Об одной геометрической задаче, связанной с обобщенными биллиардами

On a geometrical problem connected with generalized billiards
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Пустыльников Л.Д.
(L.D.Pustyl'nikov)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН


Москва, 2004

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-01067)


Аннотация


В работе изучается одна геометрическая задача, представленная в двух формах, которая связана с обобщенными ньютоновскими биллиардами так, что ее решение есть траектория соответствующей биллиардной системы. Частный случай этой проблемы есть классическая задача о нахождении кратчайшего пути между двумя точками, проходящего через заданную прямую. Получено полное качественное решение проблемы, а для счетного числа случаев показано, что решение можно найти построением с помощью циркуля и линейки.


Abstract


We study a geometrical problem represented in two forms, which is connected with generalized newtonian billiards so that its solution is the trajectory of the corresponding billiard system. A special case of this problem is the classical problem on a determination of a shortest path between two points passing through a given line. It is obtained a full qualitative solution of the problem, and for countable number of cases it is shown that it is possible to find the solution by a construction with the help of compasses and ruler.



E-mail: lpustyln@spp.keldysh.ru

Введение

Обобщенные биллиарды были введены в работах [1] и [2] и изучались в работах [1]-[5] как в рамках ньютоновской, так и в рамках релятивистской механики. В отличие от классического биллиарда ([6]), который является частным случаем обобщенного, здесь при воздействии границы области на массивную точку энергия точки может меняться, и поэтому с физической точки зрения такой биллиард описывает неравновесный газ, тогда как классический биллиард соответствует состоянию равновесия. С геометрической точки зрения траектория точки в классическом биллиарде есть геодезическая ломаная линия, состоящая из прямолинейных отрезков, такая что, если взять любые три ее последовательные вершины P1, P2, P3, то углы, образованные отрезками [P1,P2] и [P2,P3] с касательной плоскостью к границе области в точке P2, будут равны.

Целью настоящей работы является попытка обобщения этого геометрического свойства на обобщенные биллиарды. Аналогия с классическим случаем привела автора к следующей геометрической задаче. Рассматриваются гиперплоскость G в n-мерном пространстве, функция G(g) на этой гиперплоскости (g ∈ G) и две точки P1 и P3. Требуется найти такую точку P2 на G, чтобы функция F(g)=r(P1,P2)+r(P3,P2)+G(g) (здесь r(x,y) обозначает евклидову длину отрезка с концами x и y) при g =P2 достигала минимума. В работе получено необходимое условие минимума функции F(g) (§ 1.3) и дано исчерпывающее решение задачи в частном случае, когда n=2, g =z - вещественная неотрицательная переменная, G(z)=kz, k ≥ 0, а вместо гиперплоскости берется полуось z ≥ 0. При этом случай k=0 есть классическая задача о нахождении кратчайшего пути между двумя точками, проходящего через заданную прямую [7] и соответствует классическому биллиарду. Рассматриваемая задача представлена в работе в двух постановках (§§ 1.1 и 1.2), причем вторая постановка есть геометрическая интерпретация первой, позволяющая получить качественное решение в случае, когда 0 <= k < 2, и найти решение построением с помощью циркуля и линейки для счетного числа случаев.

Во второй главе работы, которая посвящена непосредственно обобщенным биллиардам, показано, что решения геометрической задачи и траектории обобщенных биллиардов соответствуют друг другу.

Работа состоит из двух глав: глава 1 есть геометрическая часть, а глава 2 - динамическая часть. Параграфы занумерованы двумя цифрами, из которых первая цифра - номер параграфа в соответствующей главе. Нумерация формул и теорем - сквозная.

Выражаю благодарность М.В. Дерябину за очень полезные обсуждения.

Глава 1. Геометрическая часть

§ 1.1. Первая постановка задачи и описание результатов

Рассмотрим двумерную евклидову плоскость с прямоугольными координатами x,y и началом координат в точке O=(0,0). Если (x,y) и (u,v) - две точки плоскости, то через r{(x,y),(u,v)} обозначается евклидово расстояние между ними. Пусть k >= 0 - вещественное неотрицательное число, и рассмотрим две точки плоскости (x1,y1), (x2,y2), такие что y1 > 0, y2 > 0. На полуоси x >= 0, y=0 введем функцию


f(z)    def
=
 
   r{(x1,y1),(z,0)}+r{(x2,y2),(z,0)}+kz,
(1)

где z >= 0, и поставим следующую задачу:

найти такую точку (c,0) с координатой c >= 0, чтобы значение f(c) было наименьшим.

