Особенности решений первого уравнения Пенлеве

(Singularities of solutions to the first Painlevé equation
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

§ 1. Общие свойства уравнения

Первое уравнение Пенлеве [1,2] есть

f(z,w)    def =     w"-6w2-z=0.

(1.1)

Мы вычислим разложения его решений и изучим их свойства с помощью алгоритмов степенной геометрии [3-7]. А именно, для этого уравнения найдем: (а) все степенные асимптотики его решений; (б) все степенно-логарифмические разложения его решений, имеющих степенную асимптотику; (в) все экспоненциальные добавки к каждому степенно-логарифмическому разложению его решений; (г) все нестепенные (экспоненциальные и логарифмические) асимптотики его решений.

Теперь следуем [3, § 1]. Носитель уравнения (1.1) состоит из трех точек

Q1=(-2,1),    Q2=(0,2),    Q3=(1,0).

(1.2)

Их выпуклая оболочка G - это треугольник с вершинами G_j⁽⁰⁾=Q_j, j=1,2,3 (см. рис. 1). Он имеет три вершины Q_j и три ребра G₁⁽¹⁾=[Q₃,Q₁], G₂⁽¹⁾=[Q₁,Q₂], G₃⁽¹⁾=[Q₂,Q₃]. Внешние нормальные векторы N_j к ребрам G_j⁽¹⁾ суть

N1=-(1,3),    N2=(-1,2),    N3=(2,1),

(1.3)

а нормальные конусы U_j⁽¹⁾ к ребрам G_j⁽¹⁾ суть

Uj(1)=mNj,    m > 0,    j=1,2,3.

(1.4)

Они изображены на рис. 2 вместе с нормальными конусами U_j⁽⁰⁾ вершин G_j⁽⁰⁾=Q_j, которые суть

U1(0)={P=(p1,p2): бP,Q1-Q3с = -3p1+p2 > 0,    бP,Q1-Q2с = -2p1-p2 > 0}, U2(0)={P=(p1,p2): бP,Q2-Q1с = 2p1+p2 > 0,    бP,Q2-Q3с = -p1+2p2 > 0}, U3(0)={P=(p1,p2): бP,Q3-Q2с = p1-2p2 > 0,    бP,Q3-Q1с = 3p1-p2 > 0}.

(1.5)

Если носитель (1.2) сдвинуть на вектор -Q₃, то он будет расположен в решетке Z, порожденной векторами

Q1-Q3=(-3,1)    и    Q2-Q1=(-1,2)

(1.6)

или векторами

Q2-Q1=(2,1)    и    Q3-Q1=(1,-2),

(1.7)

которая является подрешеткой целочисленной решетки Z².

Теперь по отдельности изучим решения, соответствующие каждой грани G_j^(d), d=0,1, j=1,2,3. Однако, сначала заметим, что укорочения

^ f   (0) 2       def =     -w2    и     ^ f   (0) 3       def =     -z

являются алгебраическими. Согласно замечаниям 1.1 и 5.1 [3] соответствующие им укороченные уравнения не имеют нетривиальных степенных решений (а следовательно, им не соответствуют степенно-логарифмические разложения решений уравнения (1.1)) и не имеют нестепенных решений (а следовательно, им не соответствуют нестепенные асимптотики решений уравнения (1.1)).

§ 2. Решения, соответствующие вершине Q₁

2.1. Степенные асимптотики [3, § 1]. Вершине Q₁=(-2,1) соответствует укороченное уравнение

^ f   (0) 1       def =     w"=0.

(2.1)

Его характеристический многочлен

c(r)=r(r-1).

