О несжимаемом погранслое на игле
( About incompressible boundary layer on a needle
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

E-mails: bruno@keldysh.ru, shadrina@keldysh.ru

Рассмотрим систему уравнений Навье-Стокса [1], описывающую стационарный поток вязкой несжимаемой жидкости в пространстве

u   ∂ u ∂ x +v   ∂ u ∂ y +w   ∂ u ∂ z +  1 r   ∂ p ∂ x =n ж и   ∂ 2 u ∂ x2 +   ∂ 2 u ∂ y2 +   ∂ 2 u ∂ z2 ц ш ,

u   ∂ v ∂ x +v   ∂ v ∂ y +w   ∂ v ∂ z +  1 r   ∂ p ∂ y =n ж и   ∂ 2 v ∂ x2 +   ∂ 2 v ∂ y2 +   ∂ 2 v ∂ z2 ц ш ,

u   ∂ w ∂ x +v   ∂ w ∂ y +w   ∂ w ∂ z +  1 r   ∂ p ∂ z =n ж и   ∂ 2 w ∂ x2 +   ∂ 2 w ∂ y2 +   ∂ 2 w ∂ z2 ц ш ,

(1.1)

∂ u ∂ x +   ∂ v ∂ y +   ∂ w ∂ z =0.

Здесь x, y и z - прямоугольные координаты; u, v и w - компоненты вектора скорости потока соответственно по осям x, y и z; p - давление; r - плотность; n - кинематический коэффициент вязкости; r, n = const.

После перехода к цилиндрическим координатам система приобретает вид [1]

Vr   ∂ Vr ∂ r +  Ve r   ∂ Vr ∂ e +Vx   ∂ Vr ∂ x -  V2e r +  1 r   ∂ p ∂ r =n ж и ∇ 2 Vr-  Vr r2 -  2 r2   ∂ Ve ∂ e ц ш ,

Vr   ∂ Ve ∂ r +  Ve r   ∂ Ve ∂ e +Vx   ∂ Ve ∂ x +  Vr Ve r +  1 r   ∂ p ∂ e    1 r =n ж и ∇ 2 Ve+  2 r2   ∂ Vr ∂ e -  Ve r2 ц ш ,

Vr   ∂ Vx ∂ r +  Ve r   ∂ Vx ∂ e +Vx   ∂ Vx ∂ x +  1 r   ∂ p ∂ x =n( ∇2 Vx ),

(1.2)

∂ (rVr) ∂ r +   ∂ Ve ∂ e +   ∂ (rVx) ∂ x =0 ,

где ∇² [(   def) || ( = )]   ∂ ²/ ∂ r²+(1/r) ∂ / ∂ r+(1/r²) ∂ ²/ ∂ e²+ ∂ ²/ ∂ x²; x, r и e - цилиндрические координаты y=rsine, z=rcose; V_x, V_r и V_e - компоненты вектора скорости потока. Для осесимметричного потока можно исключить из системы угловую компоненту e и соответствующую компоненту вектора скорости потока V_e. Тогда система (1.2) принимает вид

Vr   ∂ Vr ∂ r +Vx   ∂ Vr ∂ x +  1 r   ∂ p ∂ r =n ж и   ∂ 2 Vr ∂ r2 +  1 r   ∂ Vr ∂ r +   ∂ 2 Vr ∂ x2 -  Vr r2 ц ш ,

Vr   ∂ Vx ∂ r +Vx   ∂ Vx ∂ x +  1 r   ∂ p ∂ x =n ж и   ∂ 2 Vx ∂ r2 +  1 r   ∂ Vx ∂ r +   ∂ 2 Vx ∂ x2 ц ш ,

(1.3)

∂ (rVr) ∂ r +   ∂ (rVx) ∂ x =0.

Используя третье уравнение, введем функцию тока y по формулам

Vx=  1 r     ∂ y ∂ r ,  Vr= -  1 r     ∂ y ∂ x .

(1.4)

Тогда система (1.3) принимает вид

f1    def =      й л -  1 r     ∂ y ∂ x     ∂ ∂ r ж и  1 r     ∂ y ∂ r ц ш +  1 r     ∂ y ∂ r     ∂ ∂ x ж и  1 r     ∂ y ∂ r ц ш щ ы +  1 r   ∂ p ∂ x   -

-n ж и  1 r     ∂ ∂ r ж и r   ∂ ∂ r ж и  1 r     ∂ y ∂ r ц ш ц ш +   ∂ 2 ∂ x2 ж и  1 r     ∂ y ∂ r ц ш ц ш =0,

(1.5)

f2    def =      й л  1 r     ∂ y ∂ x     ∂ ∂ r ж и  1 r     ∂ y ∂ x ц ш -  1 r     ∂ y ∂ r     ∂ ∂ x ж и  1 r     ∂ y ∂ x ц ш щ ы +  1 r   ∂ p ∂ r +

+n ж и   ∂ ∂ r ж и  1 r     ∂ 2y ∂ x ∂ r ц ш +   ∂ 2 ∂ x2 ж и  1 r     ∂ y ∂ x ц ш ц ш =0.

