Основы теоретической робототехники и нечеткие методы (обзор)
( The fundamentals of the theoretical robotics and the fuzzy methods (review)
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Содержание

Введение

Мультисенсорная обработка предполагает синергетическое  использование информации, произведенной сенсорами. Эта обработка производится с помощью методов, использующих состояние интеграционного процесса, в котором актуальная комбинация  различных источников сенсорной информации преобразуется в один представительный формат. Данный подход описан в работе [1], где рассматривалась задача разделения в  виртуальной системе сенсорной информации по различным внешним уровням интеграции, включающим физический, логический и виртуальный уровни.

Чтобы обеспечить виртуальной  системе информацию от каждого сенсора, рассмотрим сначала, как в ней интегрированы n сенсоров. Для этого для наглядности воспользуемся рис.1.

Рис.1

На этом рисунке показан уровень представления информации, соответствующий виртуальной сенсорной сети [2]. На нижнем уровне необработанные сенсорные данные преобразуются в информацию в форме сигнала. В результате пошаговой обработки сигнал преобразуется в абстрактное числовое или символьное представление. Как видно из рис.1, выходы Д₁ и Д₂ от первых двух сенсоров обрабатываются в точке пересечения в новое представление Д_1,2. Выход Д₃ от третьего сенсора затем комбинируется с Д_1,2 в следующей точке пересечения, результатом представления чего является выход Д_1,2,3 , который затем обрабатывается на верхних уровнях. Результатом первого уровня обработки является значение  сигнала Д_1,2 , что может быть числовым значением, в то время как результат от второй обработки  -  Д_1,2,3  -  должен быть символьным представлением объекта. В результате, выход от всех n сенсоров интегрируется в верхнюю структуру  виртуальной сенсорной сети (ВСС).

Таким образом, информация с физических сенсоров обрабатывается на нижнем уровне представления, затем сравнивается с дополнительной информацией на символьном уровне и далее непосредственно обрабатывается в различных частях виртуальной системы с использованием специальных методов обработки. Особенностью такой обработки информации является то, что система может принимать состояния, которые не могут быть измерены традиционными методами. Кроме того, по своей природе оценка является приближением. Источниками неопределенности такого представления являются: невозможность сколь угодно точного измерения реальных величин; невозможность полного и четкого описания многих физических объектов и ситуаций; принципиальные ограничения по точности и большие погрешности выполнения сенсорных действий и др. Все это позволяет в виртуальной системе считать моделирование нечетким  и кодировать информацию, достаточную для решения задач, элементами нечетких множеств, которые приближенно описывают исходные данные. В результате приходим к использованию в качестве состояний модели нечеткого множества в исходных пространствах, а в качестве действий (в управлении) или операторов (в моделях) – нечетких преобразований над этими пространствами. Рассмотрим специальный математический аппарат, который позволяет обрабатывать информацию, формализованную с помощью нечетких множеств.

1. Основные определения и понятия теории нечетких множеств, используемые для обработки сенсорной информации

Рассмотрим множество E, конечное или счетное, и  x  -  элемент E. Тогда нечетким подмножеством А  множества E называют [3, 4] совокупность упорядоченных пар

                        А = {(xï m_A (x))} ,

                        ^{~               ~}

где   m_A (x)  называется  функцией принадлежности x в  нечетком подмножестве A.

                   ^~

Значение функции принадлежности m_A(x)  для элемента x ÎE называется степенью

                                                                                                     ^~

принадлежности.

Степень принадлежности Л. Заде [3] предложил оценивать числами из интервала  [0,1]. Фиксирование конкретных значений носит субъективный характер. С одной стороны, важен характер измерений (первичный или производный) и тип шкалы, в которой получают информацию и которая определяет допустимый вид операций, применяемой к  информации. С другой стороны, имеется два типа свойств: те, которые можно непосредственно измерить, и те, которые являются качественными и требуют парного сравнения объектов, обладающих рассматриваемым свойством, чтобы определить их относительное место по отношению к рассматриваемому понятию. Как правило, функция принадлежности либо непосредственно задается таблицей, либо задается аналитической функцией, совпадающей с функцией принадлежности. Результатом процедуры обработки должна быть функция принадлежности, удовлетворяющая условиям интервальной шкалы; при парном  сравнении объектов, если один объект оценивается в a раз сильнее, чем другой, то второй объект оценивается только в 1/a  раз сильнее, чем первый и т.д.

Нечеткое решение определяется как результат операции следующих отношений:  включение, равенство, дополнение, пересечение, разность, дизъюнктивная сумма, а также комбинацией этих отношений.

Включение.  Пусть  Е -  множество, М - множество принадлежностей  и

A  и  B -  два  нечетких   подмножества   E ;   считают, что  А содержится

          ^{~        ~                                                                                                            ~}

в B, если

     ^~          

"x Î E :m_A(x) £ m_B(x)       и обозначать    A  Ì  B .  

                         ^{~              ~                                               ~          ~}

Пример.  Пусть

                   E =  {x₁,   x₂ ,    x₃ ,   x₄ },   M  =  [0, 1].

                  A = {(x₁ê0,4),  (x₂ê0,2),  (x₃ê0),  (x₄ê1)}.

                  ^~

                  B  = {(x₁ê0,3),  (x₂ê0),  (x₃ê0),  (x₄ê0)}.

                  ^~

Имеем

            B Ì A ,   так как   0,3 < 0,4,   0 < 0,2,  0 = 0,  0 < 1.

             ^{~       ~}

Равенство.  Пусть Е - множество, М – множество принадлежностей,

A   и  B - два нечетких подмножества Е.    Утверждается,   что   A  и  B     равны                   

^{~            ~                                                                                                                     ~       ~}

тогда и только тогда, когда   " x Î E :   m_A(x)  =  m_B(x).