Он имеет два корня r₁=0 и r₂=1. Согласно (1.5) и рис. 2 векторы -(1,r_i), i=1,2 лежат в нормальном конусе U₁⁽⁰⁾. Следовательно, w =-1, т.е. z → 0. Поэтому вершине Q₁ соответствуют две степенные асимптотики

F1(0)1: w=c0

(2.2)

и

F1(0)2: w=c1z,

(2.3)

где c₀ и c₁ - произвольные постоянные. Вычислим критические числа укороченного решения (2.2). Первая вариация

d ^ f   (0) 1  dw =  d2 dz2

уже является оператором L(z), который имеет характеристическое уравнение

n(k)    def =     k(k-1)=0

(2.3′)

с двумя корнями k₁=0 и k₂=1. Поскольку w =-1 и r=0, то конус задачи есть K ={k > 0}. Из k₁ и k₂ в него попадает только число k₂=1, которое и является единственным критическим числом. Аналогично для решения (2.3) находим отсутствие критических чисел.

2.2. Степенные разложения решений [3, § 3]. Для решения (2.2) решетка Z, пополненная вектором (0,1), соответствующим сдвинутому носителю решения (2.2), дает решетку, порождаемую векторами (2,0) и (0,1). Следовательно, согласно пп. 3.2 и 3.5 [3]

K={k=2m,    m ∈ N},

где N - множество натуральных чисел и

K(k2)={k=m,    m ∈ N}.

Поскольку число k₂ не лежит в K, то по теореме 3.1 [3] разложения решений, соответствующих укороченному решению (2.2), имеют вид

w=c0+c1z+ ∞ е k=2  ckzk,

(2.4)

где все коэффициенты c_j постоянны, c₀ ╣ 0 и c₁ - произвольны, а все c_k - однозначно определены. Обозначим это семейство G₁⁽⁰⁾1. По замечанию 3.2 [3] если c₁=0, то разложение имеет вид

w=c0+ ∞ е m=1  c2mz2m,

(2.5)

где c₀ ╣ 0 - произвольно, c_2m - однозначно определены и показатели степеней в сумме пробегают множество K. Это семейство обозначим G₁⁽⁰⁾1,1.

Аналогично находим, что укороченному решению (2.3) соответствуют разложения вида

w=c1z+ ∞ е k=2  ckzk,

(2.6)

где все коэффициенты c_j постоянны, c₁ - произволен, а остальные c_k - однозначно определены. Это семейство обозначим G₁⁽⁰⁾2. Заметим, что разложения (2.5) и (2.6) являются частными случаями разложения (2.4) при c₀ ≠ 0, c₁=0 и c₀=0, c₁ ≠ 0 соответственно. Согласно теореме 3.4 [3] разложения решений (2.4), (2.5), (2.6) сходятся для достаточно малых |z|. Заметим, что существование и аналитичность разложений (2.4) решений уравнения (1.1) следует из известной теоремы Коши.

2.3. Экспоненциальные добавки [3, § 7]. Согласно следствию 7.2 [3] решения 2.4 не имеют экспоненциально малых добавок, что согласуется с гипотезой 7.1 [3].

2.4. Нестепенные асимптотики [3, § 5]. Согласно следствию 5.2 [3] укороченное уравнение (2.1) не имеет нестепенных решений. Впрочем это очевидно, ибо все его решения имеют вид w=c₀+c₁z, где c₀ и c₁ - произвольные постоянные.

§ 3. Решения, соответствующие ребру G₁⁽¹⁾

3.1. Степенные асимптотики [3, § 1]. Ребру G₁⁽¹⁾ соответствует укороченное уравнение

^ f   (1) 1  (z,w)    def =     w"-z=0.

(3.1)

Согласно (1.4) и (1.3) нормальный конус U₁⁽¹⁾={-m(1,3),  m > 0}. Поэтому w =-1, т.е. z → 0, и r=3. Следовательно, для уравнения (3.1) ищем степенные решения вида w=c₃z³. Для c₃ получаем определяющее уравнение

6c3-1=0,

откуда находим c₃=1/6, т.е. единственное степенное решение уравнения (3.1) есть

F1(1): w=z3/6.

