Семейство h периодических решений ограниченной задачи при малых m
( The family h of periodic solutions of the restricted problem for small m
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

E-mails: bruno@keldysh.ru, varin@keldysh.ru

 

В рамках программы, описанной в [1], здесь изучается семейство h симметричных периодических решений ограниченной задачи трех тел. Это семейство начинается обратными круговыми орбитами вокруг тела P₁ большей массы. Используются обозначения из [2].

 

1.1. Описание семейства. Порождающее семейство h было сначала описано в [3, § 3] как семейство IR+, затем - в [4, гл. 10, п. 10.2.6].

В табл. 1 приведены данные по 16 критическим орбитам вычисленного куска этого семейства. В каждом столбце табл. 1 приведены значения, указанные в его заголовке, а именно: номер орбиты k, координаты x₁(0) и y₂(0) на плоскости симметрии P, затем координаты v₁(T/2) и v₂(T/2) скорости входа орбиты в точку P₂=(1,0) (если орбита в нее входит), Затем нормированный период орбиты, [(T)\tilde] = (1-m) T/(2p), значение константы Якоби C, следы (плоский Tr и вертикальный Tr_v), начальные точки орбиты в астрономических координатах [(a)\tilde](0) и [(e)\tilde](0) согласно (2.2) [1], затем точка орбиты через полупериод [(a)\tilde](T/2), [(e)\tilde](T/2) только для орбит 4 и 11 и этих же колонках значения [(a)\tilde] ′ _*(T/2), [(e)\tilde]_*(T/2) в координатах (1.1) для остальных орбит (координаты [(a)\tilde](T/2), [(e)\tilde](T/2) приведены только для тех орбит, где |[(e)\tilde](T/2)| ≤ 2, а координаты [(a)\tilde]′_*(T/2), [(e)\tilde]_*(T/2) - где [(e)\tilde]_*(T/2) ≥ 2), затем снова указан номер орбиты. Характеристики семейства в координатах x₁,y₂ показаны на рис. 1.1, а в координатах x₁,C - на рис. 1.2. На рис. 1.3 показаны 6 критических орбит в координатах x₁,x₂; около каждой орбиты указан ее номер из табл. 1. На рис. 1.4 показаны характеристики семейства в координатах [(a)\tilde],[(e)\tilde]. На нем крестиками отмечены критические орбиты из табл. 1. Порождающее семейство h начинается как часть семейства Ir обратных круговых орбит вокруг тела P₁ массы 1. Эта часть заканчивается орбитой 1, где семейство h переходит в часть семейства A₀ с [(e)\tilde] > -1, до орбиты 4. При этом на орбите 2 происходит столкновение с телом P₂, т.е. в точке P₂ координата скорости v₂ = 0, и это столкновение сохраняется при m > 0, а на орбите 3 константа Якоби C достигает максимума. В орбите 4 семейство h становится семейством E⁺_1/2 до орбиты 6. При этом на орбите 5 происходит столкновение с телом P₁. От орбиты 6 семейство h продолжается как семейство A₁ до орбиты 11. При этом на орбите 7 константа Якоби C достигает минимума. На орбите 8 происходит перескок вертикального следа Tr_v от +∞ до - ∞ . На орбите 9 происходит столкновение с телом P₂ нулевой массы. На орбите 10 константа Якоби C достигает максимума. От орбиты 11 семейство h продолжается как семейство E⁺_1/4 до орбиты 13. При этом на орбите 12 происходит столкновение с телом P₁. От орбиты 13 семейство h продолжается как семейство A₀ до пересечения с семейством E⁺_1/6. При этом на орбите 14 константа Якоби C достигает минимума; на орбите 15 вертикальный след Tr_v перескакивает от +∞ до - ∞ , а на орбите 16 происходит столкновение с телом P₂. В целом семейство h состоит из кусков

{A0,E+1/(4k-2),A1,E+1/(4k)},     k=1,2,...

Выше был описан первый такой кусок (k=1) и начало второго (k=2).

1.2. Характеристики семейства h показаны на рис. 1.1, 1.2, 1.4-1.5 в разных системах координат. При этом жирными линиями показаны тела P₁ и P₂ и для каждого куска указано семейство A₀, A₁, E⁺_N, к которому этот кусок относится. На характеристиках крестиками отмечены критические орбиты 1-16 из табл. 1. На рис. 1.1 пунктиром ограничена область |[(e)\tilde]| ≤ 2, попадающая на рис. 1.4. Рис. 1.5 изображает характеристики семейства вблизи тела P₂ в астрономической системе координат [(a)\tilde]′_*, [(e)\tilde]_*:

~ e   *  =  V+|v1| |v1|  sign (v1 v2),     ~ a   ′* =  sign v1 V2 =  sign v1 3-C .

