Рассмотрим следующую задачу для системы Максвелла

                                               (1)

,                                                                  (2)

причем , а  f(t,x,y,z) удовлетворяет условию

                                      (3)

где q<1 заданное положительное число. Пусть решение (E, H) задачи (1-3) нужно вычислить только в области

                                                               (4)

Вычисление решения задачи (1-4) по употребительным разностным схемам на сетках с шагами O(h) требует  арифметических операций и с ростом T быстро становится непосильным. Здесь будет построен алгоритм, требующий неуменьшаемого по порядку  количества арифметических операций.

        Для вычисления решения воспользуемся сеткой M точек m=(t, x, y, z)    с координатами

        (5)

где t и h, постоянные шаги сетки;; i, j, k, l=0,1. Сетка M введена в [1]. Обозначим, совокупность семи точек

.

          Обозначим  совокупность точек, для которых ; ; , ; , ; . Для любого множества Z в пространстве (t, x, y, z) обозначим  совокупность точек Z, лежащих в гиперплоскости .
Обозначим  ту подсетку сетки M, координаты точек которой задаются формулами (5) при фиксированном наборе i, j, k, l.
Обозначим:

                (6)

Искомые скалярные компоненты  заменим искомыми скалярными функциями  на сетках   соответственно, для вычисления которых воспользуемся следующей схемой [2]:

                                       (7)

                                      (8)

                                       (9)

                                       (10)

                                       (11)

                                       (12)

         (13)

Через  обозначены операции симметричных разделенных разностей с шагами t, h, h и h соответственно. Заметим, что в соответствии с (6) точки ,  и , где определены , все лежат на нечетных слоях , , а точки , ,  на четных слоях , , по времени.

Поставим задачу вычислить

                     (14)

                         (15)

Таблицы (14), (15) представляют собой таблицы значений компонент   решения задачи (7-13) в сеточных расчетных подобластях, указанных в (14-15) и соответствующих области (4).

          Вычисление таблиц (14-15) путем непосредственного решения по явной разностной схеме (7-13) вовлекает в расчет  точек сетки M, и требует  арифметических операций.

          Построение неулучшаемого по порядку  числа арифметических действий алгоритма для получения таблиц (14-15) с высокой точностью начнем с того, что разобьем таблицу (15) на следующие две таблицы

          (16)

(17)

Рассмотрим теперь следующую разностную систему уравнений

                           (18)

                           (19)

                           (20)

                     (21)

                     (22)

                     (23)

Дополним систему (18-23) начальными условиями

, если                                                                                                                           (24)

и следующими искусственными граничными условиями:

       (25)

Величины  в правых частях условий (25) суть значения решений задачи (7-13) в соответствующих точках n.

Лемма. Решение  задачи (18-25) существует, единственно и совпадает с решением    задачи (7-13) в тех точках, где решение задачи (18-25) определено, т.е. в точках расчетной подобласти.

Из леммы следует, что условия (25) равносильно заменяют разностную систему (7-13) вне расчетной подобласти, т.е. являются неотражающими искусственными граничными условиями.

          Таблицы (14) и (15) при s£0 являются тождественно нулевыми в силу (13). Допустим, что таблицы уже вычислены при 2s£p, где p некоторое четное число. Тогда в силу леммы можно вычислить таблицу (14) при p+1=2s+1, используя явные разностные уравнения (18-20), выписанные при 2s=p. После того как таблица (14) вычислена на слое p+1=2s+1, можно вычислить также часть таблицы (15), а именно таблицу (16) на слое p+2=2(s+1), воспользовавшись для этого разностными уравнениями (21-23), выписанными на (p+1)-ом слое, т.е при .
Для завершения вычисления таблицы (15) на слое  осталось вычислить таблицу (16) на (p+2)-ом слое, т.е. правые части искусственных граничных условий (25) при 2s=p+2.

          Введем обозначение, полагая для каждой функции v(t, x, y, z)

Теорема. Числа, , , составляющие таблицу (16) при , совпадают со значениями , ,  в соответствующих точках решений следующих трех разностных вспомогательных волновых задач

                                          (26)

                                          (27)

                                           (28)

                (29)

Правые части этих задач задаются формулами

         (30)

         (31)

           (32)

В формулы (30-32) входит функция h(r), определенная равенствами

                                                         (33)

Для точки  число . Решения задач (26-32) имеют смысл на слоях , 2s£p+2, так как правые части, ,  определены формулами (30-33), в которые входят уже вычисленные значения , ,  из таблицы (15) при , 2s£p, а также значения уже вычисленных величин, входящих в таблицу (16) на слое  .

