Сложные разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения
( Complicated expansions of solutions to an ordinary differential equation
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

E-mail: bruno@keldysh.ru

§ 1. Теория

1.1. Постановка задачи. Сначала напомним некоторые понятия и результаты степенной геометрии [1,2,3] и препринта [4] (см. также [5-8]). Пусть x - независимая и y - зависимая переменные, x,y ∈ C. Положим X=(x,y). Дифференциальным мономом a(x,y) называется произведение обычного монома cx ^r₁y ^r₂, где c=const ∈ C, R=(r₁,r₂) ∈ R², и конечного числа производных вида d^ly/dx^l,    l ∈ N. Каждому дифференциальному моному a(X) ставится в соответствие его (векторный) показатель степени Q(a)=(q₁,q₂) ∈ R². Сумма дифференциальных мономов

f(x,y)= е ai(x,y)

(1.1)

называется дифференциальной суммой. Множество S(f) показателей степени Q(a_i) всех дифференциальных мономов a_i(X), входящих в дифференциальную сумму (1.1), называется носителем суммы f(X). Очевидно, S(f) ∈ R². Замыкание выпуклой оболочки G(f) носителя S(f) называется многоугольником суммы f(X). Граница ∂G(f) многоугольника G(f) состоит из вершин G_j⁽⁰⁾ и ребер G_j⁽¹⁾. Их называют (обобщенными) гранями G_j^(d), где верхний индекс указывает размерность грани, а нижний - ее номер. Каждой грани G_j^(d) соответствует укороченная сумма

^ f   (d) j  (X)= е ai(X)    по    Q(ai) О S(f)ЗGj(d).

Пусть плоскость R_*² сопряжена плоскости R² так, что для P=(p₁,p₂) ∈ R_*² и Q=(q₁,q₂) ∈ R² определено скалярное произведение б P,Q с [(   def) || ( = )]  p₁q₁+p₂q₂. Каждой грани G_j^(d) в плоскости R_*² соответствует свой нормальный конус U_j^(d).

Пусть задано обыкновенное дифференциальное уравнение

f(x,y)=0,

(1.2)

где f(X) - дифференциальная сумма. Каждой грани G_j^(d) многоугольника G(f) соответствует укороченное уравнение

^ f   (d) j  (X)=0.

(1.3)

Пусть x→ 0, тогда w = -1, или x →∞ , тогда w = 1. Степенные решения укороченного уравнения (1.3)

y=crxr,    cr=const ∈ C,    cr ≠ 0

(1.4)

с w(1,r) ∈ U_j^(d) являются степенными асимптотиками решений исходного уравнения (1.2). Согласно [3, § 1] решению (1.4) уравнения (1.3) соответствует оператор

L(x) = d ^ f   (d) j  (x,y)/dy     на    y=crxr,

(1.5)

где

d ^ f   (d) j  (x,y)/dy

(1.6)

- это первая вариация (или производная Фреше) суммы [^(f)]^(d)_j (x,y) по y. Оператор L(x) - это первая вариация d[^(f)]^(d)_j (x,y)/dy, взятая на степенной асимптотике (1.4). По оператору L(x) вычисляется характеристический многочлен

n(k)    def =     x-k-vL(x)xk,

(1.7)

где v - это степень L(x), т.е. Q(L(x)y)=(v,1). Корни k₁, … ,k_t характеристического многочлена n(k) являются собственными числами укороченного решения (1.4). Те из них, которые лежат в конусе задачи, т.е. k_iw < rw, суть его критические числа

Согласно [3, § 3] можно продолжить степенную асимптотику (1.4) в виде степенно-логарифмических разложений

y=crxr+ е bsxs

(1.8)

решений уравнения (1.2), где b_s суть многочлены от lnx с комплексными коэффициентами, показатели степени r,s ∈ C и wRe s < wRe r. При этом показатели s пробегают некоторое множество K, которое определенным образом вычисляется по носителю суммы f(x,c_rx^r+w)[(   def) || ( = )]  g(x,w). Если нет критических чисел, то в разложении (1.8) все коэффициенты постоянны и однозначно определены.