(1.1)

Здесь (v₁,v₂) - это скорость входа орбиты в точку P₂, V²=v₁²+v₂², а |[(e)\tilde]_*|-1 и |[(a)\tilde]′_*| - суть предельные значения эксцентриситета e_* и нормированной действительной полуоси a_*/m локальной гиперболической орбты пролета вблизи тела P₂ при малых m. Рисунок 1.5 состоит из двух фрагментов с разными масштабами, чтобы избежать участков характеристик вблизи |[(e)\tilde]_*|=2. При этом первому участку семейства A₀ соответствуют верхние характеристики обоих фрагментов рис. 1.5. В соответствии с формулами (1.1) они имеют вертикальные асимптоты при [(a)\tilde]′_* ≈ -34.4 ([(e)\tilde]_* → - ∞ , орбита 4) и при [(a)\tilde]′_* ≈ -0.25 ([(e)\tilde]_* → +∞, орбита 1). Участку семейства A₁ соответствуют средние характеристики с вертикальными асимптотами при [(a)\tilde]′_* ≈ -14.1 ([(e)\tilde]_* → - ∞ , орбита 11) и при [(a)\tilde]′_* ≈ -0.21227 ([(e)\tilde]_* → +∞, орбита 6). Второму участку семейства A₀ соответствуют нижние характеристики обоих фрагментов рис. 1.5. с вертикальными асимптотами [(a)\tilde]′_* ≈ -10.9 ([(e)\tilde]_* → - ∞ , орбиты нет) и [(a)\tilde]′_* ≈ -0.19472 ([(e)\tilde]_* → +∞, орбита 13).

1.3. Период и следы. На рис. 1.6 показана зависимость нормированного периода [(T)\tilde] от координаты x₁(0) левой характеристики семейства h. Горизонтальные участки [(T)\tilde] = 2, 4 проходятся дважды: сначала справа налево (от орбиты 4 до орбиты 5 и от орбиты 11 до орбиты 12), а затем обратно (от орбиты 5 до орбиты 6 и от орбиты 12 до орбиты 13).

На рис. 1.7 схематически показана зависимость плоского следа Tr от нормированного периода [(T)\tilde]. На участках A₀, A₁, A₀ след Tr=+∞. Перескок происходит на орбитах, где константа Якоби C достигает экстремума. Согласно формулам (3.4) и (3.5) из [1] на участках Ir и E⁺_1/2, E⁺_1/4 след Tr=2 cosT и Tr=2. Семействам E⁺_1/2 и E⁺_1/4 отвечают постоянные значения [(T)\tilde]=2 и 4 соответственно. На рис. 1.7 для наглядности эти точки раздвинуты в маленькие интервалы. В местах сочленения участков разных семейств след Tr перескакивает от конечного значения к бесконечному (см. табл. 1, колонку Tr).

На рис. 1.8 схематически показана зависимость вертикального следа Tr_v от нормированного периода [(T)\tilde]. На участках A₀, A₁, A₀ след Tr_v= ± ∞ . Согласно табл. 1, перескок происходит на орбитах с полуцелыми [(T)\tilde] > 1, т.е. [(T)\tilde]=(2k+1)/2, k=1,2,..., где либо v₂=-2, либо v₂=0. Согласно формулам (3.4) и (3.5) из [1] на участках Ir, E⁺_1/2, E⁺_1/4 вертикальный и плоский следы равны: Tr=Tr_v. На рис. 1.8 также раздвинуты участки, соответствующие cемействам E⁺_1/2 и E⁺_1/4. В местах сочленения участков разных семейств след Tr_v перескакивает от конечного значения к бесконечному (см. табл. 1, колонку Tr_v).

Отметим, что линейная устойчивость в обоих направлениях (плоском и вертикальном), т.е. неравенства (3.4) из [1], имеется только на участках семейств Ir, E⁺_1/2, E⁺_1/4, вошедших в семейство h.

