ВВЕДЕНИЕ

Пусть радиационная генерация электромагнитного поля (далее – ЭМП) развивается в широком потоке быстрых электронов, образующемся при рассеянии в среде ионизирующих излучений. В общем случае  ЭМП  будет самосогласованным, то есть существенно влиять на динамику быстрых электронов, а решение самосогласованных трехмерных задач в сложных средах требует большого, а зачастую и недоступного в настоящее время объема ресурсов  ЭВМ.  В ряде практически важных случаев параметры потоков ионизирующего излучения и среды оказываются такими, что эффект согласования  ЭМП  и плотности тока быстрых электронов невелик. Его можно попытаться учесть как малое возмущение при определении значений плотности тока и  ЭМП.  Другие моменты функции распределения быстрых электронов в задачах радиационной генерации  ЭМП  интереса не представляют. Применимость такого подхода к трехмерным задачам целесообразно исследовать в рамках простых одномерных постановок при определении необходимого набора линейных функционалов функции распределения.

Условия, в которых происходит рассеяние ионизирующих излучений, образование потоков заряженных частиц и  ЭМП,  создаются широким набором физических эффектов [1]. Представляется очевидным, что все они приводят к уменьшению  ЭМП  и значимости эффекта самосогласования. Например, столкновения быстрых электронов с молекулами среды уменьшает их направленную скорость. В том случае, когда среда имеет исходное распределение электрофизических параметров, заметно отличающееся от вакуумного,  ЭМП  будет иметь заведомо меньшие значения напряженности электрического поля и магнитной индукции. То есть, адекватность методик, рассматривающих эффект согласования как малое возмущение, целесообразно исследовать в рамках модельных задач, описывающих распространение потоков электронов в вакууме.

Целью данной работы является получение асимптотического разложения решения задачи о торможении потока электронов собственным электрическим полем в одномерной бесстолкновительной модели. Модель не претендует на адекватность реальному процессу генерации  ЭМП  в сложной среде. При этом влияние поля на электроны в такой задаче заведомо завышено, что гарантирует применимость выводов о сходимости получающихся разложений к решениям для реальных моделей.

Сформулированная проблема имеет универсальный характер: как было показано в работе [2] анализ некоторых задач с реакторной тематикой (управление работой реактора, детальный учет эффекта выгорания, … см., например, [3]) приводит к необходимости рассматривать аналогичную ситуацию. Для описания поведения реактора ищется его нейтронное поле  N = N(t, r, v).  Такая информация, разумеется, избыточна, но с помощью нее сравнительно просто находить различные функционалы от уже найденного поля, значения которых и представляют практический интерес. В данном случае интерес представляет величина  ЭМП  – линейного функционала от электронного поля  f = f(t, r, v),  которое само входит в систему Власова-Максвелла и, как будет показано ниже, может в некоторых достаточно простых, но имеющих важные следствия, случаях быть найдено, минуя определение функции  f(t, r, v),  нахождение которой в дальнейшем сводится к решению классических задач с линейными уравнениями первого порядка [4].

В этом состоит определенная специфика системы Власова-Максвелла.

1. Постановка задачи

Модели ЭМП в задачах его радиационной генерации строятся на основе уравнений Максвелла, содержащих роторы электрического и магнитного поля. Это связано со тем, что быстрые электроны сами ионизуют среду, порождая среду вторичных электронов и ионов с низкой энергией [5]. Концентрация вторичных заряженных частиц во много раз превышает концентрацию быстрых электронов. По этой же причине вторичные электроны в математических моделях рассматриваются отдельно. Источником ЭМП является сторонний ток быстрых электронов и проводимость слабоионизованного газа вторичных заряженных частиц. Соответствие такой модели закону Гаусса обеспечивается уравнением непрерывности для системы всех заряженных частиц.

Рассмотрим эмиссию монохроматического потока электронов со всей плоскости  xOy  вдоль оси  Oz  в вакуум. Функция распределения электронов    удовлетворяет записанному в импульсной, учитывающей релятивистские эффекты, форме одномерному уравнению Власова (1), а в него входящее  Е – самосогласованное электрическое поле – закону Ампера (2):

,                                                (1)

,       .                                                                                (2)

Здесь и далее: с  –  скорость света;   – скорость электрона;  , , e, e/  – его масса покоя, классический радиус, заряд и удельный заряд соответственно;

Плоский поток заряженных частиц порождает одну компоненту плотности электрического тока  :  вдоль оси  Oz.  В условиях такой симметрии ненулевой является только  E_z-компонента  ЭМП.  Остальные его компоненты равны нулю вследствие уравнений Максвелла и однородных начальных данных:.    Функция    описывает интенсивность эмиссии с плоскости, то есть число электронов, вылетающих с единицы площади поверхности в единицу времени. Как и в реальных моделях, для интенсивности эмиссии выполнено условие   .