Возможны два случая:

I. Справедливо неравенство 0 <= k < 2.

II. Справедливо неравенство k >= 2.

Если выполняется случай I, то число k можно однозначно представить в виде k=2sin(a/2), где 0 <= a < p. Рассмотрим бесконечный сектор Q с вершиной в точке O, имеющий угол, равный (p-a)/2, одна сторона которого есть координатная полуось x >= 0, y=0, а другая сторона лежит внутри квадранта x >= 0, y >= 0, (рис. 1).

Теорема 1. Предположим, что k=2sin(a/2), 0 <= a < p, а точки (x1,y1) и (x2,y2) расположены внутри или на границе сектора Q, (рис. 1). Пусть a и b - числа, определенные с помощью равенств


a=

Ц
 
x12+y12
 
 cos ж
и 		arctg  y1
x1
 +  a
2
 ц
ш
cos  a
2
 ,    b=

Ц
 
x22+y22
 
 cos ж
и 		arctg  y2
x2
 +  a
2
 ц
ш
cos  a
2
 .
(2)

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) число c, такое что при z=c функция f(z) достигает минимума, - существует, единственно и удовлетворяет условиям min(a,b) <= c <= max(a,b),


 x1-c

Ц
(c-x1)2+y12
 +  x2-c

Ц
(c-x2)2+y22
 = 2sin  a
2
 ;
(3)

2) если точка (x1,y1) и число a - фиксированы, то для любого числа c, удовлетворяющего неравенству c >= a, существует такая точка (x2,y2) ∈ Q, что функция f(z) достигает минимума при z=c.

Теорема 2. Если число k >= 2 или, если 0 <= k < 2, но обе точки (x1,y1) и (x2,y2) расположены вне сектора Q, (рис. 2), то минимум функции f(z) достигается при z=0.

Теорема 3. Предположим, что k=2sin(a/2), 0 <= a < p, точка (x1,y1) лежит вне сектора Q, точка (x2,y2) расположена внутри или на границе Q, b - константа, введенная в (2). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если


 x1

Ц
x12+y12
 +  x2

Ц
x22+y22
 < 2sin  a
2
 ,
(4)

то минимум функции f(z) достигается при z=0;

2) если же


 x1

Ц
x12+y12
 +  x2

Ц
x22+y22
 >= 2sin  a
2
 ,
(5)

то при a=0 справедливы утверждения теоремы 1.

Покажем, что оба случая 1) и 2) в теореме 3 действительно имеют место.

Пример 1 (рис. 3). Пусть точка (x1,y1) имеет координаты x1=0, y1 > 0 и 0 < p-a < e. Тогда при достаточно малом e справедливо неравенство


 x1

Ц
x12+y12
 +  x2

Ц
x22+y22
 <= 1 < 2cos  e
2
 < 2sin  a
2
 ,

то есть выполнено условие (4).

Пример 2 (рис. 4). Пусть точка (x1,y1) имеет координаты x1=0, y1 > 0 и 0 < a < e < x2/ √ {x22+y22}. Тогда при достаточно малом e справедливо неравенство


 x1

Ц
x12+y12
 +  x2

Ц
x22+y22
 > e > 2sin  a
2
 ,

то есть выполнено условие (5).

§ 1.2. Вторая постановка задачи на минимум и описание результатов

В этом параграфе предполагается, что 0 <= a < p, k=2sin(a/2). Введем бесконечный сектор P с вершиной в точке O, имеющий угол, a, одна сторона которого есть полуось x >= 0, y=0, а другая сторона l расположена вне квадранта x > 0, y > 0 (рис. 5). Пусть (x1,y1) и (x2,y2) - точки плоскости с координатами yi > 0, (i=1,2), расположенные над биссектрисой угла a сектора P, а (x3,y3) - точка, симметричная точке (x2,y2) относительно биссектрисы угла a сектора P (рис. 5). Рассмотрим множество W трехзвенных ломаных, соединяющих точки (x1,y1) и (x3,y3), таких что первое звено ломаной соединяет точку (x1,y1) с произвольной точкой (z,0) полуоси x >= 0 , y=0, второе звено ломаной соединяет (z,0) с такой точкой (u,v), лежащей на границе l сектора P, что r{(0,0),(z,0)}=r{(0,0),(u,v)}, а третье звено соединяет точку (u,v) с точкой (x3,y3). Требуется найти среди всех трехзвенных ломаных множества W ломаную наименьшей длины.

