Установившиеся течения двухкомпонентной вязкой и несжимаемой плазмы в цилиндрической трубе и цилиндрическом слое

( The steady–state flow of two–component quasineutral plasma in cylindrical channels
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Введение. В работе рассматривается влияние взаимодействия электронов и ионов на установившееся течение плазмы в бесконечной цилиндрической трубе круглого сечения и в цилиндрическом слое  (пространстве между двумя бесконечными коаксиальными цилиндрами). Плазма считается гидродинамической несжимаемой вязкой квазинейтральной и электропроводной, течения  – цилиндрически симметричными. Найденные решения являются аналогами известных из гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости течений Пуазейля и Куэтта.

          Характер установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости по круглой бесконечной трубе в предположении цилиндрической симметрии всех параметров течения за исключением давления был исследован Пуазейлем (J.L.M.Poiseuille, 1840г.), который получил формулу для распределения скорости  по радиусу  (ось  направлена вдоль трубы,  – радиус трубы):

             ,           

                                                                                                              (1)                                                                                                                            

           ,

где   – коэффициент вязкости жидкости,  – давление, и считалось ,  .

          В случае вязкой несжимаемой электропроводной МГД – плазмы в предположении цилиндрической симметрии всех параметров течения за исключением давления характер установившегося течения в бесконечной круглой трубе радиуса  мало чем отличается от гидродинамического случая,

               ,

            ,

                                                                                                                             (2)

                ,

             ,

                             ,

где – проводимость плазмы,  – коэффициент гидродинамической  вязкости,  – напряженности магнитного и электрического полей,  – плотность тока в плазме. При этом   . Как следует из формулы (2), на гидродинамику плазмы в трубе наличие  электромагнитного поля и тока никак не влияет: профиль  такой же, что и в чисто гидродинамическом случае (1). Этот результат неправдоподобен и объясняется лишь грубостью МГД –  модели плазмы. Естественно предположить, что в присутствии токов и электромагнитного поля профиль скорости плазмы в трубе начнет деформироваться. Кроме того, из граничных условий  “прилипания”  на стенке     трубы следует равенство  , которое при  несовместно с решением (2). Последнее противоречие выражает один из дефектов МГД – теории: в ней нарушается привычная связь плотности тока с гидродинамическими скоростями электронов и ионов. Характер ожидаемой деформации профиля  может быть прояснен учетом взаимодействия электронов и ионов (которое игнорируется МГД – моделью), что и является одной из целей настоящей работы.

          Как показано в работе, профиль скорости  определяется полным током  J,  протекающим через трубу. При этом под  надо понимать скорость центров масс единичных объемов плазмы  , где  – скорости и плотности плазменных компонент,   . Пусть движение электрон – ионной плазмы вызвано постоянным перепадом  суммарного давления  . Тогда, как показано ниже (см. § 7), существуют три критические значения полного тока,   , качественно определяющие профиль . Если   , то профиль  колоколообразный и расположен выше   или ниже    (магнито) гидродинамической параболы

               ,

где  –  суммарная вязкость плазмы. Если  , то возникает пристеночная  область, в которой плазма течет против перепада давления (а в остальной части трубы она, как и положено, течет вдоль антиградиента давления ). С ростом  эта область расширяется и при   захватывает всю трубу. Таким образом, при    всюду   (за исключением, конечно, стенки трубы, где   ). Иными словами, плазма течет не туда, куда толкает ее гидродинамическое давление, а в противоположную сторону. Однако профиль  не колоколообразный, а   имеет впадину в окрестности оси трубы . Эта впадина исчезает с  дальнейшим ростом полного тока  и при    профиль снова становиться колоколообразным, однако теперь колокол профиля обращен в сторону градиента давления  (а не антиградиента, как было при токах  ). В работе получены следующие явные формулы для профиля

и критических токов  :

где величины    вычисляются по формулам:

а    –  массы и заряды плазменных компонент,   – проводимость плазмы,   –  функции Бесселя мнимого аргумента индексов 0 и 1 соответственно. Наконец,   –  безразмерный параметр, равный:

           ,

где  –  постоянная плотность плазмы в трубе,   – коэффициент магнитной вязкости.

