О представлении дзета-функции Римана в
критической полосе через бесконечное произведение матриц второго порядка и об
одной динамической системе Пустыльников Л.Д. Москва, 2004 Аннотация Получены представления дзета-функции Римана через бесконечные
произведения матриц второго порядка, которые сходятся в критической полосе.
Этот результат позволяет построить динамическую систему, связанную с
гипотезой Римана о нулях дзета-функции, так что каждому комплексному нулю, не
лежащему на критической прямой, соответствует периодическая траектория
второго порядка специального вида. В построении динамической системы
используется оператор, действующий в гильбертовом пространстве, который имеет
собственный вектор с собственным значением, равным (-1), тогда и только
тогда, когда дзета-функция Римана имеет комплексный ноль, не лежащий на
критической прямой. Abstract The representations of Riemann zeta-function over an infinite
products of second-order matrics converging in the critical strip are
obtained. This result allows to construct a dynamical system is connected
with Riemann problem on zeros of the zeta-function so that a second-order
periodic trajectory of a special type corresponds to every complex zero not
situated on the critical line. A certain operator acting in a Hilbert space,
which has an eigenvector with eigenvalue (-1) if an only if Riemann
zeta-function has a complex zero not situated on the critical line, is used
in the construction of a dynamical system.
Хорошо известно, что дзета-функция Римана z(s)
представляется в виде бесконечного произведения Эйлера только в полуплоскости
Re s > 1 (Re s
это вещественная часть s). В настоящей работе доказано, что в критической
полосе 0 < Re s < 1 функция z(s)
представляется через бесконечное произведение конкретных матриц второго
порядка (теорема 1). Это представление впервые было получено в [1], однако
существенная часть доказательства, которая сформулирована и доказана ниже в
лемме 1, не была до сих пор опубликована. Эта лемма - не тривиальная, так как
ее утверждение не справедливо, например, при s=0 и при любом
натуральном числе k >= 2, а доказательство существенно использует условие 0
< Re s < 1. Теорема 1 вместе с основным
результатом работы [1] позволяет построить динамическую систему, которая
оказывается связанной с гипотезой Римана о нулях так, что каждому
комплексному нулю функции z(s), не лежащему на прямой Re s=1/2,
соответствует периодическая траектория второго порядка специального вида
(теорема 3 и ее следствие 2). Это построение использует оператор, также
связанный с гипотезой Римана о нулях (теорема 2). Лемма 1. При
целом k >= 2 рассмотрим функции
Тогда в области 0 < Re s <
1 справедливы неравенства hk(s)
!=
0,(k=2,3,...). Доказательство.
Предположим, что hk(s)=0, 0 < Re s
< 1. Тогда в силу (1) получаем: 1-s=k(1-(1-1/k)1-s),
Пусть s=s+it, где s и t - вещественные числа, 0 < s < 1. Имеем: (1-1/k)1-s=(1-1/k)1-s(cosq+isinq), где q - вещественное число.
Поэтому
Рассмотрим два случая. Случай 1): cosq <= 0, и случай 2):
cosq > 0. В первом случае в силу неравенства 0 < Re s < 1 при k >= 2 получаем
неравенство Re (1-s)=1-s < k <= bs, и,
следовательно, в силу определения bs в (3)
равенство (2) не справедливо. Во втором случае, используя неравенства cosq > 0, 0 < s < 1, имеем: где gn > 0 (n = 2,3,...) - константы, не зависящие от k.
Подставляя (4) в (3), получаем неравенство
b
s
>=
k((1-s)/k+
е
n=2
∞
g
n
/kn
)>1-s,
которое также противоречит (2). Лемма 1 доказана. Лемма 1 позволяет дать следующее определение. Определение 1. При
k=1,2,... в области 0 < Re s < 1
рассмотрим функции pk(s)=hk(s)/hk-1(s), где h1(s)=(s-1)-1, h0(s)=1, а при целом k >= 2 функции hk(s)
введены в (1), и определим матрицы
зависящие от s. Теорема 1.
