Режимы неуправляемого вращательного движения КА "Прогресс" для экспериментов в области микрогравитации
( The Modes of the Spacecraft Progress Uncontrolled Attitude Motion for Carrying out Experiments in Microgravity Science
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

1. Космические эксперименты на кораблях "Прогресс". Микрогравитационная обстановка на Российском сегменте Международной космической станции (МКС) достаточно сильно возмущена. По этой причине в настоящее время изучается возможность проведения экспериментов в области микрогравитации на кораблях "Прогресс", функционирование которых в составе МКС завершено. Такие корабли топят в океане, но перед затоплением их часто используют для разного рода экспериментов. В данном случае решивший свою основную задачу корабль "Прогресс" предполагается загрузить научным оборудованием, предварительно доставленным на станцию, отстыковать от станции и отправить в самостоятельный полет вблизи нее. Во время такого полета, который продлится несколько суток большей частью в режиме неуправляемого углового движения, на корабле в автоматическом режиме проведут эксперименты. Затем корабль пристыкуют к станции, из него выгрузят оборудование и будут готовить для затопления или новой научной экспедиции.

Чтобы обосновать целесообразность описанных экспедиций, необходимо прежде всего оценить микрогравитационную обстановку на корабле в неуправляемом полете. Такие оценки были проведены методом математического моделирования для четырех режимов углового движения: 1) трехосной гравитационной ориентации, 2) гравитационной ориентации вращающегося спутника, 3) закрутки в плоскости орбиты вокруг оси максимального момента инерции, 4) двухосной закрутки в плоскости орбиты.

При выборе режима кроме уровня микроускорений необходимо учитывать еще два требования. Во-первых, режим должен обеспечивать приемлемый средний токосъем с солнечных батарей. Во-вторых, он должен существовать длительное время и слабо зависеть от ошибок задания начальных условий. Первое требование связывает выбор режима с расположением Солнца относительно плоскости орбиты. Например, если Солнце лежит в плоскости орбиты, то режимы 1 и 3 неприемлемы по токосъему. Если же Солнце находится высоко над плоскостью орбиты, то они приемлемы. Второе требование не является обязательным, однако его целесообразно поставить, поскольку обычно неупорядоченное угловое движение КА сопровождается быстрым увеличением угловой скорости и, следовательно, повышением уровня микроускорений. Выполнение двух последних требований также проверялось математическим моделированием. Ниже описаны результаты всех указанных проверок для перечисленных режимов движения.

2. Уравнения движения КА. КА "Прогресс"  будем считать твердым телом, центр масс которого движется по геоцентрической орбите. Для записи уравнений движения КА и анализа этого движения введем четыре правые декартовы системы координат:

CY₁Y₂Y₃ - вторая геоэкваториальная система координат. Точка C - центр Земли, плоскость CY₁Y₂ совпадает со средней плоскостью экватора эпохи даты, оси CY₁ и CY₃ направлены в точку весны и северный полюс мира. Эту систему координат считаем инерциальной.

Cy₁y₂y₃ - гринвичская система координат. Плоскость Cy₁y₂ совпадает с плоскостью экватора, ось Cy₁ пересекает гринвичский меридиан, ось Cy₃ направлена по оси вращения Земли. Полагаем, что формулы перехода от системы Cy₁y₂y₃ к системе CY₁Y₂Y₃ имеют вид

Y1=y1cosS-y2sinS ,    Y2=y1sinS+y2cosS ,   Y3=y3 ,

где S - гринвичское звездное время. Иными словами, нутацией Земли пренебрегаем.

Ox₁x₂x₃ - система координат, образованная главными центральными осями инерции КА. Точка O - центр масс КА. Упрощая модель, полагаем что ось Ox₁ направлена вдоль продольной оси КА в сторону агрегатного отсека, ось Ox₂ перпендикулярна плоскости солнечных батарей, светочувствительная сторона батарей обращена к полупространству x₂ > 0.

OX₁X₂X₃ - орбитальная система координат. Ось OX₃ направлена вдоль геоцентрического радиуса-вектора точки O, ось OX₂ - вдоль вектора кинетического момента орбитального движения КА.

Матрицу перехода от системы OX₁X₂X₃ к системе Cy₁y₂y₃ обозначим || c_ij ||  ³_i,j=1, где c_ij - косинус угла между осями Cy_i и OX_j. Элементы этой матрицы выражаются через координаты и компоненты скорости центра масс КА в гринвичской системе координат.