(3.2)

Вычислим его критические числа. Поскольку первая вариация d[^(f)]₁⁽¹⁾/dw=d²/dz², то аналогично п. 2.1 получаем два собственных числа k₁=0 и k₂=1. Но здесь конус задачи

K={k < 3}

(3.3)

их не содержит. Поэтому нет критических чисел.

3.2. Разложения решений. Решению (3.2) соответствуют два векторных показателя [(Q)\tilde]₁=(0,1) и [(Q)\tilde]₂=(3,0). Их разность [(Q)\tilde]₁-[(Q)\tilde]₂=(-3,1) равна вектору Q₁-Q₂ в (1.6). Поэтому решению (3.2) соответствует решетка Z, которая состоит из точек

Q=k(-3,1)+l(-1,2)=(-3k-l,k+2l),

где k и l - целые. Эти точки лежат на прямой q₂=-1, если k+2l=-1, т.е. k=-1-2l. В этом случае q₁=-3k-l=3+6l-l=3+5l. Поскольку здесь конус задачи есть (3.3), то

K={3+5m,    m ∈ N},

и согласно теореме 3.1 [3] разложение имеет вид

w=z3(1/6+ ∞ е m=1  c3+5mz5m),

(3.4)

где все коэффициенты c_3+5m постоянны и однозначно определены. Это решение обозначим G₁⁽¹⁾. Разложение (3.4) можно рассматривать как частный случай разложения (2.4) с c₀=c₁=0. Оно также сходится для малых |z| и существование, единственность и аналитичность такого решения (2.4) с c₀=c₁=0 следует из упомянутой теоремы Коши. Но из нее не следует специфическая структура показателей в разложении (3.4).

Следуя п. 1.7 препринтов [8-11], вычислим коэффициент c₈ в разложении (3.4), т.е. второй его член. Здесь [^([^(f)])](z,w)=-6w². Подставляем сюда (3.2) и получаем -z⁶/36, т.е. коэффициент b₈=-1/36. Формула (1.22) [8-11] принимает вид

n(8)c8+b8=8·7·c8-1/36=0,

где учтено (2.3′ ). Следовательно, c₈=(6²·7·8)^-1.

3.3. Экспоненциальные добавки [3, § 7]. Применим следствие 7.2 [3]. Здесь p(f)=2=p([^(f)]₁⁽¹⁾), т.е. p = 2. Производная ∂ [^(f)]₁⁽¹⁾/ ∂ (y")=1. Поэтому уравнение ∂ [^(f)]₁⁽¹⁾/ ∂ (y")=0 не имеет решений. Следовательно, это уравнение и (3.1) не имеют общих решений. По следствию 7.2 [3] решение (3.4) не имеет экспоненциальных добавок.

3.4. Нестепенные асимптотики [3, § 5]. Ребро G₁⁽¹⁾ - наклонное, поэтому применяем результаты п. 5.3 [3]. Согласно следствию 5.1 [3] уравнение (3.1) не имеет подходящих нестепенных решений, порядки которых лежат в нормальном конусе U₁⁽¹⁾.

§ 4. Решения, соответствующие ребру G₂⁽¹⁾

4.1. Степенные асимптотики [3, § 1]. Ребру G₂⁽¹⁾ соответствует укороченное уравнение

^ f   (1) 2  (z,w)    def =     w"-6w2=0.

(4.1)

Согласно (1.4) и (1.3) нормальный конус U₂⁽¹⁾={-m(1,-2),  m > 0}. Поэтому w =-1, т.е. z → 0, и r=-2. Следовательно, для уравнения (4.1) ищем решения вида w=c_-2z^-2. Для c_-2 получаем определяющее уравнение

6-6c-2=0,

откуда c_-2=1 и получаем укороченное решение

F2(1): w=z-2.

(4.2)

Вычислим его критические числа. Первая вариация

d ^ f   (1) 2  /dw=d2/dz2-12w.

На решении (4.2) она дает оператор

L(z)=d2/dz2-12z-2.

Ему соответствует характеристический многочлен

n(k)=k(k-1)-12=k2-k-12=(k+3)(k-4)=0.

