Исследование особенностей градиента решения в краевой задаче для уравнения Лапласа вне разреза на плоскости со смешанным граничным условием

( Analysis of singularities of gradient of a solution in the boundary value problem for the Laplace equation outside cut in a plane with mixed boundary condition
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

При выполнении условия (7) гармонический угловой потенциал можно записать в виде гармонического потенциала двойного слоя

где

Из условия (7) вытекает, что w(a)=w(b)=0 и w(s) ∈ C⁰(G).

Если потребовать

то функция u[m, n](x) из (6) удовлетворит условиям на бесконечности (5).

Если плотности m(s),n(s) пpинадлежат C^v_q(G),  v ∈ (0,1],  q ∈ [0,1), и удовлетвоpяют условиям (7), (8), то функция u[m, n](x) из (6) принадлежит классу G и удовлетворяет всем условиям задачи S , за исключением граничных условий [G, K1, K2]. В частности, неpавенство (1) будет выполнено с показателем d = -q, если q ∈ (0,1).

Заменим условие (3) эквивалентными граничными условиями на G:

В условии (10) учтено, что u⁺(x(a))=u^-(x(a))=u(x(a)) в силу непрерывности функции u(x) на концах контура G. Кроме того, при выбранной параметризации ∂ / ∂ t _x= ∂ / ∂ s в любой точке x(s) ∈ G.

Плотности потенциалов будем разыскивать в виде

где r₁(s),r₂(s) ∈ C^v_q(G),  v ∈ (0,1],  q ∈ [0,1). Подставляя функцию u[m,n](x) в граничные условия (4), (9) и учитывая условия (7), (8), (10), получим систему уравнений относительно функций r₁(s),  r₂(s) и константы c:

где функции

принадлежат C^0,l(G). Функции Y₁(s,s), Y₂(s,s) принадлежат C^0,l(G×G) (см.[K1]) и имеют вид:

Через f₀(x(s),y(s)) обозначен угол между вектором [( → ) || ( xy)] и направлением нормали n_x в точке x ∈ G. Этот угол считается положительным, если он отсчитывается от вектора n_x против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Кроме того, при x ≠ y угол f₀(x,y) полагается непрерывным по x,y на G. Углы f₀(x(s),y(s)),  y(x(s),y(s)) с точностью до 2pm (m целое) связаны соотношением f₀(x(s),y(s))=y(x(s),y(s))-a(s)-p/2.

Решая уравнение (12) относительно r₁(s), а (13) - относительно r₂(s) согласно лемме 2 из [0] и считая функции F₁(s), F₂(s) известными, найдем:

где B₁, B₂ - произвольные вещественные константы,

Q₁(s),Q₂(s) ∈ C^0,h₀(G),   h₀=min{h,1/2-h}, константа h опpеделяется pавенством

и удовлетворяет соотношениям

Подставляя функции r₁(s), r₂(s) из (18), (19) в уравнения (14), (15) и пользуясь формулами для интегралов из [0, п.6], получим для констант B₁, B₂ систему линейных алгебраических уравнений:

Раскрывая выражения F₁(s),F₂(s), получим для r₁(s),r₂(s) систему регуляризованных уравнений:

где s ∈ G;

Заметим, что плотности сингулярных интегралов в выражениях для функций K_pj(s,s), F_p(s)   (p=1,2, j=1,2) являются гельдеровыми функциями на G (причем плотности в K_pj(s,s) гельдеровы по обеим переменным). В частности, эти плотности гельдеровы на G по переменной x с показателем w = min{l,h, 1/2-h}   (равномерно по s в случае K_pj(s,s)) и обращаются в ноль, если x - конец G (так как функции Q₁(x), Q₂(x) принадлежат классу C^0,h₀(G) и обращаются в ноль на концах G). Из этих рассуждений и из свойств сингулярных интегралов [mus,§ 18] следует, что функции K_pj(s,s)   (p=1,2, j=1,2) являются гельдеровыми на G по обеим переменным. В частности, эти функции гельдеровы на G по переменной s с показателем

равномерно по s ∈ G. Если f ^{′ +}(s),f^-(s) ∈ C^0,l(G), то функции F₁(s),F₂(s) являются гельдеровыми на G с показателем w.

Очевидно, что если функции r₁(s), r₂(s) из пространства C^v_q(G) с v ∈ (0,1], q ∈ [0,1) дают решение интегральных уравнений (21), (22), то эти функции представимы в виде r_j(s)=r_j*(s)/Q_j(s),   j=1,2, где r_1*(s),r_2*(s) ∈ C^0,w(G) ,  w беpется из (25). Поэтому будем искать функции r₁(s), r₂(s) именно в таком виде. Из этого представления, в частности, следует, что r₁(s), r₂(s) ∈ C^v_q(G), где

Ниже будем считать, что v и q определяются в (26). Отметим, что 0 < w ≤ 1/4, 0 < v ≤ 1/4, 1/2 < q < 1. Если b > 0, то 0 < h < 1/4 и q=1-h; если b < 0, то 1/4 < h < 1/2 и q=1/2+h; если же b = 0, то h = 1/4, q=3/4.