Кроме того, в [3, § 5] показано как у укороченного уравнения (1.3) находить нестепенные решения

y=xrjr(lnx),    r ∈ R,

(1.9)

которые могут служить нестепенными асимптотиками решений полного уравнения (1.2). При этом j_r разлагается в ряд по степеням lnx:

jr=gr(lnx)r+ е gs(lnx)s,    s < r,

(1.10)

где g_r=const и коэффициенты g_s либо постоянны, либо являются многочленами от кратных логарифмов.

Задача. Для нестепенной асимптотики (1.9), (1.10), являющейся решением укороченного уравнения (1.3) и имеющей w(1,r) ∈ U_j^(d), найти разложение соответствующего решения полного уравнения (1.2)

y=jrxr+ е jsxs,    ws < wr,

(1.11)

где j_s - ряды по убывающим степеням логарифмов (может быть кратных).

Здесь предлагается решение этой задачи для случая, когда укороченное уравнение (1.3) соответствует вершине или негоризонтальному ребру и удовлетворяет некоторому ограничению (не дает критических чисел для решения (1.9), (1.10)). Для этого случая будет показано как получить разложение (1.11), у которого коэффициенты j_s разлагаются в ряды по убывающим степеням простого логарифма вида

js= е jst(lnx)t,    t ≤ T(s),

(1.12)

где коэффициенты j_st либо постоянны, либо зависят от кратных логарифмов.

В дальнейшем изложении используются понятия, методы и результаты из [3,4].

1.2. Критические числа нестепенной асимптотики. Рассмотрим первую вариацию (1.6). Это некоторый линейный дифференциальный оператор M(x,y), коэффициенты которого суть дифференциальные суммы. Сделаем в нем степенное преобразование

y=xrz,

(1.13)

где r - то же самое, что и в (1.9). Получим оператор

N(x,z)    def =     M(x,y).

(1.14)

Сделаем в нем логарифмическую замену

x = lnx.

(1.15)

Тогда

N(x,z)    def =     xv ~ N   (x,z),

(1.16)

где v - это степень по x оператора N, [(N)\tilde] - дифференциальный оператор по x, коэффициенты которого суть дифференциальные суммы от x,z:

~ N   = m е l=0  yl(x,z)  dl dxl .

В каждый коэффициент y_l согласно (1.10) подставим z=j_r(x) и выделим члены с наибольшей степенью x. Пусть n - наибольшая из всех этих степеней, т.е.

yl(x,jr(x))=alxn+… ,    al=const,    k=0,1, … ,m,     m е l=0  |al| № 0.

(1.17)

Положим

~ N   n  =xn m е l=0  al  dl dxl .

(1.18)

Тогда [(N)\tilde]=[(N)\tilde]_n+ … Многочлен

n(k)    def =      m е l=0  alkl

(1.18ў)

назовем характеристическим для укороченного решения (1.9), (1.10). Его корни k₁,…,k_m - это собственные числа решения (1.9), (1.10). Те из них, которые лежат в конусе задачи, т.е. wk_i < wr, являются критическими числами укороченного решения (1.9), (1.10).

1.3. Вычисление разложения (1.11), (1.12). Напомним, что если степенная асимптотика (1.4) с r ∈ R не имеет критичеких чисел, то в разложении (1.8) показатели степени s пробегают множество K ⊂ R. Для нестепенной асимптотики (1.9) под K будем понимать то же самое множество, что и для степенной асимптотики (1.4).

Теорема 1. Если укороченное решение (1.9), (1.10) не имеет критических чисел, то ему соответствует единственное разложение (1.11), (1.12). При этом показатели s пробегают множество K, а кратность логарифмов в (1.11), (1.12) не превосходит наибольшей их кратности в (1.9), (1.10).

Действительно, будем последовательно по s ∈ K вычислять ряды j_s. Для них получаем уравнения вида

M(x,xrjr)xsjs+xs+vbs(lnx)=0,

(1.19)

где b_s зависит от предыдущих коэффициентов j_t с wt < ws. После степенного преобразования (1.13) согласно (1.14) это уравнение принимает вид

N(x,jr)xsjs+xs+vbs=0.

