Неравновесный газ и обобщенные биллиарды
(Nonequilibrium Gas and Generalized Billiards
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

E-mail: lpustyln@spp.keldysh.ru

Введение. Определение обобщенного биллиарда

Описание газа с помощью системы упругих шаров, двигающихся в сосуде, восходит к Больцману и Пуанкаре [1]. Если газ - идеальный, то шары, представляющие его молекулы, заменяются на массивные точки (частицы). Вероятность столкновения двух различных частиц равна нулю. Поэтому частицы двигаются независимо друг от друга. Поведение такой системы частиц описывается с помощью классического биллиарда, который был введен Биркгофом [2]: массивная точка прямолинейно и равномерно движется внутри заданной области P с кусочно-гладкой границей G, а при отражении от границы G нормальная (к границе) компонента ее скорости меняет знак на противоположный, а тангенциальная (к границе) компонента ее скорости - не изменяется. В результате такого закона энергия частицы - постоянна во времени, и, следовательно, описание газа на основе биллиарда имеет смысл только, если газ находится в равновесии.

Для описания неравновесного газа предложено обобщение классического биллиарда, которое назывется обобщенным биллиардом [3-6].

С физической точки зрения обобщенный биллиард из многих частиц описывает газ в сосуде, который нагревается или охлаждается от стенок сосуда. Существо обобщения состоит в том, что в момент столкновения точки с границей G скорость точки преобразуется с помощью заранее заданной гладкой функции f(g,t), определенной на прямом произведении G×R¹ (здесь g ∈ G, t ∈ R¹ и обозначает время), по следующему закону. Предположим, что траектория точки, которая двигается равномерно со скоростью v внутри области P, пересекает границу G в точке g ∈ G в момент времени t^*. Тогда в этот момент времени t^* точка приобретает такую скорость v^*, как если бы она подверглась упругому удару с бесконечно-тяжелой плоскостью G^*, касательной к границе G в точке g, которая перемещается вдоль нормали к G в точке g со скоростью (∂f/∂t)(g,t^*). В качестве положительного направления движения плоскости G^* мы выбираем направление во внутрь области P, так что, если (∂f/∂t)(g,t^*) > 0, то частица ускоряется, а газ нагревается. Если скорость v^* направлена во внутрь области P, то при t > t^* точка двигается со скоростью v^* до ближайшего пересечения с границей G. Если же скорость v^* направлена во вне от области P, то при t ≥ t^* точка будет неподвижная до тех пор, пока взаимодействие с плоскостью G^* не заставит точку изменить направление ее скорости.

Закон взаимодействия точки с границей G в обобщенном биллиарде - очень естественный. Он отражает, во-первых, очевидный факт, согласно которому стенки сосуда с газом - неподвижные, а, во-вторых, для определения взаимодействия частиц со стенками сосуда вводит классический упругий удар. По существу, мы рассматриваем бесконечно-малые перемещения стенок с заданными скоростями. Если функция f(g,t) не зависит от t, т.е. (∂f/∂t)(g,t) ≡ 0, то обобщенный биллиард совпадает с классическим.

Если же функция f(g,t) - периодическая относительно t, то закон отражения обобщенного биллиарда соответствует тому, что атомы в твердом теле (на стенках сосуда с газом) двигаются периодически. Обобщенный биллиард с периодической по t функцией f(g,t) называется периодическим.

Обобщенные биллиарды были введены и изучены [3-9] в связи с их важностью для проблем термодинамики и неравновесной статистической физики (обоснование второго начала термодинамики, парадокс обратимости Лошмидта). Обобщенный биллиард - конкретизация модели Пуанкаре [1], предложенная им для обоснования закона возрастания энтропии. Пуанкаре изучал одномерный и трехмерный газ, состоящий из многих частиц, двигающихся соответственно внутри интервала и параллелепипеда под влиянием внешних сил. Эти силы вызваны внешним (горячим) телом, которое приближается и отдаляется от сосуда с газом и влияет на частицы. Обобщенный биллиард заменяет влияние внешнего тела на газ реакцией стенок сосуда, используя для этого функцию f(g,t) и упругий удар.

