Аннотация

Рассматривается смешанная задача для уравнения Лапласа на плоскости вне разрезов. В качестве граничных условий задается значение искомой функции на одной стороне каждого разреза и значение ее косой производной на другой стороне. Эта задача обобщает смешанную задачу Дирихле-Неймана. С помощью метода потенциалов задача сводится к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма II рода.

Abstract

The mixed problem for the Laplace equation outside cuts in a plane is considered. The Dirichlet condition is posed on one side of each cut and the skew derivative condition is posed on the other side. This problem generalizes the mixed Dirichlet-Neumann problem. By using the method of potential, the problem is reduced to the uniquely solvable Fredholm equation of the 2nd type.

E-mail: conf@phys.msu.su

Введение

В физике полупроводников возникают смешанные задачи с косой производной вне разрезов на плоскости. При этом условие Дирихле соответствует заданию потенциала, а условие с косой производной - заданию нормального тока с электрода в замагниченном полупроводнике. Смешанная задача для уравнения Лапласа, в которой условие Дирихле задано на одной части разрезов, а условие с косой производной - на другой, исследована в [s10]. В настоящей работе изучается смешанная задача с заданием условия Дирихле на одной стороне каждого разреза и условия с косой производной - на другой. Эта задача обобщает смешанную задачу Дирихле - Неймана [ks].

Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений развиты в [lif].

1 Постановка задачи

На плоскости x=(x₁,x₂) ╬ R² рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых G₁,╝,G_N класса C^2,l, l ╬ (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром G. Пусть контур G параметризован и в качестве параметра выступает длина дуги s: G_n={x: x=x(s)=(x₁(s),x₂(s)), s ╬ [a_n,b_n]}, n=1,2,╝,N. Параметризацию выберем так, чтобы для различных n отрезки [a_n,b_n] не имели общих точек, в том числе и концов. Совокупность отрезков оси Os, отвечающих контуру G, будем также обозначать G. Пусть плоскость разрезана вдоль контура G. Через G⁺ обозначим ту сторону контура G, которая остается слева при возрастании параметра s, а через G^- - другую. Индексами + и - будем обозначать предельные значения функций на G⁺ и на G^- соответствено. Вектор касательной на G в точке x(s) обозначим t_x=(cosa(s),sina(s)), а вектор нормали n_x=(sina(s),-cosa(s)), т.е. cosa(s)=xв₁(s), sina(s)=xв₂(s).

Будем говорить, что функция u(x) принадлежит классу G, если:

1) u(x) ╬ C⁰([`(R²\G)]) и u(x) непрерывна на концах G,

2) ╤u(x) ╬ C⁰([`(R²\G)]\X), где X=╚_n=1^N(x(a_n)╚x(b_n)) - множество концов G,

3) при xо x(d) ╬ X справедливо неравенство

|╤u| <= const|x-x(d)|^d,

(1)

где константа const > 0, число d > -1 и d=a_n либо d=b_n (n=1,╝,N).

Под C⁰([`(R²\G)]) понимается класс функций, которые имеют предельные значения на разрезе G слева и справа, но эти значения могут быть различны во внутренних точках G, т.е. функции могут иметь скачок на G.

Сформулируем смешанную задачу с косой производной для уравнения Лапласа вне системы разрезов на плоскости.

Задача S . Найти функцию u(x) из класса G, удовлетворяющую в R²\G уравнению Лапласа

Du(x)=0, x ╬ R²\G,

(2)

граничным условиям

u(x)|_{x(s) ╬ G⁺}=f⁺(s),

(3)

ц
ш

╢u

╢n_x

╢u

╢t_x

Ў
°

ъ
ъ

x(s) ╬ G^-

=f^-(s),

(4)

и условиям на бесконечности

u(x)=Aln|x|+O(1),

╢u

╢|x|

|x|

+O(|x|^-2), |x|ое.

(5)

Считаем, что f⁺(s), f^-(s) - известные функции, A и b - заданные константы. В случае A=0 получим классическое условие ограниченности на бесконечности. В случае b = 0 получим смешанную задачу Дирихле-Неймана [ks].

Докажем теорему единственности.

Теорема 1. Задача S имеет не более одного решения.

Доказательство. Предположим, что задача S имеет два решения u₁(x) и u₂(x) из класса G. Тогда функция u₀(x)=u₁(x)-u₂(x) принадлежит классу G и удовлетворяет задаче S с однородными граничными условиями (3), (4) и с условиями на бесконечности

u₀(x)=O(1),

╢u₀

╢|x|

=O(|x|^-2), |x|ое.

(6)

Обозначим через l_r окружность большого радиуса r с центром в начале координат. Охватим замкнутой кривой каждый из разрезов G_n, n=1,╝,N. Для области, ограниченной этими замкнутыми кривыми и окружностью l_r, запишем энергетическое тождество для уравнения (2). Стянем замкнутые кривые к разрезам G, устремим rое и воспользуемся свойствами гладкости функции u₀(x) и условиями (6). Тогда энергетическое тождество примет вид:

||╤u₀||²_L₂(R²\G)=

lim
rое

||╤u₀||²_{L₂(C_r\G)} =

є
ї
G

u₀⁺

ц
ш

╢u₀

╢n_x

Ў
°

ds-

є
ї
G

u₀^-

ц
ш

╢u₀

╢n_x

Ў
°

ds,

где C_r - круг радиуса r с центром в начале координат. Первый интеграл обращается в ноль в силу однородного граничного условия (3). Во второй интеграл подставим (╢u₀/╢n_x)^-=-b(╢u₀/╢t_x)^- и получим:

||╤u₀||²_L₂(R²\G)=b

є
ї
G

u₀^-

ц
ш

╢u₀

╢t_x

Ў
°

ds =

N
х
n=1

(u₀²(b_n)-u₀²(a_n))=0,

т.к. в силу однородного условия (3) и п. 1) определения класса G: u₀(a_n)=u₀(b_n)=0, n=1,╝, N. Отсюда u₀(x) ║ const в R²\G. Однородное условие (3) дает const=0. Отсюда заключаем, что u₀(x) ║ 0. Теорема доказана.

2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений

Для доказательства теоремы существования наложим дополнительные требования гладкости на функции из граничных условий (3), (4):

f⁺(s) ╬ C^1,l(G), f^-(s) ╬ C^0,l(G), l ╬ (0,1].

(7)

Отметим, что коэффициент Г\"ельдера l при определении гладкости контура G и функций f⁺(s), f^-(s) предполагается одним и тем же. Если эти коэффициенты различны, то в качестве l следует выбрать наименьший.

Заменим условие (3) эквивалентными граничными условиями на G:

╢u

╢t_x

ъ
ъ

x(s) ╬ G⁺

= f^в+(s), f^в+(s) ║

d f⁺(s)

╬ C^0,l(G),

(8)

u(x(a_n))=f⁺(a_n), n=1,╝,N.

(9)

В условии (8) учтено, что при выбранной параметризации ╢/╢t_x=╢/╢s в любой точке x(s) ╬ G.

Решение задачи будем искать в виде

u[m,n](x)=V[m](x)+T[n](x)+B_2N,

(10)

где B_2N - вещественная константа (смысл обозначения B_2N для константы будет прояснен позже),

V[m](x)=-

є
ї
G

m(s)ln|x-y(s)|ds

есть потенциал простого слоя для уравнения Лапласа (2), а

T[n](x)=-

є
ї
G

n(s)y(x,y(s))ds

есть угловой потенциал для уравнения Лапласа (2), изучавшийся в [gb, K1].

Неизвестные функции m(s), n(s), заданные на G, будем разыскивать в пространстве C^v_q(G), v ╬ (0,1], q ╬ [0,1).