Бесконечные
произведения определены в области 0 < Re s <
1 и имеют следующий вид:
Доказательство теоремы 1. Используя метод математической индукции относительно k,
легко получить следующие равенства: где k > 1, а функции hn(s) при n = k введены в
(1). Далее воспользуемся следующей хорошо известной леммой 2,
доказанной, например, в [2] (глава III, лемма 1). Лемма 2. При Re s > 0, N >= 1 (N - целое
число) справедливо равенство где {u} - дробная часть u. Из леммы 2 и (1) следует, что в области Re s > 0 Теперь, переходя в равенствах (5) и (6) к пределу при
k→ ∞
и
используя (7), получаем утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана. Следствие 1.
Если Q ′∞(s)
и Q ″∞(s)
- матрицы, введенные в теореме 1, то в области 0 < Re s < 1 справедливы равенства
Обозначим через P = {s:0 < Re s
< 1} критическую полосу, а через l гильбертово пространство,
элементами которого являются односторонние последовательности x=(x1,x2,...)
комплексных чисел, удовлетворяющие условию
||x||=def
е
n=1
∞
|xn
|2
<
∞
. Введем оператор A(s), зависящий от
комплексного числа s
∈
P и действующий на l следующим образом: если x=(x1,x2,...)
∈
l, то A(s)x=x
′
=(x1
′
,x2
′
,...), где xk
′
=
∑
j
=1
∞
akj(s)xj,
pk(s)-функции,
введенные в определении 1, k=1,2,.... Далее, нам потребуется следующая теорема 2, полученная в
работе [1] (в работе [1] эта теорема есть теорема 1). Теорема 2. Функция
z(s) имеет ноль в области 0 < Re s, удовлетворяющий условию Re s
≠
1/2, тогда и только тогда, когда существует
s*
∈
P, такое что оператор A(s*) в пространстве l
имеет собственный вектор с собственным значением l = -1. Доказательство теоремы 2. Лемма 3.
При k
→ ∞
в области
0 < Re s < 1 справедливы следующие равенства
где hk(s) и pk(s) - функции,
введенные в (1) и в определении 1,
а константа C не зависит от k. Доказательство леммы 3. В силу (1) имеем:
Далее получаем:
Подстановка последнего равенства в (8) приводит к
равенству для hk(s) в лемме 3. Далее в силу этого
равенства и определения 1 при k >= 2 имеем:
Лемма 3 доказана. Предположим, что x*=(x*1,
x*2,
…
) -
бесконечномерный вектор, у которого x*1=1 и
справедливо равенство A(s*)x*=
-x*, где s*
∈
P. Из определения оператора A(s*)
следует, что тогда при целом k >= 1
Если z(s*)=0 и Re s*
> 1/2, то в силу (9), (5), (6) и (7)
и согласно лемме 3 в этом случае
то есть x*
∈
l.
Обратно, если
z(s*)
≠
0, то из
равенств (10) и (7) следует, что
и, следовательно, x*
!∈
l.
Наконец, если z(s*)=0 и Re s*
= 1/2, то из леммы 3 и равенства (10) также следует равенство (11) и
соотношение x*
!∈
l. Так как нули функции z(s) расположены
симметрично относительно прямой Re s=1/2,
то из предыдущих рассуждений следует, что в случае существования нуля s
∈
P функции z(s), удовлетворяющего неравенству Re s
≠
1/2, всегда найдется ноль s*
∈
P, удовлетворяющий
неравенству 1/2 < Re s*, и
оператор A(s*) имеет собственный вектор x*
∈
l с собственным значением l = -1. Если же все
комплексные нули функции z(s) лежат на прямой Re=1/2,
то для любого s
∈
P вектор x*, удовлетворяющего равенству A(s)x*=-x*, удовлетворяет
также равенству (11) и поэтому x*
!∈
l.
Теорема 2 доказана. Определение 2.