          Скорость центров масс  является усредненной характеристикой течения. Более точную информацию дают скорости компонент плазмы   . Профили   тоже полностью определяются полным током  , но деформируются при изменении  принципиально различным образом. В зависимости от знака  один из профилей для всех токов выбранного знака остается колоколообразным и располагается ниже (магнито) гидродинамической параболы  , а другой лежит выше    и меняется с изменением  точно так же как и профиль   выше. Соответственные критические значения тока, однако, отличаются от    , они найдены в работе, равно как и выражения для     (см.§ 5). При изменении знака тока  на противоположный профили  в описанном сценарии меняются ролями, так что в итоге имеются два набора критических значений полного тока . Это приводит к еще более важному выводу: течение плазмы в трубе реагирует на изменение полярности электронов, обусловливающее направление тока.

          Существование установившегося цилиндрически симметричного течения плазмы по трубе возможно только при определенных значениях электрического и магнитного полей в вакууме, вне трубы. Пусть стенка занимает область   ( – толщина стенки), а вакуум – область    . Как показано в работе  (§ 7), в вакууме поля   должны удовлетворять условиям:

       ,

где  –константы. Константа  связана с полным током, протекающим по трубе и стенке формулой:

Таким образом, выбор константы  равносилен выбору полного тока . Константы ,   выбираются произвольно, а    вычисляется по формуле:   

         ,

                                                                                                                        (3)

          ,

где стенка считается проводником с конечной проводимостью   . При этом полный ток , протекающий только по трубе и определяющий профили , равен:

          .

В частности, полный ток, протекающий по стенке равен  –  . При  стенка становится изолятором, и мы имеем  = ,  не зависит от толщины стенки . Взглянем теперь на течение плазмы по цилиндрической трубе с другой точки зрения.

          Взаимодействие электронов и ионов и закон Ома. Для металлических проводников известен закон Ома, связывающий плотность тока  с напряженностью электрического поля  линейной  зависимостью:

       ,

где     –    проводимость металлического проводника. Если проводник  – цилиндр (проволока) круглого сечения с радиусом  и однородное поле   направлено по оси цилиндра (которую примем за ось OZ), то для полного тока    получим:

        .                                                                                                 (4)

Таким образом, равенство (4) выражает закон Ома в случае цилиндрического металлического проводника.

          Заменим теперь металлический проводник на плазму: плазма течет по цилиндрической трубе круглого сечения радиуса  под действием однородного электрического поля , направленного по оси цилиндра, и постоянного перепада по оси  z  гидродинамического давления плазмы. Как  теперь связан полный ток  с электрическим полем  ? Для несжимаемой вязкой МГД – плазмы с проводимостью , как следует из формул (2), закон Ома совпадает с законом (4)  для металлических проводников. Если учесть взаимодействие плазменных компонент (§1), то, как вытекает из формул (3) для случая , закон Ома принимает вид:

                                                                        (5) 

                 .

Закон Ома (5) естественно сопоставить с законом Ома (4) для металлических проводников и МГД – плазмы в случае  . При  (плохо проводящая плазма) имеем  , откуда  и значит закон Ома (5) переходит в закон Ома (4). При  (хорошо проводящая плазма) имеем , откуда

Итак, наличие гидродинамической вязкости у плазменных компонент приводит к электрическому сопротивлению даже идеальной   плазмы. Таким образом, при    законы Ома (4) и (5) кардинально различаются: при  закон Ома (4) равносилен равенству , а закон Ома (5) – равенству . Наличие конечной эффективной проводимости  у бесконечно проводящей плазмы согласуется со здравым смыслом: электроны и ионы идеальной, но вязкой плазмы “цепляются” за стенки трубы и тем самым тормозят течение плазмы, не давая току  расти до бесконечности. Из закона Ома (5) вытекает еще один важный вывод: перепад гидродинамического давления по оси трубы вызывает дополнительный “гидродинамический” электрический ток в трубе ,    где добавочное “гидродинамическое” электрическое поле равно :

      .

Итак, электрон – ионное взаимодействие ответственно за появление в законе Ома добавочного электрического поля   и нелинейный характер зависимости коэффициента пропорциональности   от проводимости плазмы  . Причем даже при    закон Ома (5)  не переходит в закон Ома (4) для несжимаемой МГД – плазмы, поскольку остается добавка   .