                                                                    ^{~                ~}

Будем   обозначать  A  =  B .      Если    найдется  по крайней  мере  один  

                                 ^{~         ~}

такой элемент  x  из E, что равенство  m_A(x) = m_B(x)  не   удовлетворяется, то

                                                                                 ^{~              ~}       

говорят, что A и B не равны и обозначают  A ¹ B .

                           ^{~      ~                                                    ~       ~}

Дополнение.  Пусть   Е  -  Множество,    М = [0, 1]  -   множество    принадлежностей, A  и  B  - два  нечетких подмножества  Е .  Утверждают,

^{~        ~}

что A  и  B  дополняют друг друга, если

         ^{~        ~}

                      " x Î E :  m_B(x)  =  1 -  m_A(x) .

                                                ^{~                        ~}                                                   _¾

Это обозначается так : B  = `A  или`A = B  . Очевидно, что всегда  (`A ) = A .

                                      ^{~          ~             ~      ~                                                        ~         ~}

Пример.

E  =  { x ₁  x₂   x₃    x₄   x₅   x₆ },    M = [0, 1].

A =  {(x₁ê0,13), (x₂ê0,61), (x₃ê0), (x₄ê0), (x₅ê1), (x₆ê0,03)},  

 ^~

B =  {(x₁ê0,87), (x₂ê0,39), (x₃ê1), (x₄ê1), (x₅ê0), (x₆ê0,97)}.

 ^~

Тогда очевидно            `A  =   B .

                                        ^{~          ~}

Пересечение. Пусть Е – множество и М  =  [0, 1] -  соответствующее ему множество   принадлежностей,    А  и  В   -   два  нечетких  подмножества    Е;

                                  ^{~        ~}

пересечение А Ç В  определяют     как   наибольшее  нечеткое подмножество,

                           ^{~      ~}

содержащееся в А  и  В одновременно:

                           ^{~         ~}     

       " x Î E : m_AÇB(x) = min (m_A(x), m_B(x)).

                               ^{~    ~                   ~          ~}

Пример.

               E =  {x₁   x₂   x₃   x₄   x₅ },  M =  [0, 1].

               A =  {(x₁ê0,2), (x₂ê0,7), (x₃ê1), (x₄ê0), (x₅ê0,5)}.

                ^~

               B =  {(x₁ê0,5), (x₂ê0,3), (x₃ê1), (x₄ê0,1), (x₅ê0,5)}.

               ^~

       A Ç B =  {(x₁ê0,2), (x₂ê0,3), (x₃ ê1), (x₄ê0), (x₅ê0,5)}.

        ^{~      ~}

Кроме того, используя общее определение, можно записать

        " x Î E :  x Π A  и   x  Π B  Þ  x   Π   A Ç B  .

                           m _A    ^~                   m_B    ^~                      m_AÇB  ^{~        ~}

                                  ^{~                             ~                                ~    ~}

Объединение.  Пусть Е  -  множество  и  М  = [ 0, 1]  -  соответствующее ему  множество  принадлежностей,  А  и  В  - два  нечетких подмножества  Е;

                                                                 ^{~         ~}

объединение определяется как наименьшее нечеткое подмножество   А  È В ,

                                                                                                                                             ^{~         ~}

которое содержит как А, так и В.

                                              ^{~                ~}

                    " x Î E :  m_AÈB(x)  =  max (m_A(x), m_B(x)).

                                       ^{~    ~                          ~            ~}

Вернувшись к примеру, получим

           A È B  =  {(x₁ê0,5), (x₂ê0,7), (x₃ê1), (x₄ê0,1), (x₅ê0,5)}.

   ^{~       ~}

Дизъюнктивная сумма. Дизъюнктивная сумма двух нечетких подмножеств определяется в терминах объединений и пересечений следующим образом:

           A  Å  B  =  ( A Ç`B) È (`A Ç B) .

   ^{~         ~           ~         ~            ~       ~}

Рассмотрим тот же пример, который иллюстрировал операции объединения и пересечения:

          A  =  {(x₁ê0,2), (x₂ê0,7), (x₃ê1), (x₄ê0), (x₅ê0,5)},

             ^~

          B  =  {(x₁ê0,5), (x₂ê0,3), (x₃ê1), (x₄ê0,1), (x₅ê0,5)}.

          ^~

        `A  =  {(x₁ê0,8), (x₂ê0,3), (x₃ê0), (x₄ê1), (x₅ê0,5)}.

          ^~    

        `B  =  {(x₁ê0,5), (x₂ê0,7), (x₃ê0), (x₄ê0,9), (x₅ê0,5)}.

          ^~

       A Ç`B  =  {(x₁ê0,2), (x₂ê0,7), (x₃ê0), (x₄ê0), (x₅ê0,5)}.

       ^{~         ~}

     `A Ç B  =   {(x₁ê0,5), (x₂ê0,3), (x₃ê0), (x₄ê0,1), (x₅ê0,5)}.

       ^{~       ~}

       A  Å  B  =  {(x₁ê0,5), (x₂ê0,7), (x₃ê0), (x₄ê0,1), (x₅ê0,5)}.

       ^{~          ~}

Разность.  Разность определяется соотношением     A  -   B  =  A Ç`B .

                                                                                                                    ^{~         ~        ~         ~}

Пример. Используя результаты предыдущего примера, имеем:

             A Ç`B  = {(x₁ê0,2), (x₂ê0,7), (x₃ê0), (x₄ê0), (x₅ê0,5)}.