После логарифмической замены (1.15) и сокращения на x^v согласно (1.16) это уравнение принимает вид

~ N   (x,jr)xsjs+xsbs=0.

(1.20)

Согласно (1.18) положим

~ N   = ~ N   n  + ~ N   *

и уравнение (1.20) запишем в виде

~ N   n  xsjs+ ~ N   *   xsjs+xsbs=0.

(1.21)

Рассмотрим сначала случай, когда в разложении (1.10) нет кратных логарифмов, т.е. все коэффициенты g_s - постоянны. Тогда по индуктивному предположению в b_s нет кратных логарифмов. Разложим j_s и b_s в ряды по степеням x = lnx, т.е. в ряд (1.12) и в ряд

bs= е bstxt,    t ≤ N(s),

(1.22)

где b_st - постоянные. Выделим в уравнении (1.21) члены со старшими степенями x. Получим уравнение

~ N   n  xsjsTxT+xs bsNxN=0.

(1.23)

Теперь заметим, что

d dx (xsxt)=sxsxt+txsxt-1,

(1.24)

ибо x^s=e^sx. Следовательно,

dl dxl (xsxt)=xs(slxt+…),

(1.25)

где многоточием обозначены члены вида const x^t с t < t. Согласно (1.18) и (1.18 ′ ), имеем

~ N   n  xsjsTxT=xs[jsTn(s)xT+n+…].

Поэтому уравнение (1.23) для старшей степени x дает уравнение

n(s)jsT+bsN=0.

При этом T+n=N. По условию теоремы n(s) ≠ 0, следовательно,

jsT=-bsN/n(s)

и является постоянной. Спускаясь по t от T=N-n, будем аналогично получать для j_st уравнения

n(s)jst+ ~ b   s,t+n  =0,

которые однозначно разрешимы и дают постоянные j_st. Так получается ряд j_s(x).

Если в разложении (1.10) есть кратные логарифмы, то рассуждения мало меняются. Надо только все коэффициенты при степенях x упорядочить по убыванию степеней lnx, потом по убыванию степеней ln ln x, затем по убыванию степеней ln ln ln x и т.д. Например, при наличии двукратных логарифмов формула (1.24) заменяется на

d dx [xsxt(lnx)t]=sxsxt(lnx)t+txsxt-1(lnx)t+txsxt-1(lnt)t-1,

а формула (1.25) сохраняется.

Теорема 2. Если в ситуации теоремы 1 у разложений (1.10) нет кратных логарифмов, то в разложениях (1.11), (1.12)

T(s) ≤ s(rq-n),

где r из (1.10), q=maxq₂ для точек (q₁,q₂) носителя S(f), n из (1.17).

Итак, если асимптотика степенная, то в соответствующем разложении (1.8) решения исходного уравнения (1.2) коэффициенты b_s не более чем многочлены от lnx. Если же асимптотика нестепенная и имеет вид (1.9), (1.10), то в соответствующем разложении (1.8) коэффициенты b_s - это ряды по убывающим степеням lnx, причем их показатели степени не ограничены снизу.

Замечание 1. Как правило, нахождение всего разложения (1.10) требует бесконечного числа шагов, также как и каждого разложения (1.12). Однако всегда за конечное число шагов можно вычислить начальные куски разложения (1.10) и нескольких первых разложений (1.12).

Замечание 2. В [3, § 5] предложена многошаговая редукция, которая через конечное число шагов, каждый из которых включает логарифмическую замену вида (1.15), приводит к простому уравнению, для решений которого можно получить степенно-логарифмическое разложение. Начиная с этого разложения и применяя теорему 1, можно по шагам редукции двигаться в обратном направлении. При этом кратность логарифмов будет возрастать с каждым обратным шагом. В конце концов так можно получить разложения решений исходного уравнения, содержащие многократные логарифмы.

Замечание 3. Для разложений (1.11), (1.12) можно искать экспоненциально малые добавки также, как и для разложений (1.8) с полиномиальными коэффициентами b_s (см. [3, § 7; 8]).