          В работе вычислены важные характеристики установившегося течения: расход плазмы (количество вещества плазмы, протекающее в единицу времени через сечение трубы)   и силы трения электронов и ионов о стенку трубы . Показано, что  линейно зависит от полного тока : 

      .

В частности, при значении полного тока

          ,

расход плазмы равен 0, а при  для расхода получится то же выражение, что и в гидродинамическом случае.

Суммарная сила трения    такая же как и в гидродинамическом случае, но соотношение   может быть любым, исключая лишь случай  . Это следует из явных выражений для , полученных в работе:

       ,

где выражение для  указано выше.

          Укажем на одно из возможных практических применений полученных результатов.

          Экспериментальное получение величин . Изложенная выше теория позволяет выдвинуть следующую идею экспериментального определения вязкостей плазменных компонент и ее электропроводности. Рассмотрим цилиндрическую трубу фиксированного круглого сечения  , заполненную плазмой с плотностью . Создадим фиксированный перепад давления  по оси трубы. Допустим, для каждого полного тока , проходящего через трубу, возможно экспериментально построить эпюру средних скоростей  плазмы в трубе. Меняя ток  от 0 до достаточно больших значений, экспериментально зафиксируем критические токи , когда происходит перестройка профиля . Тогда из формул для критических токов:

        .

Правая часть этого равенства – монотонно возрастающая функция, а   – известная величина, полученная экспериментально. Поэтому, численно решая полученное выше уравнение, находим величину . Снова рассмотрим плазму в трубе, находящуюся в заданном электрическом поле   при нулевом перепаде давления. Измеряя протекающий по плазме полный ток  , простым вычислением из закона Ома (5) находим проводимость плазмы:

         ,

ибо величины  нам известны. Зная , получим для  :

       .

Из этой системы с двумя неизвестными  ( – известные величины) ищутся коэффициенты вязкости:

        .

Если экспериментально легче фиксировать эпюры электронных или ионных скоростей, то аналогичный способ нахождения , можно указать, базируясь на критических значениях тока   (см. §5).

 §1. Уравнения гидродинамики двухкомпонентной несжимаемой     плазмы.

     МГД – теория не учитывает взаимодействия электронов и ионов. В квазинейтральном потоке вязкой электропроводной несжимаемой плазмы это взаимодействие полностью учитывается системой [1]:

             ,

          ,

                                                                                                                      (6)

            ,

        ,

             ,

где   – плотность плазмы,

            ,          .

Выражения для тензоров  имеют вид:

        ,       ,

                                                                                                                      (7)

        .

Входящие в эти выражения тензоры  вычисляются по формулам:

         ,       ,       ,      (8)

где   давления плазменных компонент,  – суммарное давление, . А тензоры   выражаются через тензоры деформаций   по формулам:

      ,  ,  ,        (9)

где   – гидродинамические вязкости компонент плазмы,  – суммарная вязкость и

       ,     .

Система  (6)÷(9)  состоит из 11 скалярных уравнений и позволяет в принципе найти 11 скалярных неизвестных функций – компоненты полей   и давления  . После этого гидродинамические скорости электронов и ионов,  , вычисляются по формулам:

        ,      .                                                             (10)

Уравнения для температур    электронов и ионов см. в [1].

          §2. Постановка задачи о течении плазмы в цилиндрической трубе.

   Рассмотрим установившееся  течение вязкой электропроводной квазинейтральной полностью ионизованной несжимаемой двухкомпонентной и гидродинамической плазмы по цилиндрической трубе радиуса . Это течение, согласно формулам (6), подчиняется системе уравнений:

                ,

             ,

      ,                                  (11)

                ,

                ,

                ,

где  , а выражения для тензоров   описаны в §1. Пусть ось симметрии трубы совпадает с осью OZ. Ищем решение системы (11) вида:

      .

Поставленную задачу дополним краевыми условиями:

         –  условия “прилипания”,                              

                                                                                                                          (12)                                                                                                                                 

        ,

где  – заданные значения. Кроме того, считаем что все функции не имеют особенностей по оси трубы  и

        ,

                                                                                                                          (13)

      . 