1.4. Пересечения с другими семействами. На участке Ir семейство h пересекается с семействами E^± _N с 1 < N < ∞ (см. [2, гл. 7, 8]). В частности, при N=2 семейство h пересекает семейство E₂ как локально трехкратное, ибо на орбите пересечения семейства h след Tr=-1. Семейство E₂ - это часть порождающего семейства i. Впрочем, всякое семейство E_N с N=(p+1)/p входит в порождающее семейство i и пересекается с h как локально (2p+1)-кратное. На орбите 1 след Tr=-2, а при m > 0 здесь образуется интервал с Tr ≤ -2. Поэтому на орбите 1 заканчиваются два локально двукратных семейства b и c. Кроме того, на орбитах, где происходит перескок следа Tr через интервал [-2,2], также происходит пересечение с другими семействами. На орбитах, где вертикальный след Tr_v перескакивает через интервал [-2,2], происходят пересечения семейства h с пространственными семействами дважды симметричных периодических решений пространственной круговой ограниченной задачи трех тел [5].

 

2.1. Описание семейства. Для этого случая кусок семейства h был вычислен в [3, § 4] как семейство IR+J. В табл. 2 приведены данные о 35 критических орбитах вычисленного участка семейства h при m = m_J [(   def) || ( = )]  0.00095388. Табл. 2 организована так же, как табл. 1, только вместо v₁(T/2) и v₂(T/2) даны значения x₁(T/2) и y₂(T/2). Кроме того, пары значений [(a)\tilde](T/2), [(e)\tilde](T/2) и [(a)\tilde]′_*(T/2), [(e)\tilde]_*(T/2) разнесены в разные пары колонок. При этом более точные значения x₁(T/2) для некоторых орбит суть

а более точные значения Tr_v для орбит 12 и 26 суть

Trv(12) = 1.99999842294,    Trv(26) = 1.99999646745.

(2.1)

В табл. 2 в колонках [(a)\tilde](T/2), [(e)\tilde](T/2) указаны только значения, где |[(e)\tilde](T/2)| ≤ 2. Аналогично, [(a)\tilde]′_* и [(e)\tilde]_* даны только для |[(e)\tilde]_*| ≥ 2. На рис. 2.1 изображены 6 критических орбит. Увеличение числа критических орбит при m = m_J по сравнению с m = 0 вызвано тем, что зачастую одной критической орбите при m = 0 соответствуют несколько критических орбит при m = m_J. Особенно это относится к критическим орбитам, на которых следы Tr и Tr_v равны ± 2. Ведь при m = 0 на одной орбите происходит перескок следа (следов), включающий оба значения ± 2, а при m > 0 значения следов ± 2 принимаются на разных орбитах. В табл. 3 показано соответствие между критическими орбитами табл. 1 и 2. Там k₁ - номер критической орбиты табл. 1 и k₂ - номер критической орбиты табл. 2. Орбиты при m = m_J похожи на орбиты при m = 0, показанные на рис. 1.3. Используя табл. 3, можно определить номера орбит при m = m_J, которым соответствуют орбиты рис. 1.3.

2.2. Характеристики семейства показаны на рис. 2.1-2.4 в разных системах координат. При сравнении с соответствующими рисунками § 1 видно сходство, а иногда и почти полное совпадение. На характеристиках крестиками отмечены критические орбиты из табл. 2. Рис. 2.4 изображает характеристики семейства вблизи тела P₂ в астрономических координатах [(a)\tilde]′_*, [(e)\tilde]_*:

~ e   *  =  x1 h2 |h2| m ,     ~ a   ′* = ~ a   *  m =  x1 m(| ~ e   *  |-2) ,

(2.2)

где

x1 = x1-1,     h2 = y2-1

(2.3)

суть локальные координаты вблизи тела P₂. При этом значения x₁ и y₂ берутся вблизи тела P₂, т.е. x₁(T/2), y₂(T/2) и только для |[(e)\tilde]_*| ≥ 2. Здесь значения |[(e)\tilde]_*|-1 и [(a)\tilde]_*=[(a)\tilde]′_* m суть эксцентриситет и действительная полуось гиперболической орбты пролета вблизи тела P₂. Имеется почти полное совпадение рис. 1.5 и 2.4. Особенно на правом фрагменте. На левом фрагменте средняя ветвь имеет почти ту же вертикальную асимптоту, что и при m = 0, а вертикальная асимптота левой ветви сместилась вправо. Это означает, что чем больше [(a)\tilde]′_*, т.е. чем дальше от тела P₂ пролетает тело P₃, тем сильнее возмущение.

2.3. Период и следы. На рис. 2.5 показана зависимость нормированного периода [(T)\tilde] от координаты x₁(0). Крестами отмечены критические орбиты из табл. 2. Видна аналогия с рис. 1.6. Только теперь период слегка растет на участках, где при m = 0 он был постоянен. Теперь период монотонно возрастает на всем семействе.