§ 2. Примеры

2.1. Пример 1. Рассмотрим уравнение (2.1) из [3, § 2]

f(x,y)    def =     x2y′2-2x2yy"+ay2+x2y2-x4=0,

(2.1)

где a - вещественный параметр. На рис. 1 показан многоугольник G(f), который является треугольником. Согласно [3, § 6] нестепенные асимптотики даются тремя укороченными уравнениями, соответствующими вершине G₁⁽⁰⁾ и ребрам G₁⁽¹⁾ и G₂⁽¹⁾ при определенных значениях параметра a. Но ребро G₂⁽¹⁾ горизонтально, и для соответствующей ему нестепенной асимптотики изложенаая в § 1 теория неприменима. Поэтому рассмотрим только вершину G₁⁽⁰⁾ и ребро G₁⁽¹⁾.

Вершине G₁⁽⁰⁾ соответствует укороченное уравнение

^ f   (0) 1  (x,y)    def =     x2y′2-2x2yy"+ay2=0.

(2.2)

Согласно [3, п. 6.1] при a=-1 оно имеет двупараметрическое семейство нестепенных решений

y=cx(lnx+ ~ c   )2,

(2.3)

где c и [(c)\tilde] - произвольные постоянные, c ≠ 0. Найдем дальнейшее разложение. Здесь r=1 и j_r является многочленом от lnx. Согласно [3, п. 2.2, формула (2.11)] первая вариация

d ^ f   (0) 1  dy =2x2y′  d dx -2x2y"-2x2y  d2 dx2 +2ay    def =     M(x,y),

(2.4)

т.е. является оператором M. Полагаем a=-1 и согласно п. 1.2 делаем в нем степенное преобразование (1.13), т.е.

y=xz.

(2.5)

Тогда

y′=z+xz′,    y"=2z′+xz"

(2.6)

и оператор

M(x,y)=2x2(z+xz′)  d dx -2x2(2z′+xz")-2x3z  d2 dx2 -2xz    def =      N(x,z).

Сделаем в нем логарифмическую замену (1.15). Производную по x будем обозначать точкой. Поскольку

zў= Ч z   /x,    z"=( ЧЧ z   - Ч z   )/x2,

(2.7)

то

N(x,z)=2x(z+ Ч z   )  d dx -2x(2 Ч z   + ЧЧ z   - Ч z   )-2xz ж и  d2 dx2 -  d dx ц ш -2xz    def =     x ~ N   (x,z).

(2.8)

Для решения (2.3)

z=c(lnx+ ~ c   )2,

(2.9)

т.е. z=cx²+… Поэтому старшие по x члены в операторе [(N)\tilde] имеют n=2 и дают оператор

~ N   2  =2z й л  d dx - ж и  d2 dx2 -  d dx ц ш -1 щ ы ,

где z=cx². Согласно (1.17)-(1.18′) ему соответствует характеристический многочлен n(k)=-2c(k²-2k+1)=-2c(k-1)². Он имеет двукратный корень k=1, который не является критическим числом, ибо k=r. По теореме 1 существует разложение (1.11) с r=1. Согласно [3, п. 4.1, формула (4.6)] множество

K={s=1+2l,    целое    l > 0}.

Найдем j₃. Здесь s=3, v=1 и

xs+vb3=x2[cx(lnx+ ~ c   )2]2-x4,

т.е.

b3=c2(lnx+ ~ c   )4-1.

Уравнение (1.19) для s=3 есть

M(x,xj1)x3j3+x4b3=0,

где M(x,y) дано в (2.4). Переходя к [(N)\tilde] по (2.8), получаем уравнение

~ N   (x,z)x3j3(x)+x3b3(x)=0,

т.е.

й л 2(z+ Ч z   )  d dx -2( Ч z   + ЧЧ z   )-2z  d2 dx2 +2z  d dx -2z щ ы x3j3(x)+x3(z2-1)=0,

где z дано в (2.9). Поскольку

d dx x3j3(x)=3x3j3+x3  d dx j3=x3 ж и 3+  d dx ц ш j3,

d2 dx2 x3j3(x)=9x3j3+6x3  d dx j3+x3  d2 dx2 j3=x3 ж и 9+6  d dx +  d2 dx2 ц ш j3,

то последнее уравнение можно сократить на x³. Получается уравнение

2 й л (z+ Ч z   ) ж и 3+  d dx ц ш -( Ч z   + ЧЧ z   )-z ж и 9+6  d dx +  d2 dx2 ц ш +z ж и 3+  d dx ц ш -z щ ы j3+ +z2-1=2 й л -4z+2 Ч z   +2z  d dx - ЧЧ z   - Ч z    d dx -z  d2 dx2 щ ы j3+z2-1=0.