В силу условий (13) уравнения

равносильны равенствам . Как станет ясно ниже, константы выбираются произвольно, а константа  однозначно вычисляется по . Таким образом, нахождению подлежат только функции:

        ,

                      ,

где  –  совокупность всех действительных чисел.

     Ниже проводимость плазмы  и вязкости компонент  считаются постоянными.

            §3. Решение задачи об установившемся течении плазмы в цилиндрической трубе.

  Несложно проверить, что  – уравнения основной системы

         дают:

          ,

          ,

                                                                                                           (14)

             ,

           ,

где  – дифференциальные операторы,  ,

         .

При этом  – уравнения основной системы дают возможность найти давления . Из них следует, что

         ,

где константы  должны задаваться, а функции  ищутся (см. ниже). В частности  С учетом этого система (14) позволяет найти функции  Очевидно, система (14) распадается на две подсистемы, из одной находятся  , а из другой – . Ниже, в §4, будет показано, что . А для нахождения  имеем систему:

          ,

                                                                                                                (15)

        .

Проще всего ее решить так. Если  , то из первого уравнения системы (15) следует  . Общее решение этого линейного неоднородного уравнения легко находится:

          .

Поэтому

         .

Выражая отсюда  через  и подставляя полученное выражение во второе уравнение системы (15), получим следующее дифференциальное уравнение относительно  :

       ,

где .  Делая в последнем уравнении замену независимой переменной , получаем для нахождения   неоднородное модифицированное уравнение  Бесселя 0-го индекса:

                                                                                    (16),

где константа  связана с константой   условием:

       .

Общее решение уравнения (16) имеет вид:

        ,           ,

где  – функция Бесселя мнимого аргумента 0-го индекса (  – функция Макдональда) [2], откуда:

        .

Граничные условия (12), (13) дают , поэтому ,   . Отсюда:

         ,       .

Выясним физический смысл константы . Полный ток через трубу равен:

        ,

где

        .

Отсюда  и окончательно имеем:

         ,          .

Теперь находим :

        .

Из граничных условий (12),  (13) получим ,  откуда  ,  ,  поэтому окончательно имеем:

       ,     .

Теперь из соотношений (10) находим . Итоговые формулы для  – компонент скоростей и плотности тока таковы:

                                                   (17)

        ,       ,   

                        ,   

где  –  радиус трубы,  –  полный ток через трубу. Константа связана с константой  формулой:

                                  (18)

 Обсудим эти формулы позже (см. §5), а сейчас найдем остальные параметры течения. Как отмечалось,  . Но из  следует  – заданное значение   на стенке трубы .  Для   имеем:

       ,       ,

где  – функция Бесселя мнимого аргумента индекса 1 и при интегрировании использовано известное [2] тождество  . Аналогично устанавливается формула для  (см.§5):

        .                                                                                         (19)

Кроме того, , где   выражается через  по формуле (18). В свою очередь константа  связана очевидным образом с граничным условием   для   на стенке :       

       .

Наконец, функции , определяющие давление констант, ищутся из уравнений:

       .

Они дают систему линейных уравнений относительно  :

       .

Отсюда получаем:

        .

Поэтому функции  , а значит и давления  определяются однозначно с точностью до константы.

       Итак, задача об установившемся течении плазмы в трубе полностью решена.  

§ 4.  Выводы соотношения   .

     Из системы (14) для    имеем следующие уравнения:

                                                                                                                     (20)

Покажем, что эта система имеет только нулевое решение, удовлетворяющее поставленным выше граничными условиями (12),  (13). Функция     

удовлетворяет уравнению  с граничными условиями  . Но

есть уравнение Эйлера. Заменой независимой переменной  оно приводится к виду:

        .

Откуда:

       ,      ,       .

Из граничных условий следует  и значит . Поэтому  .  Подставляя это выражение во второе уравнение системы (20), получим:

        ,            .

 Последнее уравнение заменой   сводится к модифицированному уравнению Бесселя индекса 1:

        ,             .

Откуда , где  – функции Бесселя мнимого аргумента индекса 1. Из граничных условий немедленно следует . Значит , откуда  и значит  , что и требовалось установить.

§ 5.  Анализ картины течения электронов и ионов в трубе.

