Анализ динамических возможностей систем управления малым космическим аппаратом, построенных на базе двигателей-маховиков
|
Вершина |
|
|
|
|
1.951 |
0 |
0 |
|
0.976 |
1.561 |
0.781 |
|
0.976 |
-1.561 |
0.781 |
|
0.976 |
1.561 |
-0.781 |
|
0.976 |
-1.561 |
-0.781 |
|
0 |
-3.123 |
0 |
|
0 |
0 |
-1.563 |
|
0 |
0 |
1.563 |
|
0 |
3.123 |
0 |
|
-0.976 |
1.561 |
0.781 |
|
-0.976 |
-1.561 |
0.781 |
|
-0.976 |
1.561 |
-0.781 |
|
-0.976 |
-1.561 |
-0.781 |
|
-1.951 |
0 |
0 |
Вид многогранника в декартовой системе
координат приведен на рис. 2.
Рис. 2
На рис. 3 изображены проекции многогранника на координатные плоскости
системы .
Рис. 3
Многогранник допускает ряд
преобразований симметрии. Он переходит в себя при повороте вокруг осей , , на угол кратный (в частном случае при
значении угла многогранник переходит в себя при
повороте вокруг оси на угол кратный ). Координатные плоскости системы являются его
плоскостями симметрии.
Приведем некоторые метрические
характеристики многогранника . Все его ребра имеют длину 2. Следовательно, все грани –
ромбы. Вершины и находятся на расстоянии
от начала координат -
точки , вершины и отстоят от этой точки
на расстояние , а вершины и на расстояние . Расстояния до вершин , , , и , , , от точки равны . Равенство имеет место при , равенство достигается при одновременном
выполнении условий и .
Таким образом, соотношения между расстояниями , , выражаются
неравенствами, приведенными в табл. 2.
Таблица 2.
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В табл. 3 указаны зависимости, позволяющие определить
расстояние от начала координат до каждой грани
многогранника .
Таблица 3.
Грани |
Расстояние |
Грани |
Расстояние |
Грани |
Расстояние |
|
|
|
|
|
|
2.2.
Возможности системы при отключении одного из маховиков. Оценим возможности рассматриваемой системы в случае,
когда один из маховиков отключен (вышел из строя). Без ограничения общности
можно считать, что отключен маховик с осью, параллельной орту . Суммарный кинетический момент такой усеченной системы
выражается векторной формулой
, (2.2)
скалярная
запись которой имеет вид
, ;
.
Выражение
(2.2) для краткости будем записывать в виде . Здесь по-прежнему ≤ ≤ . Не ограничивая общности, положим . Область пространства, заполняемая концами векторов (2.2)
при ≤, – область возможных значений кинетического момента
системы маховиков – представляет собой параллелепипед . Перечислим вершины, ребра и грани этого параллелепипеда. Вершины (их у параллелепипеда 8) обозначим
и . При каждом вершины и расположены центрально
симметрично относительно точки . Вершины характеризуются соотношениями:
1) :
2) :
3) :
4) :
5) :
6) :
7) :
8) :
Здесь
в фигурных скобках указаны орты ребер, выходящих из каждой вершины.
Параллелепипед имеет 12 ребер. Ребра параллелепипеда будем задавать,
указывая соединяемые ими вершины и параметризации соответствующих отрезков.
Имеем:
1):, 5):, 9):,
2):, 6):, 10):,
3):, 7):, 11):,
4):, 8):, 12):.
Здесь
≤ ≤ . Первая вершина ребра получается при , последняя – при . Как и всякий
параллелепипед имеет 6 граней,
которые обозначим и . При каждом грани и расположены центрально
симметрично относительно точки . Грани будем задавать
списком принадлежащих им ребер и параметризацией:
1) , ,
2) , ,
3) , ,
4) , ,
5) , ,
6) , .
Здесь
принято, что обозначения вида и задают одно и тоже
ребро, но при разном выборе первой и последней вершин. В табл. 4 приведены значения
координат вершин параллелепипеда в декартовой системе
координат при значении углов и с учетом отказа одного
маховика.
Таблица 4.
Вершина |
|
|
|
|
1.463 |
-0.781 |
-0.391 |
|
0.488 |
0.781 |
0.391 |
|
0.488 |
-2.342 |
0.391 |
|
0.488 |
0.781 |
-1.172 |
|
-0.488 |
-0.781 |
1.172 |
|
-0.488 |
2.342 |
-0.391 |
|
-0.488 |
-0.781 |
-0.391 |
|
-1.463 |
0.781 |
0.391 |
Вид параллелепипеда в декартовой системе
координат приведен на рис. 4.
