О представлении дзета-функции Римана в критической полосе через бесконечное произведение матриц второго порядка и об одной динамической системе

On the representation of Riemann zeta-function in the critical strip over an infinite product of second-order matrics and on a dynamical system
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Пустыльников Л.Д.
(L.D.Pustyl'nikov)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2004

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 02-01-01067, 03-01-00027)


Аннотация

Получены представления дзета-функции Римана через бесконечные произведения матриц второго порядка, которые сходятся в критической полосе. Этот результат позволяет построить динамическую систему, связанную с гипотезой Римана о нулях дзета-функции, так что каждому комплексному нулю, не лежащему на критической прямой, соответствует периодическая траектория второго порядка специального вида. В построении динамической системы используется оператор, действующий в гильбертовом пространстве, который имеет собственный вектор с собственным значением, равным (-1), тогда и только тогда, когда дзета-функция Римана имеет комплексный ноль, не лежащий на критической прямой.


Abstract

The representations of Riemann zeta-function over an infinite products of second-order matrics converging in the critical strip are obtained. This result allows to construct a dynamical system is connected with Riemann problem on zeros of the zeta-function so that a second-order periodic trajectory of a special type corresponds to every complex zero not situated on the critical line. A certain operator acting in a Hilbert space, which has an eigenvector with eigenvalue (-1) if an only if Riemann zeta-function has a complex zero not situated on the critical line, is used in the construction of a dynamical system.



E-mail: lpustyln@spp.keldysh.ru

Хорошо известно, что дзета-функция Римана z(s) представляется в виде бесконечного произведения Эйлера только в полуплоскости Re s > 1 (Re s это вещественная часть s). В настоящей работе доказано, что в критической полосе 0 < Re s < 1 функция z(s) представляется через бесконечное произведение конкретных матриц второго порядка (теорема 1). Это представление впервые было получено в [1], однако существенная часть доказательства, которая сформулирована и доказана ниже в лемме 1, не была до сих пор опубликована. Эта лемма - не тривиальная, так как ее утверждение не справедливо, например, при s=0 и при любом натуральном числе k >= 2, а доказательство существенно использует условие 0 < Re s < 1. Теорема 1 вместе с основным результатом работы [1] позволяет построить динамическую систему, которая оказывается связанной с гипотезой Римана о нулях так, что каждому комплексному нулю функции z(s), не лежащему на прямой Re s=1/2, соответствует периодическая траектория второго порядка специального вида (теорема 3 и ее следствие 2). Это построение использует оператор, также связанный с гипотезой Римана о нулях (теорема 2).

Лемма 1. При целом k >= 2 рассмотрим функции

hk(s)=1/ks-(k1-s-(k-1)1-s)/(1-s) .

(1)

Тогда в области 0 < Re s < 1 справедливы неравенства hk(s) != 0,(k=2,3,...).

Доказательство. Предположим, что hk(s)=0, 0 < Re s < 1. Тогда в силу (1) получаем: 1-s=k(1-(1-1/k)1-s),

Re (1-s) = Re (k(1-(1-1/k)1-s)) .

(2)

Пусть s=s+it, где s и t - вещественные числа, 0 < s < 1. Имеем: (1-1/k)1-s=(1-1/k)1-s(cosq+isinq), где q - вещественное число. Поэтому

bs

def
=
 

Re (k(1-(1-1/k)1-s))=k(1-(1-1/k)1-scosq).

(3)

Рассмотрим два случая. Случай 1): cosq <= 0, и случай 2): cosq > 0. В первом случае в силу неравенства 0 < Re s < 1 при k >= 2 получаем неравенство Re (1-s)=1-s < k <= bs, и, следовательно, в силу определения bs в (3) равенство (2) не справедливо. Во втором случае, используя неравенства cosq > 0, 0 < s < 1, имеем:

  0<(1-1/k) 1-s cos q <=(1-1/k) 1-s 1-(1-s)/k-
е
n=2
gn/kn ,     (4)

где gn > 0 (n = 2,3,...) - константы, не зависящие от k. Подставляя (4) в (3), получаем неравенство b s >= k((1-s)/k+ е n=2 g n /kn )>1-s, которое также противоречит (2). Лемма 1 доказана.