С физической точки зрения имеет смысл исследовать обобщенный биллиард, как в рамках ньютоновской механики (обобщенный ньютоновский биллиард), так и релятивистской механики (обобщенный релятивистский биллиард). Это означает, что упругий удар массивной точки и плоскости G^*, входящий в определение обобщенного биллиарда, можно определять, исходя из законов сохранения энергии и импульса как в ньютоновской механике, так и в специальной теории относительности. Для классических биллиардов, когда (∂f/∂t)(g,t) ≡ 0, нет никакого различия между этими двумя случаями. Это - одна и та же динамическая система. Однако, для обобщенных биллиардов ((∂f/∂t)(g,t) ¬≡ 0) существует огромная принципиальная разница между этими двумя случаями. Она проявляется в том, что в ньютоновском случае обобщенный биллиард - консервативная динамическая система, т.е. для него существует инвариантная мера, эквивалентная мере Лиувилля (Лебега), в то время как в релятивистском случае обобщенный биллиард - диссипативная система. Это принципиальное различие приводит к тому, что энтропия Гиббса в ньютоновском случае - константа, не зависящая от времени, в то время как в релятивистском случае при выполнении общих и естественных физических условий энтропия Гиббса возрастает [4-6]. Это наблюдение разрешает хорошо известный парадокс обратимости Лошмидта, согласно которому, если в механической системе, состоящей из многих частиц, энтропия возрастает, то, заменяя в какой-то момент скорости всех частиц на противоположные, мы будем двигаться по той же траектории в противоположном направлении и, следовательно, энтропия начнет убывать. Как следует из [4-6] в обобщенном релятивистском биллиарде такая ситуация невозможна, так как общее условие для роста энтропии не зависит от знаков скоростей частиц. Здесь следует заметить, что, обращая скорости частиц в обобщенном биллиарде на противоположные, мы не изменяем на противоположное направление движения плоскости G^*, так как изменение направления движения плоскости G^* равносильно изменению на противоположное направление времени. Однако, изменить направление времени в физической системе невозможно: направление изменения времени задано однозначно! В основе такого необратимого поведения траекторий лежит следующее важное и принципиальное свойство обобщенных равновесных биллиардов, доказанное в [3-9]: в их фазовом пространстве существует инвариантное подмногообразие, для которого скорость точки равна скорости света, и которое и само является экспоненциальным аттрактором, или содержит такой аттрактор. Последнее означает, что, если начальные данные расположены в некоторой окрестности этого многообразия, то соответствующие этим начальным данным траектории стремятся к инвариантному многообразию экспоненциально быстро. При наличии такого аттрактора необратимое и одностороннее поведение траекторий допускает следующую физическую интерпретацию. Рассмотрим очень большую сеть на поверхности очень большого стола, а один из концов ее границы свисает вниз. Предположим, что за этот конец резко дернули вниз. Тогда точки сети, расположенные с противоположной стороны от этого конца, начинают медленно (в результате трения) двигаться в том направлении, что и выделенный конец.

Настоящая работа посвящена некоторым основополагающим проблемам, касающихся обобщенных ньютоновских биллиардов в шаре: существование инвариантной меры, возможности разгона частиц и инвариантности энтропии Гиббса. На примере шара здесь получены исчерпывающие решения этих проблем. Поскольку шар - есть многомерное обобщение отрезка (шар размерности 1), то результаты этой работы являются обобщениями соответствующих результатов в работах [4] и [5] (см. также [10] и [11]).