Теорема 4. Предположим, что точки (x1,y1) и (x2,y2) расположены внутри сектора Q, (см. § 1.1). Тогда наименьшую длину среди всех трехзвенных ломаных множества W имеет такая ломаная, в которой точка (z,0) имеет координату z=c, где c - число, найденное в теореме 1, для которого функция f(z) достигает минимума. При этом для любой пары целых чисел p, q, таких что p >= 0, q >= 0, p <= q, q ≠ 0, существуют точки (x1,y1), (x3,y3) и угол a, такие что равенство (3) выполняется при c=a+p(b-a)/q (здесь (x2,y2) ∈ Q - точка, симметричная точке (x3,y3) относительно биссектрисы угла a сектора P, а a и b - числа, введенные в (2)), и тогда при наличии сектора P и точек (x1,y1) и (x3,y3) точка (c,0) и трехзвенная ломаная наименьшей длины находятся построением с помощью циркуля и линейки.

Теорема 5. Если обе точки (x1,y1), (x2,y2) расположены вне сектора Q, (см. § 1.1), то наименьшую длину среди всех ломаных множества W имеет такая ломаная, в которой точка (z,0) имеет координату z=0.

Теорема 6. Предположим, что точка (x1,y1) лежит вне сектора Q, а точка (x2,y2) расположена внутри или на границе сектора Q, b - константа, введенная в (2). Тогда, если выполняется неравенство (4), то справедливо утверждение теоремы 5, а, если выполняется неравенство (5), то при a=0 наименьшую длину среди всех ломаных из W имеет такая ломаная, проходящая через точку (c,0), что для координаты z=c выполняется утверждение 2) теоремы 3.

§ 1.3. Общее условие экстремума

Пусть n >= 2 - натуральное число, Rn - n-мерное эвклидово пространство; g1, … ,gn - ортогональные координаты в Rn; Rn-1 - гиперплоскость в Rn, состоящая их векторов [(g)\vec]=(g1, … ,gn) с координатой gn=0; G=G([(g)\vec]) - гладкая функция на Rn-1. Если [(g)\vec] ′ ∈ Rn, [(g)\vec]" ∈ Rn, то через r([(g)\vec] ′ ,[(g)\vec]") обозначается евклидово расстояние между [(g)\vec] ′ и [(g)\vec]". Рассмотрим два вектора [(x)\vec]=(x1, … ,xn) ∈ Rn, [(h)\vec]=(h1, … ,hn) ∈ Rn, такие что xn > 0, hn > 0, и введем функцию F([(g)\vec]) на Rn-1 следующим образом:


F(
→
g
 
 )=r(
→
x
 
 ,
→
g
 
 )+r(
→
h
 
 ,
→
g
 
 )+G(
→
g
 
 ).
(6)

Лемма. Для того, чтобы функция F([(g)\vec]) на Rn-1 достигала минимума, необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства


 -xs+gs
  ж
Ц
xn2+ n-1
е
n = 1 
 (xn-gn)2
 
 +  -hs+gs
  ж
Ц
hn2+ n-1
е
n = 1 
 (hn-gn)2
 
 +  ∂ G
∂ gs
 (
→
g
 
 )=0,    (s=1,… ,n-1),
(7)

и при этом левая часть равенства (7) есть производная ( ∂ F/ ∂ g s)([(g)\vec]).

Доказательство. Продифференцировав равенство (6) по gs, (s=1, … ,n-1) с учетом равенств


r(
→
x
 
 ,
→
g
 
 )=   ж
Ц
n-1
е
n = 1 
 (xn-gn)2
 
 ,    r(
→
h
 
 ,
→
g
 
 )=   ж
Ц
n-1
е
n = 1 
 (hn-gn)2
 
 ,    gn=0,

и приравняв производную ( ∂ F/ ∂ gn)([(g)\vec]) нулю, получим (7). Так как функция F([(g)\vec]) на Rn-1 гладкая, то равенства (7) дают необходимое условие минимума (экстремума) функции F([(g)\vec]). Лемма доказана.

Пусть [[(x)\vec],[(g)\vec]] - отрезок с концами [(x)\vec] и [(g)\vec], а [[(h)\vec],[(g)\vec]] - отрезок с концами [(h)\vec] и [(g)\vec]. Введем направляющие углы qs и ts (s=1, … ,n-1) отрезков [[(x)\vec],[(g)\vec]], [[(h)\vec],[(g)\vec]] с гиперплоскостью Rn-1 так что


cosqs =  gs-xs
  ж
Ц
xn2+ n-1
е
n = 1 
 (xn-gn)2
 
 ,    costs =  hs-gs
  ж
Ц
hn2+ n-1
е
n = 1 
 (hn-gn)2
 
 ,
(8)

(s=1, … ,n-1). Тогда условие (7), выраженное через углы qs и ts принимает следующий вид:


cosqs+  ∂ G
∂ gs
 (
→
g
 
 )=costs,    s=1,… ,n-1.
 (9)