Матрицы перехода от системы Ox₁x₂x₃ к системам OX₁X₂X₃ и Oy₁y₂y₃ обозначим соответственно || a_ij ||  ³_i,j=1 и || b_ij ||  ³_i,j=1. Здесь a_ij - косинус угла между осями OX_i и Ox_j, b_ij - косинус угла между осями Oy_i и Ox_j.

Положение системы Ox₁x₂x₃ относительно системы OX₁X₂X₃ будем задавать также углами g, d и b, которые введем следующим образом. Система OX₁X₂X₃ может быть переведена в систему Ox₁x₂x₃ тремя последовательными поворотами: 1) на угол d+p/2 вокруг оси OX₂, 2) на угол b вокруг новой оси OX₃, 3) на угол g вокруг новой оси OX₁, совпадающей с осью Ox₁. Элементы матрицы || a_ij || выражаются через эти углы с помощью формул

a11 = -sindcosb, a12 = cosdsing+sindsinbcosg, a13 = cosdcosg-sindsinbsing,        a21 = sinb, a22 = cosbcosg, a23 = -cosbsing,

a31 = -cosdcosb, a32 = -sindsing+cosdsinbcosg, a33 = -sindcosg-cosdsinbsing.

Справедливы соотношения

bij= 3 е k=1  cikakj       (i,j=1,2,3) .

(1)

Уравнения движения КА состоят из двух подсистем. Одна подсистема описывает движение центра масс КА, другая - его движение относительно центра масс. Подсистема уравнений движения центра масс КА записывается в гринвичской системе координат с учетом нецентральности гравитационного поля Земли и сопротивления атмосферы. Нецентральность поля учитывается с точностью до членов порядка (8,8) включительно в разложении гравитационного потенциала Земли в ряд по шаровым функциям. Атмосфера считается вращающейся вместе с Землей, ее плотность рассчитывается согласно модели ГОСТ 25645.115-84 (редакция 1990 г.). Параметры атмосферы и баллистический коэффициент КА считаются неизменными. Значения этих величин и начальные условия движения центра масс КА берутся в ЦУП.

В уравнениях движения КА относительно центра масс учитываются гравитационный и восстанавливающий аэродинамический моменты. Эти уравнения имеют вид

Ч w   1  =m(w2w3-nx2x3) ,

Ч w   2  =  1-l 1+lm (w1w3-nx1x3)+  kv3 1+lm  ,

Ч w   3  =-(1-l+lm)(w1w2-nx1x2)-kv2 ,

(2)

Ч b   11  =b12w3-b13w2+wE b21 ,

Ч b   12  =b13w1-b11w3+wE b22 ,

Ч b   13  =b11w2-b12w1+wE b23 ,

Ч b   21  =b22w3-b23w2-wE b11 ,

Ч b   22  =b23w1-b21w3-wE b12 ,

Ч b   23  =b21w2-b22w1-wE b13 ,

l =  I1 I3  ,    m =  I2-I3 I1  ,   n =  3mE r5  ,    r= Ц   x12+x22+x32    ,

k = Elra ж и  p1 | v1 | +p2 Ц   v22+v32   +p3 | v2 |    ц ш  .

Здесь точка над буквой означает дифференцирование по времени t; w_i, x_i и v_i (i=1,2,3) - компоненты в системе координат Ox₁x₂x₃ соответственно абсолютной угловой скорости  [(w)\vec]  КА, радиуса-вектора r точки O и скорости v этой точки относительно поверхности Земли; параметры p_i характеризуют действующий на КА аэродинамический момент; w_E - модуль абсолютной угловой скорости вращения Земли; I_i - моменты инерции КА относительно осей Ox_i; m_E - гравитационный параметр Земли; r_a - плотность атмосферы в этой точке; E - масштабирующий множитель.

При вычислении аэродинамического момента предполагалось, что КА имеет форму прямого кругового цилиндра с двумя прикрепленными к нему прямоугольными пластинами - солнечными батареями. Цилиндр имеет радиус R и высоту L, его ось совпадает с осью Оx₁. Пластины расположены в плоскости Ox₁x₃ симметрично относительно оси Оx₁, их длинные стороны параллельны оси Оx₃. В системе Ox₁x₂x₃ координаты геометрических центров масс цилиндра и батарей суть (d₁,0,0) и (d₂,0,0). В этом случае аэродинамические параметры p_i определяются соотношениями

p1=  pR2d1 I1  ,    p2=  2RLd1 I1  ,   p3=  SBd2 I1  .