(4.2′)

Его корни k₁=-3 и k₂=4. Здесь конус задачи

K={k > -2}

(4.3)

содержит только корень k₂=4, который и является единственным критическим числом.

4.2. Степенные разложения [3, § 3]. Аналогично п. 3.2 находим, что сдвинутый носитель решения (4.2) лежит в решетке Z и она пересекается с прямой q₂=-1 по точкам вида q₁=3+5l, где l - целое. Согласно (4.3) получаем

K={k=-2+5m,    m ∈ N}.

(4.4)

Согласно предложению 3.3 [3] имеем

K(k2)=K(4)={k=-2+5m+6n,  целые  m,n ≥ 0,  m+n > 0}= ={k=3,4,8,9,10,13,14,15,16,18,19,20,╝}.

(4.5)

Следовательно, множество K(4) содержит все целые числа, начиная с 3 и исключая 5,6,7,11,12,17. По теореме 3.1 [3] уравнение (1.1) имеет однопараметрическое (по c₄) семейство G₂⁽¹⁾1 решений вида

w=w-2+ е ckwk,    k О K(4)     из    (4.5),

(4.6)

где все коэффициенты постоянны, c₄ - произвольный, а остальные c_k однозначно определены. Если c₄=0, то согласно замечанию 3.2 [3] и (4.4) разложение имеет вид

w=w-2(1+ ∞ е m=1  c5mzm),

(4.7)

где все коэффициенты c_5m постоянны и однозначно определены. По теореме 3.4 [3] разложения (4.6) сходятся для малых |z|.

Следуя п. 1.7 препринтов [8-11], вычислим коэффициент c₃ в разложении (4.6), т.е. второй член разложения. Здесь [^([^(f)])]=-z, поэтому b₃=-1. Формула (1.22) [8-11] принимает вид

n(3)c3+b3=-6c3-1=0,

где учтена формула (4.2′ ). Отсюда c₃=-1/6.

Также, как в § 3, легко доказывается, что разложение (4.6) не имеет экспоненциально-малых добавок, а уравнение (4.1) не имеет подходящих нестепенных решений.

§ 5. Решения, соответствующие ребру G₃⁽¹⁾

5.1. Степенные асимптотики [3, § 1]. Ребру G₃⁽¹⁾ соответствует укороченное уравнение

^ f   (1) 3  (z,w)    def =     6w2-z=0.

(5.1)

Оно имеет два степенных решения

F3(1)l: w=(-1)l-1iz1/2/ √ 6,    l=1,2.

(5.2)

Здесь w =+1, т.е. z →∞ , и r=1/2. Поскольку уравнение (5.1) алгебраическое, то по замечанию 1.2 [3] его решения (5.2) не имеют критических чисел и

d ^ f   (1) 3  /dw=╢ ^ f   (1) 3  /╢w=-12w,

т.е.

L(z)=(-1)l12iz1/2/ √6    и    n(k) = (-1)l12i/ √6.

(5.3)

5.2. Разложения решений [3, § 3]. Сдвинутый носитель укороченных решений (5.2) дает вектор B=(1/2,-1), равный половине вектора Q₃-Q₁ из (1.7). Поэтому рассматриваем решетку, порожденную векторами Q₂-Q₁=(2,1) и B. Она состоит из точек

Q=(q1,q2)=l(2,1)+m(1/2,-1)=(2l+m/2,l-m),

где l и m - целые числа. На прямой q₂=-1 имеем l-m=-1, т.е. l=m-1. Там q₁=2l+m/2=2m-2+m/2. Здесь конус задачи

K={k < 1/2}.

Поэтому носитель решения

K={k=(1-5n)/2,    n ∈ N},

и разложения решений имеют вид

G3(1)l: w=j(l)(z)=c1/2(l)z1/2+ ∞ е n=1  c(1-5n)/2(l)z(1-5n)/2, c1/2(l)=(-1)l-1i/Ц6,    l=1,2,

(5.4)

где коэффициенты c^(l) постоянны и однозначно определены.