§ 2. Первые приближения решения в бесконечности

Рассмотрим теперь обтекание полубесконечной иглы, занимающей полупрямую {x,y,z: x ≥ 0, y=z=0 }, стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости в положительном направлении оси x. Такое обтекание описывается системой уравнений Навье-Стокса (1.1) с граничными условиями

u=u ∞ ,  v=w=0,  p=p0   при x= - ∞ ,  u ∞ ,p0=const; u=v=w=0   при x ≥ 0,  y=z=0.

(2.1)

В цилиндрических координатах это обтекание описывается системой (1.3) с граничными условиями

Vx=u ∞ ,  Vr=0,  p=p0    при x= - ∞ ; Vx=Vr=0   при x ≥ 0  r=0.

(2.2)

Согласно (1.4) осесимметричное обтекание также описывается системой (1.5) с граничными условиями в бесконечности и на игле

y = u ∞ r2/2,  p=p0   при x=  - ∞ ,  u ∞ ,p0 = const;

(2.3)

∂ y ∂ x =   ∂ y ∂ r =    ∂ 2y ∂ x ∂ r   =   ∂ 2y ∂ r2 =0   при x ≥ 0,  r=0.

(2.4)

Заменой координат y = 2n²u_∞^-1[(y)\tilde], x=2nu_∞^-1[(x)\tilde], r=2nu_∞^-1[(r)\tilde] эта задача сводится к задаче с u_∞ = 2, n = 1, которая рассматривается ниже.

Лемма 1. Граничные условия

y = r2,  p=p0, при r → +∞,  p0=const

(2.5)

имеют место для x ∈ (- ∞ ,+∞).

Доказательство. Заметим, что функции y = r², p=p₀ аннулируют каждый из членов в уравнениях (1.5). Следовательно, функции (2.5) являются решением любой укороченной системы для системы (1.5). Поэтому при x < 0 и r → ∞ выражения (2.5) являются граничными условиями, которые продолжают граничные условия (2.3). Более того, они продолжаются и для x > 0, r → ∞. Лемма доказана.

Лемма 2. Для системы (1.5) укороченная система, соответствующая пограничному слою на игле и граничным условиям (2.4), (2.5), единственна. Она имеет нормальный вектор P=(2,1,2,0) и есть

^ f   11     def =      й л -  1 r     ∂ y ∂ x     ∂ ∂ r ж и  1 r     ∂ y ∂ r ц ш +  1 r     ∂ y ∂ r     ∂ ∂ x ж и  1 r     ∂ y ∂ r ц ш щ ы +  1 r   ∂ p ∂ x -

-  1 r     ∂ ∂ r ж и r   ∂ ∂ r ж и  1 r     ∂ y ∂ r ц ш ц ш =0,

(2.6)

^ f   21     def =       1 r   ∂ p ∂ r =0,

(2.7)

а автомодельные координаты x, h(x) и p(x) для задачи (2.4)-(2.7) суть

x = r2/x,  h(x)=y/x,  p(x)=p.

(2.8)

 

 

Доказательство. Носители уравнений системы (1.5) представлены в таблице 1. Ее первый столбец содержит номер i уравнения f_i=0, второй столбец содержит номер k точки Q_k носителя, третий столбец содержит сами точки Q_k носителей S(f_i). В уравнениях системы (1.5) в квадратные скобки объединены члены с одним и тем же векторным показателем степени.

 

 

Из граничного условия (2.5) видно, что при r→+∞ имеются граничные условия вида (1.7) главы I

f3    def =     y-r2=0,

f4    def =     p-p0=0.

Каждому из них соответствует носитель, состоящий из двух точек. А именно: S(f₃) состоит из точек Q₉=(0,0,1,0) и Q₁₀=(0,2,0,0); S(f₄) состоит из точек Q₁₁=(0,0,0,1) и Q₁₂=(0,0,0,0). Согласно теореме 2 главы I вектор P=(p₁,p₂,p₃,p₄) должен удовлетворять условиям б Q₉,Pс = бQ₁₀,Pс и бQ₁₁,Pс = бQ₁₂,Pс, т.е.

p3=2p2,  p4=0.

(2.9)

В обозначениях главы I здесь m ′ =l=2 и R′₃=(0,2), R′₄=(0,0). По теореме 2 главы I, согласно полученным на вектор P условиям (2.9), вектора Q_k можно спроецировать на плоскость [(Q)\tilde]=([(q)\tilde]₁,[(q)\tilde]₂) по формулам [(q)\tilde]₁=q₁, [(q)\tilde]₂=q₂+2q₃, а значением q₄ мы пренебрегаем. Четвертый столбец таблицы 1 содержит проекции [(Q)\tilde]_k = (q₁,q₂+2q₃) векторов Q_k. Проекции [S\tilde] (f₁) и [S\tilde] (f₂) носителей уравнений системы (1.5), их выпуклые оболочки [(G)\tilde]₁, [(G)\tilde]₂ и их нормальные конуса представлены на рис. 2.