    ^{~         ~}

Одно из свойств нечетких отношений заключается в том, что они могут быть представлены в виде совокупности обычных отношений, причем эти отношения могут быть упорядочены по включению, представляя собой иерархическую совокупность отношений. Разложение нечетких отношений на совокупность обыкновенных отношений основано на понятии a - уровня нечеткого отношения. Рассмотрим, как используя функцию принадлежности и понятие обычного подмножества a - уровня, можно нечеткое множество разложить на произведения четких множеств по коэффициентам a_I. Пусть aÎ[0, 1]; подмножеством a - уровня нечеткого подмножества A будет называться обычное подмножество A_a = { xïm_A (x) ³ a}.

                                                                                                                 ^~

Пример.  Пусть

                              x₁   x₂    x₃    x₄     x₅      x₆      x₇

                     A =  0,8  0,1   1     0,3   0,6     0,2    0,5   .

                      ^~

Имеем

                                 x₁   x₂     x₃    x₄     x₅     x₆     x₇  

                      A_0,3 =   1     0      1     1      1       0      1      ,

                                 x₁   x₂     x₃    x₄     x₅    x₆    x₇

                     A_0,55 =   1     0      1     0      1      0      0      .

Рассмотрим теорему  о  декомпозиции. Всякое нечеткое подмножество A

                                                                                                                                                    ^~

можно следующим образом разложить на произведения обычных подмножеств по коэффициентам a_I :

                           A = max [ a₁ × A_a1 ,  a₂ × A_a2 , …,  a_n × A_an ],

                                  ^{~        ai}

                                     0 < a_i £ 1 ,  i =  1,2, …, n.

Доказательство.

                                    ì 1,  если  m_A (x) ³ a_i ,

                 m_AaI (x)  =  í                 ^~

                                    î  0,  если  m_A (x) <  a_i .

                                                       ^~

Таким образом, функцию принадлежности подмножества A  можно записать в виде

                   m(x)     =  max [ a_i × A_ai ] =

               ^{max [a}_i ^{× A}_ai ^{]    ai}

                     ^ai               =  max [ a_i ] =       

                                   ^a_i £ ^m_A^(x)

                                            ^~

                               =  m_A (x) .

                                     ^~

Пример.

x₁    x₂    x₃    x₄    x₅                       x₁   x₂   x₃   x₄   x₅                   x₁  x₂  x₃  x₄  x₅

0,2  0   0,5   1    0,7 =  max ( (0,2) ×  1    0    1    1    1  ,      (0,5) × 0   0   1   1   1  ,

                                              x₁   x₂   x₃   x₄   x₅                       x₁  x₂  x₃  x₄  x₅

                                     (0,7) ×   0    0    0     1    1  ,       (1)  ×  0    0   0   1   0   ) .

Формула разложения остается справедливой и в случае, когда универсальное множество имеет мощность континуума (действительных чисел). Рассматривая интервал [ a, 1], где 0 < a £ 1, можно записать

                            ì  1,    если  m_A(x)  Î [ a, 1] ,

       m_Aa (x)    =   í                    ^~

                            î     0,     если  m_A(x)  Ï [a, 1] .

                                                      ^~

Таким образом, нечеткое подмножество можно разложить для любых произвольных множеств значений a - уровня в интервале  0 < a £ 1 .

С другой стороны, можно осуществить синтез нечеткого подмножества посредством объединения обычных подмножеств. Если рассмотреть последовательность обычных подмножеств   A₁ Ì Ì A₂ Ì Ì  … Ì Ì A_n    и присвоить значения a₁ для A₁ , a₂ для A₂ , …, a_n для A_n , причем такие, что  a₁ > a₂  > …> a_n , то получим нечеткое подмножество  A .

Свойства нечетких отношений

Теоретически обычное множество состоит из множества X, набора объектов, называемого подмножеством  X, двух бинарных операций, определяемых на этих подмножествах, называемых объединение и пересечение, бинарной операции, называемой отрицание, и двух специально означенных множеств, названных в [5,7]  X и Ф.

Эти множества вместе с этими операциями строятся с помощью булевой алгебры. Их свойства:

1)          объединение и пересечение являются коммутативным,

2)          объединение и пересечение являются ассоциативным,

3)          объединение и пересечение  являются идемпотентным,

4)          объединение и пересечение являются поглощением,

5)          объединение и пересечение являются дистрибутивным,

6)          Х и Ф являются соответственно максимальным и минимальным элементами алгебры,

7)          отрицание удовлетворяет свойству дополнения так, что А È`А = Х и А Ç`А = Ф.

Введем также понятие “отношение доминирования”. Рассмотрим два упорядоченных набора:

n  =  (k₁,  k₂ , …,   k_n)

и

n¢ =  (k¢₁,  k¢₂ , …,   k¢_n) ,

в которых  k_i и  k¢_i ,  i = 1, 2, …, n  принадлежат одному и тому же вполне упорядоченному множеству K. Обозначим отношение порядка на К символом ³. Считается, что n¢ доминирует n, то есть n¢ ³ n (отношение нестрогого порядка), тогда и только тогда, когда  k¢₁ ³ k₁ , k¢₂ ³ k₂ ,  …,  k¢_n ³ k_n . Для обозначения отношения строгого порядка используем символы > и  Ð , тогда говорят, что n¢ строго доминирует n. Очевидно, что  n¢> n,  если k¢₁ ³ k₁ ,  k¢₂ ³ k₂,  …,  k¢₁ ³ k_n и имеются по крайней мере одно k¢_i и одно k_i , между которыми существует строгое отношение.