Будем говорить, что функция F(s), определенная на G, принадлежит банахову пространству C^v_q(G), v ╬ (0,1], q ╬ [0,1), если

F₀(s)=F(s)

N
╒
n=1

|s-a_n|^q|s-b_n|^q ╬ C^0,v(G).

Норма в пространстве C^v_q(G) задается соотношением

||F(s)||_{C^v_q(G)}=||F₀(s)||_C^0,v(G).

Ядро углового потенциала определяется с точностью до 2pm (m целое) формулами

cosy(x,y)=

x₁-y₁

|x-y|

, siny(x,y)=

x₂-y₂

|x-y|

Очевидно, y(x,y) - угол между вектором [( о) || ( yx)] и направлением оси Ox₁. С другой стороны, y(x,y) - многозначная гармоническая функция, сопряженная с ln|x-y| относительно соотношений Коши-Римана.

Пусть x - произвольная фиксированная точка плоскости, лежащая вне G, и y=y(s) ╬ G, тогда под y(x,y(s)) будем понимать произвольную фиксированную ветвь этой функции, непрерывно изменяющуюся по s вдоль G. При таком определении y(x,y(s)) угловой потенциал - многозначная функция. Для его однозначности необходимо потребовать выполнения следующих условий [gb, K1]:

є
ї
G_n

n(s) ds=0, n=1,╝,N.

(11)

При выполнении условий (11) гармонический угловой потенциал можно записать в виде гармонического потенциала двойного слоя

T[n](x)=

є
ї
G

w(s)

╢ln|x-y(s)|

╢n_y

ds,

где

w(s)=

s
є
ї
a_n

n(s) ds, s ╬ [a_n,b_n], n=1,╝,N.

Из условий (11) вытекает, что w(a_n)=w(b_n)=0 для n=1,╝,N.

Если потребовать

є
ї
G

m(s) ds=-2pA,

(12)

то функция u[m, n](x) из (10) удовлетворит условиям на бесконечности (5).

При выполнении требований, наложенных на плотности m(s),n(s), функция u[m, n](x) из (10) принадлежит классу G и удовлетворяет всем условиям задачи S , за исключением граничных условий [gb, K1, K2]. В частности, если m(s),n(s) ╬ C^v_q(G), q ╬ (0,1), то условие (1) будет выполнено с показателем d = -q.

Удовлетворим граничным условиям (4), (8). Подставляя функцию (10) в (4), (8) и учитывая предельные формулы для касательной и нормальной производных логарифмического и углового потенциалов [K1,теорема 5], получим систему из двух сингулярных интегральных уравнений для n(s),m(s):

n(s)

є
ї
G

n(s)

cosf₀(x(s),y(s))

|x(s)-y(s)|

ds+

є
ї
G

m(s)

sinf₀(x(s),y(s))

|x(s)-y(s)|

ds =

= f^в+(s), s ╬ G,

m(s)+bn(s)

є
ї
G

(m(s)+bn(s))

cosf₀(x(s),y(s))

|x(s)-y(s)|

ds-

є
ї
G

(n(s)-bm(s))

sinf₀(x(s),y(s))

|x(s)-y(s)|

ds = f^-(s), s ╬ G.

Вторые интегралы в уравнениях понимаются в смысле главного значения. Через f₀(x(s),y(s)) обозначен угол между вектором [( о) || ( xy)] и направлением нормали n_x в точке x ╬ G. Этот угол считается положительным, если он отсчитывается от вектора n_x против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Кроме того, при x ╣ y угол f₀(x,y) полагается непрерывным по x,y на G. Углы f₀(x(s),y(s)), y(x(s),y(s)) с точностью до 2pm (m целое) связаны соотношением f₀(x(s),y(s))=y(x(s),y(s))-a(s)-p/2.

Введем обозначения

Y₂(s,s)=

щ
ы

sinf₀(x(s),y(s))

|x(s)-y(s)|

s-s

∙
√

, Y₁(s,s)=

cosf₀(x(s),y(s))

|x(s)-y(s)|

Как показано в [ K1,леммы 2(1), 3(1)], если G ╬ C^2,l, то функции Y₁(s,s), Y₂(s,s) г\"ельдеровы на G по обеим переменным с показателем l. Запишем сингулярные интегральные уравнения для n(s),m(s) в виде

n(s)+

є
ї
G

m(s)

s-s

ds+

є
ї
G

m(s)Y₂(s,s) ds+

є
ї
G

n(s)Y₁(s,s) ds = 2f^в+(s), s ╬ G,

(13)

m(s)+bn(s)+

є
ї
G

n(s)-bm(s)

s-s

ds+

є
ї
G

(n(s)-bm(s))Y₂(s,s) ds-

є
ї
G

(m(s)+bn(s))Y₁(s,s) ds = -2f^-(s), s ╬ G.

(14)

Подставляя функцию (10) в условия (9), получим дополнительные уравнения на m(s), n(s), B_2N:

V[m](x(a_n))+T[n](x(a_n))+B_2N = f⁺(a_n), n=1,╝,N.

(15)

Тем самым мы получили систему интегральных уравнений (11) - (15) относительно функций m(s), n(s) при s ╬ G и константы B_2N. Из приведенных выше рассуждений вытекает

Теорема 2. Если выполнены условия (7) и система уравнений (11) - (15) имеет решение m(s), n(s), B_2N такое, что m(s), n(s) ╬ C^v_q(G), v ╬ (0,1], q ╬ [0,1), то решение задачи S существует и дается формулой (10).

Дальнейшие исследования будут нацелены на изучение разрешимости системы интегральных уравнений (11) - (15).

Произведем замену неизвестных функций по формулам:

r₁(s)=

n(s)-(

╓

1+b²

+b)m(s)

(

╓

1+b²

+b)

╬ C^v_q(G),

r₂(s)=

m(s)+(

╓

1+b²

+b)n(s)

(

╓

1+b²

+b)

╬ C^v_q(G),

(16)

n(s)=

r₁(s)+(

╓

1+b²

+b)r₂(s)

╓

1+b²

m(s)=

r₂(s)-(

╓

1+b²

+b)r₁(s)

╓

1+b²

(17)

Уравнения (13), (14) в терминах r₁(s), r₂(s) имеют вид

r₁(s)-(

╓

1+b²

+b)

є
ї
G

r₁(s)

s-s

ds = F₁(s), s ╬ G,

(18)

r₂(s)+(

╓

1+b²

-b)

є
ї
G

r₂(s)

s-s

ds = F₂(s), s ╬ G,

(19)

где функции

F₁(s)=2

╓

1+b²

f^в+(s)+2f^-(s)+

╓

1+b²

+b)

ц
ш

є
ї
G

r₂(s)Y₁(s,s) ds+

є
ї
G

r₁(s)Y₂(s,s) ds

Ў
°

, s ╬ G,

F₂(s)=2(

╓

1+b²

-b)(

╓

1+b²

f^в+(s)-f^-(s))-

╓

1+b²

-b)

ц
ш

є
ї
G

r₁(s)Y₁(s,s) ds+

є
ї
G

r₂(s)Y₂(s,s) ds

Ў
°

, s ╬ G,

принадлежат C^0,l(G).

В терминах r₁(s), r₂(s) уравнения (11), (12), (15) примут вид

є
ї
G_n

(r₁(s)+(

╓

1+b²

+b)r₂(s)) ds=0, n=1,╝,N,

(20)

є
ї
G

(r₂(s)-(

╓

1+b²

+b)r₁(s)) ds=-4pA

╓

1+b²

(21)

V[r₂-(

╓

1+b²

+b)r₁](x(a_n))+T[r₁+(

╓

1+b²

+b)r₂](x(a_n))+

╓

1+b²

B_2N = 2

╓

1+b²

f⁺(a_n), n=1,╝,N.