§ 1. Инвариантная мера для обобщенного ньютоновского биллиарда в шаре

Пусть P - шар в трехмерном пространстве R³, имеющем ортогональную систему координат x,y,z; граница G =∂P шара P - двумерная сфера. Точка фазового пространства обобщенного биллиарда в шаре P однозначно определяется тремя координатами x,y,z и соответствующим этим координатам импульсами p^(x),p^(y),p^(z). Чтобы построить инвариантную меру для обобщенного ньютоновского биллиарда в шаре, мы введем новое фазовое пространство Ø. Точка ø[(   def) || ( = )]  (g,[(p)\vec]_t,p_n,D) ∈ Ø пространства Ø определяется заданием четырех объектов g,[(p)\vec]_t,p_n,D, где g∈ G - точка сферы G, [(p)\vec]_t - проекция вектора импульса [(p)\vec] на касательную плоскость к сфере G в точке g, p_n - компонента проекции вектора импульса [(p)\vec] на нормаль к сфере G в точке g, D - длина отрезка с концами в точках g и [`(g)] =g+([(p)\vec]/m)[`(t)]. Здесь [(p)\vec][(   def) || ( = )]  ([(p)\vec]_t,p_n), m - масса движущейся в шаре P массивной точки, а [`(t)] - время, за которое эта точка проходит путь из положения g в положение (x,y,z) со скоростью [(v)\vec] =[(p)\vec]/m, точка [`(g)] расположена внутри шара P. С физической точки зрения введение фазового пространства Ø означает, что перед попаданием в положение точки [`(g)] массивная точка (частица) последний раз отразилась от границы G в точке g так, что проекции ее вектора импульса [(p)\vec] на касательную плоскость и нормаль к G в точке g соответственно равны [(p)\vec]_t и p_n. Размерность пространства Ø равна 6. Однако, в силу того, что согласно определению обобщенного биллиарда компонента [(p)\vec]_t вектора [(p)\vec] не меняется после отражения массивной точки от границы G, фазовое пространство Ø расслаивается на инвариантные подпространства Ø размерности 4, для которых проекция вектора [(p)\vec] на касательное пространство к G в каждой ее точке равна [(p)\vec]_t. Используя фазовое пространство Ø, построим в нем меру m следующего вида

dm = dg d → p   t   dpn dD   ж Ц | → v   t  |2+v2n   ,

(1)

где dg - элемент площади на сфере G, d[(p)\vec]_t - площадь в двумерном касательном пространстве, [(v)\vec]_t и v_n - соответственно проекция вектора скорости [(v)\vec] на касательное пространство и нормаль к G в точке g, |[(v)\vec]_t| - длина вектора [(v)\vec]_t.

На инвариантном многообразии Ø_[(p)\vec]t мера m определяет условную меру

dm (p→)t =  dg dpn dD   ж Ц | → v   t  |2+v2n   .

(2)

Замечание 1. В частном случае, когда размерность шара P равна 1 (т.е. P есть отрезок, G - две его концевые точки и выполняется равенство [(p)\vec]_t=[(v)\vec]_t=0) меры dm и dm_[(p)\vec]t совпадают, имеют вид

dm = dm (p→)t =  dpn dD | → v   | ,

(3)

и, как доказано в [5] (гл. 1, § 2), эта мера dm инвариантна относительно динамики обобщенного биллиарда.

Теорема 1. Меры (1) и (2) инвариантны относительно динамики обобщенного биллиарда в трехмерном шаре.

Доказательство. Из определения обобщенного биллиарда и симметрии шара относительно любой плоскости, проходящей через его центр следует, что для доказательства теоремы 1 достаточно доказать, что условная мера

dpn dD   ж Ц | → v   t  |2+vn2

инвариантна относительно динамики обобщенного биллиарда. Но эта условная мера совпадает с мерой (3), которая согласно замечанию 1 инвариантна относительно динамики обобщенного биллиарда. Теорема 1 доказана.

§ 2. Ограниченность скорости массивной точки в обобщенном ньютоновском биллиарде в шаре

В этом параграфе, также, как и в предыдущем, мы предполагаем, что область P, в которой действует обобщенный ньютоновский биллиард, есть трехмерный шар радиуса R. Кроме того, мы делаем дополнительное предположение, согласно которому функция f(g,t), с помощью которой задается закон отражения от границы G области P (см. введение), не зависит от точки g и является бесконечно-дифференцируемой функцией f(t) по t, имеющей период 2p, т.е. f(t)=f(t+2p). При этих предположениях будет доказано, что скорость массивной точки всегда ограничена.

Теорема 2. Предположим, что в начальный момент времени t₀ массивная точка имела скорость v₀. Тогда во все последующие моменты времени t ≥ t₀ модуль скорости |v| массивной точки не превосходит константу, зависящую только от v₀,R и функции f(t).