Таким образом, если решением практической задачи является получение на множестве некоторого отношения заданного типа, например, эквивалентности  или порядка, то построение на множестве соответствующего нечеткого отношения позволяет получать сразу семейство необходимых обычных отношений. Это дает возможность учитывать неоднозначность решений, присущих практическим ситуациям,  а также дает возможность оперировать сразу всей совокупностью объектов.

2. Измерение нечеткости

Рассмотрим процедуру построения функции принадлежности, в которой используются парные сравнения объектов и допускается матрица парных сравнений. Рассмотрим понятие “ класс S “, которое описывается функцией принадлежности на множестве объектов A = {a₀, … , a_n-1} [10]. В А имеются только два объекта  a₀  и a₁, о которых можно сказать, что a₁ -  идеальный представитель тех объектов, которые принадлежат классу S, и что а₀ -  идеальный представитель тех объектов, которые не принадлежат понятию “ класс S ”, т.е. m_s(a₁) = 1, m_s(a₀) = 0.  В этом случае можно проранжировать степень различия объектов в каждой паре объектов в смысле принадлежности понятия классу S. В результате формируется матрица парных сравнений, которая задает порядок пар объектов по степени различия в парах. Далее посредством методов неметрического шкалирования вычисляются в метрическом пространстве X^m координаты n точек x_i = {x_i¹, … ,x_i^m}, порядок расстояний  d(x_i, x_j) между которыми совпадает или максимально близок к порядку элементов матрицы парных сравнений. Для полученных расстояний имеют место следующие утверждения: если объекты a_i и a_j неразличимы, то d_ij = 0, если степень различия объектов a_i, a_j  больше чем степень различия объектов a_i, a_k, то d_ij > d_ik ; если степень различия объектов a_i, a_j совпадает со степенью различия объектов a_i, a_k, то d_ij = d_ik.

Дальнейшие выводы основываются на следующих предположениях [11].

Предположение 1.     Понятие    S    характеризуется             несколькими одномерными признаками,   которые   определяются   при   помощи   методов шкалирования.

Согласно предположению объекты формально описываются точками в пространстве признаков. Из процедуры формального описания объектов следует, что максимальное расстояние на множестве объектов будет между объектами a₀ и a₁, т.к. их различие в смысле принадлежности к понятию S будет максимально возможным, следовательно, чем дальше объект a_i от объекта а₁ в пространстве признаков, тем в меньшей степени он характеризуется принадлежностью к S.

Предположение 2. Степень различия двух объектов a_i и a_j  из А по отношению к понятию “класс S” пропорциональна разности расстояний в пространстве признаков от a_i  и a_j до объекта а₁, который с максимально возможной степенью принадлежит S.

Из предположения следует, что степень различия двух объектов a_i  и a_j по отношению к понятию S будет пропорциональна разности значений функций принадлежности на этих объектах, т.е.  c êd_1i -  d_1j ê =  êm_s (a_i) ê, где с -  некоторая константа.

Если в качестве объекта a_i рассматривать a₀, затем a₁, то будут иметь место следующие соотношения:

                      c êd₁₀ – d_1j ê =  m_s (a_j),       cd_1j   =  1 - m_s (a_j),   т.е.  d₁₁ = 0.

Из этих уравнений следует, что

                                     d₁₀ -  d_1j                           d_1j

                        m_s (a_j) =  ¾¾¾¾  =  1 -  ¾¾   .

                                         d_1j                                 d₁₀

Таким образом, функция принадлежности на множестве объектов А, характеризующее понятие S, определяется по расстояниям в пространстве признаков X^m согласно полученному соотношению.

Известно, что в математике термин “расстояние” нельзя использовать произвольно. Если необходимо определить расстояние d между любой парой элементов X, Y  множества E, то должны выполняться следующие условия [10]:  " X, Y, Z Î E:

1)                        расстоянием d(X,Y).

2)                        d (X, Y) ³ 0  -  неотрицательность,

3)                        d (X, Y) = d (Y, X)  -  симметричность,

4)                        d (X, Z) £ d ( X, Y) * d (Y, Z)  -  транзитивность.

Здесь  * -  оператор, связанный с d(X, X) = 0.

Используя эти идеи, можем выбрать некоторые метрики на пространстве n векторов для  измерения степени нечеткости нечеткого множества. Можно показать, что между показателями нечеткости, удовлетворяющими условиям 1 - 4,  и метриками определенного класса может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Если А является нечетким подмножеством Х, докажем, что f(A) будет измерением нечеткости. Потребуем от функции f удовлетворения f(A) = f(`A).

Рассмотрим несколько метрик измерения нечеткости, основанных на расстоянии между А и `А. Рассмотрим сначала случай, в котором подчеркивается, что множество Х является конечным размерности n. В этом случае рассмотрим каждое нечеткое подмножество Х как вектор с n компонентами. Так, А(х<sub>i</sub>) является i-ой компонентой от  вектора, представляющего нечеткое множество А. В этом случае (1 – А(х<sub>i</sub>)) есть i– ая компонента вектора, представляющего нечеткое подмножество `А. Используя эту структуру, мы можем подсчитать расстояние между А и `А.

Если D является метрикой на n пространстве, то D(A,`A)  является измерением расстояния между А и `А. Класс метрик в этом пространстве определяется формулой [5]:

                       n

D_p(A,`A) = [ å çAC(x_i) – A(x_i)ç^p]^1/p             

                      I=1

для p = 1,2,3, … .