В частном случае, когда n=2, R2 - плоскость с координатами x,y, R1 - прямая y=0, [(x)\vec] =(x1,y1), [(h)\vec] =(x2,y2) - два вектора с координатами y1 > 0, y2 > 0, [(g)\vec] =(z,0), а функции G([(g)\vec]) и F([(g)\vec]) такие, что G([(g)\vec])=G(z)=kz, F([(g)\vec])=f(z), производная (df/dz)(z) в силу (1) имеет вид


 df
dz
 (z) =  z-x1

Ц
y12+(x1-z)2
 +  z-x2

Ц
y22+(x2-z)2
 +k.
(10)

Если теперь обозначить через y1(z) абсолютную величину угла, расположенного в полуплоскости y >= 0, имеющего вершину в точке (z,0) и стороны, проходящие через точку (x1,y1) и точку (w1,0) с координатой w1 < z, а через y2(z) обозначить абсолютную величину угла, расположенного в полуплоскости y >= 0, имеющего вершину в точке (z,0) и стороны, проходящие через точку (x2,y2) и точку (w2,0) с координатой w2 > z (рис. 6), то в силу определений направляющих углов qs, ts (s=1) имеем:

q1=y1(z),    t1=y2(z),

а в силу (8)-(10) необходимое условие минимума функции f(z) имеет следующий вид:

cosy2(z)-cosy1(z)=k.

(11)

§ 1.4. Доказательства теорем

Доказательства теорем 1 и 4. Рассмотрим произвольную трехзвенную ломаную из W, проходящую через точки (x1,y1), (z,0), (u,v) и (x3,y3) (см. § 1.2), где (u,v) - точка расположения на границе l сектора P (рис. 5). Так как точка (x3,y3) - симметрична точке (x2,y2) относительно биссектрисы угла сектора P (рис. 5) и r{(0,0),(z,0)}=r{(0,0),(u,v)}, то r{(x2,y2),(z,0)}=r{(x3,y3),(u,v)}, а, так как угол сектора P равен a, то r{(z,0),(u,v)}=2sin(a/2)=k. Поэтому длина этой трехзвенной ломаной равна f(z), где f(z) - функция, введенная в (1), и, таким образом, в случае, когда k=2sin(a/2)=k, 0 <= a < p, число c, определяющее минимумы в теоремах 1 и 4, - одно и то же. Проведем из точек (x1,y1) и (x2,y2) соответственно прямые l1 и l2, перпендикулярные биссектрисе угла сектора P (рис. 1). Из равенств (2) легко следует, что прямая l1 пересекает полуось x >= 0, y=0 в точке (a,0), а прямая l2 пересекает эту полуось в точке (b,0) (рис. 1), и, так как точки (x1,y1) и (x2,y2) расположены внутри или на границе сектора Q, то min(a,b) >= 0. Из соображений выпуклости следует, что длина любой ломаной из W, проходящей через точку (z,0) с координатой z < min(a,b) больше, чем длина ломаной из W, проходящей через точку (min(a,b),0), а длина любой ломаной из W, проходящей через точку (z,0) с координатой z > max(a,b) больше, чем длина ломаной из W, проходящей через точку (max(a,b),0). Поэтому значение c, для которого функция f(z) при z=c достигает минимума, удовлетворяет неравенствам

 

min

(a,b) <= c <=

max

(a,b).

(12)

Рассмотрим функции y1(z) и y2(z), введенные в § 1.3, которые в силу (11) при z=c (здесь z=c - минимум функции f(z)) удовлетворяют равенству

cosy2(c)-cosy1(c)=2sin

 a

2

.

(13)

Заметим теперь, что, если переменная z монотонно возрастает, пробегая отрезок [min(a,b),max(a,b)] полуоси x >= 0, y=0, то функция D(z)[(   def) || ( = )]  cosy2(z)-cosy1(z) будет при этом монотонно убывать, при z=z ′ =min(a,b) справедливо неравенство D(z ′ ) >= 2sin(a/2), а при z=z"=max(a,b) справедливо неравенство D(z") <= 2sin(a/2). Поэтому существует единственное значение z=c, для которого справедливы соотношения (12) и (13), такое что при z=c функция f(z) достигает минимума. Из этих рассуждений также следует, что если зафиксировать точку (x1,y1) и число a, то для любого числа c >= a существует такая точка (x2,y2) ∈ Q, что будут выполняться соотношения (12), (13), и поэтому при z=c функция f(z) достигает минимума. Так как в силу равенств (8) и (9) равенство (13) эквивалентно равенству (3), то, таким образом теорема 1 и первая часть теоремы 4 доказаны.

Докажем вторую часть теоремы 4 о построении трехзвенной ломаной наименьшей длины с помощью циркуля и линейки.