 

Игла описывается как x ≥ 0, r=0. Вблизи иглы, при x→+∞ и r→ 0, имеем p₁ > 0, p₂ < 0. Следовательно, игле соответствует IV квадрант плоскости (p₁,p₂). Граничные условия (2.5) при x→+∞ и r→+∞ означают, что p₁,p₂ > 0, т.е. им соответствуют точки из I квадранта плоскости (p₁,p₂). Нас интересуют такие грани проекций [(G)\tilde]₁ и [(G)\tilde]₂, расширенный нормальный конус которых содержит как IV квадрант, так и точки из I квадранта плоскости (p₁,p₂). Совмещение рисунков нормальных конусов проекций показано на рис. 3. Из него видно, что IV квадрант и точки из I квадранта содержаться только в расширенном нормальном конусе системы ^∨ U_J^D= ^∨ U₁⁽¹⁾ ∩ ^∨ U₃⁽⁰⁾. Направляющий вектор нормального конуса [U\tilde]₁⁽¹⁾ это вектор [(P)\tilde]=(2,1). По вектору [(P)\tilde]=(p₁,p₂) восстанавливаем вектор P=(p₁, p₂,p₃,p₄) согласно равенствам (2.9) и получаем в исходных координатах (p₁, p₂,p₃,p₄) вектор P=(2,1,2,0). Полученному вектору P соответствуют грани носителей S(f₁) и S(f₂), содержащие точки Q₁, Q₂, Q₃, Q₆. Этим точкам соответствует укороченная система (2.6), (2.7).

Пятый столбец таблицы 1 содержит значения скалярных произведений D_k=б[(P)\tilde],[(Q)\tilde]_kс = бP, Q_kс для [(P)\tilde]=(2,1), P=(2,1,2,0). В шестом столбце (T) знак "+" отмечает максимальные значения б[(P)\tilde],[(Q_k)\tilde]с для данного i, соответствующие им члены суммы f_i включены в укорочение [^(f)]_i1^(d_i⁾ в (2.6), (2.7).

В обозначениях § 1 главы I имеем l=2 и полученный вектор P=(P′,P"), т.е. P′=(2,1). Кроме того, вектор B₁′=(-1,2) составляет базис в пространстве векторов Q′=(q₁,q₂), удовлетворяющих условию бP′,Q ′ с = 0. Тогда согласно теореме 3 главы I, T₃′=(1,0), T₄′=(0,0) и автомодельные координаты x, h, p имеют вид

x = r2/x,  x3    def =     y = xh(x),  x4    def =     p = p(x),

что соответствует (2.8). Лемма 2 доказана.

§ 3. Автомодельные решения задачи (2.4)-(2.7)

В автомодельных координатах (2.8) система уравнений (2.6), (2.7) принимает вид

^ f   11       def =       1 x (hh"+2xh"′+2h"+  1 r xp′)=0,

(3.1)

^ f   21       def =       1 r (  1 r xp′)=0,

(3.2)

где ′=d/dx. Из уравнения (3.2) следует, что

1 r xp′=0,

следовательно, из уравнения (3.1) получаем

j(x,h)    def =     hh"+2xh"′+2h"=0.

(3.3)

Для полученной системы (3.1), (3.2) граничные условия (2.4), (2.5) в автомодельных координатах (2.8) имеют вид

h=x,  p=p0 при x → +∞,

(3.4)

h=h′=0 при x = 0.

(3.5)

Из (3.2) и (3.4) следует, что

p=const=p0 при x ≠ 0.

Таким образом, получили уравнение (3.3) с граничными условиями (3.5) и

h=x при x → +∞.

(3.6)

Итак, доказана

Лемма 3. В автомодельных координатах (2.8) задача (2.6), (2.7), (2.4), (2.5) сводится к задаче (3.2)-(3.5), которая, после исключения p, сводится к задаче (3.3), (3.5), (3.6).

Лемма 4. Уравнение (3.3) не имеет решений, удовлетворяющих граничному условию (3.5).

Доказательство. Носитель уравнения (3.3) состоит из двух точек Q₁=(-2,2) и Q₂=(-2,1). Носитель, его выпуклая оболочка и нормальные конуса ее граней показаны на рис. 4. Граничное условие (3.5) накладывается при x → 0, т.е. p₁ ≤ 0. Из граничного условия (3.5) видно, что ищутся решения h→ 0 при x → 0, т.е. p₂ ≤ 0. Запишем h и x в виде (1.2) главы I, тогда x = b₁t^p₁, h=b₂t^p₂, т.е. h=b₃x^p₂^/p₁, где b₁, b₂, b₃ - постоянные, тогда h′=b₄x^-1+p₂^/p₁, где b₄ - постоянная. По граничному условию (3.5) h ′ → 0 при x → 0, т.е. -1+p₂/p₁ ≤ 0, следовательно, p₂ ≤ p₁. Таким образом, получен конус задачи K={p₂ ≤ p₁ ≤ 0}. Он заштрихован на рис. 4б, из которого видно, что с конусом задачи пересекается только нормальный конус U₂⁽⁰⁾, который соответствует вершине Q₂=G₂⁽⁰⁾.