В частности, имеем

p = 1: метрика Хемминга, где

                     n

D₁[A,`A] =  å êA(x<sub>i</sub>) - `A(x_i) ç.

                     i=1

Однако, так как  `А(х) = 1 – А(х), получаем

                     n

D₁ [A,`A] = å ç2A(x_i) – 1 ê.

                     i=1

p = 2:  Евклидова метрика, где

D₂ [A,`A] = ( å (A(x<sub>i</sub>) - `A(x_i))²)^1/2

И так как`А(х) = 1 – А(х), получим

D₂ [A,`A] = ( å (2A(x_i) – 1)²)^1/2.

p = ¥: бесконечная метрика Sup

D_x [A,`A] = Sup      çA(x<sub>i</sub>) - `A(x_i) ê

                    i=1,2,…,n

D_x [A,`A] =         å       ê2A(x_i) - 1ê        

                     i=1,2,…,n

Отмечаем, что если С является четким множеством, то `С есть точное дополнение. Может быть доказана следующая теорема.

Теорема 1 [5]. Если С является неким четким множеством Х и `С его отрицание, то

D_p = D_p[C,`C] = n^1/p

В частности,

                             D₁ = n ,

                             D₂ = n^1/2,

                             D_¥ = 1.

Доказательство. Если С является четким, тогда либо С(х), либо `С(х) есть 1 и другие есть 0 и, следовательно,

           çС(х) - `С(х) ç = 1

и

                      n

D_p(C,`C) = ( å 1)^1/p = n^1/p.

                     i=1

Теорема 2 [5]. Если С является некоторым четким подмножеством Х и А является нечетким подмножеством Х, то

D_p(A,`A) £ D<sub>p</sub>(C,`C).

Доказательство.   çС(х_i) - `C(x_i)ç = 1  для всех х_i  и

                                      ê2А(х_i) – 1 ç £ 1 для всех х_i

Отметим, что определение нечеткости инверсно относительно  расстояния между А и `А. Основываясь на этих метриках, можем определить измерение нечеткости  от А    f_p(A) такое, что

             D_p – D_p(A,`A)        D<sub>p</sub>(A,`A)

f_p(A) = ¾¾¾¾¾¾  = 1 -  ¾¾¾¾ .

                       D_p                                D_p

В частности,

                                        n

                      f₁(A) = 1 – 1/n( å ê2A(x_i) – 1 ê)

                                                i=1

                                                     n

                      f₂(A) = 1 – 1/n^1/2 ( å ç2A(x_i) – 1 ç²)^1/2

                                                     i=1

                      f¥(A) =  1 -    Sup   ç   2A(x_i) – 1 ç.

                                       i= 1,2,3,…   

Это определение нечеткости удовлетворяет трем условиям, сформулированным De Luca и Termini [9]:

      1) Если А является четким подмножеством, А(х₁) = 1 или 0  и  следовательно  ç2А(х_i) – 1 ç = 1    для всех i = 1, …, n  и следовательно  D_p(A,`A) = D_p  и следовательно

                    D_p

  f_p(A) = 1 - ¾ = 0.

                     D_p

2)    f_p(A) = 1 – (D_p(A,`A)) / (D<sub>p</sub>)  является max, когда D<sub>p</sub>(A,`A) является min. D_p (A,`A) есть min, когда ç2A(x_i) – 1 ç= 0 для всех х_i, так как ç2А(х_i) – 1 ç= 0, когда  А(х_i)=1/2. Очевидно, что f_p(A) есть max, когда А(х_i)=1/2 для всех хÎХ.

3)      Принимем А^*(х) ³ А(х) для  А(х) ³1/2,

                  А^*(х) £ А(х)  для А(х) £1/2.

Тогда

                  ç2А^*(х_i) – 1 ç³ ç2A(x_i) – 1 ç   для всех х_i

и, следовательно,     D_p(A^*,`A<sup>*</sup>) ³ D<sub>p</sub>(A,`A)   и   f_p(A^*) £ f_p(A).

Если лежащее в основе множество Х является непрерывным, в частности некоторым интервалом (a, b) реальной линии, тогда можем определить нечеткость, используя интегральное измерение расстояния. Так, если Х = [a, b] Î R, то если А есть нечеткое подмножество от Х и `А  его отрицание, то

                                  _b

             D_p(A,`A) = [ ò çA(x) - `A(x) ç^p dx]^1/p                    (p=1,2,…, ¥).

                                   ^а                                   

Так как `А(х) = 1 – А(х), мы имеем

                                  _b

              D_p(A,`A) = [ ò ê2A(x) – 1 ê^p dx]^1/p .

                                   ^а

Когда p = 1,  получаем

                                _b

              D₁(A,`A) = ò ç2A(x) – 1 ç dx,

                                ^a

когда p = 2,

                                   _b

               D₂(A,`A) = [ ò (2A(x) – 1)²dx]^1/2.

                                   ^a

Eсли С есть четкое множество от Х, тогда

               ç2С(х) – 1 ç = 1 для всех х

и следовательно

                                  _b

              D_p(C,`C) = [ ò dx]^1/p = (b – a)^1/p.

                                 ^a

Так, для четких множеств получаем

                 D₁ = b – a

                 D₂ = (b – a)^1/2

                 D_p = (b – a)^1/p.

Как в последнем случае, может быть показано, что если А является нечетким подмножеством от Х

                 D_p ³ D_p(A,`A).

Следовательно, в этом случае имеем следующее измерение нечеткости:

                        1         _b

 f_p(A) = 1 -  ¾¾¾   [  ò ê2A(x) – 1 ê^p dx]^1/p.