(22)

Таким образом, система интегральных уравнений относительно m(s), n(s), B_2N сведена к системе уравнений относительно функций r₁(s), r₂(s), B_2N. Главное достоинство последней системы заключается в том, что характеристическая часть каждого из уравнений (18), (19) содержит только одну неизвестную функцию (либо r₁(s), либо r₂(s)). Справедлива

Лемма 1. Между решениями m(s), n(s) ╬ C^v_q(G), B_2N системы (11) - (15) и решениями r₁(s), r₂(s) ╬ C^v_q(G), B_2N системы (18) - (22) существует взаимно-однозначное соответствие, которое устанавливается формулами (16), (17).

3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы

Будем решать уравнение (18) относительно r₁(s), а (19) - относительно r₂(s), считая функции F₁(s), F₂(s) известными. Используя результаты [ gk,, mus], можно доказать следующее утверждение (см. п. 5).

Лемма 2. Пусть F₁(s), F₂(s) - заданные г\"ельдеровые на G функции. Тогда уравнения (18), (19) имеют решения в пространстве C^v_q(G), v ╬ (0,1], q ╬ [0,1). Эти решения даются следующими выражениями: для уравнения (18):

r₁(s)=
(
╓

1+b²

-b)

2
╓

1+b²

F₁(s)+

+ 1
2p
╓

1+b²

Q₁(s)

є
ї
G
F₁(s)Q₁(s)
s-s
ds- cosph
Q₁(s)
N-1
х
m=0
B_m s^m,    s ╬ G,

для уравнения (19):

r₂(s)=
(
╓

1+b²

+b)

2
╓

1+b²

F₂(s)-

- 1
2p
╓

1+b²

Q₂(s)

є
ї
G
F₂(s)Q₂(s)
s-s
ds- sinph
Q₂(s)
N-1
х
m=0
B_m+N s^m,    s ╬ G,

где B₀,╝,B_2N-1 - произвольные вещественные константы,

Q₁(s)= N
╒
n=1
|s-a_n|^1/2-h|s-b_n|^1/2+hsign(s-a_n),

Q₂(s)= N
╒
n=1
|s-a_n|^1-h|s-b_n|^hsign(s-a_n);

число h определяется равенством

h = 1
2p
arcctg b ╬ (0,1/2)

и удовлетворяет соотношениям

cosph = ц
ч
ш

╓

1+b²

+b

2
╓

1+b²

Ў
ў
° 1/2

,   sinph = ц
ч
ш

╓

1+b²

-b

2
╓

1+b²

Ў
ў
° 1/2

,

tgph = (
╓

1+b²

-b),   ctgph = (
╓

1+b²

+b).

Раскрывая выражения F₁(s), F₂(s), получим для r₁(s),r₂(s) систему регуляризованных уравнений:

r₁(s)+

Q₁(s)

є
ї
G

r₁(s)K₁₁(s,s) ds+

Q₁(s)

є
ї
G

r₂(s)K₁₂(s,s) ds+

+cosph

N-1
х
m=0

B_ms^m

Q₁(s)

F₁(s)

Q₁(s)

, s ╬ G,

(23)

r₂(s)+

Q₂(s)

є
ї
G

r₁(s)K₂₁(s,s) ds+

Q₂(s)

є
ї
G

r₂(s)K₂₂(s,s) ds+

+sinph

N-1
х
m=0

B_m+Ns^m

Q₂(s)

F₂(s)

Q₂(s)

, s ╬ G,

(24)

где введены обозначения

K₁₁(s,s)=-

Y₂(s,s)Q₁(s)

╓

1+b²

(

╓

1+b²

+b)

╓

1+b²

є
ї
G

Y₂(x,s)

x-s

Q₁(x) dx,

K₁₂(s,s)=

Y₁(s,s)Q₁(s)

╓

1+b²

(

╓

1+b²

+b)

╓

1+b²

є
ї
G

Y₁(x,s)

x-s

Q₁(x) dx,

K₂₁(s,s)=

Y₁(s,s)Q₂(s)

╓

1+b²

(

╓

1+b²

-b)

╓

1+b²

є
ї
G

Y₁(x,s)

x-s

Q₂(x) dx,

K₂₂(s,s)=

Y₂(s,s)Q₂(s)

╓

1+b²

(

╓

1+b²

-b)

╓

1+b²

є
ї
G

Y₂(x,s)

x-s

Q₂(x) dx,

F₁(s) = (

╓

1+b²

-b)

ц
ч
ш

f^в+(s)+

f^-(s)

╓

1+b²

Ў
ў
°

Q₁(s)+

є
ї
G

Q₁(s)

s-s

ц
ч
ш

f^в+(s)+

f^-(s)

╓

1+b²

Ў
ў
°

ds,

(25)

F₂(s) =

ц
ч
ш

f^в+(s)-

f^-(s)

╓

1+b²

Ў
ў
°

Q₂(s)-

(

╓

1+b²

-b)

є
ї
G

Q₂(s)

s-s

ц
ч
ш

f^в+(s)-

f^-(s)

╓

1+b²

Ў
ў
°

ds.

(26)

Положим h₀=min{h,1/2-h}. Заметим, что плотности сингулярных интегралов в выражениях для функций K_pj(s,s), F_p(s) (p,j=1,2) являются г\"ельдеровыми на G (причем плотности в K_pj(s,s) г\"ельдеровы по обеим переменным). В частности, эти плотности г\"ельдеровы на G по переменной x с показателем w = min{l,h, 1/2-h} (равномерно по s в случае K_pj(s,s)) и обращаются в ноль, если x - конец G (так как функции Q₁(x), Q₂(x) принадлежат классу C^0,h₀(G) и обращаются в ноль на концах G). Из этих рассуждений и из свойств сингулярных интегралов [ mus,§ 18] следует

Лемма 3. Функции K_pj(s,s) (p=1,2, j=1,2) г\"ельдеровы на G по обеим переменным. В частности, эти функции г\"ельдеровы на G по переменной s с показателем w = min{l,h, 1/2-h} равномерно по s ╬ G. Если выполнены условия (7), то F₁(s), F₂(s) ╬ C^0,w(G).

Очевидно, что если функции r₁(s), r₂(s) из пространства C^w₁_q₁(G) с w₁ ╬ (0,1], q₁ ╬ [0,1) дают решение интегральных уравнений (23), (24), то эти функции представимы в виде r_j(s)=r_j*(s)/Q_j(s), j=1,2, где r_1*(s), r_2*(s) ╬ C^0,w(G), w берется из леммы 3. Поэтому ниже функции r₁(s), r₂(s) будем искать именно в таком виде. Из этого представления следует, в частности, что r₁(s), r₂(s) ╬ C^v_q(G), где

max

{1/2+h,1-h}, v =

ь
я
э
я
ю

min

{w,|2h-1/2|},

h ╣ 1/4,

h = 1/4.

(27)

Ниже будем считать, что w = min{l,h, 1/2-h}, а v и q определяются в (27). Отметим, что 0 < w <= 1/4, 0 < v <= 1/4, 1/2 < q < 1. Если b > 0, то 0 < h < 1/4 и q=1-h; если b < 0, то 1/4 < h < 1/2 и q=1/2+h; если же b = 0, то h = 1/4, q=3/4.

Умножим уравнение (23) на Q₁(s), а уравнение (24) на Q₂(s). Примем за новые неизвестные функции r_j*(s)=r_j(s)Q_j(s) ╬ C^0,w(G), j=1,2. Заметим, что соотношение между r_j(s) и r_j*(s) (j=1,2) взаимно однозначное. Уравнения (23), (24) примут вид

r_1*(s)+

є
ї
G

r_1*(s)Q₁^-1(s)K₁₁(s,s) ds+

є
ї
G

r_2*(s)Q₂^-1(s)K₁₂(s,s) ds+

+cosph

N-1
х
m=0

B_m s^m=F₁(s), s ╬ G,

(28)

r_2*(s)+

є
ї
G

r_1*(s)Q₁^-1(s)K₂₁(s,s) ds+

є
ї
G

r_2*(s)Q₂^-1(s)K₂₂(s,s) ds+

+sinph

N-1
х
m=0

B_m+N s^m=F₂(s), s ╬ G.