2. Математическая формализация задачи

В дальнейшем все функции времени предполагаются, если не оговорено противное, продолженными нулем на интервал  (t < 0),  а функции от  r  –  на интервал  (z < 0).  Аргументы функции (или часть их) опускаются при записи, если это не приводит к недоразумению. Запись производной просто штрихом (или точкой) означает, что она взята по всему аргументу функции, а не по какой-либо его составляющей.

Задача, поставленная в предыдущем пункте, требует предварительного анализа, например, на предмет сокращения числа входящих в основные уравнения параметров – то есть, как минимум, приведения их к безразмерному виду. Проводя эту стандартную ( t= t̃τ,  r= r̃ρ,  p= p̃π,  f = fφ̃̃(τ, ρ, π),  F = F̃Φ(τ, ρ, π), E= ẼΕ(τ, ρ), J = J̃J(τ, ρ) )  операцию, видим, что между масштабными  – взволнованными  –  коэффициентами должны иметь место стандартные же соотношения, дабы безразмерные уравнения не отличались по своей структуре от своих стартовых размерных аналогов. Таковыми соотношениями являются: связь скорости и импульса (классическая или релятивистская);  r = vt,  причем, естественнее всегда брать  c  – за масштаб скоростей, а из  t̃  и  r̃  выбирать только одну.  τ = t/T,  ζ = z/L,   υ = v/c,  π = p/P,  φ = f/f ,  S_ext = Q_ext/Q,  Ε = E/E  .

В результате приходим к следующей системе соотношений, приводящих систему  (1-2)  к полностью безразмерному виду: один из параметров  L = r̃,  или  T = t̃  является свободным,  L = cT,  P = p̃ = m₀v₀.  Функции, входящие в систему, имеют своими масштабными коэффициентами следующие величины:  Q = 2N/(LTP),  f = 2N/(LP),  J̃= –|e|N/T,  E = 4π|e|N,  а единственный параметр, остающейся в системе множителем перед  Ε, –  ε  может быть выражен как через начальные данные:  ε = 4πr_eLN,  так и через многократно  [6, 7] использовавшиеся ранее  (ω_плаз)² = 4πr_ec²n  –  плазменную частоту и частоту источника:  ν_ист = 1/T  –  ε = υ₀(ω_плаз/ν_ист)².

Наиболее существенным упрощением исходной системы уравнений было следующее: мы воспользовавшись высокой симметрией задачи, положили магнитное поле равным нулю. После этого приведенная к безразмерному виду система  (1-2)  приобретает вид:

,                                              (3)

.                                                                            (4)

Иными словами зависимость  S_ext(ρ) в форме    приводит к такой же зависимости компонент поля от  ρ,  а его зависимость от вектора импульса через    – не только к зависимости потока электронов только от  π,  но и к равенству нулю магнитного поля (последнему просто некуда быть направленным). Таким образом, этот класс задач являет собой редкий пример одномерных систем Максвелла.

4. Алгоритм разложения решения системы по параметру  ε

Далее, при получении формул для  E(t, z)  нам потребуются производные всех порядков от временной компоненты источника  F(t).  Считаем, что она является действительной аналитической функцией. Зависимость    полагаем аналитической по тем же причинам: как классическая, так и квантовая ее модели, разумеется, этим свойством обладают, а для построения решения удобнее рассматривать сразу общий случай.

Полностью обезразмеренное уравнение  (1)  принимает следующий вид: .

Задача начального приближения    решается следующим образом:  .

Далее, не обговаривая специально, удобно придерживаться следующих обозначений:  χ = τ – ζ/υ,  χ₀ = τ – ζ/υ₀,  τ̃ = (ζ – υ(τ – τ̃))/υ₀ = χ̃₀,  χ̃ = χ,  χ̃₀₀ = χ₀.