Здесь не применима теорема 3.4 [3] и разложения (5.4), повидимому, расходятся при любых |z|^-1 ≠ 0.

Следуя п. 1.7 препринтов [8-11], вычислим коэффициенты c_-2^(l) в разложениях (5.4), т.е. вторые члены этих разложений. Здесь [^([^(f)])](z,w)=w". Подставляем сюда (5.2) и получаем (-1)^liz^-3/2/(4 √ 6), т.е. коэффициент b_-2^(l) = (-1)^li/(4 √ 6). Формула (1.22) [8-11] принимает вид

n(l)(-2)c-2(l)+b-2(l)=((-1)l12i/ √6)c-2(l)+(-1)li/(4 √6)=0,

где учтено последнее равенство (5.3). Следовательно,

c-2(l)=-1/48.

(5.5)

5.3. Экспоненциальные добавки [3, § 7]. К решениям (5.4) будем искать экспоненциальные добавки u^(l), т.е. будем искать решения вида

w=j(l)(z)+u(l),    l=1,2.

Для добавки u^(l) получается уравнение вида (7.9) [3]. Его первое приближение (укороченное уравнение) есть линейное уравнение

Ml(z)u(l)=0,

(5.6)

где согласно лемме 7.1 [3]

Ml(z)=df/dw    на    w=j(l)(z).

Поскольку первая вариация

df/dw=d2/dz2-12w,

то

Ml(z)=d2/dz2-12j(l)(z),

и уравнение (5.6) принимает вид

d2u(l)/dz2-2j(l)(z)u(l)=0,    l=1,2.

(5.7)

Согласно (7.10) [3] положим

z(l)=dln u(l)/dz.

(5.7â)

Тогда

d u(l) dz =z(l)u(l),

d2 u(l) dz2 =  dz(l) dz u(l)+(z(l))2u(l),

и уравнение (5.7) принимает вид

u(l) й л  dz(l) dz +(z(l))2-2j(l)(z) щ ы =0,    l=1,2,

т.е.

hl(z,z)    def =       dz dz +z2-2j(l)(z)=0,    l=1,2.

(5.8)

Найдем степенные разложения для решений уравнений (5.8), используя технику §§ 1 и 3 [3]. Согласно (5.4) носитель уравнения (5.8) состоит из точек

Q1=(-1,1),    Q2=(0,2),    Q3=(1/4,0), Q3+n=((1-5n)/2,0),    n=1,2,3, …

Замыкание G их выпуклой оболочки - это полуполоса, заштрихованная на рис. 3. Ее граница содержит три ребра G_j⁽¹⁾ с внешними нормалями

N1=(1,4),    N2=(0,-1),    N3=(0,1).

Согласно следствию 7.1 [3] вершины и соответствующие им укороченные уравнения можно не рассматривать. Здесь конус задачи

K={P=(p1,p2): p1+p2 > 0}.

На рис. 4 показаны нормальные конусы U_j⁽¹⁾ ребер G_j⁽¹⁾ и конус задачи K. Из него видно, что в конус задачи попадают только U₁⁽¹⁾ и U₃⁽¹⁾. Но ребро G₃⁽¹⁾ - несобственное, оно содержит только одну точку носителя, и по следствию 7.1 [3] его можно отбросить. Остается ребро G₁⁽¹⁾. Ему соответствует укороченное уравнение

^ h   (1) 1  (z,z)    def =     z2-2c1/2(l)z1/2=0.

(5.9)

Оно имеет два решения

z=g1/4(l,m)z1/4,

(5.10)

где

g1/4(l,m)=(-1)m-1 Ц   2(-1)l-1i/Ц6   ,    l,m=1,2.

(5.11)

Поскольку укороченное уравнение (5.9) алгебраическое, то решения (5.10) не имеют критических чисел и для них

d ^ h   (1) 1  /dz=¶ ^ h   (1) 1  /¶z=2z,

поэтому

L(z)=2g1/4(l,m)z1/4=n(k)z1/4.