 

Вершине Q₂=G₂⁽⁰⁾ соответствует укороченное уравнение

^ j   (0) 2       def =     2h" ′ x+2h"=0,

(3.7)

которое после умножения на x² становится уравнением Эйлера с характеристическим уравнением

l(l-1)2=0,

его корни l₁=0 и l₂=1 (кратный корень). Следовательно, все решения уравнения (3.7) имеют вид h=c₀+c₁x+c₂xlnx, т.е. h′=c₁+c₂+c₂lnx, где c₀, c₁, c₂ - произвольные постоянные. Из условия (3.5) на h′ получаем, что c₂=c₁=0, а из условия на h, получаем, что c₀=0. Следовательно, h ≡ 0. Таким образом, укороченное уравнение, соответствующее вершине Q₂, не имеет нетривиальных решений, удовлетворяющих граничному условию (3.5). Согласно теореме 1 главы I, уравнение (3.3) не имеет нетривиальных асимптотик решений вблизи иглы.

Следовательно, уравнение (3.3) не имеет нетривиальных решений, удовлетворяющих граничному условию (3.5). Лемма доказана.

Итак, задача (2.4)-(2.7) не имеет автомодельного решения. Этот результат имеется в статье Лайтхила и Глауэрта [13] (см. также [10,§ 35]).

§ 4. Неавтомодельные решения задачи (2.4)-(2.7)

В уравнениях (2.6), (2.7) делаем замену переменных

x=x,  x = r2/x,  h(x,x)=y/x,  p(x,x)=p,

(4.1)

т.е. в качестве независимых переменных берем x и x. Тогда

^ f   11     def =      4   ∂ 2h ∂ x ∂ x     ∂ h ∂ x -4  1 x h   ∂ 2h ∂ x2 -4   ∂ h ∂ x     ∂ 2h ∂ x2 -

-8  1 x x   ∂ 3h ∂ x3 -8  1 x     ∂ 2h ∂ x2 +  1 r ж и   ∂ p ∂ x -  1 x x   ∂ p ∂ x ц ш =0,

(4.2)

^ f   21     def =       1 rr x   ∂ p ∂ x =0

(4.3)

Граничные условия (2.4), (2.5) принимают вид

h=   ∂ h ∂ x =   ∂ h ∂ x =0 при x ≥ 0,  x = 0,

(4.4)

h=x,  p=p0 при x = ∞,  p0=const.

(4.5)

Лемма 5. Система уравнений (4.2), (4.3) не имеет решений, удовлетворяющих граничным условиям (4.4), (4.5).

Доказательство. Из граничного условия (4.5) имеем p=p₀, т.е. ∂ p/ ∂ x=0 при x →∞ . Из уравнения (4.3) следует, что ∂ p/ ∂ x = 0, т.е. давление p не зависит от x. Следовательно, свойство ∂ p/ ∂ x=0 можно продолжить на x ∈ (0,∞). Тогда уравнение (4.2) после сокращения на 4 принимает вид

∂ 2h ∂ x ∂ x     ∂ h ∂ x -  1 x h   ∂ 2h ∂ x2 -   ∂ h ∂ x     ∂ 2h ∂ x2 -2  1 x x   ∂ 3h ∂ x3 -2  1 x     ∂ 2h ∂ x2 =0,

(4.6)

Носитель уравнения (4.6) состоит из двух точек Q₁=(-1,-2,2) и Q₂=(-1,-2,1). У них совпадает координата q₁. Следовательно [5 гл. VI § 3] делаем логарифмическое преобразование t=lnx. Тогда

∂ h ∂ x =x-1   ∂ h ∂ t ,     ∂ 2 h ∂ x ∂ x =x-1   ∂ 2 h ∂ t ∂ x

и уравнение (4.6) принимает вид

j(t, x, h)    def =        ∂ 2h ∂ t ∂ x     ∂ h ∂ x -h   ∂ 2h ∂ x2 -   ∂ h ∂ t     ∂ 2h ∂ x2 -2x   ∂ 3h ∂ x3 -2   ∂ 2h ∂ x2 =0.

(4.7)

Носитель этого уравнения состоит из трех точек Q′₁=(-1,-2,2), Q′₂=(0,-2,2), Q′₃=(0,-2,1). У нас x → ∞, поэтому t → ∞, т.е. p₁ ≥ 0. Из бP,Q′₁с = бP,Q′₂ с -p₁ следует, что бP,Q′₂с > бP,Q′₁с. Согласно § 1 главы I, при t → ∞ первым приближением уравнения (4.7) является уравнение

^ j   (x, h)    def =      h   ∂ 2h ∂ x2 +2x   ∂ 3h ∂ x3 +2   ∂ 2h ∂ x2 =0.