(29)

Используя лемму 3, нетрудно показать, что справедлива

Лемма 4. Пусть функции r_1*(s), r_2*(s) из C⁰(G) удовлетворяют уравнениям (28), (29) для F₁(s), F₂(s) ╬ C^0,w(G) с w = min{l,h, 1/2-h}. Тогда r_1*(s), r_2*(s) принадлежат пространству C^0,w(G).

Замечание. Очевидно, если F₁(s), F₂(s) ╬ C^0,w₁(G), w₁ ╬ (0,1], то функции r_1*(s), r_2*(s) из C⁰(G), удовлетворяющие уравнениям (28), (29), принадлежат пространству C^0,w₂(G) с w₂=min{l, w₁,h,1/2-h}.

Как следует из леммы 3, условие F₁(s), F₂(s) ╬ C^0,w(G) выполнено, если выполнены условия (7). Тем самым, ниже будем искать решения r_1*(s),r_2*(s) уравнений (28), (29) в C⁰(G). Согласно лемме 4, эти решения автоматически будут принадлежать C^0,w(G). Разрешимость уравнений (28), (29) в C⁰(G) будем изучать при более слабых условиях на F₁(s), F₂(s), а именно, будем предполагать, что F₁(s), F₂(s) ╬ C⁰(G). Если окажется, что уравнения (28), (29) имеют решение r_1*(s),r_2*(s) ╬ C⁰(G) для F₁(s), F₂(s) ╬ C^0,w(G) ╠ C⁰(G), то по лемме 4: r_1*(s),r_2*(s) ╬ C^0,w(G).

Определим операторы K_pj с помощью равенства

K_pj[v](s)=

є
ї
G

K_pj(s,s)Q^-1_j(s)v(s) ds, p=1,2, j=1,2.

(30)

Лемма 5. Операторы K_pj (p=1,2, j=1,2) компактны как операторы, действующие из C⁰(G) в C⁰(G).

Доказательство основано на теореме Арцела и проводится непосредственной проверкой с использованием леммы 3.

Подставив в условия (20) - (22) функции r₁(s)=r_1*(s)/Q₁(s), r₂(s)=r_2*(s)/Q₂(s), где r_1*(s),r_2*(s) выражаются из (28), (29), запишем условия (20) - (22) следующим образом:

2
х
j=1

є
ї
G

Q^-1_j(s)L_n,j(s)r_j*(s) ds+

2N
х
m=0

w_n,mB_m=c_n, n=0,╝,2N,

(31)

где введены следующие обозначения:

c₀=

є
ї
G

ц
ш

F₂(s)

Q₂(s)

╓

1+b²

+b)

F₁(s)

Q₁(s)

Ў
°

ds+4pA

╓

1+b²

c_n=

є
ї
G_n

ц
ш

(

╓

1+b²

+b)

F₂(s)

Q₂(s)

F₁(s)

Q₁(s)

Ў
°

ds, n=1,╝,N,

c_n=-2

╓

1+b²

f⁺(a_n-N)+V

щ
ы

F₂(·)

Q₂(·)

╓

1+b²

+b)

F₁(·)

Q₁(·)

∙
√

(x(a_n-N))+

щ
ы

(

╓

1+b²

+b)

F₂(·)

Q₂(·)

F₁(·)

Q₁(·)

∙
√

(x(a_n-N)), n=N+1,╝,2N,

w_0,m=-cosph(

╓

1+b²

+b)

є
ї
G

s^m

Q₁(s)

ds, m=0,╝,N-1,

w_0,m=sinph

є
ї
G

s^m-N

Q₂(s)

ds, m=N,╝,2N-1,

w_n,m=cosph

є
ї
G_n

s^m

Q₁(s)

ds, m=0,╝,N-1, n=1,╝,N,

w_n,m=cosph

є
ї
G_n

s^m-N

Q₂(s)

ds, m=N,╝,2N-1, n=1,╝,N,

w_n,m=cosph

ц
ш

╓

1+b²

+b)V

щ
ы

(·)^m

Q₁(·)

∙
√

(x(a_n-N))+

+ T

щ
ы

(·)^m

Q₁(·)

∙
√

(x(a_n-N))

Ў
°

m=0,╝,N-1, n=N+1,╝,2N,

w_n,m=sinph

ц
ш

щ
ы

(·)^m-N

Q₂(·)

∙
√

(x(a_n-N))+

╓

1+b²

+b)T

щ
ы

(·)^m-N

Q₂(·)

∙
√

(x(a_n-N))

Ў
°

m=N,╝,2N-1, n=N+1,╝,2N,

w_0,2N=0, w_n,2N=0, n=1,╝,N,

w_n,2N=-2

╓

1+b²

, n=N+1,╝,2N,

L_0,j(s)=

є
ї
G

ц
ш

K_2j(s,s)

Q₂(s)

╓

1+b²

+b)

K_1j(s,s)

Q₁(s)

Ў
°

ds, j=1,2,

L_n,j(s)=

є
ї
G_n

ц
ш

(

╓

1+b²

+b)

K_2j(s,s)

Q₂(s)

K_1j(s,s)

Q₁(s)

Ў
°

ds,

j=1,2, n=1,╝,N,

L_n,j(s)=V

щ
ы

K_2j(·,s)

Q₂(·)

╓

1+b²

+b)

K_1j(·,s)

Q₁(·)

∙
√

(x(a_n-N))+

щ
ы

(

╓

1+b²

+b)

K_2j(·,s)

Q₂(·)

K_1j(·,s)

Q₁(·)

∙
√

(x(a_n-N)),

j=1,2, n=N+1,╝,2N.

Точка (·) означает переменную интегрирования в потенциалах. В системе (31) номер n=0 отвечает уравнению (21), номера n=1,╝,N отвечают уравнениям (20), а n=N+1,╝,2N - уравнениям (22). Для каждого фиксированного n во всех формулах, содержащих угловой потенциал, берется одна и та же ветвь функции y(x(a_n-N),y(s)) при s ╬ G. В качестве альтернативы можно использовать представление углового потенциала через потенциал двойного слоя.

Заметим, что функции Q₁(s), Q₂(s) нетрудно привести к виду, который аналитически продолжим на всю комплексную плоскость (см. пп. 5, 6). Применяя к этим функциям теорию вычетов (см. п. 6), нетрудно доказать следующие равенства:

cosph

є
ї
G

s^m

Q₁(s)

ds = sinph

є
ї
G

s^m

Q₂(s)

ds =

ь
я
э
я
ю

m=0,╝,N-2,

m=N-1.

Учитывая, что при m=0,1,╝,N-1 функция s^m(cosph)/Q₁(s) удовлетворяет однородному уравнению (18), а функция s^m(sinph)/Q₂(s) удовлетворяет однородному уравнению (19), можно показать (см. п. 6), что

є
ї
G

F_p(s)

Q_p(s)

ds=0, p=1,2,

є
ї
G

K_pj(s,s)

Q_p(s)

ds ║ 0, s ╬ G, p=1,2, j=1,2.