Лемма 1 позволяет дать следующее определение.

Определение 1. При k=1,2,... в области 0 < Re s < 1 рассмотрим функции pk(s)=hk(s)/hk-1(s), где h1(s)=(s-1)-1, h0(s)=1, а при целом k >= 2 функции hk(s) введены в (1), и определим матрицы

Qk =Q k(s)= ж
и
0 1
-pk (s) -1-pk(s)
ц
ш
,

зависящие от s.

Теорема 1. Бесконечные произведения

Q (s)=lim k → ∞ Q2k(s)Q2k-1(s)...Q1 (s) и
Q (s)=
 
lim
k → ∞
Q2k-1(s)Q2k-2(s)...Q1(s)

определены в области 0 < Re s < 1 и имеют следующий вид:

Q(s)= ж
и
-z (s)+1 -z (s)
z(s)-1 z(s)
ц
ш
,   Q(s)= ж
и
z(s)-1 z(s)
-z(s)+1 -z (s)
ц
ш
.

Доказательство теоремы 1. Используя метод математической индукции относительно k, легко получить следующие равенства:

Q2k(s)Q2k-1(s)... Q1(s)= ж
з
з
з
з
з
з
и
-
2k-1
е
n=1
hn(s)
-1-
2k-1
е
n=1
hn(s)
2k
е
n=1
hn(s)
1+
2k
е
n=1
hn(s)
ц
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ш
,     (5)
Q2k-1(s)Q2k-2(s)... Q1(s)= ж
з
з
з
з
з
з
и
2k-2
е
n=1
hn(s)
1+
2k-2
е
n=1
hn(s)
-
2k-1
е
n=1
hn(s)
-1-
2k-1
е
n=1
hn(s)
ц
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ш
,     (6)

где k > 1, а функции hn(s) при n = k введены в (1).

Далее воспользуемся следующей хорошо известной леммой 2, доказанной, например, в [2] (глава III, лемма 1).

Лемма 2. При Re s > 0, N >= 1 (N - целое число) справедливо равенство

z(s)=
N
е
n=1
1
ns
+
N1-s
s-1
-
1
2
N -s +s
у
х
N
1/2-{u}
us+1
 du,

где {u} - дробная часть u.

Из леммы 2 и (1) следует, что в области Re s > 0

1+
е
n=1
hn(s)=
 
lim
N → ∞
ж
з
з
и
N
е
n=1
1
ns
+
N1-s
s-1
ц
ч
ч
ш
=z(s).     (7)

Теперь, переходя в равенствах (5) и (6) к пределу при k→ ∞ и используя (7), получаем утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана.

Следствие 1. Если Q (s) и Q (s) - матрицы, введенные в теореме 1, то в области 0 < Re s < 1 справедливы равенства

Q (s) ж
и
0
1
ц
ш
= ж
и
-z(s)
z(s)
ц
ш
,   Q (s) ж
и
0
1
ц
ш
= ж
и
z(s)
-z(s)
ц
ш
.

Обозначим через P = {s:0 < Re s < 1} критическую полосу, а через l гильбертово пространство, элементами которого являются односторонние последовательности x=(x1,x2,...) комплексных чисел, удовлетворяющие условию ||x||=def е n=1 |xn |2 < ∞ .

Введем оператор A(s), зависящий от комплексного числа s P и действующий на l следующим образом: если x=(x1,x2,...) l, то A(s)x=x =(x1,x2,...), где xk= j =1 akj(s)xj,

akj(s)=

м
н
о

1,

если k-j=-1,

pk(s),

если 0 <= k-j <= 1,

0,

если |k-j| > 1,

 

pk(s)-функции, введенные в определении 1, k=1,2,....

Далее, нам потребуется следующая теорема 2, полученная в работе [1] (в работе [1] эта теорема есть теорема 1).