Рис. 4
На рис. 5 изображены проекции параллелепипеда на координатные
плоскости системы .
Рис. 5
Параллелепипед
представляет собой
многогранник с длиной ребер , , , , , равной нулю, поскольку именно эти ребра параллельны орту и, соответственно, оси
отключенного маховика. Таким образом, в декартовой системе координат , координаты вершин , , , , , параллелепипеда совпадают с
координатами середин ребер , , , , , многогранника соответственно. Приведем
некоторые метрические характеристики многогранника . Его ребра имеют длину 2. Следовательно, все грани – ромбы. Вершины
и находятся на расстоянии
от начала координат -
точки , вершины и отстоят от этой точки
на расстояние , а вершины и на расстояние . Расстояния до вершин и от точки равны . Равенство имеет место при , равенство достигается при
одновременном выполнении условий и .
Таким образом, соотношения между расстояниями , , выражаются
неравенствами, приведенными в табл. 2.
В табл. 5 указаны зависимости, позволяющие определить
расстояние от начала координат до каждой грани параллелепипеда
.
Таблица 5.
Грани |
Расстояние |
Грани |
Расстояние |
Грани |
Расстояние |
|
|
|
|
|
|
2.3.
Расположение маховиков на космическом аппарате. Рассмотрим вопрос, как следует расположить описанную в
п. 2.1 систему из четырех маховиков на КА и как лучше всего выбрать значения
углов и , чтобы обеспечить достаточно широкие возможности управления
угловой скоростью аппарата.
Моменты инерции относительно главных
центральных осей инерции КА, т.е. осей , , обозначим
соответственно , , . Примем значения этих моментов равными: , , . Поскольку система управления ориентацией космического
аппарата должна быть достаточно универсальной, естественно потребовать, чтобы
максимальные абсолютные значения реализуемых ею угловых скоростей вращения вокруг
каждой из осей , и были одинаковы.
Предположим, что полный кинетический момент КА - сумма кинетических моментов
несущего тела и маховиков - равен нулю. Тогда имеют место соотношения:
, , .
Здесь
, , и , , - проекции абсолютной
угловой скорости несущего тела и собственного кинетического момента системы
маховиков на оси , и соответственно.
Разрешая последние соотношения относительно угловых скоростей, получим
, , . (2.3)
Исходя
из требуемого условия и c учетом соотношений , , , определим значение угла . , , откуда получаем . Зная значение угла определяем значение
угла . , , откуда получаем , .
Таким образом, при полученных значениях углов и , максимальные значения абсолютных величин компонент угловой
скорости КА в системе составляют , где - абсолютная величина
предельного значения кинетического момента отдельного маховика. Если по
какой-либо оси реализуется отвечающее ей максимальное значение, то компоненты
угловой скорости по двум другим осям равны нулю. Указанные максимальные
значения компонент угловой скорости характеризуют предельные возможности
системы маховиков для разворотов КА вокруг его главных центральных осей
инерции. При произвольном выборе направления вектора угловой скорости в
системе максимальное значение
модуля этого вектора будет меньше. Область допустимых значений угловой
скорости аппарата представляет собой многогранник , получающийся из многогранника преобразованием
подобия, задаваемым формулами (2.3). Указанные выше предельные значения угловых
скоростей реализуются на вершинах этого многогранника.
3. Конфигурация системы маховиков «шестигранная
пирамида».
3.1. Область
возможных значений кинетического момента. Рассмотрим систему маховиков, оси которых расположены параллельно
боковым ребрам правильной шестигранной пирамиды (рис. 6).
Рис. 6
Орты
осей маховиков имеют в
системе координат компоненты:
, ,
, ,
, .
Здесь
- угол между осью
маховика и осью . Угол - параметр системы. Суммарный кинетический момент маховиков выражается
формулой:
, (3.1)
в
которой - значение
кинетического момента маховика с номером . Маховики считаем одинаковыми. В этом случае ≤ ≤ , где - абсолютная величина
предельного значения кинетического момента отдельного маховика. Величина - еще один параметр
системы. Скалярная запись векторного выражения (3.1)
, ,
.