Отсюда вытекают следующие упрощения выражений для коэффициентов системы (31):

w_0,m=0, m=0,1,╝,N-2,N,N+1,╝,2N-2,

w_0,N-1=-p(

╓

1+b²

+b), w_0,2N-1=p,

L_0,j(s) ║ 0, s ╬ G, j=1,2, c₀=4pA

╓

1+b²

Введем вектор-столбец, составленный из коэффициентов: [`(B)]=(B₀,╝, B_2N)^T ╬ E_2N+1. Cистему уравнений (28), (29), (31) можно записать в виде одного векторного уравнения относительно неизвестного вектор-столбца [`(r)]=(r_1*,r_2*,[`(B)])^T, принадлежащего банахову пространству C⁰(G)×C⁰(G)×E_2N+1 с нормой ||[`(r)]||_{C⁰(G)×C⁰(G)×E_2N+1}=||r_1*||_C⁰(G)+||r_2*||_C⁰(G)+||[`(B)]||_{E_2N+1}:

(I+R)

(32)

где введены обозначения

=(F₁(s),F₂(s),c₀,c₁,╝,c_2N)^T ╬ C⁰(G)×C⁰(G)×E_2N+1,

функции F₁(s), F₂(s) заданы в (25), (26), I - единичный оператор, отображающий пространство C⁰(G)×C⁰(G)×E_2N+1 в себя,

ц
ч
ч
ч
ш

K₁₁

K₁₂

P₁

K₂₁

K₂₂

P₂

L₁

L₂

W-I_2N+1

Ў
ў
ў
ў
°

I_2N+1- единичная матрица порядка 2N+1, W={w_n,m}_m=0,╝,2N^n=0,╝,2N - квадратная матрица размерности (2N+1)×(2N+1),

L_j=(L_0,j,L_1,j,╝,L_2N,j)^T, j=1,2,

функционалы L_n,j определяются при помощи введенных выше функций L_n,j(s) выражениями:

L_n,jr_j*=

є
ї
G

Q^-1_j(s)L_n,j(s)r_j*(s) ds, j=1,2, n=0,╝,2N,

операторы K_pj (p=1,2, j=1,2) определены в (30), операторы умножения P₁ и P₂ определяются равенствами

P₁

=cosph

N-1
х
m=0

B_m s^m, P₂

=sinph

N-1
х
m=0

B_m+N s^m.

Лемма 6. Уравнение (32) является фредгольмовым в пространстве C⁰(G) ×C⁰(G)×E_2N+1.

Доказательство. Рассмотрим операторы, из которых составлен оператор R. Операторы K_pj (p=1,2, j=1,2) являются компактными из C⁰(G) в C⁰(G) по лемме 5. Оператор (W-I_2N+1) действует из E_2N+1 в E_2N+1. Поскольку всякий линейный оператор, действующий в конечномерном пространстве, компактен [kol,с. 222], то (W-I_2N+1) - компактный оператор. Операторы P₁, P₂, действующие из E_2N+1 в C⁰(G), операторы L₁,L₂, действующие из C⁰(G) в E_2N+1, являются конечномерными, а потому компактными [kol,с. 222], [cr,с. 64]. Итак, все операторы, составляющие R, компактны. Поэтому R является компактным оператором, отображающим C⁰(G)×C⁰(G)×E_2N+1 в себя. Согласно [cr,с. 67], уравнение вида (32) с компактным оператором R удовлетворяет альтернативе Фредгольма. Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть выполнены условия (7) и уравнение (32) имеет решение [`(r)]= (r_1*(s),r_2*(s),[`(B)])^T ╬ C^0,w(G)× C^0,w(G)×E_2N+1, где w = min{l, h, 1/2-h}. Тогда
1) функции

r₁(s)= r_1*(s)
Q₁(s)
╬ C^v_q(G), r₂(s)= r_2*(s)
Q₂(s)
╬ C^v_q(G)
(33)
и константа B_2N (последняя компонента вектора [`(B)]) дают решение системы (18) - (22), индексы v и q берутся из (27);
2) решение задачи S существует и дается формулой (10), в которой

n(s)=
r₁(s)+(
╓

1+b²

+b)r₂(s)

2
╓

1+b²

=

= 1
2
╓

1+b²

щ
ы r_1*(s)
Q₁(s)
+(
╓

1+b²

+b) r_2*(s)
Q₂(s)
∙
√ ╬ C^v_q(G),

(34)

m(s) =
r₂(s)-(
╓

1+b²

+b)r₁(s)

2
╓

1+b²

=

= 1
2
╓

1+b²

щ
ы r_2*(s)
Q₂(s)
-(
╓

1+b²

+b) r_1*(s)
Q₁(s)
∙
√ ╬ C^v_q(G),

а B_2N - последняя компонента вектора [`(B)].

Доказательство. Пусть уравнение (32) имеет решение [`(r)]= (r_1*(s),r_2*(s), [`(B)]) ╬ C^0,w(G)× C^0,w(G)×E_2N+1, обращающее в тождества уравнения (28), (29), (31). Докажем п. 1). Очевидно, что функции r₁(s),r₂(s), построенные по формулам (33), и константы B₀,╝,B_2N-1, входящие в вектор [`(B)], обращают в тождества уравнения (23), (24). На функциях w(s) ╬ C^v_q(G) определим сингулярные операторы S_- и S₊:

S_-w=w(s)-(

╓

1+b²

+b)

є
ї
G

w(s)

s-s

ds,

S₊w=w(s)+(

╓

1+b²

-b)

є
ї
G

w(s)

s-s

ds.

Подействуем оператором S_- на тождество (23) и оператором S₊ на тождество (24). В результате получим, что r₁(s),r₂(s) удовлетворяют сингулярным интегральным уравнениям (18), (19). Пользуясь тождествами (31), которые являются составной частью тождества (32), нетрудно проверить, что функции r₁(s), r₂(s) и константа B_2N удовлетворяют условиям (20) - (22). Тем самым, функции (33) и константа B_2N дают решение системы (18) - (22), и первое утверждение леммы доказано.

2) Как показано в п. 1), функции из (33) и константа B_2N дают решение системы (18) - (22). Согласно лемме 1, функции m(s),n(s), построенные по формулам (17) (или, что то же самое, по формулам (34)) и константа B_2N дают решение системы (11) - (15). Подставим функции m(s),n(s) и константу B_2N в функцию (10). По теореме 2 функция (10) является решением задачи S . Лемма доказана.

В следующем параграфе, пользуясь полученными результатами, докажем разрешимость уравнения (32) и задачи S .

4 Существование решения

Докажем теперь разрешимость уравнения (32).

Теорема 3. 1) Уравнение (32) имеет единственное решение [`(r)] в пространстве C⁰(G)× C⁰(G)×E_2N+1 при любой правой части [`(F)] ╬ C⁰(G)× C⁰(G)×E_2N+1.
2) Если правая часть [`(F)] принадлежит пространству C^0,w(G)× C^0,w(G)×E_2N+1, w = min{l,h, 1/2-h}, то это решение [`(r)] принадлежит тому же пространству.

Доказательство. 1) По лемме 6 уравнение (32) фредгольмово в пространстве C⁰(G)×C⁰(G)×E_2N+1. Согласно альтернативе Фредгольма, для доказательства п. 1) достаточно показать, что однородное уравнение (32) имеет только тривиальное решение в этом пространстве. Последнее утверждение будем доказывать от противного. Предположим, что однородное уравнение (32) имеет нетривиальное решение [`(r)]⁰=(r⁰_1*,r⁰_2*, B⁰₀,╝,B⁰_2N)^T ╬ C⁰(G)× C⁰(G)×E_2N+1. Это означает, что функции r⁰_1*(s), r⁰_2*(s) ╬ C⁰(G) и константы B⁰₀,╝,B⁰_2N-1 удовлетворяют однородным уравнениям (28), (29), которые являются частью (32). На основании леммы 4 можно утверждать, что [`(r)]⁰ ╬ C^0,w(G)× C^0,w(G)×E_2N+1. Однородное уравнение (32) возникает, если f⁺(s) ║ 0, f^-(s) ║ 0 и константа A=0, т.е. однородной задаче S соответствует однородное уравнение (32). По лемме 7(2) функция

u⁰(x) = V[m⁰](x)+T[n⁰](x)+B⁰_2N,

(35)

в которой m⁰ и n⁰ определяются через r_1*⁰, r_2*⁰ по формулам (34), является решением однородной задачи S . С другой стороны, из теоремы 1 следует, что однородная задача S имеет только тривиальное решение

u⁰(x) ║ 0.