Доказательство. Предположим, что в некоторый момент времени t столкновения массивной точки с границей G в положении g ∈ G точка приобрела скорость [(v)\vec] =([(v)\vec]_t,v_n), направленную внутрь P, а в ближайший к t момент времени t′ > t столкновения с G в положении g ′ ∈ G точка приобрела скорость [(v)\vec]′=([(v)\vec]_t′,v_n^′). Здесь [(v)\vec]_t и [(v)\vec]_t^′ соответственно проекции векторов [(v)\vec] и [(v)\vec]′ на касательные пространства к G в точках g и g ′ , а v_n и v_n^′ - соответственно координаты проекций векторов [(v)\vec] и [(v)\vec]′ на нормали к G в точках g и g ′ . Из определения обобщенного ньютоновского биллиарда следует, что

| → v   t  |=| → v   ′ t  |,    t′=t+  2Rvn vn2+|vt|2 ,    vn′=vn+2  df dt (t′).

(4)

Рассмотрим отображение A: (t,v_n)→ (t′,v_n′) и введем новые переменные y и y′ так, что

y=  2Rvn vn2+| → v   t  |2 ,    y′=  2Rvn′ (vn′)2+|vt ′ |2 .

(5)

Рассматривая переменные t и y, как полярные (t - угол, 0 ≤ t < 2p, y - радиус), и выражая через них отображение A, получим отображение B: (t,y)→ (t′,y′), имеющее в силу (4) и (5) следующий вид:

t′=t+y mod 2p,    y′=y+j(t,y),

(6)

где

j(t,y)= 2|vt|2 Ч f   (tў) ж и  2R y -  |vt|2 vn ц ш ж и  2R y -  |vt|2 2vn +2 f·(t ў) ц ш ж и  2R y -  |vt|2 vn +2 Ч f   (tў)+  |vt|2 vn+2 f·(t ў) ц ш  1 y

и справедливо неравенство

|j(t,y)| < c1y2,

(7)

в которой c₁ - константа, не зависящая от t и y.

Введем переменные r и r′ с помощью равенств y=er, y′=er′, где e > 0 - малый параметр. Преобразование B, выраженное в переменных r и r′ в силу (6) имеет вид преобразования U_e: (t,r)→ (t′,r′), где

t′=t+er mod 1,    r′=r+ery(t,r,e),

(8)

где y(t,r,e) - функция, которая в силу (8) удовлетворяет неравенству

|y(t,r,e)| < c2r,

(9)

в котором c₂ - константа, не зависящая от t,r и e.

Так как преобразование A сохраняет площадь, то для отображения U_e справедливо следующее свойство: любая замкнутая несамопересекающаяся кривая, окружающая точку r=0, пересекается со своим образом относительно действия отображения U_e. Поэтому в силу соотношений (8) и (9) существуют такие константы e₀ > 0 и r₀ > 0, что при всех e ≤ e₀ в области 0 < r < r₀ справедливо утверждение теремы Мозера [12], согласно которому в этой области существует замкнутая несамопересекающаяся кривая S, окружающая точку r=0 и инвариантная относительно действия U_e. Так как в этом случае область внутри кривой S также инвариантна относительно действия U_e, то, переходя обратно к координате v_n, получим, что при любом сколь угодно большом значении величины |v_n| траектория точки (t,v_n) относительно действия отображения A не выйдет за пределы некоторого круга с центром в точке v_n=0. Теорема 2 доказана.

Замечание 2. Утверждения теорем 1 и 2 в §§ 1 и 2 справедливы для шара любой размерности.

