О представлении дзета-функции Римана в критической полосе через бесконечное произведение матриц второго порядка и об одной динамической системе

On the representation of Riemann zeta-function in the critical strip over an infinite product of second-order matrics and on a dynamical system
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Пустыльников Л.Д.
(L.D.Pustyl'nikov)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2004

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 02-01-01067, 03-01-00027)

Аннотация

Получены представления дзета-функции Римана через бесконечные произведения матриц второго порядка, которые сходятся в критической полосе. Этот результат позволяет построить динамическую систему, связанную с гипотезой Римана о нулях дзета-функции, так что каждому комплексному нулю, не лежащему на критической прямой, соответствует периодическая траектория второго порядка специального вида. В построении динамической системы используется оператор, действующий в гильбертовом пространстве, который имеет собственный вектор с собственным значением, равным (-1), тогда и только тогда, когда дзета-функция Римана имеет комплексный ноль, не лежащий на критической прямой.

Abstract

The representations of Riemann zeta-function over an infinite products of second-order matrics converging in the critical strip are obtained. This result allows to construct a dynamical system is connected with Riemann problem on zeros of the zeta-function so that a second-order periodic trajectory of a special type corresponds to every complex zero not situated on the critical line. A certain operator acting in a Hilbert space, which has an eigenvector with eigenvalue (-1) if an only if Riemann zeta-function has a complex zero not situated on the critical line, is used in the construction of a dynamical system.

E-mail: lpustyln@spp.keldysh.ru

Хорошо известно, что дзета-функция Римана z(s) представляется в виде бесконечного произведения Эйлера только в полуплоскости Re s > 1 (Re s это вещественная часть s). В настоящей работе доказано, что в критической полосе 0 < Re s < 1 функция z(s) представляется через бесконечное произведение конкретных матриц второго порядка (теорема 1). Это представление впервые было получено в [1], однако существенная часть доказательства, которая сформулирована и доказана ниже в лемме 1, не была до сих пор опубликована. Эта лемма - не тривиальная, так как ее утверждение не справедливо, например, при s=0 и при любом натуральном числе k >= 2, а доказательство существенно использует условие 0 < Re s < 1. Теорема 1 вместе с основным результатом работы [1] позволяет построить динамическую систему, которая оказывается связанной с гипотезой Римана о нулях так, что каждому комплексному нулю функции z(s), не лежащему на прямой Re s=1/2, соответствует периодическая траектория второго порядка специального вида (теорема 3 и ее следствие 2). Это построение использует оператор, также связанный с гипотезой Римана о нулях (теорема 2).

Лемма 1. При целом k >= 2 рассмотрим функции

hk(s)=1/k^s-(k^1^-s-(k-1)^1^-s)/(1-s) .

(1)

Тогда в области 0 < Re s < 1 справедливы неравенства h_k(s) != 0,(k=2,3,...).

Доказательство. Предположим, что h_k(s)=0, 0 < Re s < 1. Тогда в силу (1) получаем: 1-s=k(1-(1-1/k)^1-s),

Re (1-s) = Re (k(1-(1-1/k)^1^-s)) .

(2)

Пусть s=s+it, где s и t - вещественные числа, 0 < s < 1. Имеем: (1-1/k)^1-s=(1-1/k)^1-s(cosq+isinq), где q - вещественное число. Поэтому

bs

def =

Re (k(1-(1-1/k)^1^-s))=k(1-(1-1/k)^1^-scosq).

(3)

Рассмотрим два случая. Случай 1): cosq <= 0, и случай 2): cosq > 0. В первом случае в силу неравенства 0 < Re s < 1 при k >= 2 получаем неравенство Re (1-s)=1-s < k <= b_s, и, следовательно, в силу определения b_s в (3) равенство (2) не справедливо. Во втором случае, используя неравенства cosq > 0, 0 < s < 1, имеем:

0<(1-1/k) ^1-s cos

q <=(1-1/k) ^1-s 1-(1-s)/k-

∞ е n=2

gn/k^n ,     (4)

где g_n > 0 (n = 2,3,...) - константы, не зависящие от k. Подставляя (4) в (3), получаем неравенство b _s >= k((1-s)/k+ е _n=2 ^∞ g _n /kⁿ )>1-s, которое также противоречит (2). Лемма 1 доказана.