Действительно,так как величины a и b есть координата x точек пересечения прямых l1 и l2, проведенных из точек (x1,y1) и (x2,y2), которые перпендикулярны биссектрисе угла сектора P (см. начало доказательства), то отрезок [(a,0),(b,0)] с концами в точках (a,0) и (b,0) можно построить с помощью циркуля и линейки. Если же число c=a+p(b-a)/q удовлетворяет равенству (3), то, как было доказано выше при z=c функция f(z) достигает минимума, и при фиксированной точке (x1,y1) и фиксированном угле a всегда можно найти такую точку (x2,y2) ∈ Q, что число c=a+p(b-a)/q удовлетворяет соотношениям (12) и (13). Поэтому второе утверждение теоремы 4 следует из факта, согласно которому при любых целых p,q, удовлетворяющих неравенствам p >= 0, q >= 0, p <= q, q ≠ 0, отрезок [(0,0),(c,0)] с концами в точках (0,0) и (a+p(b-a)/q,0) всегда можно построить с помощью циркуля и линейки, если мы уже построили отрезок [(a,0),(b,0)].

Доказательства теорем 2 и 5. Пусть k > 2. Тогда в силу (10) (df/dz)(z) > 0, и, следовательно, минимум функции f(z) на полуоси x >= 0, y=0 достигается при z=0.

Предположим теперь, что k=2sin(a/2), 0 <= a < p, а точки (x1,y1), (x2,y2) расположены вне сектора Q. Возможны два случая:

1) точки (x1,y1) и (x2,y2) лежат по одну сторону от биссектрисы m угла a сектора P (рис. 2);

2) точки (x1,y1), (x2,y2) лежат по разные стороны от m.

В случае 1) рассмотрим точку (x3,y3), симметричную точке (x2,y2) относительно m. Пусть для определенности точка (x1,y1) расположена вместе с точками полуоси x > 0, y=0 по одну сторону от m, а точка (x3,y3) лежит по другую сторону от m. Для любого z >= 0 значение функции f(z) есть длина трехзвенной выпуклой ломаной из Ø, такой что первое звено соединяет точки (x1,y1) и (z,0), второе звено соединяет точку (z,0) с такой точкой (u,v), лежащей на границе l сектора P, что r{(0,0),(z,0)}=r{(0,0),(u,v)}, а третье звено соединяет точку (u,v) с точкой (x3,y3). Любая такая ломаная охватывает двузвенную ломаную, первое звено которой соединяет точки (x1,y1) и (0,0), а второе звено соединяет точки (x3,y3) и (0,0), причем они будут выпуклы в одну сторону. Поэтому длина этой двузвенной ломаной будет меньше длины охватывающей ее выпуклой трехзвенной ломаной, а это и означает, что минимум функции f(z) достигается при z=0. Случай 2) очевидно сводится к случаю 1), если в предыдущем рассуждении вместо точки (x3,y3) взять точку (x2,y2).

Доказательства теорем 3 и 6. Рассмотрим функции y1(z) и y2(z) в области z >= 0, введенные в § 1.3. Из их определения следует, что, если 0 <= z1 < z2, то cosy2(z1)-cosy1(z1) > cosy2(z2)-cosy1(z2). Поэтому


cosy2(0)-cosy1(0) =  x2

Ц
x22+y22
 +  x1

Ц
x12+y12
 =
sup
z >= 0 
 (cosy2(z)-cosy1(z)),

и, если выполняется неравенство (4), то в силу равенства (10) при всех z >= 0 имеем: (df/dz)(z) > 0. Таким образом, функция f(z) имеет минимум при z=0.

Пусть теперь справедливо неравенство (5). Так как согласно условию теоремы 3 точка (x2,y2) расположена внутри сектора Q, то из определения числа b в (2) следует, что прямая, проведенная через точку (x2,y2) и перпендикулярная биссектрисе m угла a сектора P, пересекает полуось x >= 0, y=0 в точке (b,0) и при этом b >= 0. Из соображений выпуклости, повторяя доказательства теорем 1 и 4, получим, что при всех z > b справедливо f(z) > f(b). Поэтому минимум z=c функции f(z) расположен на отрезке 0 <= z <= b, для величины z=c выполняется утверждение 2) теоремы 3, а среди всех ломаных из Ø наименьшую длину имеет ломаная, проходящая через точку (c,0).

Глава 2. Динамическая часть

§ 2.1. Определение обобщенного биллиарда и его физический смысл

Классический биллиард - это динамическая система, в которой массивная точка двигается с постоянной скоростью внутри замкнутой области B с кусочно-гладкой границей G, а в результате ее отражения от границы нормальная компонента скорости точки меняет знак, сохраняя абсолютную величину, а тангенциальная компонента скорости точки не меняется [6].