(36)

Принимая во внимание предельные формулы для потенциалов [gb, K1]

щ
ы

ц
ш

╢V[m]

╢n_x

Ў
°

ц
ш

╢V[m]

╢n_x

Ў
°

∙
√

ъ
ъ

x(s) ╬ G

=m(s),

щ
ы

ц
ш

╢T[n]

╢n_x

Ў
°

ц
ш

╢T[n]

╢n_x

Ў
°

∙
√

ъ
ъ

x(s) ╬ G

=0,

щ
ы

ц
ш

╢V[m]

╢t_x

Ў
°

ц
ш

╢V[m]

╢t_x

Ў
°

∙
√

ъ
ъ

x(s) ╬ G

=0,

щ
ы

ц
ш

╢T[n]

╢t_x

Ў
°

ц
ш

╢T[n]

╢t_x

Ў
°

∙
√

ъ
ъ

x(s) ╬ G

=n(s),

получим

щ
ы

ц
ш

╢u⁰

╢t_x

Ў
°

ц
ш

╢u⁰

╢t_x

Ў
°

∙
√

ъ
ъ

x(s) ╬ G

=n⁰(s) ║ 0,

щ
ы

ц
ш

╢u⁰

╢n_x

Ў
°

ц
ш

╢u⁰

╢n_x

Ў
°

∙
√

ъ
ъ

x(s) ╬ G

=m⁰(s) ║ 0.

Из формул (34) (см. также (16)), находим

r_1*⁰(s)

Q₁(s)

n⁰(s)-(

╓

1+b²

+b)m⁰(s)

(

╓

1+b²

+b)

║ 0, s ╬ G,

r_2*⁰(s)

Q₂(s)

m⁰(s)+(

╓

1+b²

+b)n⁰(s)

(

╓

1+b²

+b)

║ 0, s ╬ G.

Поэтому r⁰_1*(s) ║ 0, r⁰_2*(s) ║ 0, s ╬ G. Учитывая (36) и (35), имеем B⁰_2N=0. Из однородных тождеств (28), (29), которые являются составной частью векторного уравнения (32), вытекает

N-1
х
m=0

B⁰_m s^m ║ 0,

N-1
х
m=0

B⁰_m+N s^m ║ 0, s ╬ G.

Согласно основной теореме алгебры о числе корней полинома, эти тождества возможны только в случае, если B⁰_m=0, m=0,1,╝,2N-1. Итак, [`(r)]⁰ ║ 0, что противоречит нашему предположению. Утверждение 1) доказано.

2) Пусть [`(r)]=(r_1*(s), r_2*(s),[`(B)])^T ╬ C⁰(G)×C⁰(G)×E_2N+1 - решение неоднородного уравнения (32) для [`(F)] ╬ C^0,w(G)×C^0,w(G)×E_2N+1. Из п. 1) следует, что такое решение существует. Функции r_1*(s), r_2*(s) удовлетворяют уравнениям (28), (29), которые являются частью (32). Следовательно, по лемме 4: [`(r)] ╬ C^0,w(G)×C^0,w(G)×E_2N+1.

Теорема доказана.

Таким образом, теорема 3 гарантирует однозначную разрешимость уравнения (32) в пространстве C^0,w(G)× C^0,w(G)×E_2N+1, когда правая часть уравнения (32) принадлежит тому же пространству. По лемме 3, вектор [`(F)] действительно принадлежит этому пространству, если выполнены условия (7). По лемме 7(2) решение задачи S существует и дается формулой (10), в которой m(s),n(s),B_2N выражаются через элементы решения уравнения (32). При этом оказывается, что m(s),n(s) ╬ C^v_q(G).

На основании теоремы 1, теоремы 3 и леммы 7(2) сформулируем итоговую теорему.

Теорема 4. Пусть G ╬ C^2,l и выполнены условия (7). Тогда решение задачи S существует, единственно и дается формулой (10), где плотности m(s), n(s) берутся из (34); функции r_1*(s),r_2*(s) ╬ C^0,w(G) (w = min{l,h, 1/2-h}) и константа B_2N определяются в результате решения уравнения Фредгольма II рода (32), которое однозначно разрешимо.

Из свойств потенциалов [K1] вытекает, что градиент решения задачи S как правило является неограниченным в окрестности концов контура G. Более того [K1,теорема 5], неравенство (1) выполняется с d = -q, где q - константа из (27).

5 Решение сингулярных уравнений

Докажем лемму 2.

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение (19). Пусть функция r₂(s) удовлетворяет уравнению (19). Рассмотрим интеграл типа Коши

R₂(z)=

2pi

є
ї
G

r₂(s)

s-z

ds, z ╧ G.

(37)

Согласно формулам Сохоцкого

R₂⁺(s)-R₂^-(s)=r₂(s), s ╬ G,

(38)

R₂⁺(s)+R₂^-(s)=

є
ї
G

r₂(s)

s-s

ds, s ╬ G.

Таким образом, если функция r₂(s) удовлетворяет уравнению (19), то предельные значения на G^▒ функции R₂(z) должны удовлетворять соотношению

(R₂⁺(s)-R₂^-(s))+(

╓

1+b²

-b)i(R₂⁺(s)+R₂^-(s))=F₂(s), s ╬ G.

Приведя последнее уравнение к стандартному виду, дадим строгую формулировку получившейся задачи сопряжения [gk].

Задача C. Найти функцию R₂(z), кусочно-голоморфную с линией скачков G, удовлетворяющую условию на бесконечности R₂(е)=0 и граничному условию

R⁺₂(s)-G(s)R^-₂(s)=

F₂(s)

1+i(

╓

1+b²

-b)

, s ╬ G,

(39)

где

G(s)=

b-i

╓

1+b²

(Условие R₂(е)=0 следует из вида функции (37).)

В понятие кусочно-голоморфной функции у нас включается следующее условие: функция может иметь интегрируемые особенности на концах контура G.

Мы решим задачу C, а затем с помощью формулы (38) найдем функцию r₂(s). Эта функция будет давать решение сингулярного интегрального уравнения (19).

Определим число h с помощью равенства

e^i2ph=

b+i

╓

1+b²

, h ╬ (0,1/2)

(это определение равносильно приведенному в условии леммы 2).

Каноническое решение однородной задачи сопряжения C имеет вид [gk] R⁰₂(z)=1/Q₂(z), где Q₂(z)=╒_n=1^N(z-a_n)^1-h(z-b_n)^h.

В дальнейшем нам понадобятся выражения для предельных значений Q₂(z) на G⁺ и G^-:

lim
zо s ╬ G^▒

Q₂(z) ║ Q₂^▒(s) =

N
╒
n=1

[(s-a_n)^1-h]^▒[(s-b_n)^h]^▒.

Если s ╧ G_n, то [(s-a_n)^1-h(s-b_n)^h]^▒ = |s-a_n|^1-h|s-b_n|^hsign(s-a_n). Если s ╬ G_n, то [(s-a_n)^1-h]^▒=|s-a_n|^1-h, [(s-b_n)^h]⁺=e^iph|s-b_n|^h, [(s-b_n)^h]^-=e^-iph|s-b_n|^h. Всюду n=1,╝,N.

Таким образом,

Q₂⁺(s)=e^iphQ₂(s), Q₂^-(s)=e^-iphQ₂(s), s ╬ G.

(40)

Здесь Q₂(s)=╒_n=1^N|s-a_n|^1-h|s-b_n|^hsign(s-a_n) - вещественная функция, называемая прямым значением функции Q₂(z) на оси Os, в частности на G.