Лемма 1 позволяет дать следующее определение.

Определение 1. При k=1,2,... в области 0 < Re s < 1 рассмотрим функции p_k(s)=h_k(s)/h_k-1(s), где h₁(s)=(s-1)^-1, h₀(s)=1, а при целом k >= 2 функции h_k(s) введены в (1), и определим матрицы

Q_k =Q _k(s)=

ж
и

0	1
-pk (s)	-1-pk(s)

ц
ш

,

зависящие от s.

Теорема 1. Бесконечные произведения

Q′ _∞ (s)=lim _{k → ∞} Q_2k(s)Q_2k-1(s)...Q₁ (s) и

Q″ ∞ (s)=

lim k → ∞

Q2k-1(s)Q2k-2(s)...Q1(s)

определены в области 0 < Re s < 1 и имеют следующий вид:

Q′ _∞ (s)=

ж
и

-z (s)+1	-z (s)
z(s)-1	z(s)

ц
ш

,   Q″ _∞ (s)=

ж
и

z(s)-1	z(s)
-z(s)+1	-z (s)

ц
ш

.

Доказательство теоремы 1. Используя метод математической индукции относительно k, легко получить следующие равенства:

Q_2k(s)Q_2k-1(s)... Q₁(s)=

ж
з
з
з
з
з
з
и

-

2k-1 е n=1

hn(s)

-1-

2k-1 е n=1

hn(s)

2k е n=1

hn(s)

1+

2k е n=1

hn(s)

ц
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ш

,     (5)

Q_2k-1(s)Q_2k-2(s)... Q₁(s)=

ж
з
з
з
з
з
з
и

2k-2 е n=1

hn(s)

1+

2k-2 е n=1

hn(s)

-

2k-1 е n=1

hn(s)

-1-

2k-1 е n=1

hn(s)

ц
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ш

,     (6)

где k > 1, а функции h_n(s) при n = k введены в (1).

Далее воспользуемся следующей хорошо известной леммой 2, доказанной, например, в [2] (глава III, лемма 1).

Лемма 2. При Re s > 0, N >= 1 (N - целое число) справедливо равенство

z(s)=

N е n=1

1 n^s

+

N^1-s s-1

-

1 2

N ^-s +s

∞ у х N

1/2-{u} u^s+1

du,

где {u} - дробная часть u.

Из леммы 2 и (1) следует, что в области Re s > 0

1+

∞ е n=1

hn(s)=

lim N → ∞

ж з з и

N е n=1

1 n^s

+

N^1-s s-1

ц ч ч ш

=z(s).     (7)

Теперь, переходя в равенствах (5) и (6) к пределу при k→ ∞ и используя (7), получаем утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана.

Следствие 1. Если Q ^′_∞(s) и Q ^″_∞(s) - матрицы, введенные в теореме 1, то в области 0 < Re s < 1 справедливы равенства

Q ∞ ^′ (s)

ж и

0 1

ц ш

=

ж и

-z(s) z(s)

ц ш

,   Q ∞ ^″ (s)

ж и

0 1

ц ш

=

ж и

z(s) -z(s)

ц ш

.

Обозначим через P = {s:0 < Re s < 1} критическую полосу, а через l гильбертово пространство, элементами которого являются односторонние последовательности x=(x₁,x₂,...) комплексных чисел, удовлетворяющие условию ||x||=^def е _n=1 ^∞ |x_n |² < ∞ .

Введем оператор A(s), зависящий от комплексного числа s ∈ P и действующий на l следующим образом: если x=(x₁,x₂,...) ∈ l, то A(s)x=x ′ =(x₁ ′ ,x₂ ′ ,...), где x_k ′ = ∑ _{j =1} ^∞ a_kj(s)x_j,

a_kj(s)=

м
н
о

1,	если k-j=-1,
pk(s),	если 0 <= k-j <= 1,
0,	если |k-j| > 1,

p_k(s)-функции, введенные в определении 1, k=1,2,....

Далее, нам потребуется следующая теорема 2, полученная в работе [1] (в работе [1] эта теорема есть теорема 1).

Теорема 2. Функция z(s) имеет ноль в области 0 < Re s, удовлетворяющий условию Re s ≠ 1/2, тогда и только тогда, когда существует s_* ∈ P, такое что оператор A(s_*) в пространстве l имеет собственный вектор с собственным значением l = -1.