Значения параметров уравнений (2):

l = 0.139 ,   m = 0.223 ,    p1=-2.59·10-4  м/кг,

p2=-1.13·10-3  м/кг,    p3=7.79·10-3  м/кг.

При численном интегрировании этих уравнений единицей измерения времени служит 1000 с, единицей измерения длины - 1000 км, скорость выражается в км/с, единица измерения угловой скорости - 0.001 с^-1, плотность атмосферы и аэродинамические параметры задаются в системе единиц СИ, E=10¹². Недостающие элементы матрицы перехода || b_ij || вычисляются по формулам b₃₁=b₁₂b₂₃-b₁₃b₂₂ и т. п.

Переменные b_1i и b_2i зависимы, они связаны условиями ортогональности матрицы || b_ij ||. По этой причине, а также из соображений удобства начальные условия для b_1i и b_2i вычисляются по формулам (1), в которых элементы a_ij выражаются через значения введенных выше углов g, d и b в начальный момент времени, а элементы c_ij выражаются через начальное значение фазового вектора центра масс КА.

Предположение о постоянстве баллистического коэффициента КА делает подсистему уравнений движения его центра масс независимой от подсистемы уравнений вращательного движения (2). В принципе, в полной системе уравнений движения баллистический коэффициент можно было представить точной формулой, поскольку ориентация КА определяется фазовым вектором этой системы. Однако такой подход не привел бы к реальному повышению точности модели и усложнил использование данных ЦУП об орбитальном движении.

3. Режимы вращательного движения КА. Чтобы пояснить режимы неуправляемого вращательного движения КА, предлагаемые для проведения космических экспериментов, рассмотрим эти режимы в упрощенной ситуации. Орбита КА в свободном полете близка к круговой, аэродинамический момент влияет на вращательное движение КА существенно слабее гравитационного момента. В таком случае для анализа этого движения наряду с уравнениями (2) можно рассмотреть более простые уравнения, записанные в предположении, что орбита центра масс КА - круговая и неизменна в абсолютном пространстве и что на КА действует один лишь гравитационный момент. Такие упрощенные уравнения имеют вид

Ч w   1  =m(w2w3-3w20a32a33) ,

Ч w   2  =  1-l 1+lm (w1w3-3w20a31a33) ,

Ч w   3  =-(1-l+lm)(w1w2-3w20a31a32) ,

(3)

Ч g   =w1-tgb (w2cosg-w3sing) ,

Ч d   =  w2cosg-w3sing cosb -w0 ,

Ч b   =w2sing+w3cosg .

Здесь w₀ - среднее движение КА (орбитальная частота), величины a_3i выражаются через углы g, d и b. Исследуемым режимам неуправляемого движения КА отвечают простые частные решения уравнений (3).

Трехосная гравитационная ориентация. Уравнения (3) допускают четыре стационарных решения, которые можно задать соотношениями

sing = sind = b = 0 ,    w1=w3=0 ,   w2=w0cosg .

(4)

Эти решения описывают положения равновесия КА в орбитальной системе координат. В них оси Ox₁ и Ox₂ совпадают с осями ▒OX₁ и ▒OX₂ соответственно. Выбор знаков здесь произволен. Достаточные условия устойчивости по Ляпунову решений (4) выражаются неравенствами [1]: 0 < l < 1, 0 < m, которые для КА "Прогресс"  выполнены.

Режим гравитационной ориентации вращающегося спутника. При m = 0 (осесимметричный КА: I₂=I₃) уравнения (3) допускают два семейства частных решений, которые можно записать в виде

w1=W ,    w2=w0cosbcosg ,   w3=-w0cosbsing ,

(5)

g =  4(1-l) 4-3l Wt+g0 ,    sind = 0 ,    b = arcsin   lW w0(4-3l)  ,

Здесь g₀ и W - произвольные постоянные, l|W| <= w₀|4-3l|. Одно семейство получается при d = 0, другое - при d = p. В случае l < 1 решение (5) устойчиво по переменным d, b, w₁, w₂=w₂cosg-w₃sing и w₃=w₂sing+w₃cosg [1, 2]. Величины w₂, w₃ представляют собой проекции абсолютной угловой скорости КА на оси Резаля, совпадающие с осями Ox₂, Ox₃ при g = 0. В решениях (5) w₂=cosb, w₃=0.