Здесь
, , компоненты в системе координат . Выражение (3.1) для
краткости будем записывать в виде . Кроме того, будем использовать обычное представление
вектора , указывая в круглых скобках его компоненты в системе
координат . Не ограничивая общности, положим .
Рассмотрим
область пространства , заполняемую концами векторов (3.1) при ≤ . Эта область является областью возможных значений
кинетического момента системы маховиков и представляет собой выпуклый
многогранник, обладающий центральной симметрией относительно начала координат.
Перечислим вершины, ребра и грани этого многогранника. Координаты
каждой вершины многогранника соответствуют координатам конца вектора суммарного
кинетического момента составленного из определенной комбинации максимальных
значений кинетических моментов маховиков , из чего следует, что общее число вершин не может быть более
64 = 26. В данном случае существуют 2
комбинации, при которых суммарный вектор равен нулю ( и ), и 30 комбинаций, когда суммарный вектор лежит внутри области , что зависит от взаимного расположения маховиков
относительно связанной системы координат . Оставшиеся 32 комбинации
соответствуют вершинам многогранника. Обозначим их и . При каждом вершины и расположены центрально
симметрично относительно точки . Вершины
характеризуются соотношениями:
1)
:
2)
:
3)
:
4)
:
5)
:
6)
:
7)
:
8)
:
9)
:
10)
:
11)
:
12)
:
13)
:
14)
:
15)
:
16)
:
17)
:
18)
:
19)
:
20)
:
21)
:
22)
:
23)
:
24)
:
25)
:
26)
:
27)
:
28)
:
29)
:
30)
:
31)
:
32)
:
Здесь
в фигурных скобках указаны орты ребер, выходящих из каждой вершины. Многогранник
имеет 60 ребер. Ребра
будем задавать, указывая соединяемые ими вершины и параметризации
соответствующих отрезков. Имеем :
1): 31):
2): 32):
3): 33):
4): 34):
5): 35):
6): 36):
7): 37):
8): 38):
9): 39):
10): 40):
11):
41):
12): 42):
13): 43):
14): 44):
15): 45):
16): 46):
17): 47):
18): 48):
19): 49):
20): 50):
21): 51):
22): 52):
23): 53):
24): 54):
25): 55):
26): 56):
27): 57):
28): 58):
29): 59):
30): 60):
Здесь ≤ ≤ . Первая вершина ребра получается при
, последняя – при . Многогранник имеет 30 граней,
которые обозначим и . При каждом грани и расположены центрально
симметрично относительно точки . Грани будем задавать списком принадлежащих им ребер и
параметризацией:
1) , ,
2) , ,
3) , ,
4) , ,
5) , ,
6) , ,
7) , ,
8) , ,
9) , ,
10) , ,
11) , ,
12) , ,
13) , ,
14) , ,
15) , ,
16) , ,
17) , ,
18) , ,
19) , ,
20) , ,
21) , ,
22) , ,
23) , ,
24) , ,
25) , ,
26) , ,
27) , ,
28) , ,
29) , ,
30) , .
Здесь
принято, что обозначения вида и задают одно и тоже
ребро, но при разном выборе первой и последней вершин. Таким образом, многогранник
имеет 32 вершины, 30
граней и 60 ребер. В табл. 6 приведены значения координат вершин многогранника
в декартовой системе
координат при значении угла (способ, применявшийся для определения значения угла , описан в п. 3.3).
Таблица 6.
Вершина |
|
|
|
Вершина |
|
|
|
|
0 |
0 |
1.854 |
|
0 |
0 |
-1.854 |
|
0 |
1.902 |
1.236 |
|
0 |
-1.902 |
-1.236 |
|
-1.647 |
0.951 |
1.236 |
|
1.647 |
-0.951 |
-1.236 |
|
-1.647 |
-0.951 |
1.236 |
|
1.647 |
0.951 |
-1.236 |
|
0 |
-1.902 |
1.236 |
|
0 |
1.902 |
-1.236 |
|
1.647 |
-0.951 |
1.236 |
|
-1.647 |
0.951 |
-1.236 |
|
1.647 |
0.951 |
1.236 |
|
-1.647 |
-0.951 |
-1.236 |
|
1.647 |
2.853 |
0.618 |
|
-1.647 |
-2.853 |
-0.618 |
|
-1.647 |
2.853 |
0.618 |
|
1.647 |
-2.853 |
-0.618 |
|
-3.294 |
0 |
0.618 |
|
3.294 |
0 |
-0.618 |
|
-1.647 |
-2.853 |
0.618 |
|
1.647 |
2.853 |
-0.618 |
|
1.647 |
-2.853 |
0.618 |
|
-1.647 |
2.853 |
-0.618 |
|
3.294 |
0 |
0.618 |
|
-3.294 |
0 |
-0.618 |
|
3.294 |
1.902 |
0 |
|
-3.294 |
-1.902 |
0 |
|
0 |
3.804 |
0 |
|
0 |
-3.804 |
0 |
|
-3.294 |
1.902 |
0 |
|
3.294 |
-1.902 |
0 |
Вид многогранника в декартовой системе
координат приведен на рис. 7.