Доказательство теоремы 2.

Лемма 3. При k → ∞ в области 0 < Re s < 1 справедливы следующие равенства

hk(s)=-

s 2k^1+s

+O

ж з з и

1 k^2+Re s

ц ч ч ш

,   pk(s)=1-

s+1 k

+O

ж з з и

1 k^2

ц ч ч ш

,

где h_k(s) и p_k(s) - функции, введенные в (1) и в определении 1,

ú ú

O

ж з з и

1 k^2

ц ч ч ш

ú ú

<

C k^2

,

ú ú

O

ж з з и

1 k^2+Re s

ц ч ч ш

ú ú

<

C k^2+Re s

,

а константа C не зависит от k.

Доказательство леммы 3. В силу (1) имеем:

hk(s)=

1 k^s

-

k^1-s 1-s

ж з з з з з и

1-

ж з з и

1-

1 k

ц ч ч ш

1-s

ц ч ч ч ч ч ш

.     (8)

Далее получаем:

ж з з и

1-

1 k

ц ч ч ш

1-s

=1-

1-s k

+

(1-s)(-s) 2k^2

+ O

ж з з и

1 k^3

ц ч ч ш

,

1-

ж з з и

1-

1 k

ц ч ч ш

1-s

=

1-s k

+

(1-s)(s) 2k^2

+ O

ж з з и

1 k^3

ц ч ч ш

,

k^1-s 1-s

ж з з з з з и

1-

ж з з и

1-

1 k

ц ч ч ш

1-s

ц ч ч ч ч ч ш

=

1 k^s

+

s 2k^1+s

+ O

ж з з и

1 k^2+Re s

ц ч ч ш

.

Подстановка последнего равенства в (8) приводит к равенству для h_k(s) в лемме 3. Далее в силу этого равенства и определения 1 при k >= 2 имеем:

pk(s)=

hk(s) hk-1(s)

=

ж з з и

k-1 k

ц ч ч ш

1+s

ж з з и

1+ O

ж з з и

1 k^2

ц ч ч ш

ц ч ч ш

=1-

s+1 k

+ O

ж з з и

1 k^2

ц ч ч ш

.

Лемма 3 доказана.

Предположим, что x^*=(x^*₁, x^*₂, … ) - бесконечномерный вектор, у которого x^*₁=1 и справедливо равенство A(s_*)x^*= -x^*, где s_* ∈ P. Из определения оператора A(s_*) следует, что тогда при целом k >= 1

ж и

xk^* xk+1^*

ц ш

=Qk(s*)Qk-1(s*)... Q1(s*)

ж и

0 1

ц ш

.     (9)

Если z(s_*)=0 и Re s_* > 1/2, то в силу (9), (5), (6) и (7)

|xk^*|=

ú ú

1+

k-1 ∑ n = 1

hn(s)

ú ú

=

ú ú

∞ ∑ n = k

hn(s)

ú ú

,

(10)

и согласно лемме 3 в этом случае

∞ ∑ k=1

|xk^*|^2=

∞ ∑ k=1

ú ú

∞ ∑ n = k

hn(s)

ú ú

2

< ∞ ,

то есть x^* ∈ l. Обратно, если z(s_*) ≠ 0, то из равенств (10) и (7) следует, что

∞ ∑ k=1

|xk^*|^2= ∞ ,

(11)

и, следовательно, x^* !∈ l. Наконец, если z(s_*)=0 и Re s_* = 1/2, то из леммы 3 и равенства (10) также следует равенство (11) и соотношение x^* !∈ l. Так как нули функции z(s) расположены симметрично относительно прямой Re s=1/2, то из предыдущих рассуждений следует, что в случае существования нуля s ∈ P функции z(s), удовлетворяющего неравенству Re s ≠ 1/2, всегда найдется ноль s_* ∈ P, удовлетворяющий неравенству 1/2 < Re s_*, и оператор A(s_*) имеет собственный вектор x^* ∈ l с собственным значением l = -1. Если же все комплексные нули функции z(s) лежат на прямой Re=1/2, то для любого s ∈ P вектор x^*, удовлетворяющего равенству A(s)x^*=-x^*, удовлетворяет также равенству (11) и поэтому x^* !∈ l. Теорема 2 доказана.

