Семейство автомодельных решений нестационарных уравнений идеальной МГД
( Family of self-similiar solutions of the nonstationary ideal MHD equations
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Еленина Т.Г., Устюгова Г.В.
(T.G.Yelenina, G.V.Ustyugova)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2004
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 03-01-00461, 03-02-16548)

Аннотация

Работа посвящена построению автомодельных решений задач для нестационарных уравнений идеальной МГД. Предполагается, что течение осесимметрично, в полоидальной плоскости вещество имеет только радиальную компоненту скорости. Двумерная нестационарная задача МГД сведена к задаче меньшей размерности для уравнения Грэда - Шафранова. Показано, что семейство автомодельных решений распадается на два типа в зависимости от показателя адиабаты.

Abstract

The aim of the paper is to construct the self-similiar solutions of the non-steady ideal MHD equations. It is assumed that the flow is axisymmetric, the matter has only radial component in the poloidal plane. 2D nonstationary problem is reduced to the Grad-Shafranof equation solution. As a result it is shown that there are the family of self-similiar solutions and they depend on adiabatic exponent.

1  Введение

Настоящая работа посвящена построению автомодельных решений задач для нестационарных уравнений идеальной МГД в предположениях, что, во-первых, течение осесимметрично и, во-вторых, в полоидальной плоскости вещество имеет только радиальную (в сферических координатах) компоненту скорости.
Под автомодельностью здесь подразумевается возможность сведения двумерной нестационарной задачи к задаче меньшей размерности, а именно для уравнения Грэда - Шафранова для функции магнитного потока.
Уравнение Грэда - Шафранова содержит некоторые произвольные функции, и процедура решения задач для этого уравнения состоит как в выборе этих функций, так и в определении решения при тех или иных граничных условиях.
Задача построения автомодельных решений уравнений идеальной МГД рассматривается в связи с астрофизическими приложениями. Применительно к астрофизической проблематике такой подход широко распространен и имеет многочисленные приложения. Как правило, в астрофизических задачах рассматриваются бессиловые конфигурации магнитного поля, так как в сильноразреженной космической плазме магнитные напряжения являются доминирующими. В качестве примера приведем работу [LindBelBoil], в которой рассматривалась эволюция бессилового магнитного поля, основания силовых линий которого вморожены в звезду и вращаются относительно оси симметрии с разными угловыми скоростями. Генерирующаяся при этом азимутальная компонента магнитного поля приводит к деформации полоидальных силовых линий, их раскрытию и образованию токового слоя. Почеркнем, что хотя уравнение Грэда - Шафранова стационарно, то есть не содержит производных по времени, оно позволяет описать нестационарный процесс за счет того, что входящие в него произвольные функции могут зависеть от времени как от параметра.
Аналогичный подход использовался в [BoilLovel] при анализе эволюции (точнее её итога) бессилового магнитного поля, основания силовых линий которого вморожены в дифференциально вращающийся диск. В работе [ElenKoldob] уравнение Грэда - Шафранова использовалось для анализа эволюции бессилового магнитного поля, связывающего вращающуюся звезду и диск. В работах [Uzd1], [Uzd2] исследованы процессы, протекающие в коронах аккреционных дисков, для случаев цилиндрической или сферической симметрии. Работа [UzKonLit] посвящена численному анализу такой задачи. В работах [CattoKrashen], [KrashenCatto] при помощи уравнения Грэда - Шафранова для функции магнитного потока описывались равновесные конфигурации идеальнопроводящей вращающейся плазмы с учетом газокинетического давления и гравитации.
Автомодельные (в указанном выше смысле) решения нестационарных уравнений идеальной МГД были построены в [Low1], [Low2]. В этих работах принималось, что плазма разлетается радиально и не вращается, учитывалось гравитационное поле центрального источника. Вмороженное в плазму магнитное поле имеет как полоидальную, так и азимутальную состовляющие. Течение предполагалось осесимметричным. Семейство автомодельных решений, в которых функция магнитного потока зависит от радиальной координаты и времени в комбинации [(r)/(a(t))] , удалось построить при показателе адиабаты g = 4/3.
В настоящей работе автомодельные решения указанного выше типа строятся для уравнений идеальной МГД, но с учетом вращения плазмы.
Показано, что семейство автомодельных решений распадается на два типа в зависимости от величины показателя адиабаты. При g = 4/3 из условий автомодельности следует, что плазма не вращается. Таким образом, этот случай сводится к проанализированному в [Lou]. При g = 5/3 из условий автомодельности следует, что решение возможно в отсутствии гравитации. При этом магнитное поле является бессиловым в каждый момент времени.
Авторы благодарны А.В. Колдобе и М.П. Галанину за многочисленные полезные обсуждения и консультации.


Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ 03-01-00461, 03-02-16548).


2  Постановка задачи

Рассмотрим осесимметричное движение идеальнопроводящей плазмы, в котором в сферических координатах (r, q, j) скорость имеет ненулевыми только радиальную и азимутальную компоненты v = (u, v, 0), магнитное поле имеет все три компоненты B = (Br, Bq, Bj). В сферической системе координат такое МГД - течение описывается системой уравнений

м
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
н
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
п
о
 r
t
 +  1
r2
  
r
 r2 ru = 0,
r ж
и 		 u
t
 + u  u
r
 ц
ш 		-  rv2
r
 +  p
r
 = Fr - r  F
r
 ,
r ж
и 		 v
t
 + u  v
r
 ц
ш 		+  ru v
r
 = Fj ,
 1
r
  p
q
 -  rv2 \ctg q
r
 = Fq ,
 Br
t
 -  1
r sinq
  
q
 (sinqu Bq) = 0 ,
 Bj
t
 +  1
r
  
r
 r ( u Bj - vBr) -  1
r
  
q
 v Bq = 0 ,
 Bq
t
 +  1
r
  
r
 r u Bq = 0 ,
 
t
  p
rg
 + u  
r
  p
rg
 = 0 ,
(1)
где F = [ 1/(4 p)][rot  B,B ] - сила Ампера, p - давление, r - плотность, F = -[(G M)/(r)] - гравитационный потенциал центрального гравитирующего тела.
Полоидальные компоненты магнитного поля удобно представить через функцию магнитного потока Y
Br =  1
r2 sinq
  Y
q
 ,

Bq = -  1
r sinq
  Y
r
 .
Функция Y удовлетворяет уравнению переноса
 Y
t
 +(vp, С)Y =  Y
t
 + u  Y
r
 = 0 ,
(2)
выражающему вмороженность полоидальных силовых линий Y = const в плазму.
Азимутальные компоненты уравнения движения и индукции представимы в виде
 l
t
 + u  l
r
 =  1
4pr
 (Bp,С)j,
(3)

 j
t
 +  u j
r
 = (r sinq)2(Bp,С)w,
(4)
где l = v  r sinq - удельный момент вращения относительно оси симметрии, w = [(v)/(rsinq)] - угловая скорость, j = Bj  r sinq - функция полоидального тока (полоидальный ток течет вдоль линий j = const).
Ограничимся решениями такими, что
j = j(t, Y),    w = w(t, Y).
Первое условие означает, что полоидальный ток течет вдоль магнитных силовых линий, и при этом отсутствует азимутальная компонента силы Ампера. Второе условие означает, что жидкие частицы, расположенные на одной силовой линии, имеют одинаковую угловую скорость (в каждый момент времени), так что "наматывания" этой силовой линии на ось симметрии не происходит.
В этом случае уравнения (2), (4) принимают вид
 l
t
 + u  l
r
 = 0,
(5)

 j
t
 +  u j
r
 = 0.
(6)
Первое из них означает сохранение удельного момента вращения жидких частиц.