                    (b – a)^{1/p    a}           

3. Нечеткие операторы

Важным вопросом исследования нечеткого множества является построение соответствующих операторов агрегирования нечеткой информации с учетом изменчивости ситуационных данных. В работе [3]  показано, что для любых нечетких множеств из F(X) операторы   F = min  и   G = max  являются единственно возможными операторами пересечения и объединения при выполнении следующих условий:

      1)  F (m_A, m_B) = F (m_B, m_A) ;    G (m_A, m_B) = G (m_B, m_A)      ( коммутативность) ;

     2)  F (m_A, F (m_B, m_C)) = F (F (m_A ,  m_B), m_C) ;

G (m_A, G (m_B, m_C)) = G (G (m_A, m_B), m_C) ;                           (ассоциативность) ;

      3)  F (m_A, m_B) £ F (m_C, m_D) ;  G (m_A, m_B) £ G (m_C, m_D),   если  m_A £ m_C,    m_B £ m_D

(монотонность) ;

      4)   F (m_A, m_A) < F (m_B, m_B) ;   G(m_A, m_A) < G (m_B, m_B) ,   если  m_A < m_B ;

5)  F (1, 1) = 1 ;  G (0, 0) = 0 ;

6)  F (m_A,  m_B) £ min (m_A,  m_B) ;  G (m_A,  m_B) ³ max (m_A,  m_B) ;

7)     F и  G -  непрерывные функции;

8)     F (m_A, G (m_B,  m_C)) =  G (F (m_A,  m_B), F (m_A,  m_C)) ;

G (m_A, F (m_B,  m_C)) =  F (G (m_A,  m_B), G (m_A,  m_C))   (дистрибутивность).

Нечеткие операторы дополнения

В теории нечетких множеств оператор дополнения не является единственным. Помимо общеизвестного `m (x) = 1 - m(x)      "x Î X  имеются другие операторы отрицания (дополнения).

Рассмотрим подход к измерению нечеткости в контексте с возможными операторами дополнения. Пусть U обозначает четкое множество, которое принимается за универсальное. Тогда нечеткое подмножество А от U определяется функцией

                                     m_A : U ® [0,1],

где m_А(u) характеризует степень принадлежности u в А. Дополнение нечеткого множества А определяется функцией

                                     c:[0,1] ® [0,1],

где каждому значению m_A(u) ставится значение c(m_A) и которое должно удовлетворять следующим двум требованиям (аксиомам):

(с1)  с(0) = 1 и с(1) =0,

т.е. с является обычным дополнением для четких множеств; (с2)  если х₁ < х₂, то c(х₁) ³ c(х₂), т.е. с  монотонно убывает.

Среди аксиом нечетких дополнений добавляют следующие два наиболее важных требования:

(с3)   c является непрерывной функцией;

(с4)   с является возведением в степень, т.е. c(с(х)) = х для всех х Î [0,1].

В качестве примера класса нечетких дополнений, которые удовлетворяют этим требованиям, являются дополнения порогового типа, которые определяются оператором

    ì   1   для х£а

                            c(х) = í

                                       î  0   для х>а,

где а Î [0,1].

Каждое нечеткое дополнение с имеет функцию C на множестве P (U) на всех нечетких подмножествах от U,

                              C: P(U) ®P(U),

такое, что для каждого А = Р(U), C(A) = B, если с(m_А(u)) = m_B(u) для всех u ÎU. Приведенная особенность нечеткого дополнения с функции С может быть условно использована как глобальный оператор изображения с. Чтобы достигнуть связи между нечеткими подмножествами и их дополнениями, согласно работе [7] введем некоторые релевантные свойства.

Оператор равновесия

Определение 1.  Пусть  c  является нечетким дополнением.  Тогда существует х, для которого c(х) = х, которое называется равновесием с.

Лемма 1 [9].   Каждое    нечеткое    дополнение     имеет    максимум     одно равновесие.

Доказательство. Пусть с произвольное нечеткое дополнение. Равновесием от с является решение уравнения c(х) – х = 0, х Î[0,1]. Лемму 1 можно доказать, предполагая, что некое уравнение c(х) – х = d, где d есть реальная константа, имеет одно решение.

Предположим, что х₁ и х₂ есть два  отличных решений уравнения c(х) – х = d, так что х₁<х₂. Тогда с(х₁) – х₁ = d и с(х₂) – х₂ = d; следовательно,                                  

                                  c(х₁) – х₁ = с(х₂) – х₂.                                                      (1а)

Пока с по определению является монотонно убывающей, с(х₁) ³ c(х₂) и считая х₁<х₂, получаем

                                   c(х₁) – х₁ >с(х₂) – х₂.

Это неравенство противоречит уравнению (1а). Следовательно, уравнение имеет одно решение.

Лемма 2 [9]. Предположим, что  данное нечеткое дополнение c имеет равновесие е_с, которое должно быть единственным (Лемма 1). Тогда

                                     х £c(х), если х£е_с

и

                                     х ³с(х), если х³е_с.

Доказательство. Пусть х <е_с, х = е_с и х >е_с, соответственно. Тогда с(х)³с(е_с), с(х) = с(е_с) и с(х) £с(е_с), соответственно, пока с является монотонно убывающей. При с(е_с) = е_с получаем с(х) ³е_с , с(х) = е_с  и с(х) £е_с , соответственно, и следуя предположению, получаем с(х) >х, с(х) = х и с(х) <х, соответственно. Следовательно, х£е_с предполагает с(х)³х и х³е_с предполагает с(х) £х. При этом немедленно за этим следует инверсная импликация.

Лемма 3 [9]. Если c есть непрерывное нечеткое дополнение, то c имеет единственное равновесие.

Доказательство. Данное нечеткое дополнение с, его равновесие е_с является решением уравнения c(х) – х = 0. Поскольку это частный случай от более общего уравнения c(х) – х = а, где а Î[-1,1] является константой, потребуем (с1), с(0) – 0 =1 и с(1) -1= -1. Пока с является непрерывным дополнением, оно следует из промежуточного значения теоремы для непрерывных функций, что для каждого а Î[-1,1] есть по крайней мере один х,  такой что c(х) – х = а. Единственность решения демонстрируется доказательством Леммы 1.