Обобщенные биллиарды, рассматриваемые в этой работе, были введены в общем случае в [1], а в случае, когда область есть параллелепипед - в [2]. С физической точки зрения обобщенный биллиард, состоящий из многих частиц, описывает газ в сосуде, который может нагреваться или охлаждаться от стенок сосуда. Существо обобщения состоит в том, что при отражении точки от границы G проекция ее скорости на нормаль к G в точке отражения преобразуется с помощью заранее заданной функции g(g,t), определенной на прямом произведении G×R1, (R1 - прямая линия, g ∈ G - точка границы G, а величина t ∈ R1 обозначает время) согласно следующему закону. Предположим, что траектория точки, которая движется со скоростью v, пересекает G в точке g ∈ G в момент времени t*. Тогда в этот момент времени t* точка приобретает такую скорость v*, как если бы она подверглась упругому удару с бесконечно-тяжелой плоскостью G*, касающейся G в точке g, которая двигается в момент времени t* вдоль нормали к G в точке g со скоростью ( ∂ g/ ∂ t)(g,t*). Здесь в качестве положительного направления движения плоскости G* выбирается направление внутрь области B. Если скорость v*, которую точка приобрела в результате указанного закона отражения, направлена внутрь области B, то после момента времени t* точка оставит G и будет двигаться внутри B до ближайшей точки пересечения с G. Если же скорость v* направлена во вне области B, то после момента времени t* точка остается неподвижной на G до тех пор, пока в некоторый момент времени > t* взаимодействие с плоскостью G* не заставит точку изменить направление нормальной составляющей ее скорости.

Поясним этот последний случай более подробно. Изменение направления нормальной составляющей скорости точки может произойти только в том случае, когда наступит такой ближайший к t* момент времени > t*, что скорость ( ∂ g/ ∂ t)(g,) плоскости G* в момент времени примет такое значение, которое согласно закону упругого удара, заставит точку сначала при t= при взаимодействии с плоскостью G* оторваться от положения точки g, а затем при t= после взаимодействия с плоскостью G* приобрести скорость, направленную внутрь B. Однако легко видеть, что, если функция ( ∂ g/ ∂ t)(g,t) при t= меняется непрерывно по t, то точка в момент времени t= оторвется от положения точки g, а при t >= останется в положении g, так как при t= она уже не будет взаимодействовать с плоскостью G*. Если же функция ( ∂ g/ ∂ t)(g,t) при t= претерпевает скачок, такой что величина ( ∂ g/ ∂ t)(g,) становится больше величины скорости плоскости G* достаточной для изменения направления нормальной составляющей скорости точки согласно закону упругого удара, то уже при t= скорость точки будет направлена внутрь области B, и с этой скоростью точка будет двигаться до ближайшего пересечения с G. В частном случае, когда скорость движения плоскости G* ( ∂ g/ ∂ t)(g,t*)=0, обобщенный биллиард сводится к классическому биллиарду, в котором нормальная составляющая скорости точки в момент времени t=t* только меняет свое направление, но ее абсолютная величина до удара такая же, как и после удара.

В определении обобщенных биллиардов упругий удар точки и плоскости G* может рассматриваться как в рамках классической (ньютоновской) механики, так и в рамках релятивистской механики (теории относительности). В первом случае мы будем называть обобщенные биллиарды - ньютоновскими, а во втором случае - релятивистскими. Для классических биллиардов Биркгофа нет никакой разницы между этими двумя случаями: это одна и та же динамическая система. Для обобщенных же биллиардов существует огромная и принципиальная разница между этими случаями: обобщенный ньютоновский биллиард - это консервативная динамическая система, то есть существует мера, эквивалентная фазовому объему, которая инвариантна относительно динамики биллиарда (см. § 2.3), в то время, как обобщенный релятивистский биллиард - это диссипативная система, то есть такой инвариантной меры не существует. Эта принципиальная разница приводит в частности к тому, что в ньютоновском случае энтропия Гиббса - постоянная, тогда как в релятивистском случае энтропия Гиббса и термодинамическая энтропия (то есть энтропия, построенная относительно фазового объема) при общих естественных условиях начинает возрастать ([2]). Обобщенные релятивистские биллиарды были изучены в работах [1]-[5], а обобщенные ньютоновские биллиарды - в работах [1] и [2]. Поскольку геометрическая задача, которой посвящена эта работа, связана с обобщенными ньютоновскими биллиардами, опишем основной закон этих биллиардов в простейшем случае, который вскрывает геометрическую природу этих биллиардов.

§ 2.2. Основной закон и экстремальное свойство обобщенных ньютоновских биллиардов

Предположим, что область B, в которой двигается материальная точка, есть полуплоскость y >= 0 плоскости с прямоугольными координатами x,y, и, поэтому граница G области B есть ось y=0. Предположим также, что действие границы G задается функцией g(z,t), где z - координата точки (z,0) ∈ G, t - время (см. § 2.1).