Пусть  .  Тогда, разложив по степеням  ε  произведение    и приравнивая, друг другу коэффициенты при всех последовательных степенях, получаем, как обычно, бесконечную серию уравнений, зацепленных каждое только за одно другое своими правыми частями – последовательными источниками частиц, испытавших данное число взаимодействий (соударений).

Начальное уравнение цепочки  (с  S₀ = S_ext  для  φ₀)  уже выписано. Основным для дальнейшего будет то, что левая часть у всех последующих уравнений одинакова. Правые части имеют вид  ,  то есть ,    и так далее. Тождественность операторов  ,  порождающих все уравнения позволяет следующим образом записать их решения  φ_n,  в операторной форме:  ,  где  ,  а    – это оператор сдвига по характеристике (невозмущенного) уравнения переноса:  ζ → ζ – υ(τ – τ_n+1). Далее  Ε_m  – это оператор умножения на соответствующую функцию, а  ;  таким образом в развернутой записи имеем соотношение .  В последней формуле дифференцирования по  dπ  отмеченного  υ = υ(π)  НЕ производится.

Далее без труда получается выражение явное для первой поправки  φ₁:

.

Отсюда для  J₁(τ, ζ)  и  Ε₁(τ, ζ)  получаются весьма простые выражения: . Здесь и далее  κ = υ'(π)/υ(π)  и аналогично для  κ₀.  Подчеркнем, что простота полученных формул напямую зависит от того, что для данной задачи оператор обращения уравнений Максвелла    столь же прост: это интегрирование по  dτ  от  0  до  τ. В результате и все поправки высших порядков выразятся как полиномы от τ с коэффициентами, зависящими только от  Ε₀  и ее производных.

Дальнейшие выкладки (при  n > 1)  аналогичны, и, разумеется, очень громоздки. Но (хотя бы ради формулировки индукционного предположения), здесь следует привести окончательные их результаты для  n = 2  и, частично, для  n = 3. Начнем с формулы для второй поправки к потоку:  –= – =

И аналогично получаем формулы для второй поправки  –  :   = =  =

 , (как в релятивистском, так и в общем  υ=υ(π)  случае) и для третьей:  – = – =…

= –  

+  

+

+

 =

.

После получения явных формул для трех первых поправок  ,    и    резонно предположить, что и общая формула для поправки к    порядка  n  будет иметь аналогичный вид:   = ,  где   – это полином от    степени  k,  на что указывает показатель степени    в знаменателях его коэффициентов. То, что ими будут именно полиномы, а не мономы, как то получилось при малых  n, угадывается при анализе характера упрощений в полученных формулах при переходе от потока к току электронов; уже при  n= 4  в коэффициент при  ,  будет входить сумма  C₁ + C₂  с неизвестными пока значениями  C₁  и  C₂.

5. Операторы Власова порядка  n

Обобщение полученных при  n = 2; 3  результатов на поправки к полю высших порядков проводится по той же схеме явного вычисления, но потребует, разумеется, дополнительных рассмотрений в новых обозначениях, приведенных в Дополнениях 1-2. Например, наглядные, но не совсем строгие обозначения  υ  и  ,  трижды использованные выше, естественно теперь заменить на уже введенные конструкции    и  ,  обозначив их для удобства через    и    – и назвав соответственно импульсным и скоростным  операторами Власова (чье уравнение и порождает данную модельную задачу [8]) порядка  n.  Еще раз подчеркнем, что в дискретном случае (в компьютерном расчете)    и    будут отвечать за взаимодействие с электромагнитным полем (тоже, разумеется, дискретным) частиц, уже  n  раз провзаимодействовавших с полем.

Записав с их помощью начальный отрезок разложения поля  Ε  в ряд по  ε, получаем следующее выражение полного поля Ε через невозмущенное поле Ε₀:

.

Связь скобок – а в них соответственно по  2^(n-1)  слагаемых) – в данной формуле с введенными в предыдущем разделе величинами  Ε_q  очевидна, но их внутренняя структура нетривиальна. Например, последнюю из них –  Ε₃  (и, как будет ясно далее, все последующие) разбить на  q  компонент можно как минимум двумя способами с различными смысловыми интерпретациями слагаемых. Во-первых,  Ε_q =,  где индекс  m  соответствует номеру    от которого берется производная по импульсу. В этом случае получаем

 ,

что означает различение взаимодействий частиц с полями различных порядков (индексов). Во-вторых, то же разложение пишется в симметричной форме:

,        (5)

где учитывается только общее число взаимодействий частиц с полем.