3  Переход к автомодельным переменным

Будем искать автомодельные решения, в которых функция магнитного потока Y зависит от радиуса и времени в комбинации x = r/a(t), где a(t) некоторая функция. Подстановка Y = Y(x, q) в (2) дает
-
Ч
a
 
 r
a2
  Y
x
 +  u
a
  Y
x
 = 0
откуда (в предположении [(Y)/(x)] ~ Bq № 0)
u =
Ч
a
 
 r
a
 =
Ч
a
 
 x.
Заметим, что дифференцирование по t при фиксированных q, Y есть лагранжева производная
ж
и 		 f
t
 ц
ш

q, Y 
 =  f
t
 + u  f
r
 .
Действительно, производные в азимутальном направлении равны нулю, в полоидальной плоскости частицы движутся только в радиальном направлении, а силовые линии полоидального магнитного поля Y = const вморожены в вещество. Таким образом, (q, Y) являются лагранжевыми координатами. Кроме того, так как рассматриваются течения такие, что Y = Y(x, q), то паре (q,Y) соответствует пара (x,Y), которая также является лагранжевыми координатами. Следовательно, дифференцирование при фиксированных x, Y также являются лагранжевой производной:
ж
и 		 f
t
 ц
ш

x,Y 
 =  f
t
 + u  f
r
 .
Подставляя такое u = [(a)\dot] x в (5) с учетом l = (rsin q)2 w(t, Y), получаем
ж
и 		 w
t
 ц
ш

Y = const 
 +
2
Ч
a
 
a
 w = 0,
откуда
w(t, Y) =  W(Y)
a2(t)
 .
(7)
Аналогично из (6) получаем
ж
и 		 j
t
 ц
ш

Y = const 
 +
Ч
a
a
 j = 0,
откуда
j(t, Y) =  J(Y)
a(t)
 .
(8)
Уравнение неразрывности
 r
t
 +  1
r2
  r2ru
r
 = 0
с учетом u = [([(a)\dot]r)/(a)] дает
r =  D(x, Y)
a3
 .
Как отмечалось выше, лагранжева производная [()/(t)] + u [()/(r)] представляет собой дифференцирование при фиксированных x, Y, поэтому уравнение баланса энтропии
ж
и 		 
t
 + u  
r
 ц
ш 		 p
rg
= 0
дает
 p
rg
 = S(x, Y).
Так как r ~ a-3(t), то p = a-3gP(x, Y).
Рассмотрим теперь уравнения движения в полоидальной плоскости
 u
t
 +u  u
r
 +  1
r
  p
r
 =  v2
r
 +  1
4pr
 [rot  B, B]r -  F
r
 ,
(9)

 1
rr
  p
q
 =  v2 \ctg q
r
 +  1
4pr
 [rot  B, B]q .
(10)
Умножая (9) на Br, (10) - на Bq и суммируя, получаем
Br ж
и 		 u
t
 +u  u
r
 ц
ш 		+  1
r
 (Bp, С)p + (Bp, С) F =
 v2
r sinq
 (Br sinq+Bq cosq) -  1
4pr
 ж
и 		 BrBj
r
  r Bj
r
 +  Bq Bj
r sinq
  sinqBj
r
 ц
ш 		.
(11)
Вычисления дают
 u
t
 + u  u
r
 =
ЧЧ
a
 
 r
a
 =
ЧЧ
a
 
 x,
Br ж
и 		 u
t
 + u  u
r
 ц
ш 		= Br
ЧЧ
a
 
 r
a
 = (Bp,С)
ЧЧ
a
 
 r2
2a
 ,
Br sinq+ Bqcosq = (Bp,С)r sinq,
 Br Bj
r
  Bj
r
 +  Bq Bj
r sinq
  sinqBj
q
 =  1
(r sinq)2
 (Bp,С)  j2
2
 = 0.
(12)
Рассмотрим плотность r и давление p как функции аргументов t,  r,  Y вместо t,  r,  q. Введем
w(t, r, Y) =
у
х
Y = const 
  d p
r
 =
у
х
Y = const 
  1
r
 ж
и 		 p
rў
 ц
ш