Оператор  “дуальная точка”

Определение 2. Данное нечеткое дополнение с и реальное число х Î[0,1], некоторое реальное число  ^dх Î[0,1] такое, что

                                      c(^dх) -  ^dx = x – c(x)                                                  (2а)

называется дуальной точкой х по отношению к с. Оно следует непосредственно из доказательства Леммы 1, что уравнение имеет одно решение для неизвестного  ^dх ( при данных с и х). Следовательно, здесь имеется одна дуальная точка для каждого в частности с и х. Как следует из доказательства Леммы 3, дуальная точка  ^dх существует для каждого х Î [0,1], когда c является непрерывным дополнением.

Лемма 4 [9]. Если c имеет равновесие е_с, то

                                        ^dе_с = е_с .

Доказательство. Если х = е_с , то х – с(х) = 0 по Определению 1. Чтобы удовлетворить уравнению Определения 2  мы должны положить  ^dх = e_c. 

Лемма 5 [9]. Для каждого х Î[0,1],   ^dx = c(x), если с(с(х)) = х.

Доказательство. Положим   ^dх = c(x). Тогда с(с(х)) – с(х) = х – с(х); следовательно, с(с(х)) = х. Пусть с(с(х)) = х. Тогда с(^dх) -  ^dx = c(c(x)) – c(x); следовательно, ^dх = c(x).  

Лемма 5 означает, что дуальная точка совпадает с точкой дополнения всякий раз, когда дополнение есть возведение в степень. Если дополнение не есть возведение в степень, дуальная точка либо не существует, либо не совпадает с точкой дополнения.

Таким образом, с помощью релевантных свойств, введенных леммами 1–5, достигнуты базисные связи между нечеткими подмножествами и их дополнениями.

4.Измерение нечеткого дополнения

Пусть P(U) обозначает множество всех нечетких подмножеств от U.Тогда измерением нечеткости является функция

                       f:P(U)® [0,1],

которая для каждого нечеткого подмножества А от U назначает величину f(A). Чтобы принять f(A) как характеристику степени нечеткости от А, функция f должна удовлетворять определенным требованиям. Определим  расстояние между нечетким подмножеством и его дополнением, введя такое отношение как «быть острее (резче) чем» на множестве P(U), расстояние которого является максимальным, когда множество острое.

Определение 3. Пусть А, ВÎP(U) и пусть

            çm_A(u) – c(m_A(u))ç³çm_B(u) – c(m_B(u))ç

для всех u Î U, где c  есть нечеткое дополнение.  Тогда, говорят, А круче В; формально А Ð В.

Если за измерение нечеткости взято отсутствие расстояния между нечетким подмножеством и его дополнением, то нежелательно допускать f(A) > f(B), если А ÐВ. Это приводит к следующим требованиям (аксиомам) для измерения нечеткости f:

(f1)    f(A) = 0, если А есть четкое множество;

(f2)    если А ÐВ, то f(A)£f(B);

(f3)    когда с имеет равновесие е_с , f(A) достигает своего мах, если

m_А(u) = e_c для всех  u ÎU.

Требование (f1), устанавливает, что четкое множество не имеет степени нечеткости.

Требование (f2) основано на главной концепции заострения. Целью этого обобщения является сделать концепцию заострения приемлемой для всего класса общего нечеткого дополнения. Условия

çm_А (u) – c(m_A(u)) ç³ çm_B(u) – c(m_B(u))

могут быть преобразованы в виде

m_А(u) £ m_B(u) или m_А(u) – c(m_A(u)) ³c(m_B(u)) -  m_B(u), когда m_B(u) £c(m_B(u)),      

и                                                                                                                       (а)
m_A(u) ³ m_B(u) или m_B(u) – c(m_A(u)) £ c(m_B(u)) - m_B(u), когда m_B(u) ³ c(m_B(u)).

Из этой альтернативной формулировки заострения (ссылка?) получаем следующие особые случаи  общего понятия заострения:

Непрерывные дополнения. А Ð В, если

m_А(u) £ m_B(u) или  m_A(u) ³ m_B(^d u), когда   m_B(u) £ e_c

и                                                                                                          (b)

m_A(u) ³ m_B(u)   или  m_A(u) £ m_B(^du), когда  m_B(u) ³ e_c

для всех  u ÎU (по леммам 2 и 3).

1.     Дополнения возведения в степень.  А Ð В, если

m_A(u) £m_B (u)  или  m_A(u) £ c(m_B(u)), когда  m_B(u) ³ e_c

для всех u ÎU (по лемме 5).

2.     Особое дополнение  с(х) = 1 – х. А Ð В, если

m_B(u) £ ½

и                                                                                                              (c)

m_A(u) ³ m_B(u)  или m_A(u)  £ 1 - m_B(u),  когда m_B(u) ³ ½,

для всех  u ÎU.

Понятие заострения, представленное различными авторами в литературе [7-9], основано на операции контрастного усиления, предложенного  Заде [3]. Оно определяется следующим образом:  А  является заострением от В, если

m_A(u) £ m_B(u),  когда m_B(u) £ ½

и                                                                                                             (А)

m_A(u) ³ m_B(u),   когда  m_B(u) ³ ½.

Это определение применяется к особому дополнению с(х) = 1 – х, но может быть расширено для класса всех дополнений следующим образом:

m_A(u) £ m_B(u),  когда    m_B(u) £ c(m_B(u))

и                                                                                                       (В)

m_A(u) ³ m_B(u),  когда    m_B(u) ³ c(m_B(u)) .