При l << 1 решения, близкие к (5), можно использовать для реализации длительного неуправляемого полета осесимметричного КА в режиме одноосной гравитационной ориентации [3]. Например, при l = 0.14 и W = 0.3 гр./с имеем в (10) b = 9.8^░, т. е. ось Ox₁ мало отклоняется от оси OX₃ (в случае d = 0) или от оси (-OX₃) (в случае d = p).

При |m| << 1 существуют двухпараметрические семейства периодических решений уравнений (3), совпадающие в точке m = 0 с семействами (5) [3]. Такие решения и близкие к ним можно использовать для реализации одноосной гравитационной ориентации трехосного спутника.

Одноосная закрутка в плоскости орбиты. Уравнения (3) допускают два семейства частных решений, в котором

sing = b = 0 ,    w1=w3=0 ,   w2=(w0+ Ч d   )cosg ,

(6)

а d определяется уравнением математического маятника

2 ЧЧ d   +  3(1-l) 1+lm w02sin2d = 0 .

(7)

Решения такого вида достаточно разнообразны. В частности, если взять стационарные решения уравнения (7) d = 0 и d = p, то решения (6), (7) совпадут с решениями (4). В данном случае интерес представляют вращательные решения уравнения (7) с угловой скоростью [(d)\dot] ╗ const, |[(d)\dot]| >> w₀.

Двухосная закрутка в плоскости орбиты. При l = m = 0 (КА - материальный отрезок оси Ox₁) уравнения (3) допускают семейство частных решений, в котором

b = 0 ,    w1= Ч g    ,   w2=(w0+ Ч d   )cosg ,   w3=-(w0+ Ч d   )sing ,

(8)

а g и d определяются уравнениями

ЧЧ g   =0 ,    2 ЧЧ d   +3w02sin2d = 0 .

(9)

Такие решения при d = 0 или d = p совпадают с решениями (5), при g = 0 или g = p - с решениями (6), (7). Для данного исследования интерес представляют вращательные решения по переменным g и d, скорости изменения которых [(g)\dot]=const, [(d)\dot] ╗ const удовлетворяют соотношениям |[(g)\dot]| >> w₀, |[(d)\dot]| >> w₀. В [4] при l << 1, |m| << 1 построена четырехмерная интегральная поверхность уравнений (3), совпадающая в точке l = m = 0 с семейством (8), (9) и состоящая из решений, обладающих требуемыми свойствами. Решения, принадлежащие указанной интегральной поверхности можно использовать для обеспечения равномерной освещенности поверхности спутника Солнцем.

4. Критерии оценки режимов вращательного движения КА. В силу непрерывной зависимости решений уравнений (2) от начальных условий и параметров эти уравнения допускают решения, которые, если переменные b_1i, b_2i пересчитать в углы g, d и b, будут близки решениям уравнений (3), в частности, решениям вида (4) - (9). Чтобы движения КА, описываемые такими решениями, можно было использовать для микрогравитационных исследований, они должны удовлетворять трем условиям: 1) обеспечивать достаточно малый уровень микроускорений на борту КА, 2) обеспечивать приемлемый токосъем с солнечных батарей, 3) существовать длительное время. Третье условие для каждого режима формулируется по-своему, первые два условия универсальны и определяются следующим образом.

Остаточные микроускорения. Пусть КА представляет собой твердое тело, и точка P, жестко связана с его корпусом. Микроускорением b в точке P называется разность между напряженностью гравитационного поля в этой точке и абсолютным ускорением последней. Если в точке P закрепить пробное тело с исчезающе малой массой m, то сила реакции, действующая на это тело со стороны КА, будет равна -mb. Из негравитационных воздействий на КА будем учитывать только сопротивление атмосферы. Тогда микроускорение можно найти по формуле [5]

b= → r   × Ч → w   +( → w   × → r   )× → w   +  mE r3 й к л 3( → r   ·r) r2  r- → r      щ ъ ы +cra|v|v .

Здесь [(r)\vec]= [(→ ) || ( OP)], c - баллистический коэффициент КА. Остальные обозначения были введены в разделе 2. Зная движение КА, можно по выписанной формуле рассчитать квазистатическую компоненту микроускорения в любой заданной точке борта в функции времени. Приводимые ниже результаты расчетов получены для точки P, имеющей в системе Ox₁x₂x₃ координаты (-3.5  м, 0.5  м, 0.5 м). Значения баллистического коэффициента в этих расчетах взяты те же, что и в уравнениях орбитального движения КА.