Для старшей степени x получаем уравнение -8cx²·ax^T+c²x⁴=0, где j₃=ax^T+… Отсюда T=2 и a =c/8. Пусть j₃=ax²+bx, тогда

м н о 2[-4c(x2+2 ~ c   x)+8cx](ax2+bx)+4c(x2+2 ~ c   x)2ax ь э ю 3  +c24 ~ c   x3=0,

(2.10)

где в фигурных скобках берется член с x³, т.е.

м н о 2c[-4x2-8 ~ c   x+8x](ax2+bx)+4c(x2+2 ~ c   x)2ax ь э ю 3  = = м н о 2c[-4b+8(1- ~ c   )a]+4c2a ь э ю x3.

Итак, поскольку a =c/8, то уравнение (2.10) есть

2c[-4b+(1- ~ c   )c]+c2+4c2 ~ c   =0,

т.е.

-8b+2c(1- ~ c   )+c+4c ~ c   =0.

Следовательно,

b=  3 8 c+  1 4 c ~ c   .

Итак

j3=  c 8 x2+ ж з и  3c 8 + c ~ c   4 ц ч ш x+… ,

y=xc(lnx+ ~ c   )2+x3 й к л  c 8 (lnx)2+ c ~ c   4 lnx+ … щ ъ ы + _ е k=2  j2k+1x2k+1.

Ребру G₁⁽¹⁾ соответствует укороченное уравнение

^ f   (1) 1  (x,y)    def =     x2y′2-2x2yy"+ay2-x4=0.

(2.11)

Согласно [3, п. 6.2, формула (6.25)] при a=0 уравнение (2.11) имеет два однопараметрических семейства нестепенных асимптотик вида

y=+ix2(lnx)1/2 й л 1+ ж и  1 8 ln ln x+ ~ ~ c   ц ш (lnx)-1+… щ ы ,

(2.12)

где [([(c)\tilde])\tilde] - произвольная постоянная. Вычислим критические числа этих укороченных решений. Согласно (2.12) здесь r=2. Согласно (2.11) первая вариация

d ^ f   (1) 1  /dy= ^ d     ^ f   (0)   /dy,

см. (2.4). Теперь в (2.4) полагаем a=0 и делаем степенное преобразование (1.13) с r=2, т.е.

y=x2z.

Тогда

y′=2xz+x2z′,    y"=2z+4xz′+x2z".

Получаем

M(x,y)=2x2(2xz+x2z′)  d dx -2x2(2z+4xz′+x2z")-2x4z  d2 dx2      def =     N(x,z).

Теперь делаем логарифмическую замену (1.15) и производную по x обозначаем точкой. В силу (2.7) получаем

N(x,z)=2x2(2z+ Ч z   )  d dx -2x2(2z+3 Ч z   + ЧЧ z   )-2x2z ж и  d2 dx2 -  d dx ц ш    def =     x2 ~ N   (x,z).

Для решения (2.12) z = ± ix^1/2+… Поэтому у членов оператора [(N)\tilde] наибольшая степень по x есть n=1/2. Имеем оператор

~ N   1/2  =4z  d dx -4z-2z ж и  d2 dx2 -  d dx ц ш =-2z ж и  d2 dx2 -3  d dx +2 ц ш ,

где z = ±ix^1/2. Согласно (1.17)-(1.18′) ему соответствует характеристический многочлен n(k)=-2i(k²-3k+2)=-2i(k-2)(k-1). Он имеет два корня k₁=2=r, k₂=1 < r. Поскольку для ребра G₁⁽¹⁾ конус задачи это s > r, то критических чисел нет, и теорема 1 применима. Но если исходное уравнение отлично от (2.1) и ребро G₁⁽¹⁾ является верхним ребром его многоугольника, то w =1 и разложение решения такого исходного уравнения происходит по убывающим степеням x. Если, кроме того, множество K содержит значение s=1 < r, то в этом случае теорема 1 неприменима.