Вернемся к задаче сопряжения C для функции R₂(z). Согласно [gk], решение неоднородной задачи сопряжения C, удовлетворяющее условию R₂(е)=0, имеет вид

R₂(z)=

2pi Q₂(z)

є
ї
G

F₂(s)Q₂⁺(s)

(s-z)(1+i(

╓

1+b²

-b))

ds+

N-1
х
m=0

m+N

z^m

Q₂(z)

где [(B)\tilde]_N,╝, [(B)\tilde]_2N-1 - произвольные комплексные константы.

Теперь найдем по формуле (38) решение уравнения (19):

r₂(s)=R₂⁺(s)-R₂^-(s)=

Q₂⁺(s)

ц
ч
ш

F₂(s)Q₂⁺(s)

2(1+i(

╓

1+b²

-b))

2pi

є
ї
G

F₂(s)Q₂⁺(s)

1+i(

╓

1+b²

-b)

s-s

N-1
х
m=0

m+N

s^m

Ў
ў
°

Q₂^-(s)

ц
ч
ш

F₂(s)Q₂⁺(s)

2(1+i(

╓

1+b²

-b))

2pi

є
ї
G

F₂(s)Q₂⁺(s)

1+i(

╓

1+b²

-b)

s-s

N-1
х
m=0

m+N

s^m

Ў
ў
°

(

╓

1+b²

+b)

╓

1+b²

F₂(s)-

╓

1+b²

Q₂(s)

є
ї
G

F₂(s)Q₂(s)

s-s

ds-

-sinph

N-1
х
m=0

B_m+N s^m

Q₂(s)

где B_N,╝,B_2N-1 - произвольные вещественные константы. В последнем равенстве использованы соотношения (40) и определение константы h.

Итак, лемма 2 для уравнения (19) доказана.

Сингулярное интегральное уравнение (18) для функции r₁(s) рассматривается аналогично. Для функции

R₁(z)=

2pi

є
ї
G

r₁(s)

s-z

ds, z ╧ G,

получим задачу сопряжения [gk] с граничным условием

R⁺₁(s)+G(s)R^-₁(s)=

F₁(s)

1-i(

╓

1+b²

+b)

, s ╬ G.

Решение однородной задачи сопряжения имеет вид R₁(z)=1/Q₁(z), где Q₁(z)=╒_n=1^N(z-a_n)^1/2-h(z-b_n)^1/2+h. Предельные значения функции Q₁(z) на G^▒ даются соотношениями

Q₁⁺(s)=ie^iphQ₁(s), Q₁^-(s)=-ie^-iphQ₁(s), s ╬ G,

(41)

где Q₁(s)=╒_n=1^N|s-a_n|^1/2-h|s-b_n|^1/2+hsign(s-a_n) - прямое значение Q₁(z) на оси Os, в частности на G. Построив решение неоднородной задачи сопряжения, найдем

r₁(s)=

(

╓

1+b²

-b)

╓

1+b²

F₁(s)+

╓

1+b²

Q₁(s)

є
ї
G

F₁(s)Q₁(s)

s-s

ds-cosph

N-1
х
m=0

B_m s^m

Q₁(s)

где B₀,╝,B_N-1 - произвольные вещественные константы.

Лемма 2 доказана.

6 Вычисление интегралов

В этом параграфе будут рассмотрены интегралы

I_1,m=cosph

є
ї
G

s^m

Q₁(s)

ds, I_2,m=sinph

є
ї
G

s^m

Q₂(s)

ds, m=0,1,╝,N-1,

J_1,m(s)=cosph

є
ї
G

s^m

Q₁(s)

s-s

, J_2,m(s)=sinph

є
ї
G

s^m

Q₂(s)

s-s

Для расчета интегралов I_p,m используем теорию вычетов. Охватим разрезы G_n, n=1,╝,N, гладкими замкнутыми кривыми и будем стягивать эти кривые к G_n. Назовем полученный контур L. Проведем также окружность C_r большого радиуса r с центром в начале координат.

Рассмотрим для примера интеграл I_1,m. Переходя с помощью формул (41) от Q₁(s) к предельным значениям Q^▒₁(s) на G функции Q₁(z), получим:

I_1,m=

є
ї
G

ц
ш

e^iph

Q₁(s)

e^-iph

Q₁(s)

Ў
°

s^m ds =

= -

є
ї
G

ц
ш

Q⁺₁(s)

Q^-₁(s)

Ў
°

s^m ds = -

є
ї
L

z^m

Q₁(z)

dz.

Функция z^m/Q₁(z) аналитична в области между L и C_r и непрерывна на границе этой области. Согласно теореме о вычетах

є
ї
L

z^m

Q₁(z)

dz+

є
ї
C_r

z^m

Q₁(z)

dz=0

для любого достаточно большого r. Устремляя rое, имеем

I_1,m=-

є
ї
L

z^m

Q₁(z)

dz =

lim
rое

є
ї
C_r

z^m

Q₁(z)

dz =

= p

lim
|z|ое

|z|^m+1

|z|^N

ь
я
э
я
ю

m=0,╝,N-2,

m=N-1.

Аналогично,

I_2,m =

ь
я
э
я
ю

m=0,╝,N-2,

m=N-1.

Применим эту же технику к интегралам типа Коши J_p,m(s) при s ╧ G:

J_1,m(s) = -

є
ї
G

ц
ш

Q⁺₁(s)

Q^-₁(s)

Ў
°

s^m

s-s

= -

є
ї
L

z^m

Q₁(z)

z-s

= -

2pi Res

щ
ы

z^m

Q₁(z)(z-s)

, z=s

∙
√

= -

ps^m

Q₁(s)

, s ╧ G,

где m=0,1,╝,N-1.

Аналогично,

J_2,m(s)=-

ps^m

Q₂(s)

, s ╧ G, m=0,1,╝,N-1.

Можно также найти значение интегралов J_p,m(s) при s ╬ G. Для этого достаточно заметить, что функция s^m(cosph)/Q₁(s) является решением однородного уравнения (18), а функция s^m(sinph)/Q₂(s) является решением однородного уравнения (19). Поэтому справедливы равенства

J_1,m(s)=psinph

s^m

Q₁(s)

, J_2,m(s)=-pcosph

s^m

Q₂(s)

, s ╬ G,

(42)

где m=0,1,╝,N-1.

Используя полученные результаты, убедимся в том, что

є
ї
G

F_p(s)

Q_p(s)

ds=0,

є
ї
G

K_pj(s,s)

Q_p(s)

ds ║ 0, s ╬ G, p=1,2, j=1,2.

(43)

Докажем, например, первое из этих равенств. Для этого представим функцию F₁(s) из (25) в виде

F₁(s)=tgph

(s)Q₁(s)+

є
ї
G

(s)Q₁(s)

s-s

и проведем непосредственную проверку, меняя порядок интегрирования в двойном интеграле:

є
ї
G

F₁(s)

Q₁(s)

ds = tgph

є
ї
G

(s) ds+

є
ї
G

(s)Q₁(s)

ц
ш

є
ї
G

Q₁(s)

s-s

Ў
°

В силу (42₁) интеграл в скобках равен -p(tgph)/Q₁(s). Следовательно, вс\"е выражение равно нулю, что мы и утверждали.

Остальные равенства из (43) доказываются аналогично.

7 Случай одного разреза

Пусть N=1, т.е. G состоит из одного разреза: G = {x: x=x(s)=(x₁(s),x₂(s)),s ╬ [a,b]}. В этом случае удается упростить уравнение (32). Будем искать решение задачи в виде

u(x)=

╓

1+b²

ц
ш

V[r₂-(

╓

1+b²

+b)r₁](x)+

+T[r₁+(

╓

1+b²

+b)r₂](x)

Ў
°

+c.