Средний токосъем. Снимаемый с батарей электрический ток пропорционален косинусу угла падения солнечных лучей на их светочувствительную поверхность. Пусть во второй геоэкваториальной системе координат орт направления "Земля - Солнце"  имеет компоненты A_i(t) (i=1,2,3). Эти компоненты рассчитываются по приближенным формулам [6]. Упомянутый косинус равен

h = a1b12+a2b22+A3b32 ,

a1=A1cosS+A2sinS ,    a2=-A1sinS+A2cosS .

Введем функцию z(t), определяемую соотношениями: [(z)\dot]=max(h,0), если спутник освещен Солнцем; [(z)\dot]=0, если спутник находится в тени Земли; z(0)=0. Условие пребывания спутника в тени Земли выражается неравенством

a1c13+a2c23+A3c33 _ -   ж Ц 1- ж и  aE r ц ш 2      .

Это неравенство получено в предположении, что Земля представляет собой шар радиуса a_E.

Функция z(t) с точностью до постоянного множителя примерно совпадает с электрическим зарядом, выработанным батареями на отрезке времени [0,t] (точный расчет заряда более сложен). Обозначим через t_N (N=0,1,2,...), t₀=0, моменты последовательных прохождений КА через восходящий узел орбиты и положим

EN=  z(tN)-z(tN-1) tN-tN-1  .

Величина E_N характеризует средний ток с батарей КА на N-ом витке его орбитального движения. При исследовании движения КА на продолжительных интервалах времени последовательность E_N будем представлять графически ломаной с вершинами в точках (N,E_N) (N=0,1,2,...). При исследовании движения на коротких временных интервалах эту последовательность будем представлять кусочно постоянной функцией E(t), значения которой на интервале t_N-1 <= t < t_N равны E_N.

5. Численное исследование вращательного движения КА. Чтобы проверить выполнение указанных выше условий для рассматриваемых режимов вращательного движения КА, проводилось численное интегрирование уравнений (2) вместе с уравнениями орбитального движения. Начальные условия задавались в одном из восходящих узлов орбиты. Момент прохождения этого узла принимался за начало отсчета времени. В качестве начальных условий орбитального движения использовались реальные значения фазового вектора МКС. Рассматривались два варианта этих условий. Соответствующие им решения уравнений орбитального движения назовем орбитой I и орбитой II. Начальные условия орбиты I задавались в восходящем узле, пройденном станцией в 04:49:26 ДМВ 15.02.2004. В этот момент орт направления "Земля - Солнце"  составлял с плоскостью орбиты (плоскостью OX₁X₃) угол -64.14^░. Знак "минус"  означает здесь, что Солнце лежало в полупространстве X₂ < 0. Затем Солнце двигалось в направлении плоскости орбиты. Начальные условия орбиты II задавались в восходящем узле, пройденном станцией в 05:28:12 ДМВ 29.02.2004. Орт направления "Земля - Солнце"  составлял тогда с плоскостью орбиты угол -4.72^░. В силу указанных свойств на орбитах I и II реализуются соответственно наиболее и наименее благоприятные условия токосъема.

Начальные условия вращательного движения по углам g, d и b задавались в соответствии с формулами (4) - (9). В определяемые этими формулами начальные условия по угловым скоростям w_i вносились ошибки величиной 0.01 гр./с. Результаты численного исследования рассматриваемых режимов приведены на рис. 1 - 16. Начальные условия представленных здесь решений указаны в подписях к рисункам. Опишем полученные результаты более детально.

Трехосная гравитационная ориентация. Результаты интегрирования уравнений (2) с начальными условиями этого режима представлены на рис. 1 - 3. Здесь приведены графики функций g(t), d(t), b(t), E(t) и w_i(t) (i=1,2,3), описывающих движение КА, а также графики компонент b_i(t) микроускорения b(t) в системе Ox₁x₂x₃ и его модуля |b(t)|. Для орбиты I принято g(0)=p - в начальный момент времени светочувствительная сторона батарей обращена к Солнцу. В случае орбиты II с учетом ее эволюции взято g(0)=0. Время существования данного режима не превышает нескольких суток. Длина отрезка времени, представленного на рис. 1, равна 80 орбитальным виткам (более 5 сут), на рис. 2 и 3 представлены отрезки длиной 50 витков (свыше 3 сут). Во всех этих примерах КА опрокидывается по углу d через несколько витков после последнего представленного на графиках момента времени. При более точной выставке начальных условий движения КА по угловой скорости время сохранения режима гравитационной ориентации КА увеличивается. По существу указанная точность определяет время существования режима.