     Если ток в трубе отсутствует (), то профили электронной и ионной скоростей совпадают между собой и с параболическим профилем . При появлении тока профили  деформируются, причем неодинаково. Пусть . Тогда профиль электронной скорости  , оставаясь колоколообразным, лежит ниже параболического профиля С ростом он все более вытягивается и заостряется. Профиль же ионной скорости  лежит выше параболы   и поначалу с ростом  затупляется, оставаясь колоколообразным при этом. Сплющивание профиля  приводит в конце концов к новому явлению: для достаточно большого тока   появляется пристеночная область, в которой ионы двигаются в противоположную по отношению к электронам сторону, а профиль ионной скорости теряет колоколообразную форму. Эта область постепенно расширяется, и в итоге  (при   )    захватывает всю трубу. С этого момента электроны и ионы по всей трубе двигаются в разные стороны. Наконец, для еще больших токов (  ) профиль ионной скорости опять становится колоколообразным, однако колоколы профилей электронной и ионной скоростей обращены теперь в разные стороны. Критические токи    вычисляются по формулам:

       ,

       ,                                                               (21)

         ,

где

       .

Вторая величина это, очевидно, безразмерный параметр.

  Обоснование формул (21). Описанный выше сценарий целиком основан на формулах (17). Если то из (17) следует, что при    справедливы неравенства    и значит электронная скорость имеет колоколообразный профиль, лежащий ниже параболы Вершина колокола профиля лежит в точке

        , 

которая с ростом   стремится  к  – ¥.

Поведение ионной скорости  зависит от величины тока . Из (17), учитывая равенство  , получим:

                                                    (22)

Будет ли производная (22) обращаться в 0  на отрезке  ?

Напомним [2], функция   монотонно возрастает и выпукла вниз на .  Но из выпуклости вниз   следует, что график   ,  лежит выше прямой   при  . При    прямая   пересекает график  ,  ровно в одной точке   ,  причем при    график    лежит ниже прямой  , а при   –  выше. Из этого анализа и формулы (22) теперь вытекает неравенство    для всех      при    

                                                                               (23)

и неравенство      для всех      при            

           .                                                           (24) Случай, когда неравенства (23) и (24) обращаются  в равенства, дают  значения двух критических токов  и   соответственно. При   профиль  колоколообразный, но в первом случае колокол профиля повернут вниз  (  для  всех   ),  а во втором случае –  вверх  (  для  всех  ).

   При    производная   имеет ровно один нуль на интервале  в некоторой точке  . Поскольку , то  . Поэтому пока

                                                                                                                 (25)

функция   имеет ровно один нуль на интервале в некоторой точке ,  причем .  Случай, когда неравенство (25) обращается в точное равенство, дает еще одно критическое значение тока , а неравенство (25) равносильно неравенствам  . Для таких   в пристеночной области   имеем   и значит электроны и ионы в этой области двигаются в разные стороны;  при    наоборот  и значит здесь электроны и ионы двигаются в одну сторону. Дальнейший анализ очевиден.

   Вычислим значение  . Снова воспользуемся известным равенством  . Тогда:

          =.   

В частности для комбинации  получаем выражение : 

         ,  

где   – безразмерный параметр из формул (21). Поэтому критические значения тока полностью выражаются через бесселевы функции  , и мы приходим к выражениям (21).

        Соотношения критических токов и полярность электродов. Легко вычисляются отношения критических значений полного тока, зависящие только от параметра . Из формул (21) выводим:

        ,         ,        .   

При  все эти отношения близки к 1 и значит токи   близки друг к другу и к общему критическому значению тока , поскольку    при . В этом случае при увеличении полного тока  мы практически сразу попадаем в ситуацию, когда электроны и ионы по всей трубе двигаются в разные стороны.

  При  из известной [2] асимптотики  ,  следуют соотношения при  :

         ,

Где  – параметр из формул (21). Поэтому в этом случае  , ,   ,  а

        ,         .