Теорема 2. Функция z(s) имеет ноль в области 0 < Re s, удовлетворяющий условию Re s 1/2, тогда и только тогда, когда существует s* P, такое что оператор A(s*) в пространстве l имеет собственный вектор с собственным значением l = -1.

Доказательство теоремы 2.

Лемма 3. При k → ∞ в области 0 < Re s < 1 справедливы следующие равенства

hk(s)=-
s
2k1+s
+O ж
з
з
и
1
k2+Re s
ц
ч
ч
ш
,   pk(s)=1-
s+1
k
+O ж
з
з
и
1
k2
ц
ч
ч
ш
,

где hk(s) и pk(s) - функции, введенные в (1) и в определении 1,

 

ú
ú

O

ж
з
з
и

 1


k2

ц
ч
ч
ш

ú
ú

<

 C


k2

,    

ú
ú

O

ж
з
з
и

 1


k2+Re s

ц
ч
ч
ш

ú
ú

<

 C


k2+Re s

,

а константа C не зависит от k.

Доказательство леммы 3. В силу (1) имеем:

hk(s)=
1
ks
-
k1-s
1-s
ж
з
з
з
з
з
и
1- ж
з
з
и
1-
1
k
ц
ч
ч
ш
1-s



 
ц
ч
ч
ч
ч
ч
ш
.     (8)

Далее получаем:

ж
з
з
и
1-
1
k
ц
ч
ч
ш
1-s



 
=1-
1-s
k
+
(1-s)(-s)
2k2
+ O ж
з
з
и
1
k3
ц
ч
ч
ш
,
1- ж
з
з
и
1-
1
k
ц
ч
ч
ш
1-s



 
=
1-s
k
+
(1-s)(s)
2k2
+ O ж
з
з
и
1
k3
ц
ч
ч
ш
,
k1-s
1-s
ж
з
з
з
з
з
и
1- ж
з
з
и
1-
1
k
ц
ч
ч
ш
1-s



 
ц
ч
ч
ч
ч
ч
ш
=
1
ks
+
s
2k1+s
+ O ж
з
з
и
1
k2+Re s
ц
ч
ч
ш
.

Подстановка последнего равенства в (8) приводит к равенству для hk(s) в лемме 3. Далее в силу этого равенства и определения 1 при k >= 2 имеем:

pk(s)=
hk(s)
hk-1(s)
= ж
з
з
и
k-1
k
ц
ч
ч
ш
1+s



 
ж
з
з
и
1+ O ж
з
з
и
1
k2
ц
ч
ч
ш
ц
ч
ч
ш
=1-
s+1
k
+ O ж
з
з
и
1
k2
ц
ч
ч
ш
.

Лемма 3 доказана.

Предположим, что x*=(x*1, x*2,) - бесконечномерный вектор, у которого x*1=1 и справедливо равенство A(s*)x*= -x*, где s* P. Из определения оператора A(s*) следует, что тогда при целом k >= 1

ж
и
xk*
xk+1*
ц
ш
=Qk(s*)Qk-1(s*)... Q1(s*) ж
и
0
1
ц
ш
.     (9)

Если z(s*)=0 и Re s* > 1/2, то в силу (9), (5), (6) и (7)

|xk*|=

ú
ú

1+

k-1

n = 1 

hn(s)

ú
ú

=

ú
ú



n = k 

hn(s)

ú
ú

,

(10)

и согласно лемме 3 в этом случае

 



k=1 

|xk*|2=



k=1 

 

ú
ú



n = k 

hn(s)

ú
ú

2
 

< ,

то есть x* l. Обратно, если z(s*) 0, то из равенств (10) и (7) следует, что

 



k=1 

|xk*|2=,

(11)

и, следовательно, x* !∈ l. Наконец, если z(s*)=0 и Re s* = 1/2, то из леммы 3 и равенства (10) также следует равенство (11) и соотношение x* !∈ l. Так как нули функции z(s) расположены симметрично относительно прямой Re s=1/2, то из предыдущих рассуждений следует, что в случае существования нуля s P функции z(s), удовлетворяющего неравенству Re s 1/2, всегда найдется ноль s* P, удовлетворяющий неравенству 1/2 < Re s*, и оператор A(s*) имеет собственный вектор x* l с собственным значением l = -1. Если же все комплексные нули функции z(s) лежат на прямой Re=1/2, то для любого s P вектор x*, удовлетворяющего равенству A(s)x*=-x*, удовлетворяет также равенству (11) и поэтому x* !∈ l. Теорема 2 доказана.