На рис. 2.6 показана зависимость модифицированного плоского следа

~ Tr   = м н о Tr,     если   |Tr| ≤ 2, sign (Tr) (1+log2 |Tr|),     если   |Tr| > 2

(2.4)

от нормированного периода [(T)\tilde]. При сравнении с рис. 1.7 видно, что при m = m_J большие значения |Tr| имеются там, где при m = 0 были протяженные интервалы бесконечных значений. Узкие интервалы отрицательных бесконечных значений Tr при m = 0 теперь превратились в узкие интервалы небольших отрицательных значений Tr при m_J. Отметим, что вблизи [(T)\tilde]=2 и 4 значения следа Tr остаются слегка меньше, чем 2 (см. (2.1)). Это согласуется с вычислениями возмущений следа Tr на семействах E_N, приведенными в [2, гл. 7 и табл. 2 приложения]. В табл. 2 приложения в [2] приведены возмущения Tr₁ следа Tr=2+mTr₁+... на семействах E^± _1/2 и E^± _1/4. В частности, для семейств E⁺_1/2 и E⁺_1/4 значения следа Tr₁ указаны как Tr₁⁺. На интервалах от орбиты 4 до орбиты 6 для E⁺_1/2, т.е. для |e e ′ | > 1-|[(e)\tilde]| ≈ 0.37, и от орбиты 11 до орбиты 13 для E⁺_1/4, т.е. для |e e ′ | > 1-|[(e)\tilde]| ≈ 0.6, значения Tr₁⁺ отрицательны и на концах стремятся к - ∞ , но при e ′ =1 сильнее, чем при e ′ =-1. Соответственно, на рис. 2.6 вблизи [(T)\tilde]=2 и 4 значения следа Tr меньше слева, т.е. для меньших значений [(T)\tilde], и остаются меньше двух.

На рис. 2.7 показана зависимость вертикального следа [(Tr)\tilde]_v от нормированного периода [(T)\tilde]. Видно соответствие с рис. 1.8. Однако для вертикального следа [(Tr)\tilde]_v теория регулярных возмущений на семействах E_N не построена, хотя ее можно построить. Чтобы разобраться в поведении [(Tr)\tilde]_v вблизи [(T)\tilde]=2, графики [(Tr)\tilde]_v в двух укрупненных масштабах показаны на рис. 2.8. Из него видно, что между орбитами 10 и 13 всюду [(Tr)\tilde]_v < 2 и имеет два минимума (один - на орбите 12). Аналогично обстоит дело вблизи [(T)\tilde]=4 между орбитами 24 и 27.

Из рис. 2.6 и  2.7 и из табл. 2 видно, что линейная устойчивость на семействе h имеется только в трех интервалах: от начала до орбиты 3, между орбитами 11 и 13, а также между орбитами 25 и 27. Эти интервалы соответствуют участкам Ir, E⁺_1/2 и E⁺_1/4 порождающего семейства.

2.4. Пересечения с другими семействами. На участках, где |Tr| ≤ 2 семейство h пересекается с другими семействами плоских периодических решений. В частности, на орбите с x₁(0) ≈ 0.6 след Tr=-1 и происходит пересечение с локально трехкратным семейством i. По орбитам 1 и 2 семейство h пересекается с семействами a и c соответственно, которые заканчиваются на этих орбитах как локально двукратные. Поскольку Tr=2 только в тех орбитах, где константа Якоби C имеет экстремум (т.е. в орбитах 4, 8, 16, 22, 30), то cемейство h не пересекается с семействами асимметричных периодических решений.

На участках, где |[(Tr)\tilde]_v| ≤ 2, cемейство h пересекается c семействами пространственных дважды симметричных периодических решений [5], которые пока слабо изучены.

2.5. Случай Земля-Луна m = m_M [(   def) || ( = )]  0.012155. Для этого случая Брук [6] вычислил 10 семейств симметричных периодических решений и опубликовал их с большой полнотой. В частности, cемейство h, обозначенное там A₁, вычислено от начала чуть дальше орбиты 12. В [6] представлены подробные таблицы орбит семейства, а также - рисунки многих орбит, характеристики семейства в координатах x₁,H=-C/2 и график плоского следа Tr как функции от x₁(0). Эти результаты можно рассматривать как возмущения порождающего семейства. Их использовал Хенон [4, гл. 10, п. 10.4.7] как пример хорошего соответствия с порождающим семейством.