2.2. Пример 2. Рассмотрим третье уравнение Пенлеве [9,10]

f(x,y)    def =     xyy"+xy′2-yy′+ay3+by+cy4+dx=0,

(2.13)

предполагая. что комплексные параметры a,b,c,d ≠ 0. Носитель S(f) и треугольник G(f) показаны на рис. 2.

Ребру G₁⁽¹⁾ соответствует укороченное уравнение

^ f   (1) 1  (x,y)    def =     -xyy"+xy′2-yy′+by+dx=0.

(2.14)

Для него r=1 и w =-1, т.е. x→ 0. В [11, п. 1.7] показано, что уравнение (2.14) имеет однопараметрическое семейство нестепенных решений

y=x й л -  b 2 (lnx)2+ ~ c    lnx+ ∞ е k=0  ck(lnx)-k щ ы ,

(2.15)

где [(c)\tilde] - произвольная постоянная и постоянные c_k однозначно определены.

Вычислим критические числа укороченных решений (2.15). Первая вариация

d ^ f   (1) 1  dy =-xy"-xy  d2 dx2 +2xy′  d dx -y′-y  d dx +b    def =     M(x,y).

Поскольку r=1, то степенное преобразование (1.14) есть (2.5) и выполнены равенства (2.6). Поэтому оператор

M(x,y)=-x(2z′+xz")-x2z  d2 dx2 +2x(z+xz′)  d dx -(z+xz′)-xz  d dx +b    def =

def =     N(x,z).

Сделаем в нем логарифмическую замену (1.15) и производную по x будем обозначать точкой. В силу (2.7) получаем

N(x,z)=-(2 Ч z   + ЧЧ z   - Ч z   )-z ж и  d2 dx2 -  d dx ц ш +2(z+ Ч z   )  d dx -(z+ Ч z   )-z  d dx +b    def =

def =      ~ N   (x,z).

Для решений (2.15) имеем z=-(b/2)x²+… Поэтому в операторе [(N)\tilde] члены старшей по x степени n имеют n=2 и образуют оператор

~ N   2  =-z й л  d2 dx2 -  d dx -2  d dx +1+  d dx щ ы =-z й л  d2 dx2 -2  d dx +1 щ ы ,

где z=-bx²/2. Согласно (1.17)-(1.18′) ему соответствует характеристический многочлен n(k)=(b/2)(k²-2k+1)=(b/2)(k-1)². Он имеет двукратный корень k₁=1=r, т.е. не дает критических значений. По теореме 1 для решений исходного уравнения (2.13) существует однопараметрическое (по [(c)\tilde]) единственное разложение (1.11) с r=1.

Литература

1.     Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256 c.

2.     Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. 288 c.

3.     Брюно А.Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // Успехи мат. наук, 2004, т. 59, N 3, с. 31-80.

4.     Брюно А.Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения. Препринт N 9. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 39 с.

5.     Брюно А.Д. Степенные асимптотики решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН. 2003. Т. 392. N 3. С. 295-300.

6.     Брюно А.Д. Степенно-логарифмические разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН. 2003. Т. 392. N 4. С. 439-444.

7.     Брюно А.Д. Нестепенные асимптотики решений обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН. 2003. Т. 392. N 5. С. 586-591.

8.     Брюно А.Д. Асимптотически близкие решения обыкновенного дифференциального уравнения // ДАН. 2003. Т. 393. N 4. С. 448-452.

9.     Gromak V.I., Laine I., Shimomura S. Painleve Differential Equations in the Complex Plain. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 2002. 303 p.

10. Брюно А.Д., Гриднев А.В. Степенныые и экспоненциальные разложения решений третьего уравнения Пенлеве. Препринт N 51. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 32 с.

11. Брюно А.Д. Асимптотическое решение нелинейных уравнений с помощью степенной геометрии. Препринт N 28. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 20 с.

 

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 24 May 2005, 15:55.