Рассмотрим кусок биллиардной траектории, проходящей через точку (c,0), начало которой есть точка (x1,y1), а конец - точка (x2,y2) (рис. 6). Предположим также, что x1 < x2, (c,0) - единственная точка границы, расположенная на траектории между точками (x1,y1) и (x2,y2), вектор скорости в точке (x1,y1) есть (u1,v1), а вектор скорости в точке (x2,y2) есть (u2,v2). Тогда согласно законам классической механики предположения об упругости удара точки с бесконечно-тяжелой стенкой, заданной уравнением y=0, и о том, что действие этой стенки на точку направлено вдоль нормалей к самой стенке, приводят к следующим равенствам:

u1=u2,    v2=-v1+2

  ∂ g

∂ t

(c,t),

(14)

где t - момент времени, в котором точка находится в положении (c,0). В частном случае, когда u1=u2=1, второе равенство в (14) приводит к следующему равенству:

tg y2(c)-tg y1(c)=H(c,t),

(15)

где

H(c,t)=2

  ∂ g

∂ t

(c,t);

(16)

y1(c) - абсолютная величина угла с вершиной в точке (c,0), одна сторона которого проходит через точки (x1,y1) и (c,0), а другая сторона проходит через точку (c,0) и точку (w1,0) с координатой w1 < c; y2(c) - абсолютная величина угла с вершиной в точке (c,0), одна сторона которого проходит через точки (x2,y2) и (c,0), а другая сторона проходит через точку (c,0) и точку (w2,0) с координатой w2 > c (рис. 6).

Теорема 7. Среди всех кривых, проходящих через точки (x1,y1) и (x2,y2) (y1 > 0,y2 > 0) и пересекающих ось y=0, кусок биллиардной траектории с началом в точке (x1,y1) и концом в точке (x2,y2), пересекающийся с осью y=0 в единственной точке (c,0), у которого координата u1 вектора скорости (u1,v1) в точке (x1,y1) и координата u2 вектора скорости (u2,v2) в точке (x2,y2) удовлетворяют равенствам u1=u2=1, обладает следующим свойством: величина z=c есть экстремум функции

F(z)=r{(x1,y1),(z,0)}+r{(x2,y2),(z,0)}+G(z),

(17)

такой что


 dG
dz
 (c) =  x2-c

Ц
(x2-c)2+y22
 -  c-x1

Ц
(x1-c)2+y12
 =
=  1

Ц
1+([(y1)/(c-x1)]+H(c,c-x1))2
 -  c-x1

Ц
(x1-c)2+y12
 ,
(18)

где H(c,c-x1) - значение функции H(c,t), введенной в (16) при t=c-x1.

Доказательство. Из определения углов yi(c) (i=1,2) в равенстве (15) следует, что


cosy1(z)=  z-x1

Ц
(x1-z)2+y12
 ,    cosy2(z)=  x2-z

Ц
(x2-z)2+y22
 ,


tg y2(c)=

 y1

c-x1

+H(c,t).

Поэтому оба равенства в (18) эквиваленты равенству

cosy2(c)-cosy1(c)=

 dG

dz

(c).

(19)

Далее, так как углы yi(c) (i=1,2) в равенстве (15) - те же самые, что и в равенстве (11), которое есть следствие общего условия экстремума (9), то из равенств (17) и (19) и следует утверждение теоремы 7. Теорема 7 доказана.

Рассмотрим теперь в качестве функций G(z) и F(z) в (17) соответственно функции G(z)=kz и F(z)=f(z), где f(z) - функция, введенная в (1). Предположим также, что выполняются условия теорем 1 и 4, то есть 0 <= k < 2, а точки (x1,y1) и (x2,y2) расположены внутри или на границе сектора Q, введенного в § 1.1 (рис. 1). Пусть a и b - числа, введенные в (2).

Теорема 8. Величина c есть минимум функции f(z) на полуоси x >= 0, y=0 тогда и только тогда, когда справедливо неравенство a <= c <= b, а двухзвенная ломаная, проходящая через точки (x1,y1), (c,0), (x2,y2) есть траектория обобщенного ньютоновского биллиарда с функцией g(z,t), удовлетворяющей равенствам


 g
t
 (c,c-x1)=  1
2
 ж
и 		 y2
x2-c
 -  y1
c-x1
 ц
ш 		=
=  1
2
 ж
з
з
и

Ц
1-([(c-x1)/(Ц{(c-x1)2+y12})]+k)2
 c-x1
Ц{(c-x1)2+y12}
 +k
 -  y1
c-x1
 ц
ч
ч
ш 		.
(20)

Доказательство. Согласно определению углов y1(z) и y2(z), данному выше, имеем равенства

tg y1(z)=

 y1

z-x1

,    tg y2(z)=

 y2

x2-z

.