Разрушение режима обусловлено непотенциальностью действующего на КА аэродинамического момента (см. обсуждение этого вопроса в обзоре [7] и указанной там литературе). В модельных задачах, когда орбита спутника - круговая и плотность атмосферы вдоль орбиты постоянна, такая непотенциальность проявляется как экспоненциальная неустойчивость описывающего режим гравитационной ориентации стационарного решения автономных уравнений движения. В случае КА "Прогресс"  непотенциальная составляющая аэродинамического момента создается солнечными батареями. В уравнениях (2) эта составляющая описывается членами, содержащими p₃.

Как видно из графиков функции E(t) на рис. 1 и 2, токосъем с солнечных батарей КА на орбите I достаточно большой. С течением времени по мере приближения Солнца к плоскости орбиты токосъем уменьшается. На орбите II (рис. 3) в начале ориентированного движения токосъем весьма мал, но по мере удаления Солнца от плоскости орбиты и нарастания возмущенного движения КА он увеличивается. Микроускорения в течение первых двух суток полета в рассматриваемом режиме, пока не успело развиться возмущенное движение, весьма малы. При этом вектор b достаточно точно параллелен оси Ox₁, а его модуль изменяется в узких пределах. Указанные свойства микроускорения делают режим трехосной гравитационной ориентации весьма удобным для проведения космических экспериментов по росту кристаллов.

Гравитационная ориентация вращающегося спутника. Решения уравнений (2), описывающие движение КА в этом режиме, представлены на рис. 4 - 8. Рис. 4, 5 иллюстрируют начальные отрезки движения продолжительностью 16 орбитальных витков (около суток). Эти два рисунка аналогичны рис. 1 - 3, только вместо графика угла g на них изображен график угла q = arccos |cosbcosd| между осью Ox₁ и осью ▒OX₃, этот угол характеризует точность ориентации КА; вместо графиков компонент угловой скорости w₂, w₃ приведены графики величин w₂ и w₃.

Как видно из рис. 4 и 5, рассматриваемый режим испытывает заметную эволюцию, но эти рисунки дают представление лишь о ее начальном участке. Чтобы описать движение КА на продолжительных интервалах времени применялся следующий прием. Выше была определена последовательность t_N (N=0,1,2,...) моментов прохождений центра масс КА через восходящий узел орбиты. Для решения уравнений (2), отвечающих данному орбитальному движению, определим последовательности чисел

dNў= min t О SN  d(t),   bNў= min t О SN  b(t),

qN= max t О SN  q(t),   dNўў= max t О SN  d(t),   bNўў= max t О SN  b(t),

w1Nў= min t О SN  w1(t),   w2Nў= min t О SN  w2(t),   w3Nў= min t О SN  w3(t),

w1Nўў= max t О SN  w1(t),   w2Nўў= max t О SN  w2(t),   w3Nўў= max t О SN  w3(t),

SN={t:  tN-1 _ t _ tN},    N=1,2,3,...

Эти последовательности будем представлять графически ломаными так же, как последовательность E_N. Пары последовательностей d_N ´ и d_N ^´´ , b_N ´ и b_N ^´´ , ..., w_3N ´ и w_3N ^´´ будем изображать в одних и тех же координатных осях. Такие пары характеризуют диапазоны изменения соответствующих переменных. Примеры последовательностей приведены на рис. 6 - 8. Они характеризуют движение КА в течение 160 витков (более 10 сут). За это время в движении на рис. 7 режим гравитационной ориентации вращающегося спутника успел разрушиться. Разрушение произошло примерно на 120-ом витке.

Вообще, разрушение рассматриваемого режима может произойти двумя способами. В движениях с d(0)=p сначала происходит медленное уменьшение w₁ и максимальных значений угла q (ср. рис. 5 - 7), а затем наблюдается захват спутника в резонанс между вращением вокруг оси Ox₁ и колебаниями этой оси относительно местной вертикали (оси OX₃). В резонансе происходит довольно быстрое разрушение ориентированного движения. В движениях с d(0)=0 наблюдается медленное увеличение w₁, сопровождаемое ростом максимальных на витке значений угла q (ср. поведение последовательностей w_1N ´ , w_1N ^´´ и q_N на рис. 8). При этом в каждый момент времени движение КА можно считать близким конической прецессии (5). Детальный анализ описанных процессов разрушения режима гравитационной ориентации вращающегося спутника проделан в [8]. В этой работе показано, что разрушение режима обусловлено непотенциальностью действующего на спутник восстанавливающего аэродинамического момента. В [9] описаны результаты математического моделирования режима гравитационной ориентации вращающегося спутника на МКС в конфигурации 1999 г. Эта конфигурация в общих чертах близка конфигурации КА "Прогресс". Использование режима на МКС в 1999 г. и орбитальных станциях "Салют-6"  и "Салют-7"  описано в [10 - 12].