(4.8)

При фиксированном x ≥ 0 из уравнения (4.8) и граничного условия (4.4) следуют уравнение (3.3) с граничным условием (3.5). По лемме 4 уравнение (3.3) не имеет решений, удовлетворяющих граничному условию прилипания на игле (3.5). Следовательно, уравнение (4.8) не имеет решений, удовлетворяющих граничное условие (4.4). Согласно теореме 1 главы I, уравнение (4.7) также не имеет таких решений. Это же относится к уравнению (4.6) и системе (4.2), (4.3). Лемма доказана.

Итак, из лемм 4 и 5 следует

Теорема 1. Задача (2.4)-(2.7) не имеет решений.

§ 5. Двухслойные автомодельные решения

Рассмотрим возможность существования двуслойного решения системы (1.5), удовлетворяющего граничным условиям (2.4), (2.5). Граничные условия на бесконечности (2.5) дают проекцию носителей системы (1.5), описанную в доказательстве леммы 2 и показанную на рис. 2. Но в этом случае для получения укороченной системы, соответствующей   внешнему   слою,  рассматриваем   расширенный конус системы ^∨ U_J^D= ^∨ U₁⁽¹⁾∩ ^∨ U₂⁽¹⁾ (рис. 3). Направляющий вектор нормального конуса [U\tilde]₂⁽¹⁾ это вектор [(P)\tilde]=(1,1). Согласно условиям (2.9), восстанавливаем по нему вектор P=(1,1,2,0). Полученному вектору P соответствуют грани носителей S(f₁) и S(f₂), содержащие точки: Q₁, Q₂, Q₅, Q₆. Этим точкам соответствует укороченная система

^ f   12     def =      й л -  1 r     ∂ y ∂ x    ∂ ∂ r ж и  1 r    ∂ y ∂ r ц ш +  1 r    ∂ y ∂ r    ∂ ∂ x ж и  1 r    ∂ y ∂ r ц ш щ ы +  1 r    ∂ p ∂ x =0,

(5.1)

^ f   22     def =      й л  1 r    ∂ y ∂ x    ∂ ∂ r ж и  1 r    ∂ y ∂ x ц ш -  1 r    ∂ y ∂ r    ∂ ∂ x ж и  1 r    ∂ y ∂ x ц ш щ ы +  1 r    ∂ p ∂ r =0.

В обозначениях § 1 главы I имеем P=(P′,P"), т.е. P′=(1,1); B′₁=(-2,2). Согласно теореме 3 главы I, T′₃=(2,0), T′₄=(0,0) и автомодельные координаты для задачи (5.1), (2.4), (2.5) имеют вид

h = r2/x2,  x3    def =     y = x2g(h),  x4    def =     p=p(h).

(5.2)

В этих автомодельных координатах система (5.1) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений

^ f   12     def =       2 x ж и -4gg"-  1 r hpў ц ш =0,

(5.3)

^ f   22     def =       2 r ж и -2h-1g2+2ggў-4hgg"+  1 r hpў ц ш =0.

(5.4)

Из (5.3) следует равенство

1 r hp′=-4gg".

Подставляя его в уравнение (5.4), получаем уравнение

j(h, g)    def =      -h-1g2+gg ′ -2hgg"-2gg"=0.

(5.5)

Граничные условия на бесконечности (2.5) в автомодельных координатах (5.2) принимают вид

∂ g ∂ h =1 при h →∞ .

(5.6)

 

 

Рассмотрим асимптотики решений уравнения (5.5) при h → 0, т.е. при приближении к внутреннему слою. Носитель уравнения (5.5) состоит из двух точек Q₁=(-1,2), Q₂=(-2,2), их выпуклая оболочка - это горизонтальный отрезок, их соединяющий. Носитель, выпуклая оболочка и нормальные конуса ее граней показаны на рис. 5. Нас интересуют решения при h → 0, т.е. p₁ ≤ 0. В эту полуплоскость попадают нормальные конуса U₂⁽⁰⁾ и U₁⁽¹⁾. Нормальному конусу U₂⁽⁰⁾ соответствует вершина Q₂=G₂⁽⁰⁾, которой соответствует укороченное уравнение [^(j)]₂⁽⁰⁾[(   def) || ( = )]  -2gg"=0. Все его решения имеют вид g=b₀+b₁h, где b₀,b₁ - произвольные постоянные. Это значит, что при h → 0 уравнение (5.5) имеет асимптотики решений

g=b0,  g=b1h.

(5.9)

Согласно (5.2), в исходных координатах, во внешнем слое, асимптотики функции тока при h = r²/x²→ 0 имеют вид

y = c0 r2,  y = c1 x2.

Нормальному конусу U₁⁽¹⁾ соответствует все уравнение (5.5). Методами § 2 легко показать, что решения этого уравнения не имеют асимптотик при h → 0.

Следовательно, для внутреннего слоя получаем два варианта граничных условий на бесконечности

y = c0 r2,  p=p0 при r → ∞,

(5.10),

y = c1 x2,  p=p0 при r → ∞,

(5.11).

Граничные условия (5.10) аналогичны условиям (2.5) и им соответствует проекция носителей системы (1.5), сделанная в доказательстве леммы 2. Более того, для получения укороченной системы, соответствующей внутреннему слою, применима лемма 2 и все дальнейшие вычисления для однослойного решения, сделанные в § 3. Согласно лемме 4 в этом случае на внутреннем слое нет автомодельного решения, удовлетворяющего граничным условиям на игле.