Первая форма записи разложения позволяет (по схеме представления операторов Власова, приведенной в Дополнении 2) последовательно находить интегральные соотношения между различными компонентами поля  :  Поменяем в соотношении   порядок суммирования. Разумеется, возможность этого следует предположить [11]; корректность предположения будет заведомо иметь место для достаточно широкого класса начальных данных  Φ(τ),  например, для  Φ(τ) = P_n(τ)e^-aτ,  где  P_n  – полиномы. Далее находим, что внутренние суммы последовательно сворачиваются к

,

,  и так далее рекуррентно. Но общую формулу для  Ε_n  получить этим путем затруднительно.

6. Общая формула для поправки к полю порядка  n

Вторая форма записи разложения (5) позволит найти эту общую формулу. Рассмотрим операторный вид общей ее формы:

,               (6)

и аналогично для  φ, но без оператора  M^-1,  решающего систему Максвелла:

.                       (7)

Заметим, что в каждой внутренней сумме    слагаемых, поскольку операторы Власова различных порядков не коммутируют. То есть,  φ_n  является суммой  δ-функции и ее  n  первых производных с соответствующими коэффициентами (в которые входят  Ε_ν  для  ν=1,…,(n-1) ). Такое представление одной из компонент решения задачи –  φ  очевидно плохо тем же, чем плохо представление решения произвольного интегрального уравнения через определители Фредгольма: своей необозримостью. Для того, чтобы избегнуть подобной ситуации, надо привести формулу  (6)  к "считабельному" виду, чтобы далее уже с ее помощью привести задачу определения  φ  к стандартной.

При упрощении формулы (6) (подробнее – в Дополнении 2) коэффициенты, при последовательных степенях  τ^k,  зависящие от  υ  и ее производных по  dπ  оказываются удовлетворяющими следующему рекуррентному соотношению:   =  + (n-1+k) .

Здесь оператор   =  +  +… .

С учетом вычисленных заранее результатов по поправкам малых порядков это означает, что получившийся для описания поправки порядка  n  многочлен с символической переменной    совпадает с полиномом    для производных от обратных функций [9], с.176. То, что порядок его смещен на единицу, вызвано необходимостью снятия одного дифференцирования по  dτ  (в  M^-1).  По той же причине внутренняя его переменная – это не входящая в уравнение Власова (3) скорость  , но интеграл от нее по импульсу то есть энергия:  ω = ω(υ).  Поскольку упомянутые полиномы    стандартно выражаются через имеющие явную формулу полиномы Белла, приходим в итоге к одному из вариантов формулы Бруно [10].

Суммируя полученные при выводе формул (6-7) результаты, приходим к завершающей формуле (8) для записи решения системы (3-4) в замкнутом виде. Здесь и далее как и ранее  ,  ,    а сокращение записи суммы    используется для обозначения ее по всем разбиениям натурального параметра  n:  –    – (подробнее см. [9], с.173):

       (8)

Полезно сравнить полученную для решения системы (3-4) формулу (8) с соответствующей формулой Бруно для производной сложной функции:

и особенно с формулой Тейлора для разложения этой сложной функции в степенной ряд:

Отметим два частных случая общей формулы (8), решающих задачу нахождения электрического поля , в классической (все производные, кроме первой, скорости по импульсу равны 0) и релятивистской () трактовках соответственно:

                                                          (9)

и

В последней формуле производные внутренней функции  υ  взяты также по формуле Бруно.

Формулу (8) можно записать и в несколько изменённом виде, а именно воспользоваться энергией  ω  вместо скорости  υ,  производные от  E₀  брать не по  dτ,  но по  dζ  и провести еще одно дополнительное дифференцирование по  dζ.  В результате получим следующее упрощение ранее полученной формулы:

 ,

где по прежнему  = .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одномерное уравнение Власова для плоского монохроматического потока электронов рассмотрено как задача определения потока электронов и электрического поля.

Получено решение в виде ряда по производным от степеней невозмущенного решения:

.

Решение применимо для априорных оценок точности асимптотических методик решения трехмерных самосогласованных задач радиационной генерации электромагнитного поля в сложных средах.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Экспериментальная ядерная физика.  Под ред. Э. Сегре. М., ИЛ, 1955.