Характерной чертой рассматриваемого режима является его определенная устойчивость по отношению к возмущениям начальных условий. В известных пределах эти возмущения не влияют на время существования режима. Анализ графиков функции E(t) на рис. 4, 5 и ломаных, представляющих последовательности E_N, на рис. 6 - 8 показывает, что режим гравитационной ориентации вращающегося спутника обеспечивает некоторый гарантированный токосъем с солнечных батарей при любом положении Солнца относительно плоскости орбиты. Разница в токосъеме на орбитах I и II сравнительно невелика - не более чем в два раза. Уровень микроускорений в рассматриваемом режиме примерно в полтора-два раза выше, чем в режиме трехосной гравитационной ориентации. Режим гравитационной ориентации вращающегося спутника может представлять интерес для длительных экспериментов в области микрогравитации.

Одноосная закрутка в плоскости орбиты. Соответствующие решения уравнений (2) приведены на рис. 9 - 11. Рис. 9 и 10 аналогичны рис. 1 - 3, только вместо графика угла d на них изображен график угла J = arccos |cosgcosd| между осью Ox₂ и осью ▒OX₂, этот угол характеризует отклонение нормали к солнечным батареям (оси максимального момента инерции КА) от нормали к плоскости орбиты.

Рис. 9, 10 описывают движение спутника на интервалах времени, равных 8 орбитальным виткам (более 12 час). Рис. 11 иллюстрирует продолжение решения, представленного на рис. 9 на интервал времени более 10 сут. На этом рисунке представлены ломаные, характеризующие введенные выше последовательности b_N ´ , b_N ^´´ , E_N, w_1N ´ , w_1N ^´´ и определяемые аналогичным образом последовательности J_N, g_N ´ , g_N ^´´ , w_iN ´ , w_iN ^´´ (i=2,3). Новые последовательности указывают диапазоны изменения переменных J, g, w₂, w₃.

В отношении токосъема одноосная закрутка очень похожа на режим трехосной гравитационной ориентации. По этой причине на рис. 9 - 11 представлена только орбита I - на орбите II токосъем мал. Уровень микроускорений в режиме закрутки существенно выше, чем в режиме гравитационной ориентации. Достоинство закрутки - в ее устойчивости. Под устойчивостью здесь понимается и сохранение режима в течение длительного времени, и его слабая зависимость от ошибок в задании начальных условий. Устойчивость режима тем выше, чем выше значение |[(d)\dot](0)|. Выбирая (ср. (6)) [(d)\dot](0) < 0, можно получить приемлемые свойства устойчивости и не слишком высокий уровень микроускорений - всего в полтора раза больше, чем в режиме трехосной гравитационной ориентации. Пример такого движения показан на рис. 9, 11.

Двухосная закрутка в плоскости орбиты. Решения уравнений (2), описывающие движение КА в режиме двухосной закрутки, представлены на рис. 12 - 16. Рис. 12 - 14 иллюстрируют начальные отрезки движения продолжительностью 8 орбитальных витков (более 12 час). Эти рисунки содержат графики функций b(t), w₂(t), w₃(t), E(t) и w_i(t) (i=1,2,3), а также графики микроускорений. Качество реализации режима характеризуется в данном случае функцией b(t). Напомним, что b - это угол между осью Ox₁ и плоскостью орбиты (плоскостью OX₁X₃). Чем меньше |b|, тем точнее реализован режим.

Рис. 15, 16 иллюстрируют решения на интервалах времени более 10 сут, решение на рис. 16 является продолжением решения на рис. 14. На этих рисунках представлены ломаные, характеризующие последовательности b_N ´ , b_N ^´´ , E_N, w_iN ´ , w_iN ^´´ , w_jN ´ , w_jN ^´´ (i=2,3;  j=1,2,3). Приведенные графики показывают, что режим устойчив и в этом отношении похож на режим одноосной закрутки в плоскости орбиты. Уровень микроускорений в этом режиме несколько выше, чем при одноосной закрутке, но зато этот режим обеспечивает достаточно высокий токосъем (выше, чем все остальные режимы) в случае орбиты II. Детальное исследование режима двухосной закрутки КА в плоскости орбиты проведено в [4, 13].