 

Граничные условия (5.11) перепишем в виде f₃[(   def) || ( = )]  y-c₁x²=0, f₄[(   def) || ( = )]  p-p₀=0, где p₀=const. Этим условиям соответствуют носители: S(f₃) состоит из точек Q₁₃=(0,0,1,0) и Q₁₄=(2,0,0,0), S(f₄) состоит из точек Q₁₁=(0,0,0,1) и Q₁₂=(0,0,0,0). Согласно теореме 2 главы I вектор P=(p₁,p₂,p₃,p₄) должен удовлетворять условиям бQ₁₃,Pс = бQ₁₄,Pс и бQ₁₁,Pс = бQ₁₂,Pс, т.е.

p3=2p1,  p4=0.

(5.12)

Согласно этим условиям на вектор P, вектора Q_k можно спроецировать на плоскость [(Q)\tilde]=([(q)\tilde]₁,[(q)\tilde]₂) по формулам [(q)\tilde]₁=q₁+2q₃, [(q)\tilde]₂=q₂, а значением q₄ мы пренебрегаем. Проекции [(Q)\tilde]_k точек Q_k носителей уравнений системы (1.5) содержатся в седьмом столбце таблицы 1. Проекции носителей, их выпуклые оболочки и нормальные конуса их граней показаны на рис. 6. Как и в доказательстве леммы 2, игле соответствует IV квадрант плоскости (p₁,p₂). Граничному условию (5.11) соответствуют точки из I квадранта плоскости (p₁,p₂). Совмещение рисунков нормальных конусов проекций показано на рис. 7. Из него видно, что IV квадрант и точки из I квадранта содержаться только в расширенном нормальном конусе системы ^∨ U_J^D= ^∨ U₁⁽¹⁾∩ ^∨ U₂⁽¹⁾. Направляющий вектор нормального конуса [U\tilde]₁⁽¹⁾ это вектор [(P)\tilde]=(1,1). Согласно условиям (5.12), восстанавливаем по нему вектор P=(1,1,2,0). Восьмой столбец таблицы 1 содержит значения скалярных произведений D_k=б[(P)\tilde],[(Q)\tilde]_kс для [(P)\tilde]=(1,1).

 

Полученному вектору P соответствуют грани носителей уравнений системы (1.5) S(f₁) и S(f₂), содержащие точки: Q₁, Q₂, Q₅, Q₆. Этим точкам соответствует укороченная система (5.1) и автомодельные координаты (5.2). В девятом столбце (T) таблицы 1 знак "+" отмечает максимальные значения б[(P)\tilde],[(Q_k)\tilde]с для данного i, соответствующие им члены суммы f_i включены в укорочение [^(f)]_i1^(d_i⁾ в (5.1).

В автомодельных координатах (5.2) граничное условие (2.4) принимает вид

g=g ′ =0 при h→ 0.

(5.13)

Для системы (5.1), как уже известно, решения при h → 0 имеют асимптотики (5.9). Они удовлетворяют условию (5.13) только при b₀=b₁=0, т.е. g ≡ 0. Следовательно, на внутреннем слое задача (1.5), (2.5), (5.10) не имеет автомодельных решений удовлетворяющего всем граничным условиям.

Итак, доказана

Лемма 6. Задача (1.5), (2.4), (2.5) не имеет двуслойных автомодельных решений.

§ 6. Двухслойные неавтомодельные решения

В результате замены переменных

x=x,  h = r2/x2,  g(x,h)=y/x2,  p(x,h)=p,

(6.1)

система (5.1) принимает вид

^ f   12     def =       2 x ж и -4g   ∂ 2g ∂ h2 -x  ∂ g ∂ x    ∂ 2g ∂ h2 +2x  ∂ g ∂ h    ∂ 2g ∂ x∂ h +

+  x 2r    ∂ p ∂ x -  1 r h  ∂ p ∂ h ц ш =0,

(6.2)

^ f   22     def =       2 r ж и -2h-1g2-2xh-1g  ∂ g ∂ x -  1 2 x2h-1 ж и  ∂ g ∂ x ц ш 2   +2g  ∂ g ∂ h +2xg  ∂ 2g ∂ x∂ h +

+x2  ∂ g ∂ x    ∂ 2g ∂ x∂ h -4hg  ∂ 2g ∂ h2 -2xh  ∂ g ∂ x    ∂ 2g ∂ h2 -2x  ∂ g ∂ x    ∂ g ∂ h +

+2xh  ∂ g ∂ h    ∂ 2g ∂ x∂ h +  1 r h  ∂ p ∂ h ц ш =0.

(6.3)

Граничные условия (2.4), (2.5) принимают вид

g=   ∂ g ∂ x =   ∂ g ∂ h =0 при x ≥ 0,  h = 0,

(6.4)

g=h,  p=p0 при h = ∞,  p0=const.

