим промежуточные выкладки.

.               (7)

Штрихи у функций означают дифференцирование по всему аргументу, а

.

Учтено:, .

В третьем и четвертом слагаемых выполним интегрирование по частям:

Выполним подстановку функции (6) во второй член уравнения (4) и первое слагаемое третьего члена.

                                                      (8)

.                    (9)

Подстановка (6) в интеграл упругих столкновений уравнения (4) даст:

.                               (10)

Подставим (7-10) в исходное уравнение (4). Имея в виду, что  в декартовых координатах, получим невязку:

.                       (11)

Невязка представляет собой бесконечный ряд. Вычисляя интеграл по модулю импульса, получим, что члены этого ряда равны нулю. Данное утверждение справедливо для всех . Распространять данное утверждение на нулевой член ряда некорректно, поскольку  при . Проверка справедливости равенства умножением его на ноль не является корректной процедурой.

3 Нулевой момент

Рассмотрим случай . Введем следующие обозначения:

.

Проинтегрируем уравнение (4) по импульсным углам. Получим:

.                                              (12)

Величина  может быть вычислена с помощью (6), поскольку для случая  приведенное выше рассмотрение справедливо.

,                                 (13)

где , а  – транспортное сечение упругого рассеяния. Таким образом, для нулевого члена разложения решения уравнения (4) получено следующее уравнение

.                          (14)

Итак, функция , представляющая собой бесконечный ряд

,                                                                                                       (15)

где , а  определяется решением уравнения (14), является решением уравнения (4).

Рассмотрим более подробно уравнение (14). Проинтегрируем его так, чтобы получить уравнение для концентрации электронов .

                   (16)

Представим решение уравнения (16) в виде суммы двух функций

.                                                                (17)

Подставим (17) в (16) и потребуем выполнения уравнений движения . Получим:

.                            (18)

Представление концентрации электронов в виде суммы (17) имеет простой физический смысл. Концентрация электронов в данной точке пространства определяется как переносом электронов, который описывается первым слагаемым суммы, так и изотропизацией исходного потока в результате упругого рассеяния, что описывается вторым слагаемым.

Решение уравнения (14) также можно представить в виде аналогичной суммы:

,                                          (19)

.                  (20)

Уравнения (18) и (20) дают возможность корректно рассчитывать источник электронов с низкой энергией, учитывая, что изотропизовавшиеся электроны, функция распределения которых описывается уравнением (4), сохраняют высокую энергию и вносят существенный вклад в процесс ионизации.

4 Обобщенное решение и уравнения движения

Функция, определенная соотношениями (15), является приближенным решением уравнения (1) из пространства основных функций, поскольку содержит интегрирование по переменным  и . Заменим формально указанное интегрирование суммированием в конечных пределах.

,                       (21)

где , – система непересекающихся подобластей, содержащих точку фазового пространства , покрывающая область решения задачи в фазовом пространстве, а  является решением уравнения

                                    (22)

Подставим (21) в (4), умножим на произвольную функцию из основного пространства и проинтегрируем по всем переменным. Под основным пространством понимается множество бесконечно гладких финитных функций всех рассматриваемых переменных. Проверка практически аналогична процедуре, представленной в предыдущем параграфе. Действительно, интегрирование по переменным  и  используется только в первом слагаемом соотношения (7). Остальные действия не затрагивают эти переменные. Поэтому они справедливы и для случая, когда интегрирование по переменным  и  заменяется  конечной суммой. Для конечной суммы достаточно проверить нормировку коэффициентов. Пусть  – произвольная функция из основного пространства. Тогда невязка, возникающая при подстановке (22) в (1) составит следующую величину:

.                 (23)

Отсюда

,                                         (24)

где .

Рассмотрим концентрацию и плотность потока электронов, соответствующую функции распределения (21-22). Проинтегрируем (22) по модулю импульса с единичным весом. Получим:

.                      (25)

Аналогично (17) представим концентрацию в виде суммы двух слагаемых.

.

Тогда при выполнении уравнений движения

.

Плотность потока электронов представляется в следующем виде:

.                                                                 (26)

Выполнение уравнения непрерывности (закона сохранения заряда) для  концентрации и плотности потока, заданной уравнением (26) очевидно ввиду справедливости (21).

Рассмотрим второй момент уравнения (4), связывающий плотность потока электронов с давлением электронной системы . Выполним интегрирование (4) по импульсам с весом :

.             (27)

Проверка выполнения соотношения (27) для обобщенной функции (21) состоит в подстановке (21) и (26) в (27), умножении (27) на произвольную бесконечно гладкую финитную функцию и интегрировании по всем переменным. Рассмотрим первое слагаемое (27).

Второе слагаемое (27) преобразуется следующим образом:

.                    (29)

Третий член уравнения (27) рассмотрим в декартовых координатах для импульса:

.                (30)

Четвертый член преобразуется простым интегрированием

.                          (31)

Итак, невязка уравнения (27) при выполнении уравнений движения и с учетом того, что  представляет собой следующую конструкцию:

.                                         (32)

Конструкция невязки, как следует из (32), определяется как разность точного значения интеграла от функции и его же представления в виде конечной суммы. Представление решения в виде (22-23) означает, что полное число членов суммы (М) должно быть достаточным для правильной аппроксимации функции распределения. Соотношение (32) означает, что интеграл источника должен вычисляться с помощью того же количества значений подынтегральной функции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Функция распределения электронов, удовлетворяющая уравнению (4), имеет следующий вид:

,      (33)

причем для функции  справедливо уравнение

.                  (34)

Уравнение (4) учитывает ионизационные столкновения в приближении малых потерь энергии, действие электромагнитного поля и упругие столкновения электронов с нейтральными молекулами.

Конечная сумма (21) является решением уравнения (4) при любом числе слагаемых, если выполнено условие

.                                   (35)

Условие (35) всегда можно выполнить, если источник электронов задается как результат измерений. Построенная функция распределения дает возможность [8] использовать для расчета ее моментов метод крупных частиц при условии правильного представления источника электронов.

Рассмотрим условие, ограничивающее применимость представленной модели. Концентрация нейтральных молекул N при дифференцировании функции распределения по пространственным переменным в подстановке (6) предполагалась постоянной величиной. Такое условие не ограничивает применимость модели для ряда задач, в том числе, в ограниченной области. Для моделирования электромагнитных полей можно использовать уравнения Максвелла с правой частью, представляющей собой плотность электрического тока, а не плотность заряда. Применимость данной модели для случая переменной концентрации рассевающих центров должна исследоваться отдельно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чепмен С., Каулинг Т.Дж. Математическая теория неоднородных газов. – М.:ИЛ, 1960.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Физическая кинетика. – М.:"Наука", 1979.

3. Hockney R.W., Eastwood J.W. Computer Simulation Using Particles.– McGraw-Hill, New York, 1981.

4. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. – М.:ИЛ, 1956.

5. А.В. Березин и др. О математических моделях вторичной ионизации. – препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, №29, 2002.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая электродинамика. – М.: "Наука", 1979.

7. Кейс К., Цвайфель Р. Линейная теория переноса. – М.: "МИР", 1967.

8. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. – М.: "Наука", 1975.

9.  Жуковский М.Е. Самосогласованная квазитрехмерная модель радиационного возбуждения электромагнитных полей. – М.: "Математическое моделирование", т.8, № 4, 1996.