6. Заключение. Исследование показало, что каждый из четырех рассмотренных режимов неуправляемого вращательного движения КА "Прогресс"  обладает привлекательными качествами для проведения экспериментов в области микрогравитации. Трехосная гравитационная ориентация обеспечивает наименьший уровень микроускорений на сравнительно коротких (менее двух суток) интервалах времени и сравнительно малое изменение направления вектора микроускорения относительно связанных осей КА. Для использования этого режима на более длинных интервалах времени необходима более точная выставка начальных условий движения КА по угловым скоростям, чем могут обеспечить штатные средства. Кроме того, приемлемый уровень токосъема в этом режиме достигается лишь в случае, когда Солнце находится достаточно далеко от плоскости орбиты.

Режим гравитационной ориентации вращающегося спутника несколько уступает режиму трехосной гравитационной ориентации по уровню микроускорений, но может использоваться на гораздо более продолжительных (до нескольких недель) интервалах времени. В случае, если Солнце лежит в плоскости орбиты, уровень токосъема в этом режиме не очень большой, но стабильный и не опускается ниже некоторого уровня.

Одноосная закрутка в плоскости орбиты вокруг оси максимального момента инерции может существовать практически неограниченное время. Уровень микроускорений в этом режиме примерно в два-три раза выше, чем в режиме трехосной гравитационной ориентации, а условия по токосъему практически такие же.

Двухосная закрутка в плоскости орбиты устойчива, обеспечивает примерно такой же уровень микроускоренй как и одноосная закрутка, но гораздо более стабильный токосъем с солнечных батарей КА.

По-видимому, каждый из этих режимов может найти применение при проведении космических экспериментов на КА "Прогресс".

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-00323).

Литература

[1]

Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М., Наука, 1965.

[2]

Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника. Прикладная математика и механика, 1963, т. 28, вып. 1, с. 155-157.

[3]

Сарычев В.А., Сазонов В.В. Гравитационная ориентация вращающегося спутника. Космические исследования, 1981, т. 19, вып. 4, с. 499-512.

[4]

Сазонов В.В., Чебуков С.Ю., Кузнецова Е.Ю. Двухосная закрутка спутника в плоскости орбиты. Космические исследования, 2000, т. 38, вып. 3, с. 296-306.

[5]

Сарычев В.А., Беляев М.Ю., Сазонов В.В., Тян Т.Н. Определение микроускорений на орбитальных комплексах "Салют-6"  и "Салют-7". Космические исследования, 1986, т. 24, N 3, с. 337-344.

[6]

Меес Ж. Астрономические формулы для калькуляторов. М., Мир, 1988.

[7]

Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Итоги науки и техники. Исследование космического пространства, т. 11. М., ВИНИТИ, 1978.

[8]

Сазонов В.В., Петров А.Л. Эволюция режима гравитационной ориентации вращающегося спутника под действием непотенциального аэродинамического момента. Космические исследования, 1987, т. 25, вып. 4, с. 508-522.

[9]

Ветлов В.И., Новичкова С.М., Сазонов В.В. Исследование режима гравитационной ориентации вращающегося спутника. Препринт Института прикладной математики РАН, 1995, N 24.

[10]

Ветлов В.И., Новичкова С.М., Сазонов В.В., Матвеев Н.В., Бабкин Е.В. Режим гравитационной ориентации Международной космической станции. Космические исследования, 2001, т. 39, вып. 4, с. 436-448.

[11]

Костенко И.К., Ветлов В.И., Нырков А.Г., Сарычев В.А., Сазонов В.В. Режим обобщенной гравитационной ориентации на орбитальных комплексах "Салют-6" - "Космос-1267"  и "Салют-7" - "Космос-1443". Космические исследования, 1986, т. 24, вып. 1, с. 46-51.

[12]

Ветлов В.И., Сазонов В.В., Сарычев В.А. Влияние демпфирования на режим гравитационной ориентации вращающегося спутника. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1990, вып. 1, с. 3-11.

[13]

Ветлов В.И., Новичкова С.М., Сазонов В.В., Чебуков С.Ю. Режим двухосной закрутки спутника в плоскости орбиты. Космические исследования, 2000, т. 38, вып. 6, с. 628-638