2.  Н.С. Келлин.  Условно стационарные начально-краевые задачи в динамике реакторов,–  М., ДАН СССР, т.293, №2, 1987.

3.  С.М. Фейнберг, С.Б.Шихов, В.Б.Троянский.  Теория ядерных реакторов. М.: «Атомиздат», т.1, 1978.

4.  Р. Курант.  Уравнения с частными производными. М.: «Мир», 1964.

5.  В. Гайтлер.  Квантовая теория излучения. М., ИЛ., 1956.

6.  Ф. Клеммоу,  Дж. Доуэрти.  Электродинамика частиц и плазмы. М.: «Мир», 1996.

7.  А.В. Березин и др.  О математических моделях вторичной ионизации. М., препринт ИПМ РАН № 29, 2002.

8.  А.А. Власов.  Теория многих частиц. М.-Л., ГИТТЛ, 1950.

9.   Дж. Риордан.  Комбинаторные тождества. М.: «Наука», 1982.

10.  И.С. Градштейн, И.М. Рыжик.  Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Под ред. Ю.В.Геронимуса и М.Ю.Цейтлина. М., ГИФМЛ, 1963.

11.    N.J Fine.  Sums over Partitions. – Report of the Institute in the Theory of Numbers. Boulder, pp.86-94, 1958.

ДОПОЛНЕНИЕ 1. Вторая нелинейная поправка

Вывод формулы для второй поправки к плотности поля электронов можно провести следующим образом.

= = =  =

= =

= +

+=

=  .

Уже использованные соглашения по сокращению записи очевидны. Введем также следующие обозначения:  . Таким образом   ;  ;  ;  .

С учетом полученных соотношений формула для    преобразуется так:

 =  =

=  = *

 =

 .

Выражение для второй поправки приведено к такой форме, из которой ясно, что при нахождении тока электронов (при взятии интеграла  ) произойдут значительные упрощения, поскольку выражения, стоящие перед    коэффициентами, аналогичны друг другу, а сами    содержат в себе  δ-функции и ее производные. Эти ожидания оправдываются; с учетом равенства  χ₀  аргументов у  Ε  и  Φ  после применения  δ-функции имеем:

 =  =  =

=  

=  

 =

=  +

+  =

=  .

Таким образом, снимая дифференцирование по  dτ,  получаем формулу для

 = ,

где все опущенные аргументы у функций  υ  –  π₀,  а у остальных  –  χ₀ = τ – ζ/υ₀.

Она допускает важное обобщение. При выводе нигде не был использован явный вид функции  ,  порождающей оператор  .  Более того, именно для реализации этого обобщения, потребующегося в дальнейшем при проведении индукционного шага, в выкладках были сохранены    и  ,  а не использован формально совпадающий с нею  .  Повышенная подробность преобразований связана с тем же. Таким образом все выкладки сохранят свою силу и в случае обработки произведения операторов    при всех натуральных индексах. Выражение примет следующий вид: 

 .

Второе и третье слагаемые под интегралом  «отвечают за»  некоммутативность произведения  .  Аргументы у полей очевидно таковы:  . Выполняя в исходном случае: k=0=m, а также для произведений    и    элементарное интегрирование, приходим к ранее приведенным формулам  для второй и третьей поправок к  .

ДОПОЛНЕНИЕ 2. Степени и суммы степеней операторов Власова

Обобщение результата, представленного в Дополнении 1, на случай любого  n  проводится по той же схеме, но требует некоторых уточнений. Во-первых, потребуется переопределить   – дифференциальные аналоги невозмущенного распределения электронов, поскольку замена дифференциалов  dπ  на  dυ  приводит к существенным упрощениям выкладок.

Во-вторых, напомним, что оператор Власова порядка  n  интерпретируется в дискретном случае как вносящий вклад в общее распределение электронов теми из них, которые испытали как раз  n  взаимодействий с электромагнитным полем. Запишем общий вид степени первого из них, используя следующие сокращения в записи подынтегральных функций и их аргументов: при  k+1 < n

 ,

:

/g₀   =    /g₀   =   /g₀   =

=

+

.                                         (Д2.1)

Здесь  ,  где  ,  в отличие от  ,  – использовавшегося в Дополнении 1, а  S_j  –  стандартная симметрическая функция степени  j  (см. [Д1], с. 115-119), что доказывается проведением возвратной индукции по  n.  Здесь видны преимущества новой формы записи для общего случая: если один из показателей    равен  нулю, а не единице, то возможно сокращение  .