Определение 2. Введем пространство W = P×l×l, являющееся прямым произведением P,l и l, и преобразование T пространства W, такое что, если (s,x,y) ∈ W  (s ∈ P,x ∈ l,y ∈ l), то T(s,x,y)=(s ′ ,x ′ ,y ′ ), где s ′ =1-s,   x ′ =A(s ′ )y,   y ′ =A(s)x.

Теорема 3. Функция z(s) тогда и только тогда имеет ноль s_* ∈ P  (z(s_*)=0), удовлетворяющий условию Re s_* ≠ 1/2, когда существует точка (s_*,e,d) ∈ W  (e ∈ l,d ∈ l), такая что, ||e||+||d|| ≠ 0,     и, если (s_* ′ ,e ′ , d ′ )=T(s_*,e,d), то e ′ =-d,    d ′ =-e.

Доказательство. Пусть z(s_*)=0, s_* ∈ P, Re s_* ≠ 1/2. Тогда в силу известного свойства функции z(s) справедливо равенство z(1-s_*)=0. Возможны два случая: случай 1): 1/2 < Re s_* < 1; случай 2): 1/2 < Re (1-s_*) < 1. Согласно теореме 2 и ее доказательству, если выполняется случай 1), то оператор A(s_*) имеет собственный вектор e ∈ l, такой что ||e|| ≠ 0 и A(s_*)e=-e, а, если выполняется случай 2), то оператор A(1-s_*) имеет собственный вектор d ∈ l, такой что ||d|| ≠ 0 и A(1-s_*)d = -d. Полагаем теперь в случае 1) в качестве точки (s_*,e,d) ∈ W такую точку, у которой e - собственный вектор оператора A(s_*) с собственным значением l = -1, а d = 0 - вектор с нулевыми координатами, а в случае 2) полагаем в качестве точки (s_*,e,d) такую точку, у которой d - собственный вектор оператора A(1-s_*) с собственным значением l = -1, а e=0 - вектор с нулевыми координатами. Из определения точки (s_*,e,d) и преобразования T очевидно следует, что ||e||+||d|| ≠ 0 и если (s_* ′ ,e ′ d , ′ )=T(s_*,e,d), то

e ′ = -d ,     d ′ =-e.

(12)

Обратно, пусть (s_*,e,d) ∈ W - такая точка, что ||e||+||d|| ≠ 0 и для точки (s_* ′ ,e ′ , d ′ )=T(s_*,e,d) справедливы равенства (12). Так как согласно определению преобразования T s_* ′ =1-s_*, e ′ =A(1-s_*)d, d ′ =A(s_*)e, то в силу (12) получаем, что

A(1-s*)d = -d,    A(s*)e=-e.

(13)

Таким образом d - собственный вектор оператора A(1-s_*) с собственным значением l = -1, а e - собственный вектор оператора A(s_*) с собственным значением l = -1, и вектора e и d принадлежат гильбертову пространству l. Однако из доказательства теоремы 2 следует, что оператор A(s) имеет ненулевой собственный вектор с собственным значением l = -1, только , если 1/2 < Re s. Поэтому в силу условия теоремы 3, согласно которому ||e||+||d|| ≠ 0, в силу (13) и теоремы 2 получаем, что если 1/2 < Re s_*, то z(s_*)=0, e ≠ 0 и d = 0, а если 1/2 < Re (1-s_*), то z(1-s_*)=0, d ≠ 0 и e=0. В обоих случаях справедливы соотношения z(s_*)=z(1-s_*)=0, Re s_* ≠ 1/2, Re (1-s_*) ≠ 1/2. Теорема 3 доказана.

Следствие 2. Если z(s_*)=0,   s_* ∈ P,     Re s_* ≠ 1/2, то отображение T² имеет неподвижную точку (s_*,e,d) ∈ W, такую что ||e||+||d|| ≠ 0:T²(s_*,e,d)=(s_*,e,d).

Список литературы

[1]

Л.Д. Пустыльников. О связи проблемы Римана о нулях функции z(s) со спектром оператора в гильбертовом пространстве // УМН. 1991. Т. 46. N 2. С. 227-228.

[2]

А.А. Карацуба. Основы теории чисел. М.: Наука. 1975.

---

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 17 Jun 2004, 16:15.