При изменении направления тока  (т.е.  ) профили    меняются ролями. Теперь  для всех   и профиль ионного тока колоколообразный и всегда лежит ниже параболы . Профиль же  с ростом  претерпевает изменения, описанные выше. Абсолютные величины критических значений тока  получаются из формул (21) заменой . В частности, 

         ,  

где верхний индекс “+” отвечает случаю  (выше    обозначались просто ), а верхний индекс “–“  – случаю . В частности, для электрон – ионной плазмы  (ибо ,  см. [3]) и значит . Отсюда вытекает важный вывод: изменение полярности электронов приводит к изменению картины течения плазмы. Допустим, например,  . Это неравенство равносильно такому:

        ,

которое выполнено для всех  , где   – единственный положительный корень уравнения . Если теперь , то при изменении направления тока  (т.е. изменении полярности электродов) картина распределения ионного и электронного токов по сечению трубы совершенно меняется: профили электронного и ионного токов колоколообразные, но при  они направлены в одну сторону, а при  – в разные. Разумеется, в зависимости от взаимного расположения величин   и    число возможных ситуаций значительно возрастает.

§ 6.  Некоторые физические характеристики течения плазмы в трубе.

     Вычислим расход плазмы ( т.е. количество вещества плазмы, проходящее в единицу времени через сечение трубы) и силы трения электронов и ионов о стенку трубы.

 1). Расход плазмы , очевидно равен:

       ,

где была использована формула  для из §3 и определение величины .

Итак, расход плазмы  линейно зависит от полного тока .При = 0 для   получается известное из гидродинамики выражение. При значении полного тока

расход плазмы равен 0, т.е. масса электронов, проходящих в единицу времени через сечение трубы в одну сторону уравновешивается массой ионов, протекающих в единицу времени через сечение трубы в другую сторону. Заметим, что   .

 2).  Силы трения электронов и ионов о стенку трубы равны:

где    –  единичный вектор, имеющий в цилиндрических координатах компоненты (1,0,0). Из выражений (10) следует, что

          и

          .

Отсюда получается выражение для силы трения всей плазмы о стенку трубы:

         ,

совпадающее с известным выражением для силы трения в газодинамике.

Соотношение для трения  может быть любым в зависимости от величины полного тока J: исключается лишь случай   . Например при  имеем   , и о  стенку трутся только электроны, а при  наоборот , и о стенку трутся только ионы. При

силы трения электронов и ионов равны:    .

§ 7.  Профиль средней скорости  .

   Анализ профиля  вполне аналогичен рассмотрению профилей . Имеем, согласно (17):

        ,

где .  Для электрон  – ионной плазмы  и . Для электрон – позитронной плазмы возможны и значения . Для определенности будем полагать .  Из выражения для производной

дословно повторяя рассуждения § 5 при анализе профиля , заключаем, что есть три критических значения тока , определяющих различные типы профилей . Явные выражения для критических токов и анализ типов профилей  приведен во Введении.

§ 8.  Заключительные замечания.

 1. Граничные условия. Существование установившегося цилиндрически симметричного течения плазмы по трубе возможно только при определенных значениях электрического и магнитного полей в вакууме, вне трубы. Пусть стенка занимает область  ( –   толщина стенки), а вакуум  – область . Тогда проведенное в § 3 исследование надо дополнить решением уравнений электродинамики в стенке и вакууме и затем “склеить” полученные решения между собой и с найденными полями в плазме () на граничных цилиндрических поверхностях  и   по непрерывности. При этом предполагается, что стенка незаряженная и отсутствуют поверхностные токи и заряды. Кроме того, надо ввести в рассмотрение векторы  и   – электрической и магнитной индукции, для которых в плазме и вакууме постулируются соотношения , а в стенке – , , где   – заданные константы (электрическая и магнитная проницаемости материала стенки). Стационарные уравнения Максвелла в вакууме имеют вид:

       ,

а в проводящей стенке с конечной проводимостью :

       ,     .

На поверхностях   раздела двух сред (плазма – стенка, стенка – вакуум) условия “склейки” имеют вид  [4]:

                                                                                                                                (*)

           ,

где индексы 1 и 2 относятся к значениям полей  на поверхностях раздела , получаемых предельным переходом соответственно изнутри (индекс 1) и извне поверхностей. Решая указанные уравнения в вакууме и стенке (в предположении цилиндрической симметрии всех функций) и склеивая решения по формулам (*),  приходим к результатам,

сформулированным во Введении.