(21)

Кроме того


tg y1(z)=

Ц
1-cos2y1(z)
cosy1(z)
 ,
(22)

где


cosy1(z)=  z-x1

Ц
(z-x1)2+y12
 .
(23)

Так как величина z=c есть минимум функции f(z), то в силу теорем 1 и 4 справедливы равенства a <= c <= b, cosy2(c)=cosy1(c)+k. Подставляя последнее равенство и равенство (23) в (22) в силу (21) при z=c получаем:


tg y2(c)-tg y1(c)=  y2
x2-z
 -  y1
z-x1
 =
=

Ц
1-(cosy1(c)+k)2
cosy1(c)+k
-  y1
c-x1
 .
(24)

Кусок траектории обобщенного ньютоновского биллиарда, проходящий через точки (x1,y1), (c,0), (x2,y2), у которого при t=0 координата u1 вектора скорости (u1,v1) в точке (x1,y1) равна 1, удовлетворяет следующему равенству

c-x1=t.

(25)

Поэтому подставляя равенство (25) в (16) и (15), а равенство (23) при z=c в (24), получим равенство (20). Теорема 8 доказана.

§ 2.3. Консервативность обобщенных ньютоновских биллиардов

Продемонстрируем консервативность обобщенных ньютоновских биллиардов в частном случае, которому посвящен § 2.2 этой работы: область B есь полуплоскость y >= 0 плоскости с прямоугольными координатами x,y, граница G есть ось y=0, а действие биллиарда задается функцией g(z,t) , где z - координата точки (z,0) ∈ G, а t - время. Если g(z,t)=const - константа, не зависящая от времени, то обобщенный биллиард совпадает с классическим, и фазовый объем dxdydudv - есть его инвариантная мера (здесь (u,v) - вектор скорости точки). В общем случае, когда g(z,t) - произвольная гладкая функция, обобщенный биллиард также имеет инвариантную меру, не зависящую от функции g(z,t) и эквивалентную фазовому объему. Для того чтобы ее определить, вместо переменной v введем новую переменную


→
ln
 
  v = м
н
о
lnv,
если    v > 0,
-ln|v|,
если    v < 0.
(26)

Теорема 9. Мера dm = dx dy du d([(ln)\vec] v) - инвариантна относительно потока, порождаемого обобщенным ньютоновским биллиардом, то есть, если при t=t1 вектор начальных данных


ж
и 		x(t1),y(t1),u(t1),
→
ln
 
  v(t1) ц
ш 		О L1,

L1 - m-измеримое множество, а при t=t2 > t1 вектора


ж
и 		x(t2),y(t2),u(t2),
→
ln
 
  v(t2) ц
ш

суть элементы множества L2, то m(L1)=m(L2).

Доказательство. Мера m есть прямое произведение меры m1=dx du и меры m2=dy d([(ln)\vec] v). Из определения обобщенного ньютоновского биллиарда следует инвариантность меры m1. Таким образом, для доказательства теоремы 9 достаточно доказать инвариантность меры m2. Но согласно определению переменной [(ln)\vec] v в (26) имеем: d [(ln)\vec] v=dv/|v|. Поэтому инвариантность меры m2 следует из инвариантности меры dy dv/|v|, которая доказана в [2] (Часть 1, глава 1, § 2).




Список литературы

[1]

Л.Д. Пустыльников. Закон возрастания энтропии и обобщенные биллиарды // УМН (1999), Т. 54, N 3, С. 180-181.

[2]

Л.Д. Пустыльников. Модели Пуанкаре, строгое обоснование второго начала термодинамики из механики и механизм ускорения Ферми // УМН (1995), Т. 50, N 3, С. 143-186.

[3]

Deryabin M.V. and Pustyl'nikov L.D. On Generalized Relativistic Billiards in External Force Fields // Letters in Math. Physics (2003), 63, p. 195-207.

[4]

Deryabin M.V., Pustyl'nikov L.D. Generalized Relativistic Billiards // Regular and Chaotic Dynamics, (2003), v. 8, N 3, p. 283-296.

[5]

Deryabin M.V., Pustyl'nikov L.D. Exponential Attractors in Generalized Relativistic Billiards // Communications in Math. Physiscs, (2004), to appear.

[6]

Birkhoff G. Dynamical Systems: Amer. Math. Soc., New York, 1927.

[7]

Радемахер Г. и Теплиц О. Числа и фигуры. М. 1962.

 

File translated from TEX by TTH, version 3.40.
On 21 Jun 2004, 15:18.