Y = const 
  d rў,
где интегрирование проводится от некоторого фиксированного радиуса, зависящего (вообще говоря) от t. Имеем
Сw = ж
и 		 w
r
 ц
ш

Y 
 Сr + ж
и 		 w
Y
 ц
ш

r 
 СY =  1
r
 ж
и 		 p
r
 ц
ш

Y 
 Сr + ж
и 		 w
Y
 ц
ш

r 
 СY,

Сp = ж
и 		 p
r
 ц
ш

Y 
 Сr + ж
и 		 p
Y
 ц
ш

r 
 СY.
Умножая эти соотношения скалярно на полоидальное магнитное поле Bp, получаем
(Bp, Сw) =  1
r
 ж
и 		 p
r
 ц
ш

Y 
 (Bp, Сr),

(Bp, Сp) = ж
и 		 p
r
 ц
ш

Y 
 (Bp,Сr),
отсюда
(Bp, Сw) =  1
r
 (Bp, Сp).
(13)
Подставляя соотношения (12), (13) в (11), получаем
(Bp,С)
ЧЧ
a
 
 r2
2a
 + (Bp, С)(w + F) = w2 r sinq(Bp, С) r sinq = (Bp, С)  (wr sinq)2
2
Отсюда находим интеграл Бернулли
ЧЧ
a
 
 r2
2a
 + w + F-  (wr sinq)2
2
 = E(t, Y).
(14)
Найдем производные p и w при фиксированном полярном угле q:
 p
r
 = ж
и 		 p
r
 ц
ш

q 
 ,     w
r
 = ж
и 		 w
r
 ц
ш

q 
 .
Имеем
 p
r
 = ж
и 		 p
r
 ц
ш

Y 
 + ж
и 		 p
Y
 ц
ш

r 
  Y
r

 w
r
 = ж
и 		 w
r
 ц
ш

Y 
 + ж
и 		 w
Y
 ц
ш

r 
  Y
r
 =  1
r
 ж
и 		 p
r
 ц
ш

Y 
 + ж
и 		 w
Y
 ц
ш

r 
  Y
r
откуда
 1
r
  p
r
 =  w
r
 + й
л 		 1
r
 ж
и 		 p
Y
 ц
ш

r 
 - ж
и 		 w
Y
 ц
ш

r 
 щ
ы 		 Y
r
 .
С учетом этих соотношений радиальная компонента уравнения движения принимает вид
ЧЧ
a
 
 r
a
 +  w
r
 + й
л 		 1
r
 ж
и 		 p
Y
 ц
ш

r 
 - ж
и 		 w
Y
 ц
ш

r 
 щ
ы 		 Y
r
 =
= w2 r sin2 q-  F
r
 +  1
4 pr
 й
л 		-  Bj
r
  r Bj
r
 -  Bq
r
 ж
и 		 r Bq
r
 -  Br
q
 ц
ш 		щ
ы
и может быть преобразована к формам
 
r
 ж
з
и
ЧЧ
a
 
 r2
2a
 ц
ч
ш 		+  w
r
 +  F
r
 - w2 sin2 q  r2 / 2
r
 + й
л 		 1
r
 ж
и 		 p
Y
 ц
ш

r 
 - ж
и 		 w
Y
 ц
ш

r 
 щ
ы 		 Y
r
 +
+  1
4 prr2 sin2 q
  (r Bj2 sinq)2 / 2
r
 =  1
4 prr2 sinq
  Y
r
 ж
и 		 r Bq
r
 -  Br
q
 ц
ш
или
 