Агрегат , где    сводится к полиному относительно    и их производных, коэффициенты которого суть полиномы же от  s_n,…,s₁,  коэффициенты которых – производные (по  dυ)  от  .  Последние в стандартных случаях равны  1  (классика), либо    (релятивизм) [Д2]. При взятии интегралов по  dυ  аргументы у всех функций    становятся равными  (τ – ζ/υ₀)  и результат естественно записать по убыванию порядка производных от  Φ  в  .

Полученная формула (Д2.1) все еще недостаточно проста для использования. Еще раз применим использованную при ее доказательстве процедуру разделения действия операторов, объединив на этот раз функцию  g  и оператор    и выделив как  f_k̃  сами  Ε₀(s_k).  Как и в работе [Д3] введем энумератор, индексирующий  g  по порядку в произведении; операторы дифференцирования уже нумерованы своими показателями  .  Тогда вместо рассмотренного выше  D_k  упрощений потребует следующая величина:

 .

Произведя ее преобразование, как и при получении формулы (Д2.1), придем к

 .                                              (Д2.2)

Здесь, как и ранее  α_k  при определении величины  ,  λ_k  и  μ_k  равны либо  0  либо  1,  причем для любых  k  имеет место равенство  λ_k + μ_k = α_k  , где так же   ,   сохраняют прежние значения.

Что касается выражения    – аналога  ,  то его запись упрощается: выражение для   аналогично формуле (Д2.2), и содержит в себе после выполнения всех дифференцирований  2^(k-1)  слагаемых, в каждом из которых суммарная кратность производных равна  (k-1),  имеется степень  (υ₀)^(k-1)  в знаменателе, а коэффициентами служат степени разностей типа  ,  возникающих при дифференцировании по  dυ  функций  . Разности индексов совпадают с размерами лакун (подряд идущих нулевых  λ_i) в мультииндексе  λ  для соответствующего  k,  а показатели степеней самих разностей – с  (l+1).

До сих пор рассматривались только степени первого из операторов Власова

.  Теперь следует заметить, что полученные выше формулы (Д2.1–2) обладают большей общностью. Проведем в них общую замену   → .  В результате получаем преобразование формулы  (Д2.1)  самое в себя, разумеется с учетом того, что под  f_k̃,  можно подразумевать поправки к невозмущенному полю Ε₀  любых порядков  j_k.  Формула же  (Д2.2)  просто не изменяется. Аналогично обстоит дело и с агрегатами    и  .  В итоге имеем  (Д2.1) – как общую формулу для произведения операторов Власова, которая, очевидно, требует дальнейших упрощений, одно из которых – взятие стандартных  n-кратных интегралов от степенных функций  – возможно только после перехода от потока электронов –  φ  к их току  J,  когда после интегрирования по  dυ  у функций    исчезает зависимость в аргументах от всех промежуточных  τ_k. После вынесения  τ^k  сомножителем с помощью простой индукции приходим к равенству (Д2.3), в котором  γ_k получаются из (Д2.2):

.                     (Д2.3)

Каждое конкретное (из  возможных) значение мультииндекса  (j₁,j₂,…,j_k) 

нумерует одну из такого же числа частей поправки порядка  n  в формуле  (5). Сумма всех их, взятая по всем неупорядоченным (!) разбиениям  [Д2]  номера  n,  содержащим ровно  k  слагаемых будет обладать значительно более высокой симметрией. Приведенные значения интегралов  (Д2.3),  общий вид полиномов Белла    и рекуррентная их формула  (см. [Д2], с. 173-175)  обеспечивают возможность взятия последнего интеграла по  dτ  (при переходе от тока к полю) и совпадению коэффициентов (зависящих от   и ) получающихся выражений с коэффициентами полиномов Белла для следующего значения индекса – (n+1).

ЛИТЕРАТУРА  К  ДОПОЛНЕНИЮ

Д1.  В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин.  Симметрия в алгебре. М.: «Наука», 1968.

Д2.  Ф.Клеммоу,  Дж. Доуэрти.  Электродинамика частиц и плазмы.  М.: «Мир», 1996.

Д3.  А. Кофман.  Введение в прикладную комбинаторику.  М.: «Наука», 1975.

Д4.  Дж. Риордан.  Комбинаторные тождества. М.: «Наука», 1982.