Введем пространство W = P×l×l, являющееся прямым
произведением P,l и l, и преобразование T
пространства W, такое что, если (s,x,y)
∈
W (s
∈
P,x
∈
l,y
∈
l), то T(s,x,y)=(s
′
,x
′
,y
′
), где s
′
=1-s, x
′
=A(s
′
)y,
y
′
=A(s)x. Теорема 3. Функция
z(s) тогда и только тогда имеет ноль s*
∈
P (z(s*)=0),
удовлетворяющий условию Re s*
≠
1/2, когда
существует точка (s*,e,d)
∈
W (e
∈
l,d
∈
l), такая что, ||e||+||d||
≠
0, и, если (s*
′
,e
′
,
d
′
)=T(s*,e,d), то e
′
=-d,
d
′
=-e. Доказательство.
Пусть z(s*)=0, s*
∈
P, Re s*
≠
1/2. Тогда в силу известного свойства функции z(s) справедливо
равенство z(1-s*)=0. Возможны два случая: случай 1): 1/2 < Re s* < 1; случай 2): 1/2 < Re (1-s*) < 1. Согласно теореме 2 и ее доказательству, если
выполняется случай 1), то оператор A(s*) имеет
собственный вектор e
∈
l, такой что ||e||
≠
0 и A(s*)e=-e, а, если выполняется случай 2), то оператор A(1-s*) имеет
собственный вектор d
∈
l, такой что ||d||
≠
0 и A(1-s*)d = -d. Полагаем теперь в
случае 1) в качестве точки (s*,e,d)
∈
W такую точку, у которой
e - собственный вектор оператора A(s*) с
собственным значением l = -1, а d = 0 - вектор с нулевыми координатами, а в случае 2) полагаем
в качестве точки (s*,e,d) такую точку, у
которой d - собственный вектор оператора A(1-s*) с собственным
значением l = -1, а e=0 - вектор с нулевыми координатами. Из
определения точки (s*,e,d) и преобразования T
очевидно следует, что ||e||+||d||
≠
0 и если (s*
′
,e
′
d
,
′
)=T(s*,e,d), то
Обратно, пусть (s*,e,d)
∈
W - такая точка, что ||e||+||d||
≠
0 и для точки (s*
′
,e
′
,
d
′
)=T(s*,e,d) справедливы равенства
(12). Так как согласно определению преобразования T s*
′
=1-s*, e
′
=A(1-s*)d,
d
′
=A(s*)e,
то в силу (12) получаем, что
Таким образом d - собственный вектор оператора A(1-s*) с собственным
значением l = -1, а e - собственный вектор оператора A(s*)
с собственным значением l = -1, и вектора e и d принадлежат
гильбертову пространству l. Однако из доказательства теоремы 2
следует, что оператор A(s) имеет ненулевой собственный вектор с
собственным значением l = -1, только , если 1/2 < Re s.
Поэтому в силу условия теоремы 3, согласно которому ||e||+||d||
≠
0, в силу (13) и
теоремы 2 получаем, что если 1/2 < Re s*,
то z(s*)=0, e
≠
0 и d = 0, а если 1/2 < Re (1-s*), то z(1-s*)=0, d
≠
0 и e=0. В обоих случаях справедливы соотношения z(s*)=z(1-s*)=0, Re s*
≠
1/2, Re (1-s*)
≠
1/2. Теорема 3 доказана. Следствие 2. Если
z(s*)=0, s*
∈
P,
Re s*
≠
1/2, то
отображение T2 имеет неподвижную точку (s*,e,d)
∈
W, такую что ||e||+||d||
≠
0:T2(s*,e,d)=(s*,e,d).
Список литературы
Л.Д. Пустыльников. О
связи проблемы Римана о нулях функции z(s) со спектром оператора в гильбертовом
пространстве // УМН. 1991. Т. 46. N 2. С. 227-228. А.А. Карацуба. Основы
теории чисел. М.: Наука. 1975. File
translated from TEX by TTH, version 3.40. |