 

В табл. 4 приведены данные о 28 критических орбитах вычисленного участка семейства h при m = 0.1. Она аналогична табл. 2. Для орбиты 10 более точные значения: x₁(T/2)=0.999999154316, [(e)\tilde](0)=0.312369180923, [(a)\tilde]′_*=-0.0000201814. Для орбит 8, 9, 20 и 21 соответственно: [(a)\tilde](0)(8)=-1.290844776096, [(a)\tilde](0)(9)=-1.291462453008, [(a)\tilde](0)(20)=-2.183948330271, [(a)\tilde](0)(21)=-2.184061220002, и для орбиты 9 [(e)\tilde](0)=0.312455778459.

Орбиты аналогичны рис. 1.3. На рис. 3.1-3.4 показаны характеристики семейства в разных системах координат. Заметно отличие от соответствующих рисунков § 1 и § 2. На рис. 3.3 и 3.4 видно, что отличие от характеристик порождающего семейства возрастает вместе с [(a)\tilde](0) и [(a)\tilde]′_*(T/2), т.е. возмущение тем больше, чем дальше орбита от тела P₁ или тела P₂. На рис. 3.5 показана зависимость нормированного периода [(T)\tilde] от координаты x₁(0). Заметен дальнейший отход от рис. 1.6, но зависимость здесь строго монотонна, как и на рис. 2.5. На рис. 3.6 и 3.7 видна дальнейшая эволюция следов в направлении возмущений, обозначившихся на рис. 2.6 и 2.7 по сравнению с рис. 1.7 и 1.8. Опять для б\'ольших [(T)\tilde], т.е. б\'ольших [(a)\tilde](0), отклонение от порождающих значений сильнее. Так у следа [(Tr)\tilde] кроме начального участка устойчивости имеются только четыре узких устойчивых участка. А у вертикального следа [(Tr)\tilde]_v сильно выражены эффекты, которые заметны при m = m_J только в увеличенном масштабе на рис. 2.8.

В целом линейно устойчивы в плоском и вертикальном направлении только орбиты, принадлежащие трем участкам семейства: 1) от начала до орбиты 1; 2) от орбиты 2 до орбиты 3; 3) от орбиты 8 до орбиты 10.

На орбитах 1 и 2 происходят пересечения с семействами a и c.

 

В табл. 5, аналогичной табл. 4, приведены данные о 27 критических орбитах вычисленного участка семейства h при m = 0.2. Для орбиты 20 более точные значения: x₁(T/2)=0.999997451263, [(a)\tilde](0)=-2.06422013438, [(e)\tilde](0)=-0.000009046988. Для других орбит:

Орбиты похожи на орбиты рис. 1.3. На рис. 4.1-4.4 изображены характеристики семейства, а на рис. 4.5-4.7 показаны нормированный период и следы. На всех рисунках видна эволюция семейства. У плоского следа [(Tr)\tilde] появился дополнительный участок линейной устойчивости. У вертикального следа [(Tr)\tilde]_v расширились интервалы устойчивости.

В целом линейная устойчивость периодических решений семейства h согласно табл. 5 имеется в 6 интервалах: 1) от начала до орбиты 1; 2) между орбитами 2 и 3; 3) между орбитами 8 и 9; 4) между орбитами 13 и 14; 5) между орбитами 16 и 17; 6) между орбитами 26 и 27.

Заключение. При возрастании m от нуля семейство h отходит от порождающего тем больше, чем дальше от тела P₁ (или P₂) находится орбита (т.е. чем больше [(a)\tilde](0) или [(a)\tilde]′_*(T/2)). Это справедливо как для координат орбит, так и для их следов. Для регулярных возмущений это согласуется с табл. 1 и 2 приложения в [2], где представленные возмущения для семейств G_p и E_N возрастают по модулю вместе с ростом a.

 

1. Брюно А.Д., Варин В.П. О семействах периодических решений ограниченной задачи трех тел // Препринт N 10. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2005, 20 с.
2. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990. 296 с.
3. Брюно А.Д. Нулькратные и обратные периодические решения ограниченной задачи трех тел // Препринт N 93 Института прикладной математики, М.; 1996. 32 с.
4. Henon M. Generating Families of the Restricted Three-Body Problem. Springer, Berlin etc., LNP NsM 52, 1997. 278 p.
5. Bray T.A., Goudas C.L. Three-dimensional periodic oscillations about L₁, L₂, and L₃ // Advances in Astronomy and Asprophysics (Z. Kopel ed.). Academic Press, N.Y. and L., 1967, v. 5, p. 71-130.
6. Broucke M.R. Periodic Orbits in the Restricted Three-Body Problem with Earth-Moon Masses. NASA Technical Report 32-1168. Pasadena, 1968, 92 p.

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 28 Jun 2005, 13:35.