          Сформулированная теорема, сводящая вычисление правых частей неотражающих искусственных граничных условий (25) к решению трех скалярных волновых задач, и составляет результат настоящей работы.

          Значение этого результата состоит в том, что мы получили возможность вычислять таблицы (14-15) за  арифметических операций, поскольку ранее [6-10] нами уже разработан алгоритм вычисления с высокой точностью решения разностных волновых задач вида (26-33) также за  операций. Заметим, что не существует алгоритма точного или приближенного вычисления таблиц (14-15), требующего меньшего по порядку числа арифметических операций, так как порядок числа элементов таблиц (14-15) также есть .

          Построенные неотражающие граничные условия и алгоритм их вычисления не изменятся, если изменить сетки и разностные уравнения внутри сферы . Поэтому наши конструкции и алгоритмы можно использовать при решении произвольных, имеющих единственное решение, электродинамических задач на больших временах. Например, электромагнитное поле внутри сферы может быть самосогласованным или (и) развиваться в среде со сложным распределением электрофизических параметров.

          Переход от исходной задачи (7-15) к задаче в расчетной подобласти с удобными для вычислений неотражающими граничными условиями на ее сеточной границе (18-25) осуществлен с использование подходов и конструкций метода разностных потенциалов [3-6]. Экономный алгоритм вычисления правых частей условий (25) опирается на фундаментальное свойство решений волнового уравнения иметь лакуны. Идея использования этого свойства для экономного вычисления неотражающих искусственных граничных условий была впервые высказана в [4], а затем развита и программно реализована в [7-14], см. также [6].

Список литературы

[1]     Лебедев В.Н. О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных. Изв. АН СССР, серия математ., т.22, 1958, с.717-734.

[2]     Yee K.S. Numerical solution of initial boundary value problem involving Maxwell’s equations in isotropic media, IEEE Trans. Antennas Propagat, v.14, 1966, p.302-307.

[3]     Рябенький В.С. Точный перенос разностных краевых условий. Функц. анализ и его приложения, т.24, в.3, 1990, с.90-91.

[4]     Рябенький В.С. Точный перенос краевых условий. Вычислит. механика твердого тела, 1990, с.129-145.

[5]     Ryaben’kii V.S. Nonreflecting time dependent boundary conditions on artificial boundaries of varying location and chape. Applied Numerical Mathematics, V.33, 2000, p.481-492.

[6]     Рябенький В.С. Метод разностных потенциалов и его приложения. Физматлит, 2002, с.1-492.

[7]     Рябенький В.С., Турчанинов В.И., Цынков С.В. Использование лакун решений 3D–волнового уравнения для вычисления решения задачи Коши на больших временах. Математическое моделирование, 1999, т.11, №12, с.113-126.

[8]     Турчанинов В.И. Свойство лакун решений разностного аналога пространственного волнового уравнения. Доклады РАН, т.375, №4, 2000.

[9]     Рябенький В.С., Турчанинов В.И., Цынков С.В. Неотражающие искусственные граничные условия для замены отбрасываемых уравнений с лакунами. Математическое моделирование, т.12, №12, 2000.

[10]    Ryaben’kii V.S., Tsynkov S.V., Turchaninov V.I. Long-time numerical computation of wave type solutions driven by moving sources. Applied Numerical Mathematics, 2001, V.38, p-187-222.

[11]    Ryaben’kii V.S., Tsynkov S.V., Turchaninov V.I. Global discrete artificial boundary conditions for time-dependent wave propagation. J. Comput. Physics, 2001, v.174, p.712-758.

[12]    Tsynkov S.V. Artificial boundary conditions for the numerical simulation of anstady accoustic waves. J.Comput. Physics, 2003, V.189(2), p.626-650.

[13]    Цынков С.В. Нелокальные искусственные граничные условия для численного решения задач в неограниченных областях. Дисс.докт. физ.-мат. наук, М., Институт математического моделирования РАН, 2003.

[14]    Tsynkov S.V. On the application of lacunae-based methods to Maxwell’s equations, J. Comput. Physics, 2004, v.199, p.126-149.