2. Течение между двумя соосными цилиндрами, Пусть плазма занимает пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов  , равномерно вращающихся против часовой стрелки вокруг общей оси (которую примем за ось ) с угловыми скоростями . соответственно. Рассмотрим установившееся  течение плазмы, считая что все параметры течения, кроме давлений, зависят только от  а  . Такое течение является решением системы (11) вида:

                       ,

                  ,         .

На границах отрезка  для скоростей  ставятся граничные условия “непротекания” и  ”прилипания” , которые для  дают:

                       .

Тогда из (11) следует  и в физически интересном случае 0 для нахождения   получим краевую задачу:

                                                                                                                               (I)

а для нахождения   имеем следующую краевую задачу:

                                                                                                                          (II)

Здесь 

Решение краевых  задач  (I) и (II)  ищется по схеме  §3. В результате приходим к следующим явным выражениям:

   ,

где как и в §3:

         ,           .

Кроме того,  – функции Бесселя мнимого аргумента индексов 0 и 1 соответственно,  – функции Макдональда индексов 0 и 1. Отсюда для скоростей плазменных компонент получим:

          ,

         .

Если азимутальное электрическое поле отсутствует, , то азимутальные движения электронов и ионов совпадают с известным из гидродинамики течением Куэтта.

  Исходя из полученных формул нетрудно вычислить силу сопротивления вращению цилиндра, рассмотреть случай малого зазора между цилиндрами (теория плазменной смазки). Интересен случай, когда внутренний цилиндр – материальное тело (проводящее или диэлектрик), а также случай, когда внешний цилиндр имеет бесконечный радиус (задача о движении снаряда в ионосфере; при этом несложно учесть в полученных выше формулах допущение о движении внутреннего и внешнего цилиндров с постоянными скоростями вдоль оси , а именно, если внутренний цилиндр двигается с постоянной вертикальной скоростью , а внешний – , то в формулах для ,   появится добавка , все остальные формулы остаются без изменения). Что касается давлений, то как и в §3  они имеют вид , где константы  задаются, а функции  ищутся по той же схеме, что и выше. Наконец, представляет значительный интерес анализ зависимости эпюр скоростей  от параметров течения.

   3. Некоторые предельные переходы. Рассмотрим два предельных перехода.

  А) Гидродинамический предел, J→0. Тогда согласно формулам (17), равномерно на  имеют место сходимости

        .

И мы приходим к установившемуся течению вязкой несжимаемой жидкости, находящейся в постоянном и однородном продольном электрическом и магнитном поле, не взаимодействующим с веществом.

  Б) МГД – предел,. Тогда  и значит  Поэтому из формул (17) следует . Поскольку при ,  имеет место эквивалентность , то из формул (17) вытекает  при  и . Итак, при   поточечно сходится к разрывной функции. Из выражения для  следует, что при  функция  на  поточечно сходится к . Наконец, очевидно, ,   равномерно на . Итак, предельные значения всех параметров течения при  – это в точности МГД – решение задачи об установившемся течении вязкой несжимаемой МГД – плазмы в трубе (см. Введение).

 4.Упрощенные формулы. Как уже говорилось, при   три критические значения тока  примерно совпадают между собой. В этом случае из (17) вытекают следующие упрощенные формулы для профилей скорости:

           ,

           .

В частности, при   существуют единственные критические значения полного тока , при прохождении через которые происходит перестройка профилей скоростей   :

      ,      ,      .

    § 9.  Благодарности.

  Авторы выражают благодарность  К.В.Брушлинскому,  А.Н.Козлову,  В.В.Савельеву,  В.С.Рябенькому  за участие в обсуждении различных вопросов, относящихся к двухкомпонентной плазмодинамике.

  Авторы также признательны Российскому Фонду Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку этой работы.

                         Литература.

 [1]   М.Б.Гавриков,  М.С.Михайлова  “Установившееся течение  

     двухкомпонентной квазинейтральной плазмы в плоском канале”.

     Препринт ИПМ  N 54 2003г..

 [2]   Лебедев Н.Н.  Специальные функции и их применения. 

     М. ГИТТЛ, 1953г. с.148.

 [3]   Брагинский С.И.  В сб. “Вопросы теории плазмы” . Под ред.  

     М.А.Леонтовича. Вып.1 М.: Госатомиздат,  1963, с.183.

 [4]   Тамм И.Е. Основы теории электричества,  М. “Наука” , 1966г.