Далее введем функции r_j*(s)=Q_j(s)r_j(s) ∈ C^0,w(G) и операторы K_pj:

В итоге уравнения (21), (22) сведутся к одному векторному уравнению относительно неизвестного вектор-столбца [`(r)]=(r<sub>1*</sub>(s),r<sub>2*</sub>(s))<sup>T</sup>, принадлежащего банахову пространству C<sup>0</sup>(G)×C<sup>0</sup>(G) с нормой
||[`(r)]||_C⁰_(G)×C⁰_(G) = ||r_1*||_C⁰_(G)+||r_2*||_C⁰_(G) :

где [`(F)]=(F₁(s),F₂(s))^T ∈ C⁰(G)×C⁰(G), функции F₁(s), F₂(s) заданы в (23), (24), I - единичный оператор, отображающий пространство C⁰(G)×C⁰(G) в себя, операторы K_pj определены в (27). Из свойств гладкости ядер в уравнениях (28) и гладкости F₁(s), F₂(s) в (23) вытекает, что если r_1*(s),r_2*(s) ∈ C⁰(G) - решение уравнения (28), то r_1*(s),r_2*(s) ∈ C^0,w(G) с w из (25).

Уравнение (28) является фредгольмовым в пространстве C⁰(G)×C⁰(G) и имеет единственное решение в этом пространстве. Доказательство этих утверждений проводится так же, как и для уравнения (32) в  [0].

Тем самым, решение задачи S  существует, единственно и дается формулой (6), в которой функции m(s),n(s) C^v_q(G) даются формулами (11), где r_j(s)=r_j*(s)Q^-1_j(s),   j=1,2, а функции r_1*(s), r_2*(s) ∈ C^0,w(G) определяются как единственное решение уравнения (28) в C⁰(G)×C⁰(G). Константа c в (6) находится из условия (16):

В дальнейшем существенным для нас будет то, что функции r₁(s),r₂(s) представимы в виде r_j(s)=r_j*(s)/Q_j(s),   j=1,2, где r_1*(s), r_2*(s) ∈ C^0,w(G) с w из (25). Кроме того, существенно то, что функции r₁(s),r₂(s) удовлетворяют уравнениям (18), (19), где функции F₁(s), F₂(s) принадлежат C^0,l(G) и даются формулами (17), а B₁, B₂ берутся из (20).

2 Поведение градиента решения на концах контура

Через u будем обозначать решение задачи S , построенное в параграфе 1. Используя введенные выше обозначения, исследуем поведение ∇ u вблизи концов контура

Пусть x(d) - один из таких концов. Введем в окрестности x(d) полярную систему координат

Напомним, что a(s) - угол между направлением оси Ox₁ и вектором касательной t_x в точке x(s) ∈ G. Будем считать, что j ∈ (a(d),a(d)+2p) , если d=a, и j ∈ (a(d)-p, a(d)+p), если d=b. (Полагаем по непрерывности a(a)=a(a+0),   a(b)=a(b-0)). Таким образом, угол j меняется непрерывно в окрестности точки x(d), разрезанной вдоль контура G.

Выделим в явном виде степенные особенности в функциях m(s),n(s):

1) на конце a:

2) на конце b:

Здесь функции

являются гельдеровыми на G в окрестности a, а функции

являются гельдеровыми на G в окрестности b. Функции r_1*(s), r_2*(s) из C^0,w(G) - решение уравнения (28)   (w берется из (25)).

Пользуясь результатами из [mus] о поведении интегралов типа Коши на концах контура G, приходим к следующей теореме.

Теорема 1. Пусть x → x(d) ∈ X, где d=a или d=b; тогда в окрестности точки x(d) для производных решения задачи S справедливы формулы:

1) при d=a:

2) при d=b:

Здесь

через O(1) обозначены функции, непрерывные в окрестности точки x(d), разрезанной вдоль контура G. (Здесь и далее подразумевается, что функции O(1) непрерывны и в самой точке x(d).) Функции r^d₁(s) и r^d₂(s)   (d=a,b) введены в (32), (33).

Доказательство. Наряду с декартовыми координатами x=(x₁,x₂) введем комплексную координату [(x)\tilde]=x₁+ix₂. Используем представление производных углового и логарифмического потенциалов через интеграл типа Коши на комплексной плоскости [K1]:

где

Из (6) и (34) вытекает, что для изучения поведения ∇ u достаточно изучить поведение интегралов типа Коши