r
 ж
з
и
ЧЧ
a
 
 r2
2a
 ц
ч
ш 		+  w
r
 +  F
r
 -  
r
 ж
и 		 r2 sin2 qw2
2
 ц
ш 		+ wr2 sin2 q  w
Y
  Y
r
 +
+ й
л 		 1
r
 ж
и 		 p
Y
 ц
ш

r 
 - ж
и 		 w
Y
 ц
ш

r 
 щ
ы 		 Y
r
 +  j
4 prr2sin2 q
  j
Y
  Y
r
 =
= -  1
4 prr2 sinq
 ж
и 		 
r
  1
sinq
  Y
r
 +  1
r2
  
q
  1
sinq
  Y
q
 ц
ш 		 Y
r
 .
Первые четыре слагаемых в левой части последнего соотношения дают [(E)/(r)] = [(E)/(Y)][(Y)/(r)], так что последнее уравнение принимает вид
 E
Y
  Y
r
 + r2 sin2 qw  w
Y
  Y
r
 + й
л 		 1
r
 ж
и 		 p
Y
 ц
ш

r 
 - ж
и 		 w
Y
 ц
ш

r 
 щ
ы 		 Y
r
 +
+  j
4 prr2sin2 q
  j
Y
  Y
r
 +  1
4 prr2 sin2 q
 ж
и 		 2 Y
r2
 +  sinq
r2
  
q
  1
sinq
  Y
q
 ц
ш 		 Y
r
 = 0.
Сокращая это уравнение на Y/ r и умножая на 4prr2 sin2 q, получаем уравнение Грэда - Шафранова для функции магнитного потока Y
 2 Y
r2
 +  sinq
r2
  
sinq
  Y
q
 +j  j
Y
 + 4prr2 sin2 q й
л 		 1
r
 ж
и 		 p
Y
 ц
ш

r 
 - ж
и 		 w
Y
 ц
ш

r 
 щ
ы 		+
+ 4pr(r sinq)4 w  w
Y
 + 4pr(r sinq)2  E
Y
 = 0 .

4  Условия автомодельности

Выясним характер зависимости w(t, x, Y) от времени
w =
у
х
Y = const 
  d p
r
 =
у
х
Y = const 
  a3a-3g d P(x, Y)
D(x, Y)
 = a3(1-g)W(x,Y).
Подставляя в уравнение Грэда - Шафранова зависимости всех переменных от t: r = a x, r = a-3D, p = a3gP, j = J/a, w = a3(1 - g)W , получаем
D* Y+ J  d J
d Y
 + a4 -3g ·4pD (xsinq)2 й
л 		 1
D
  P
Y
 -  W
Y
 щ
ы 		+
+ a-1 ·4 pD(xsinq)4 W  d W
d Y
 + a ·4pD (xsinq)2  E
Y
 = 0,
где D* Y = [(2 Y)/(x2)] + sinq[()/(q)]([ 1/(sinq)][(Y)/(q)]).
Последнее уравнение содержит слагаемые, которые не зависят от t явно (первые два слагаемых) и зависят от t через a(t), такие как: a4 - 3g, a-1 и [(aE(t, Y))/(Y)] .
Возможны варианты: g = 4/3 - в этом случае третье слагаемое не зависит от t, g = 5/3 - в этом случае третье слагаемое пропорционально a-1, то есть имеет такую же зависимость от t, что и четвертое. Для того, чтобы конструкция a(t)E(t,Y) имела аналогичную зависимость от t, следует положить
E(t, Y) =  E1(Y)
a(t)
 +  E2(Y)
a2(t)
 .
В принципе к E может быть добавлена произвольная функция от t, но в дальнейшем выяснится, что она должна быть равна нулю.
После выделения явной зависимости всех переменных от t интеграл Бернулли (14) принимает вид
ЧЧ
a
 
 x2
2
 +a2-3gW(x, Y) -  G M
a2 x
 -  (Wxsinq)2
2a3
 =  E
a
 .
(15)
При g = 4/3 второе слагаемое пропорционально a-2, при g = 5/3 второе слагаемое пропорционально a-3. Если положить
ЧЧ
a
 