(6.5)

У слагаемых в уравнениях (6.2) и (6.3) векторные показатели степени Q=(q₁, q₂, q₃, q₄) имеют q₁=-1 и q₁=0 соответственно. Делаем логарифмическое преобразование

t=lnx,

(6.6)

тогда ∂ g/ ∂ x=x^-1 ∂ g/ ∂ t. Получим

^ f   12     def =       2 x ж и -4g   ∂ 2g ∂ h2 -  ∂ g ∂ t    ∂ 2g ∂ h2 +2  ∂ g ∂ h    ∂ 2g ∂ t∂ h +  1 2r    ∂ p ∂ t -  1 r h  ∂ p ∂ h ц ш =0,

(6.7)

^ f   22     def =       2 r ж и -2h-1g2-2h-1g  ∂ g ∂ t -  1 2 h-1 ж и  ∂ g ∂ t ц ш 2   +2g  ∂ g ∂ h +2g  ∂ 2g ∂ t∂ h +

+  ∂ g ∂ t    ∂ 2g ∂ t∂ h -4hg  ∂ 2g ∂ h2 -2h  ∂ g ∂ t    ∂ 2g ∂ h2 -2  ∂ g ∂ t    ∂ g ∂ h +

+2h  ∂ g ∂ h    ∂ 2g ∂ t∂ h +  1 r h  ∂ p ∂ h ц ш =0.

(6.8)

Носители уравнений (6.7), (6.8) состоят из следующих точек

S( ^ f   12  )={Q′1=(0,-2,2,0),  Q′2=(-1,-2,2,0),  Q′3=(-1,0,0,1),

Q′4=(0,0,0,1)};S( ^ f   22  )={Q′5=(0,-1,2,0),  Q′6=(-1,-1,2,0),

Q′7=(-2,-1,2,0), Q′8=(0,0,0,1)}.

Поскольку t=lnx, то t → ∞ при стремлении  x  к бесконечности, т.е. p₁ > 0.   Следовательно, бQ′₁,Pс > бQ′₂,Pс и бQ′₄,Pс > бQ′₃,Pс. Во втором уравнении бQ′₅,Pс > бQ′₆,Pс > бQ′₇,Pс. Согласно § 1 главы I, при h → 0, x → ∞ первым приближением системы уравнений (6.7), (6.8) является укороченная система, которая является в точности системой (5.3), (5.4). При h → 0 ее решения суть g=b₀(t),  g=b₁(t)h, где b₀(t), b₁(t) - многочлены от t, т.е. в исходных координатах асимптотики функции тока при h = r²/x²→ 0 имеют вид

y = c0(lnx)r2,  y = c1(lnx)x2,

(6.9)

b₀(lnx), b₁(lnx) - многочлены от lnx. Носители полученных асимптотик в точности совпадают с носителями асимптотик (5.10), (5.11). Следовательно, при выделении укорочений системы (1.5), соответствующих двум вариантам граничных условий (6.9) все построения и вычисления совпадают с построениями и вычислениями, сделанными для граничных условий (5.10), (5.11).

Граничному условию (5.10) соответствует укороченная система (2.6), (2.7). После замены (4.1), она становится системой (4.2), (4.3), а граничное условие на игле принимает вид (4.4). Согласно лемме 5 система (4.2), (4.3) не имеет решений, удовлетворяющих граничному условию (4.4). Следовательно, в случае граничного условия (5.10), на внутреннем слое нет неавтомодельных решений, удовлетворяющих граничному условию на игле.

Граничному условию (5.11) соответствует укороченная система уравнений (5.1). После замен (6.2), (6.6), она переходит в систему уравнений (6.7), (6.8). При h → 0, x → ∞ первым приближением системы уравнений (6.7), (6.8) является укороченная система, из которой при фиксированном x ≥ 0 следует система (5.3), (5.4). При этом из граничного условия (6.4) следует условие (5.13). При h → 0 решения системы (5.3), (5.4) суть (5.9). Они удовлетворяют условию (5.13) только при b₀=b₁=0, т.е. g ≡ 0. Следовательно, на внутреннем слое задача (1.5), (5.11) не имеет неавтомодельного решения, удовлетворяющего граничным условиям на игле (2.5).

Итак, доказана

Лемма 7. Задача (1.5), (2.4), (2.5) не имеет двуслойных неавтомодельных решений.

Из лемм 6 и 7 следует

Теорема 2. Задача (1.5), (2.4), (2.5) не имеет двуслойных решений.

[1] Л.Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978.

[2] М.М. Васильев. Об осесимметричных течениях вязкого теплопроводного газа. Препринт N 11, М.: ИПМ, 2001. 13 с.

[3] M.M. Vasiliev. Obtaining the Self-Similar Asymptotics of Solutions to the Navier-Stokes Equations by Power Geometry // Progress in Analysis. Proceedings of the 3rd International ISAAC Congress (Eds. H. G. Begehr, R. P. Gilbert, M. W. Wong), Singapore: World Scientific, 2003, vol. 1, p. 93-101.