(5.12)

Вычислим теперь носитель разложения решения уравнения (5.8). Сдвинутый носитель уравнения (5.8) лежит в решетке, порожденной векторами

B1=(5/2,0)    и    B2=(1,1).

Сдвинутый носитель решения (5.10) дает вектор B₃=(-1/4,1). Разность B₂-B₃=(5/4,0)=B₁/2[(   def) || ( = )]  B₄. Следовательно, векторы B₁,B₂,B₃ порождают ту же решетку, что и векторы B₂,B₄. Точки этой решетки имеют вид

Q=(q1,q2)=lB2+mB4=(l+5m/4,l),

т.е. q₁=l+5m/4, q₂=l. На прямой q₂=-1 имеем l=-1 и q₁=5m/4-1. Поскольку здесь конус задачи K ={k < 1/4}, то

K={k=-(1+5n/4),    целое    n ≥ 0}

(5.13)

и решения уравнений (5.8) имеют вид

z(l,m)=g1/4(l,m)z1/4+ е gk(l,m)zk     по    k О K.

(5.14)

Коэффициенты g_1/4^(l,m) даны в (5.11).

Вычислим коэффициенты g_-2^(l,m). Здесь [^([^(h)])]= z ′ , поэтому b_-2=(1/4)g_1/4^(l,m). Согласно (5.12) имеем n(k)=2g_1/4^(l,m). Поэтому формула

n(-2)g-2(l,m)+b-2=0

имеет вид

2g1/4(l,m)g-2(l,m)+  1 4 g1/4(l,m)=0.

Следовательно,

g-2(l,m)=-1/8,    l,m,=1,2.

(5.15)

Итак, мы нашли для каждого разложения G₃⁽¹⁾l по два разложения z^(l,m)(z) вида (5.14). Теперь найдем соответствующие добавки u^(l,m)(z). Согласно (5.7â)

u(l,m)(z)=cexp у х z(l,m)(z) dz=cexp й л  4 5 g1/4(l,m)z5/4+g-2(l,m)lnz+ + е  1 k+1 gk(l,m)zk+1 щ ы = cz-1/8exp й л  4 5 g1/4(l,m)z5/4+ е  1 k+1 gk(l,m)zk+1 щ ы ,

(5.16)

где c - произвольная постоянная и использовано равенство (5.15).

Добавка u^(l,m)(z) при z →∞ является экспоненциально малой в тех секторах комплексной плоскости z, где

Re[g1/4(l,m)z1/4]=Re(-1)m-1   ж Ц (-1)l-1 Ц -z   < 0.

(5.17)

Пусть z₀ ≠ 0 - точка на комплексной плоскости и пусть z стремится к бесконечности вдоль луча z=lz₀, 0 < l ∈ R. При этом четыре корня ⁴ √ {-z} стремятся к бесконечности по четырем разным лучам, на двух из которых выполнено неравенство (5.17). Только если z₀ - вещественное отрицательное число, то неравенство (5.17) выполнено только на одном луче из этих четырех.

Можно было бы вычислить экспоненциально малые добавки к u^(l,m)(z), и это были бы последние добавки. Но согласно замечанию 7.4 [3] последней добавкой не удается воспользоваться, поэтому незачем ее вычислять.

Итак, к двум разложениям G₃⁽¹⁾l получены по два однопараметрических семейства добавок G₃⁽¹⁾lG₁⁽¹⁾m, l,m=1,2. Согласно гипотезе 7.1 [3] разложения G₃⁽¹⁾l расходятся.

5.4. Нестепенные асимптотики [3, § 5]. Поскольку укороченное уравнение (5.1) алгебраическое, то согласно замечанию 5.1 [3] оно не имеет нестепенных решений и не дает нестепенных асимптотик решений уравнения (1.1).

§ 6. Сводка и обсуждение результатов

Итак, для решений уравнения (1.1) получены следующие разложения.