Определение 2. Введем пространство W = P×l×l, являющееся прямым произведением P,l и l, и преобразование T пространства W, такое что, если (s,x,y) W  (s P,x l,y l), то T(s,x,y)=(s,x,y), где s=1-s,   x=A(s)y,   y=A(s)x.

Теорема 3. Функция z(s) тогда и только тогда имеет ноль s* P  (z(s*)=0), удовлетворяющий условию Re s* 1/2, когда существует точка (s*,e,d) W  (e l,d l), такая что, ||e||+||d|| 0,     и, если (s*,e, d)=T(s*,e,d), то e=-d,    d=-e.

Доказательство. Пусть z(s*)=0, s* P, Re s* 1/2. Тогда в силу известного свойства функции z(s) справедливо равенство z(1-s*)=0. Возможны два случая: случай 1): 1/2 < Re s* < 1; случай 2): 1/2 < Re (1-s*) < 1. Согласно теореме 2 и ее доказательству, если выполняется случай 1), то оператор A(s*) имеет собственный вектор e l, такой что ||e|| 0 и A(s*)e=-e, а, если выполняется случай 2), то оператор A(1-s*) имеет собственный вектор d l, такой что ||d|| 0 и A(1-s*)d = -d. Полагаем теперь в случае 1) в качестве точки (s*,e,d) W такую точку, у которой e - собственный вектор оператора A(s*) с собственным значением l = -1, а d = 0 - вектор с нулевыми координатами, а в случае 2) полагаем в качестве точки (s*,e,d) такую точку, у которой d - собственный вектор оператора A(1-s*) с собственным значением l = -1, а e=0 - вектор с нулевыми координатами. Из определения точки (s*,e,d) и преобразования T очевидно следует, что ||e||+||d|| 0 и если (s*,ed ,)=T(s*,e,d), то

e= -d ,     d=-e.

(12)

Обратно, пусть (s*,e,d) W - такая точка, что ||e||+||d|| 0 и для точки (s*,e, d)=T(s*,e,d) справедливы равенства (12). Так как согласно определению преобразования T s*=1-s*, e=A(1-s*)d, d=A(s*)e, то в силу (12) получаем, что

A(1-s*)d = -d,    A(s*)e=-e.

(13)

Таким образом d - собственный вектор оператора A(1-s*) с собственным значением l = -1, а e - собственный вектор оператора A(s*) с собственным значением l = -1, и вектора e и d принадлежат гильбертову пространству l. Однако из доказательства теоремы 2 следует, что оператор A(s) имеет ненулевой собственный вектор с собственным значением l = -1, только , если 1/2 < Re s. Поэтому в силу условия теоремы 3, согласно которому ||e||+||d|| 0, в силу (13) и теоремы 2 получаем, что если 1/2 < Re s*, то z(s*)=0, e 0 и d = 0, а если 1/2 < Re (1-s*), то z(1-s*)=0, d 0 и e=0. В обоих случаях справедливы соотношения z(s*)=z(1-s*)=0, Re s* 1/2, Re (1-s*) 1/2. Теорема 3 доказана.

Следствие 2. Если z(s*)=0,   s* P,     Re s* 1/2, то отображение T2 имеет неподвижную точку (s*,e,d) W, такую что ||e||+||d|| 0:T2(s*,e,d)=(s*,e,d).




Список литературы

[1]

Л.Д. Пустыльников. О связи проблемы Римана о нулях функции z(s) со спектром оператора в гильбертовом пространстве // УМН. 1991. Т. 46. N 2. С. 227-228.

[2]

А.А. Карацуба. Основы теории чисел. М.: Наука. 1975.

 


File translated from TEX by TTH, version 3.40.
On 17 Jun 2004, 16:15.