В случае непрерывных дополнений (В) становится равноценным

m_A(u) £ m_B(u), когда  m_B(u) £ e_c                                

и                                                                                                              (С)          

m_A(u) ³ m_B(u),  когда  m_B(u) ³ e_c.

Когда особое дополнение  с(х) = 1 – х, то используется определение (С), которое становится эквивалентным (А).

Когда определения (А), (В), (С) сравниваются с (с), (в), (а), соответственно, ясно, что определение остроты в этой статье является обобщающим в свете предварительных определений в литературе. Если А является острой версией от В в смысле от (В), тогда А Ð В. Следовательно, в (f2) выставляется следующее дополнительное требование:

(f2)¢   если А есть заостренная версия (модификация) от В, то f(A) £ f(B).

Требование (f3) обобщает обычные требования максимального значения от f(A)  - f(A) и является максимальным, если  m_A(u) = ½  для всех u ÎU, в которых выдерживается особое нечеткое дополнение  с(х) = 1 – х. Заметим, что требования становятся бессмысленными, когда используемое нечеткое дополнение  не имеет равновесия.

Операторы расстояния между нечеткими множествами  и дополнениями

Во-первых, примем, что универсальное множество U является конечным и принимает значения U ={u₁, u₂, …,u_n}. Данному дополнению с и нечеткому множеству А ÎP(U) присвоим

d_с,А: U ® [0,1]

такую функцию, которая примет значение

d_с,А(u_i) = çm_A(u_i) – c(m_A(u_i))ç;                                      (3)

и положим

^fd_c: P(U) ® [0,1]ⁿ

такую функцию, что

^fd_c(A) = (d_c,A(u₁), d_c,A(u₂), …, d_c,A(u_n));

(надписанная функция f используется здесь, чтобы показать, что функция определена для конечного универсума U). Чтобы характеризовать каждое отдельное нечеткое дополнение, положим

d_с: [0,1] ® [0,1]

функцию такую, что  d_с(х) = çх – с(х)çи положим

Ñ_с = d_с(х)çх Î[0,1];

ясно, что  Ñс Í [0,1]. Назовем d_с разностной функцией сходной с нечетким дополнением с.

Лемма 6 [9].   ^fd_c(P(U)) = Ñ_cⁿ  , когда U является конечной.

Доказательство. Рассмотрим некоторую функцию  A Î P(U). Так как m_A(u_i) Î[0,1] для любой u_i ÎU, d_c,A(u_i) ÎÑ_c  для каждого u_i ÎU согласно определению d_с,A и, следовательно, имеется    ^fd_c(A) ÎÑ_cⁿ. Следовательно, ^fd_c(P(U)) Í Ñ_cⁿ.

Рассмотрим теперь некоторую функцию  (d_c(x₁), d_c(x₂), ..., d_c(x_n)) Î Ñ_cⁿ.Тогда мы можем найти нечеткое множество А Î P(U) такое, что ^fd_c(A) = (d_c(x₁), d_c(x₂), …,d_c(x_n)), т.е. А определяется через m_A(u_i) = x_i для всех u_i ÎU. Следовательно,  Ñ_сⁿ Í ^fd_c(P(U)).

Данное нечеткое дополнение С приемлемо в качестве расстояния между А и С(А) как некоторого вида совокупной функции локального различия d_с,А(u_i) градиента функции принадлежности А и С(А) для каждого элемента U.

Определение 4. Данное нечеткое дополнение с и допущение, что U является конечным, положим

g_c:Ñ_cⁿ®[0,1]

Функция, которая имеет следующие свойства:

(g1)  g_c(a_1,a₂,…, a_n) ³ для каждого (a_1,a₂,…,a_n) Î Ñ_cⁿ;

(g2)  g_c является монотонной возрастающей с соответствующим каждым аргументом;

(g3)  g_c(a₁,a₂,…,a_n) достигает своего максимума при а_i = 1 для всех i;

(g4)  если 0ÎÑ_с , то g_c(a₁,a₂,…,a_n)  достигает своего минимума при a_i = 0 для всех i.

Тогда g_c называют конечной совокупной функцией, связанной с нечетким дополнением с.

Когда аргументы конечной совокупной функции g_c являются значением d_c,A(u_i), u_i ÎU, функции d_с,A , g_c рассматриваются как измерение расстояния между А и С(А). Пусть D_c,g(A, C(A)) обозначает это расстояние. Тогда

D_c,g(A,C(A)) = g_c(^fd_c(A)).

Предположим теперь, что U бесконечна. Предыдущие определения могут быть легко модифицированы следующим образом: (3) заменяется следующим уравнением:

d_с,А(u) = çm_A(u) – c(m_A))ç, uÎU;

^fd_c определяется через

                                       d_c:P(U) ®[0,1]^U

так что d_c(A) = d_c,A, где d_с,A  различие функции А по отношению к с.

Лемма 7.     d_c(P(U)) = Ñ_c^U  когда U бесконечна.

Доказательство. Тривиальная модификация доказательства Леммы 6.

Лемма 7 означает,  что обсуждение произвольной  a ÎÑ_c^U  эквивалентно обсуждению произвольного отличия функции d_с,АÎd_c(P(U)).

Здесь также необходимо определить согласованную функцию для случая, когда U является бесконечной.

Определение 5. Дано нечеткое дополнение с, принимая, что U является бесконечной, пусть

G_c:Ñ_c^U®[0,1]

будет функцией, которая имеет следующие свойства:

(g1)¢   g_c(a)³0  для некоторых aÎÑ_с^U;