В окрестности точки z=0:

I. Двупараметрическое (по c₀ и c₁) семейство G₁⁽⁰⁾1 разложений (2.4).

II. Однопараметрическое (по c₀) семейство G₁⁽⁰⁾1,1 разложений (2.5), которое является подсемейством семейства G₁⁽⁰⁾1.

III. Однопараметрическое (по c₁) семейство G₁⁽⁰⁾2 разложений (2.6).

IV. Одно разложение (3.4), обозначенное как G₁⁽¹⁾.

V. Однопараметрическое (по c₄) семейство G₂⁽¹⁾1 разложений (4.6).

Все эти разложения сходятся для достаточно малых |z|. При этом семейства I-IV можно рассматривать как подмножества одного большого семейства.

В окрестности точки z= ∞ :

VI. Два разложения G₃⁽¹⁾l (l=1,2), представленных в (5.4). К каждому из них были найдены по 2 экспоненциальных добавки G₃⁽¹⁾lG₁⁽¹⁾m (m=1,2), представленных в (5.16). Разложения (5.4) и (5.16), повидимому, расходятся при больших z.

Существование и аналитичность разложений в I-IV следует из теоремы Коши и было давно известно. Но специфическое строение носителей разложений (2.5), (2.6) известно не было. Разложения V также известны [2, § 15]. Но не специфика его носителя K(4) из (4.5). Частное решение (4.7) при c₄=0 также указано в [2, § 15]. Там же приведены разложения (5.4). Однако их экспоненциальные добавки (5.16) найдены впервые, хотя изучалось асимптотическое поведение решений, соответствующих разложениям (5.4), в разных секторах комплексной плоскости z при z →∞ . Эти результаты легко выводятся из вида добавок (5.16).

Методами степенной геометрии сначала были найдены все степенные асимптотики решений первого уравнения Пенлеве [12, гл. VI, пример 1.1], а затем - все степенные разложения его решений [13, § 4]. Наконец, в [14, п. 2.2] были вычислены экспоненциальные добавки (5.16), правда, несколько иначе, чем здесь.

 

Литература

1.     Розов Н.Х. Пенлеве уравнение // Математическая Энциклопедия. М.: Советская Энциклопедия, 1984, т. 4, с. 233-234.

2.     Gromak V.L., Laine I., Shimomura S., Painlevé Differential Equations in the Complex Plane. B.; N.Y.: Walter de Gruyter, 2002. 303 p.

3.     Брюно А.Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // УМН, 2004, т. 59, N 3, с. 31-80.

4.     Брюно А.Д. Степенные асимптотики решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2003, т. 392, N 3, с. 295-300.

5.     Брюно А.Д. Степенно-логарифмические разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2003, т. 392, N 4, с. 448-452.

6.     Брюно А.Д. Нестепенные асимптотики решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2003, т. 392, N 5, с. 586-591.

7.     Брюно А.Д. Асимптотически близкие решения обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН, 2003, т. 393, N 4, с. 448-452.

8.     Брюно А.Д., Завгородняя Ю.В. Степенные ряды и нестепенные асимптотики решений второго уравнения Пенлеве. Препринт N 48. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 32 с.

9.     Брюно А.Д., Чухарева И.В. Степенные разложения решений шестого уравнения Пенлеве. Препринт N 49. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 32 с.

10. Брюно А.Д., Карулина Е.С. Степенные разложения решений пятого уравнения Пенлеве. Препринт N 50. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 32 с.

11. Брюно А.Д., Гриднев А.В. Степенные и экспоненциальные разложения решений третьего уравнения Пенлеве. Препринт N 51. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 32 с.

12. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. 288 c.

13. Брюно А.Д. Степенные разложения решений одного алгебраического или дифференциального уравнения. Препринт N 63. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2000. 22 с.

14. Брюно А.Д. Асимптотически близкие решения обыкновенного дифференциального уравнения. Препринт N 31. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 12 с.

 

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 17 Jan 2005, 18:39.