(44)

Функции r₁(s),r₂(s) ╬ C^v_q(G) и константу c определим из следующей системы уравнений:

r₁(s)-(

╓

1+b²

+b)

є
ї
G

r₁(s)

s-s

ds = F₁(s), s ╬ G,

(45)

r₂(s)+(

╓

1+b²

-b)

є
ї
G

r₂(s)

s-s

ds = F₂(s), s ╬ G.

(46)

є
ї
G

(r₁(s)+(

╓

1+b²

+b)r₂(s)) ds=0,

(47)

є
ї
G

(r₂(s)-(

╓

1+b²

+b)r₁(s)) ds=-4pA

╓

1+b²

(48)

╓

1+b²

ц
ш

V[r₂-(

╓

1+b²

+b)r₁](x(a))+

+T[r₁+(

╓

1+b²

+b)r₂](x(a))

Ў
°

+c=f⁺(a).

(49)

Эта система получается из системы (18) - (22) при N=1. Функции F₁(s), F₂(s) даются выражениями в (18), (19). Решая уравнение (45) относительно r₁(s), а (46) - относительно r₂(s) согласно лемме 2 и считая функции F₁(s), F₂(s) известными, найдем:

r₁(s)=

(

╓

1+b²

-b)

╓

1+b²

F₁(s)+

╓

1+b²

Q₁(s)

є
ї
G

F₁(s)Q₁(s)

s-s

ds-

B₁cosph

Q₁(s)

(50)

r₂(s)=

(

╓

1+b²

+b)

╓

1+b²

F₂(s)-

╓

1+b²

Q₂(s)

є
ї
G

F₂(s)Q₂(s)

s-s

ds-

B₂sinph

Q₂(s)

(51)

где s ╬ G; B₁,B₂ - произвольные вещественные константы,

Q₁(s)=(s-a)^1-h(b-s)^h, Q₂(s)=(s-a)^1/2-h(b-s)^1/2+h, s ╬ G,

Q₁(s),Q₂(s) ╬ C^0,h₀(G), константа h определена в лемме 2, h₀=min{h,1/2-h}. Подставляя функции r₁(s), r₂(s) из (50), (51) в уравнения (47), (48) и пользуясь формулами для интегралов из п. 6, получим систему двух линейных алгебраических уравнений для определения констант B₁,B₂:

B₁+(

╓

1+b²

+b)B₂=0,

(

╓

1+b²

+b)B₁-B₂=-4A

╓

1+b²

Отсюда

B₁=-4A

╓

1+b²

sinphcosph, B₂=4A

╓

1+b²

sin²ph.

(52)

Раскрывая выражения F₁(s), F₂(s), получим для r₁(s),r₂(s) систему регуляризованных уравнений:

r₁(s)+

Q₁(s)

є
ї
G

r₁(s)K₁₁(s,s) ds+

Q₁(s)

є
ї
G

r₂(s)K₁₂(s,s) ds =

F₁(s)

Q₁(s)

(53)

r₂(s)+

Q₂(s)

є
ї
G

r₁(s)K₂₁(s,s) ds+

Q₂(s)

є
ї
G

r₂(s)K₂₂(s,s) ds =

F₂(s)

Q₂(s)

(54)

где s ╬ G;

F₁(s) = (

╓

1+b²

-b)

ц
ч
ш

f^в+(s)+

f^-(s)

╓

1+b²

Ў
ў
°

Q₁(s)+

є
ї
G

Q₁(s)

s-s

ц
ч
ш

f^в+(s)+

f^-(s)

╓

1+b²

Ў
ў
°

ds+4A

╓

1+b²

sinphcos²ph,

(55)

F₂(s) =

ц
ч
ш

f^в+(s)-

f^-(s)

╓

1+b²

Ў
ў
°

Q₂(s)-

(

╓

1+b²

-b)

є
ї
G

Q₂(s)

s-s

ц
ч
ш

f^в+(s)-

f^-(s)

╓

1+b²

Ў
ў
°

ds-4A

╓

1+b²

sin³ph.

(56)

Далее проведем для уравнений (53), (54) те же преобразования, что и раньше для уравнений (23), (24), введем функции r_j*(s)=Q_j(s)r_j(s), j=1,2, и операторы K_pj , p=1,2, j=1,2 (см. (30)). В итоге уравнения (53), (54) сведутся к векторному уравнению относительно неизвестного вектор-столбца [`(r)]=(r_1*(s),r_2*(s))^T, принадлежащего банахову пространству C⁰(G)×C⁰(G) с нормой ||[`(r)]||_{C⁰(G)×C⁰(G)}= ||r_1*||_C⁰(G)+||r_2*||_C⁰(G):

(I+R)

, R=

ц
ч
ч
ш

K₁₁

K₁₂

K₂₁

K₂₂

Ў
ў
ў
°

(57)

где [`(F)]=(F₁(s),F₂(s))^T ╬ C⁰(G)×C⁰(G), функции F₁(s), F₂(s) заданы в (55), (56), I - единичный оператор, отображающий пространство C⁰(G)×C⁰(G) в себя, операторы K_pj определены в (30).

Очевидно, уравнение (57) является фредгольмовым в пространстве C⁰(G) ×C⁰(G) и имеет единственное решение в этом пространстве. Более того, для функций F₁(s), F₂(s) из (55), (56) решение уравнения (57) в C⁰(G)×C⁰(G) принадлежит C^0,w(G)×C^0,w(G) с w = min{l,h,1/2-h}. Доказательство этих утверждений проводится так же, как и для уравнения (32).

Пусть [`(r)]=(r_1*(s),r_2*(s))^T - решение уравнения (57) в C^{0, w}(G)×C^0,w(G). Тогда решение задачи S с одним разрезом дается формулой (44), где r_j(s)=r_j*(s)Q^-1_j(s), j=1,2, а константа c однозначно определяется из условия (49):

c=f⁺(a)-

╓

1+b²

щ
ы

r_2*

Q₂

╓

1+b²

+b)

r_1*

Q₁

∙
√

(x(a))-

╓

1+b²

щ
ы

r_1*

Q₁

╓

1+b²

+b)

r_2*

2Q₂

∙
√

(x(a)).

(58)

Авторы выражают благодарность К.В. Прозорову за полезные обсуждения.

Список литературы

[ks]: Крутицкий П.А., Сгибнев А.И. Метод интегральных уравнений в смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. // Дифф. уравнения. 2001. Т. 37. N 10. С. 1299-1310.
[gk]: Гостева А.С., Крутицкая Н.Ч., Крутицкий П.А. Смешанная задача в замагниченной полупроводниковой пленке с разрезами вдоль прямой. // Фунд. и приклад. матем. 2000. Т. 6. Вып. 4. С. 1061-1073.
[gb]: Габов С.А. Угловой потенциал и его некоторые приложения. // Матем. сб. 1977. Т. 103 (145). N 4. C. 490-504.
[K1]: Крутицкий П.А. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. Т. 34. N 8-9. C. 1237-1258.
[K2]: Крутицкий П.А. Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34. N 11. С. 1652-1665.
[mus]: Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968.
[kol]: Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.
[cr]: Крейн С.Г. (ред.). Функциональный анализ. М.: Наука, 1964.
[lif]: Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. - М.: ТОО "Янус", 1995.
[s10]: Крутицкий П.А. Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. // Дифф. уравнения. 1997. Т. 33. N 9. С. 1181-1190.
[gr2]: Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции мат. физики. - М.: Наука, 1984.
[gr3]: Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1979.

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 17 Jun 2004, 17:05.

Крутицкий П.А., Сгибнев А.И.
(P.A.Krutitskii, A.I.Sgibnev)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2004
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-01067)

Аннотация

Abstract

Список литературы

Крутицкий П.А., Сгибнев А.И. (P.A.Krutitskii, A.I.Sgibnev) ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2004 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-01067)

Аннотация

Abstract

Список литературы

Крутицкий П.А., Сгибнев А.И.
(P.A.Krutitskii, A.I.Sgibnev)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2004
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-01067)