Рис. 7
На рис. 8 изображены проекции многогранника на координатные плоскости
системы .
Рис. 8
На рис. 9 изображены проекции многогранника на координатную плоскость и обозначены вершины
многогранника.
Рис. 9
Многогранник допускает ряд
преобразований симметрии. Он переходит в себя при повороте вокруг осей , , на угол кратный . Координатные плоскости системы являются его
плоскостями симметрии.
Приведем
некоторые метрические характеристики многогранника . Все его ребра имеют длину 2. Следовательно, все грани –
ромбы. Вершины и находятся на
расстоянии от начала координат -
точки , вершины , , , и , отстоят от этой точки
на расстояние , а вершины , , , , , , , , , и , на расстояние . Расстояния до вершин , , , , , , , , , и , от точки равны . Соотношения между расстояниями , , , выражаются
неравенствами, приведенными в табл. 7.
Таблица 7.
Расстояния |
Значения угла |
<<< |
≤< |
=<< |
|
<<< |
<< |
<=< |
|
<<< |
<< |
=<< |
|
<<< |
<< |
<<= |
|
<<< |
<< |
<=< |
|
<<< |
<< |
=<< |
|
<<< |
<≤ |
В табл. 8 указаны зависимости, позволяющие определить
расстояние от начала координат до каждой грани
многогранника .
Таблица 8.
Грани |
,,, ,, |
,,, ,, |
,, |
Расстояние |
|
|
|
3.2
Возможности системы при отключении одного из маховиков. Оценим возможности рассматриваемой системы в случае,
когда один из маховиков отключен (вышел из строя). Без ограничения общности
можно считать, что отключен маховик с осью, параллельной орту . Суммарный кинетический момент такой усеченной системы
выражается векторной формулой
, (3.2)
скалярная
запись которой имеет вид
, ,
.
Выражение
(3.2) для краткости будем записывать в виде . Здесь по-прежнему ≤ ≤ . Не ограничивая общности, положим . Область пространства, заполняемая концами векторов (3.2)
при ≤ – область возможных
значений кинетического момента системы
маховиков – представляет собой многогранник
. Перечислим вершины, ребра и грани этого многогранника. Вершины (в данном случае их 22) обозначим и . При каждом вершины и расположены центрально
симметрично относительно точки . Вершины характеризуются соотношениями:
1)
:
2)
:
3)
:
4)
:
5)
:
6)
:
7)
:
8)
:
9)
:
10)
:
11)
:
12)
:
13)
:
14)
:
15)
:
16)
:
17)
:
18)
:
19)
:
20)
:
21)
:
22)
:
Здесь
в фигурных скобках указаны орты ребер, выходящих из каждой вершины.
Параллелепипед имеет 40 ребер. Ребра многогранника будем задавать,
указывая соединяемые ими вершины и параметризации соответствующих отрезков.
Имеем:
1): 15): 29):
2): 16): 30):
3): 17): 31):
4): 18): 32):
5): 19): 33):
6): 20): 34):
7): 21): 35):
8): 22): 36):
9): 23): 37):
10): 24): 38):
11): 25): 39):
12): 26): 40):
13): 27):
14): 28):
Здесь
≤ ≤ . Первая вершина ребра получается при , последняя – при . Многогранник имеет 20 граней,
которые обозначим и . При каждом грани и расположены центрально
симметрично относительно точки . Грани будем задавать списком принадлежащих им ребер и параметризацией:
1) , ,
2) , ,
3) , ,
4) , ,
5) , ,
6) , ,
7) , ,
8) , ,
9) , ,
10) , ,
11) , ,
12) , ,
13) , ,
14) , ,
15) , ,
16) , ,
17) , ,
18) , ,
19) , ,
20) , .