 =  a
a2
 +  b
a3
 ,
где a, b = const, то в (15) зависимость от t будет содержаться в виде множителей a-2 и a-3 при величинах, которые не зависят от t явно.
Рассмотрим случаи g = 4/3 и g = 5/3 по отдельности. В каждом случае в уравнении Грэда - Шафранова и интеграле Бернулли приравняем нулю множители при a-2 и a-3, что даст некоторые соотношения, не содержащие явной зависимости от t. Полагаем E = [(E1)/(a)]+[(E2)/(a2)].
1. В случае g = 4/3 имеем
D*Y+ J  d J
d Y
 +4pD (xsinq)2 й
л 		 1
D
  P
Y
 -  W
Y
 щ
ы 		+4pD (xsinq)2  d E1
d Y
 = 0 ,
(16)

(xsinq)2 W  dW
d Y
 +  d E2
d Y
 = 0,
(17)

 ax2
2
 + W -  G M
x
 = E1(Y),
(18)

 bx2
2
 -  (Wxsinq)2
2
= E2(Y).
(19)
Дифференцируя (19) по Y при фиксированном x, получаем
-(xsinq)2 W  dW
d Y
 - W2 x2 sinq ж
и 		 sinq
Y
 ц
ш

x 
 =  d E2
d Y
 .
Сравнивая это соотношение с (2), заключаем, что либо W = 0, либо ([(sinq)/(Y)])x = 0. Последнее соотношение означало бы, что Br ~ [(Y)/(q)] = Ґ, так что для выполнения (17), (19) следует положить W = 0, E2 = 0, b = 0.
Дифференцирование (18) по Y при фиксированном x и по x при фиксированном Y дает
 W
Y
 =  d E1
d Y
 ,    ax+  W
x
 +  G M
x2
 = 0.
Подставляя первое соотношение в уравнение Грэда - Шафранова (16), получаем
D*Y+ J  d J
dY
 + 4p(xsinq)2  P
Y
 = 0 .
Второе соотношение с учетом
 W
x
 =  1
D
  P
x
(20)
принимает вид
(ax+  G M
x2
 )D +  P
x
 = 0.
(21)
Уравнения (15), (21) совпадают с полученными в [Lou] при исходном предположении v = 0.
2. В случае g = 5/3 имеем
D*Y+ J  d J
d Y
 + 4pD (xsinq)2  d E1
d Y
 = 0,
(22)

 1
D
  P
Y
 -  W
Y
 + (xsinq)2 W  d W
d Y
 +  d E2
dY
 = 0,
(23)

 ax2
2
 -  GM
x
 = E1(Y),
(24)

 bx2
2
 + W -  (Wxsinq)2
2
= E2(Y).
(25)
Из (24) следует, что либо Y = Y(x) и в силу условий на оси симметрии Y = 0, либо a = 0, G M = 0, E1 = 0.
Рассмотрим второй случай. Уравнение (22) принимает вид
D*Y+ J  d J
d Y
 = 0,
(26)
что означает бессиловую конфигурацию магнитного поля в каждый момент времени. Отметим, что газодинамические течения, в которых радиальная скорость линейно зависит от радиуса, исследованы в работе [Sedov].
Дифференцируя (25) по Y и складывая с (23), получаем
 1
D
  P
Y
 - W2 x2 sinq ж
и 		 sinq
Y
 ц
ш