[4] M.M. Vasiliev. Asymptotics of some viscose, heat conducting gas flows // Proceedings of BAIL 2002 (Eds. S. Wang and N. Fowkes), Perth: University of Western Australia, 2002, p. 251-256.

[5] А.Д. Брюно. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998.

[6] А.Д. Брюно. Автомодельные решения и степенная геометрия // Успехи мат. наук, 2000, т. 55, вып. 1, с. 3-44.

[7] А.Д. Брюно. Степенные разложения решений системы алгебраических и дифференциальных уравнений // ДАН, 2001, т. 380, N 3, с. 298-304.

[8] Т.В. Шадрина. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью. Препринт N 36, М.: ИПМ, 2002. 21 с.

[9] А.Д. Брюно. Степенные разложения решений одного алгебраического или дифференциального уравнения // ДАН, 2001, т. 380, N 2, с. 155-159.

[10] Л.Г. Лойцянский. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматлит, 1962.

[11] L. Prandtl. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandlungen des III. Internat Math.-Kongr., Heidelberg, 1904. Leipzig: Teubner 1905. S. 484-491.

[12] H. Blasius. Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung // Zeit. für Math. und Phys. 1908. V. 56. P. 1-37.

[13] M.B. Glauert, M.J. Lighthill. The axisymmetric boundary layer on a long thin cylinder // Proc. Roy. Soc., ser. A, 1955, 230, no. 1181, p. 188-203.

[14] А.Д. Брюно. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения. Препринт N 9, М.: ИПМ, 2003. 39 с.

[15] А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью // ДАН, 2002, т. 387, N 5, c. 589-595.

[16] T.V. Shadrina. The Axially Symmetric Boundary Layer around a Needle // Proceedings of BAIL 2002 (Eds. S. Wang and N. Fowkes), Perth: University of Western Australia, 2002, p. 213-220.

[17] А.Д. Брюно. Степенные асимптотики решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2003, т. 392, N 3, с. 295-300.

[18] А.Д. Брюно. Степенно-логарифмические разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2003, т. 392, N 4, с. 439-444.

[19] А.Д. Брюно. Нестепенные асимптотики решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2003, т. 392, N 5, с. 586-591.

[20] А.Д. Брюно. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // УМН, 2004, т. 59, N 3, с. 31-80.

[21] А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Осесимметричный пограничный слой на игле. Препринт N 64, М.: ИПМ, 2003. 32 с.

[22] А.Д. Брюно, Т.В. Шадрина. Осесимметричный пограничный слой на игле // ДАН, 2004, т. 394, N 3, с. 298-304.

[23] S. Goldstein. On the two-dimensional steady flow of a viscous fluid behind a solid body // Proceedings Royal Soc. London A 142 (1933), 545-562.

[24] K. Stewartson. On asymptotic expansions in the theory of boundary layers // J. Math. and Phys., 36 (1957), 173-191.

[25] A.I. Van de Vooren, D. Dijkstra. The Navier-Stokes solution for laminar flow past a semi-infinite flat plate // J. Engineer. Math., vol. 4, no. 1 (1970), 9-27.

[26] R.I. MacLachlan. The boundary layer on a finite flat plate // Phys Fluids A, v.3, no.2 (1991), 341-348.

[27] R.A. Seban, R. Bond. Skin-friction and heat-transfer characteristics of a laminar boundary layer on a cylinder in axial incompressible flow // J. Aeronaut. Sci. 18 (1951), 671-675.

[28] H.R. Kelly. A note on the laminar boundary layer on a circular cylinder in axial incompressible flow // J. Aeronaut. Sci. 21 (1954), 634.

[29] Lord Rayleigh. On the motion of solid bodies through viscous liquid // Phil. Mag. (6) 21, (1911), 697-711.

[30] K. Pohlhausen. Zur näherungsweisen Integration der Differentialgleichung der laminaren Grenzschicht // Ebenda [Zs. f. angew. Math. u. Mech. 1 (1921)], 252-268.

[31] K. Stewartson. The asymptotic boundary layer on a circular cylinder in axial incompressible flow // Quarterly J. Mech and Appl. Math 13 (1955), 113-122.

[32] Шадрина Т.В. Пограничный слой при осесимметричном обтекании иглы // Дифференциальные уравнения, 2002, т. 38, N 6, с.853-854.

[33] Шадрина Т.В. Об осесимметричном обтекании иглы вязкой несжимаемой жидкостью. // XXVIII Гагаринские чтения. Тезисы докладов. М: МАТИ, 2002, т.2, с. 98-99.

[34] Bruno A.D., Shadrina T.V. The axially symmetric boundary layer around a needle // International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Abstracts. M.: MAI, 2002, p.18-19.

[35] Bruno A.D., Shadrina T.V. The axially symmetric boundary layer around a needle // International Conference "Navier-Stokes Equations and Related Topics" (NSEC8). Abstracts. S.Petersburg: Euler Inst., 2002, p.18-19.

[36] Шадрина Т.В. Осесимметричный пограничный слой на игле // XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики". Тезисы докладов. Дюрсо, с.167-168.

 

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 17 May 2005, 16:55.