Здесь
принято, что обозначения вида и задают одно и тоже
ребро, но при разном выборе первой и последней вершин. В табл. 9 приведены значения
координат вершин многогранника в декартовой системе
координат при значении угла с учетом отказа одного
маховика.
Таблица 9.
Вершина |
|
|
|
Вершина |
|
|
|
|
0.824 |
0.476 |
1.545 |
|
-0.824 |
-0.476 |
-1.545 |
|
0.824 |
2.378 |
0.927 |
|
-0.824 |
-2.378 |
-0.927 |
|
-0.824 |
1.427 |
0.927 |
|
0.824 |
-1.427 |
-0.927 |
|
-0.824 |
-0.476 |
0.927 |
|
0.824 |
0.476 |
-0.927 |
|
0.824 |
-1.427 |
0.927 |
|
-0.824 |
1.427 |
-0.927 |
|
2.471 |
-0.476 |
0.927 |
|
-2.471 |
0.476 |
-0.927 |
|
2.471 |
1.427 |
0.309 |
|
-2.471 |
-1.427 |
-0.309 |
|
-0.824 |
3.329 |
0.309 |
|
0.824 |
-3.329 |
-0.309 |
|
-2.471 |
0.476 |
0.309 |
|
2.478 |
-0.478 |
-0.309 |
|
-0.824 |
-2.378 |
0.309 |
|
0.824 |
2.378 |
-0.309 |
|
2.471 |
-2.378 |
0.309 |
|
-2.471 |
2.378 |
-0.309 |
Вид многогранника в декартовой системе
координат приведен на рис. 10.
Рис. 10
На рис. 11 изображены проекции многогранника на координатные
плоскости системы .
Рис. 11
На рис. 12 изображены проекции многогранника на координатную
плоскость и обозначены вершины
многогранника.
Рис. 12
Многогранник представляет собой
многогранник с длиной ребер , , , , , , , , , равной нулю, поскольку именно эти ребра параллельны орту и, соответственно, оси
отключенного маховика. Таким образом, в декартовой системе координат , координаты вершин , , , , , , , , , многогранника совпадают с
координатами середин ребер , , , , , , , , , многогранника соответственно. Приведем
некоторые метрические характеристики многогранника . Его ребра имеют длину 2. Следовательно, все грани – ромбы.
Зависимости, определяющие расстояния от начала координат (точки ), до вершин многогранника
представлены в табл. 10.
Таблица 10.
Вершины |
Расстояние |
, |
|
, , , |
|
, , , |
|
, |
|
, |
|
, , , |
|
, , , |
|
В табл. 11 указаны зависимости, позволяющие определить
расстояние от начала координат до каждой грани
многогранника .
Таблица 11.
Грани |
Расстояние |
Грани |
Расстояние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведенные выше геометрические построения областей возможных
значений кинетических моментов маховиков позволяют сделать вывод, что схема, состоящая
из большего количества маховиков, менее чувствительна к отказам и имеет область
возможных значений кинетического момента, более приближенную к эллипсоиду, что
дает более широкие возможности управления угловой скоростью КА.
3.3.
Расположение маховиков на космическом аппарате. Рассмотрим вопрос, как следует расположить описанную в
п. 3.1 систему из шести маховиков на КА и как лучше всего выбрать значения угла
, чтобы обеспечить достаточно широкие возможности управления
угловой скоростью КА.
Также как в п. 2.3 моменты инерции КА
относительно главных центральных осей инерции , , обозначим
соответственно , , и примем значения этих
моментов равными: , , . Исходя из условия и c учетом соотношений , , , определим значение угла . , , откуда получаем . Здесь , , и , , - проекции абсолютной
угловой скорости несущего тела и собственного кинетического момента системы
маховиков на оси , и соответственно. Поскольку
> и пирамида, по ребрам
которой располагаются маховики, является правильной, то рациональнее ее расположить
таким образом, чтобы вектора и лежали в плоскости . Таким образом, при полученном значении угла , максимальные значения абсолютных величин компонент угловой
скорости аппарата в системе составляют , , где - абсолютная величина
предельного значения кинетического момента отдельного маховика.
Литература
1. Белецкий В.В. Движение искусственного
спутника относительно
центра масс. М., Наука, 1965.
2. Раушенбах
Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М., Наука,
1974.
3. Барбашин
Е.А. Функции Ляпунова. М., Наука, 1970.