x 
 = 0.
(27)
Дифференцирование (25) по x при фиксированном Y дает (с учетом (20))
bx+  1
D
  P
x
 - W2 xsin2 q = 0.
(28)
Соотношения (27), (28) эквивалентны (23), (25), но не содержат произвольных функций W(x, Y) и E2(Y).
Для построения автомодельного решения следует найти функции J(Y), W(Y), P(x, Y), D(x, Y) такие, что система уравнений Грэда - Шафранова (15), (27), (28) совместна, и саму функцию Y = (x, q).
Пусть Y = Y(x, q) - решение уравнения Грэда - Шафранова с некоторой функцией J(Y). Разрешив это соотношение относительно q (если это возможно), получим q = q(x, Y).
Образуем функцию f(x, Y) = [(x2 sin2q(x, Y))/2].
Уравнения (27), (28) примут вид
м
п
п
п
н
п
п
п
о
 1
D
  P
Y
 -W2  f
Y
 = 0,
 1
D
  P
x
 -W2  f
x
 + bx = 0.
(29)
Вопрос о совместности системы (29) мы оставляем открытым.
Разберем только один частный случай. Заметим, что если функции P(x, Y) и D(x, Y) зависимы, то
 1
D
 d P = d W .
Дифференцируя первое уравнение (29) по x, второе - по Y и вычитая, получим
W  d W
d Y
  f
x
 = 0
откуда (в предположении [(f)/(x)] № 0) вытекает, что W = const. Уравнения (29) в этом случае интегрируются, что дает
W - W2 f +  bx2
2
 = const.
Предполагая далее какую-либо зависимость W(P), находим P(x,Y) и D(x, Y) = ( [(d W)/(d P)])-1. По своему смыслу функции P и D должны быть положительны.
Таким образом, построенные автомодельные решения могут описывать состояния как покоящейся, так и вращающейся плазмы.

References

[LindBelBoil]
Linden-Bell D., Boily C. Self-similar solutions up to flashpoint in highly wound magnetostatics. MNRAS, 1994, V. 267, p. 146-152.
[BoilLovel]
Lovelace R.V.E., Boily C.M. Collimated magnetostatic fields. Astronomy and Astrophysics, 1996, V. 309, p. 997-1001.
[ElenKoldob]
Т.Г. Еленина, А.В. Колдоба. Эволюция бессилового магнитного поля в системе "звезда - диск". Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2003, N 71, 18 c.
[Uzd1]
Uzdensky D.A. Partial field opening and current sheet formation in the disk magnetosphere. Astrophysical Journal, 2002, V.572, N 1, p.432-444.
[Uzd2]
Uzdensky D.A. Shear-driven field-line opening and the loss of a force-free magnetostatic equilibrium. Astrophysical Journal, 2002, V.574, N 2, p.1011-1020.
[UzKonLit]
Uzdensky D.A., Königl A., Litwin C. Magnetically linked star-disk system I. Force-free magnetospheres and effects of disk resistivity. Astrophysical Journal, 2002, V. 565, N 2, p.1191-1204.
[CattoKrashen]
Catto P.J., Krasheninnikov S.I. Effects of rotation on a finite plasma pressure equilibrium in a dipolar magnetic field. Physics Letters A, 1999, V. 258, p. 153-157.
[KrashenCatto]
Krasheninnikov S.I., Catto P.J. Equilibrium of a gravitating plasma in a dipolar magnetic field. Physics Letters A, 1999, V. 260, p. 502-506.
[Low1]
Low B.C. Self-similar magnetohydrodynamics. I. The g = 4/3 polytrope and the coronal transient. Astrophysical Journal, 1982, V. 254, N 2, p. 796-805.
[Low2]
Low B.C. Self-similar magnetohydrodynamics. II. The expansion of a stellar envelope into a surrounding vacuum. Astrophysical Journal, 1982, V. 261, N 1, p. 351-369.
[Lou]
Lou Y.Q., Rosner R., Ulmschneider P. A computational code for two-dimentional unsteady magnetohydrodynamics by the method of characteristics. Astrophysical Journal, 1987, V. 315, N 1, p. 349-370.
[Sedov]
Л.И. Седов Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1972, 440 p.


File translated from TEX by TTH, version 3.40.
On 21 Dec 2004, 20:09.