§ 3. Энтропия Гиббса для неравновесного газа в шаре

Рассмотрим трехмерный газ, состоящий из конечного числа одинаковых частиц P₁,…,P_N (массивных точек), которые двигаются в сосуде, имеющем форму шара P с границей G. Обозначая точку (g,[(p)\vec]_t,p_n,D) ∈ Ø, компоненты скорости [(v)\vec]_t, v_n и фазовое пространство Ø для частицы P_s соответственно через (g^(s),[(p)\vec]_t^(s),p_n^(s),D^(s)), [(v)\vec]_t^(s), v_n^(s) и Ø^(s) (s=1,…,N), введем функцию распределения

r = r(t)=r(g(1), → p   (1) t  ,pn(1),D(1),…,g(N), → p   (N) t  ,pn(N),D(N),t) ≥ 0

для частиц P₁,…,P_N в момент времени t. Так как согласно § 1 мера

d mes= dg(1) d → p   (1) t   dpn(1) dD(1) _ dg(N) d → p   (N) t   dpn(N) dD(N) N Х s=1    ж Ц | → v   (s) n  |2+(vn(s))2

инвариантна относительно классической динамики, то энтропия Гиббса H(t) имеет вид

H(t)=- у х K  r(t) lnr(t) d mes (t),

(10)

где K=Ø⁽¹⁾×…×Ø^(N) - прямое произведение пространств Ø⁽¹⁾,…,Ø^(N), а d mes (t) - мера d mes в момент времени t, полученная из меры d mes (t₀) в начальный момент времени t₀. Функция r должна удовлетворять условию нормировки

у х K  r d mes=1

и следующему условию, характеризующему закон сохранения массы:

r(t) d mes (t)=r(t0) d mes (t0),

(11)

где t и t₀ - два различных момента времени, такие что t > t₀. Покажем, что, если газ рассматривать в рамках ньютоновской механики, то энтропия Гиббса - константа, не зависящая от времени. Действительно, в силу (11) и инвариантности меры mes имеем равенства d mes (t)=d mes (t₀), r(t)=r(t₀), и, следовательно, H(t)=H(t₀).

Как следует из [3-9], в релятивистском случае обобщенный биллиард не имеет инвариантной меры, эквивалентной мере Лиувилля. Более того, обобщение доказательств, приведенных в [4-5], позволяет утверждать, что в релятивистском случае при выполнении некоторых естественных условий энтропия Гиббса (10) будет возрастать!

Список литературы

[1]

H. Poincare. Réflexions sur la théorie cinétique des gaz // J. Phys. théoret. et appl., 4^o ser. 1906. V. 5. P. 369-403.

[2]

G. Birkhoff. Dynamical Systems: Amer. Math. Soc., New York, 1927.

[3]

Л.Д. Пустыльников. Новый механизм ускорения частиц и числа вращения // ТМФ (1990). Т. 82. N 2. С. 257-267.

[4]

Л.Д. Пустыльников. О механизме возникновения необратимости и неограниченном росте энергии в одной модели статистической механики // ТМФ (1991). Т. 86. N 1. С. 120-129.

[5]

Л.Д. Пустыльников. Модели Пуанкаре, строгое обоснование второго начала термодинамики из механики и механизм ускорения Ферми // УМН (1995). Т. 50. N 1. С. 143-186.

[6]

Л.Д. Пустыльников. Закон возрастания энтропии и обобщенные биллиарды // УМН (1999). Т. 54. N 3. С. 180-181.

[7]

M.V. Deryabin, L.D. Pustyl'nikov. On Generalized Relativistic Billiards in External Force Fields // Letters in Math. Physics (2003). 63(3). P. 195-207.

[8]

M.V. Deryabin, L.D. Pustyl'nikov. Generalized Relativistic Billiards // Regular and Chaotic Dynamics (2003). V. 8. N 3. P. 283-296.

[9]

M.V. Deryabin, L.D. Pustyl'nikov. Exponential Attractors in Generalized Relativistic Billiards // Communications in Math. Physiscs (2004). V. 248. P. 527-552.

[10]

Л.Д. Пустыльников. Об одной геометрической задаче, связанной с обобщенными биллиардами // Препринт N 12. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2004. 17 с.

[11]

Л.Д. Пустыльников. Геометрическая задача, связанная с обобщенными биллиардами // Матем. Просвещение. 2005. Вып. 9. С. 86-92.

[12]

Ю. Мозер. Об инвариантных кривых сохраняющего площадь отображения кольца в себя // Математика (1963). Т. 6. N 5. С. 51-67.

 

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 02 Sep 2005, 16:47.