Семейство h периодических решений ограниченной задачи при больших m
( The Family h of Periodic Solutions of the Restricted Problem for Big m
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

E-mails:    bruno@keldysh.ru,    varin@keldysh.ru

 

4′.1. К § 2 гл. I [1, с. 6-7]. Характеристики семейств периодических решений на плоскости симметрии P будем изображать в четырех системах координат.

I система (естественная): координаты x₁,y₂.

II система (Якоби): координаты x₁,C=-2H. Это I система со стр. 6 [1].

III система (астрономическая для P₁): координаты

~ e   =  x1  y2  |y2| 1- m ,    ~ a   =   x1 |2-| ~ e   || .

(4′.1)

Это аналог формул (2.2) из [1], где второе выражение для [(a)\tilde] напечатано неправильно. Обратное к (4′.1) преобразование есть

x1 = ~ a    |2-| ~ e   ||,    y2 = sign ( ~ e   ~ a   )   ж Ц | ~ e   | (1- m) |x1|   .

(4ў.2)

Для этой системы справедливо все, сказанное для системы II на с. 6-7 [1].

IV система (астрономическая для P₂):

~ e   *  =  x1 h2 |h2| m ,     ~ a   *  =  x1 (| ~ e   *  |-2) ,     ~ a   ′* = ~ a   *  m ,

(4′.3)

где

x1 = x1-1,     h2 = y2-1

(4′.4)

Эта система аналогична системе III, т.е. (4′.1), но вблизи тела P₂. Обе эти системы соответствуют задачам двух тел: P₁, P₃ (система III) и P₂, P₃ (система IV). Поскольку для малых m значение x₁ пропорционально m, то согласно (4′.3) это же справедливо для [(a)\tilde]_*. Поэтому вводится координата [(a)\tilde]′_* = [(a)\tilde]_*/m, которая при m→ 0 стремится к конечному пределу.

Системы III и IV позволяют сравнивать характеристики вычисленных семейств с характеристиками порождающих семейств, которые легко изображаются в этих координатах.

Для семейств, характеристики которых располагаются вблизи точки x₁=1, y₂=1, может быть удобна V система координат, которая соответствует задаче Хилла

~ x   1  = x1/ m1/3,     ~ h   2  = h2/ m1/3,

(4′.5)

где x₁, h₂ определяются по (4′.4). Эта система была использована в [3] для семейств a, c, f, g.

На стр. 7 [1] в конце предпоследнего абзаца имеется опечатка в формуле для [(Tr)\tilde]. Правильная формула

~ Tr   =(1 + log2|Tr|)  sign (Tr),    если   |Tr| > 2.

4′.2. К § 3 гл. I [1, стр. 12]. При малых m вблизи тела P₂ пересечение траектории с плоскостью симметрии имеет координаты

x1 =  m V2 ж и  V |v1| -1 ц ш  sgn  v1, Ч x   2  =   ж Ц  2 m |x1| + V2    sgn  v2 =   ж Ц   2 V2 V/|v1| -1 +V2    sgn  v1 = V   ж Ц  V+|v1| V-|v1|    sgn  v2.

(4ў.6)

Поскольку

h2=x1 + Ч x   2  ,

то при m→ 0 имеем h₂ → [(x)\dot]₂. Если теперь для координат x₁,h₂ ввести соответствующие астрономические координаты (4′.3) и там h₂ заменить на [(x)\dot]₂, то согласно (4′.6) получим

~ e   *  = x1 Ч x   2  | Ч x   2  | m =  1 V2   ж и  V |v1| -1 ц ш    V2(V+|v1|) V-|v1|  sgn  (v1 v2) =  V+|v1| |v1|  sgn  (v1 v2), ~ a   ў* =  V-|v1| sgn  v1 V2 |v1| |2-| ~ e   *  || =  V-|v1| sgn  v1 V2 |2|v1|-V-|v1|| =  sgn v1 V2 =   sgn v1 3-C .

(4ў.7)

Это формулы (1.1) из [2]. Здесь дан их вывод. По ним вычисляются характеристики порождающих семейств в IV системе координат.

4′.3 К §§ 2-4 гл. II [2]. На рисунках 2.9, 3.8 и 4.7 показаны по 6 критических орбит семейства h при m = m_J, 0.1, 0.2 соответственно. Для каждой орбиты указан ее номер в табл. 2, 4, 5 соответственно. Этим рисункам не хватило места в препринте [2].

 

В табл. 6, аналогичной табл. 2 [2], приведены данные о 29 критических орбитах вычисленного участка семейства h при m = 0.3. Более точные значения Tr_v суть

Более точные значения [(a)\tilde](0) суть

Более точные значения [(e)\tilde](0) суть

Орбиты показаны на рис. 5.1. Они похожи на орбиты рис. 2.9, 3.8 и 4.7. На рис. 5.2-5.6 изображены характеристики семейства, а на рис. 5.7-5.9 показаны нормированный период [(T)\tilde] = T/(2p) и следы [(Tr)\tilde] и [(Tr)\tilde]_v. Все эти рисунки мало отличаются от соответствующих рисунков § 4, т.е. при m = 0.2. На рис. 5.3 видны два новых минимума C. Наибольшее отличие в графиках [(Tr)\tilde] на рис. 5.8 и 4.6. Локальные максимумы [(Tr)\tilde] на рис. 4.6, которые меньше 2, на рис. 5.8 уже больше двух. Линейная устойчивость в обоих направлениях согласно табл. 6 имеется в следующих 10 интервалах: от начала до орбиты 1, и между орбитами (2,3); (6,7); (11,12); (13,14); (16,17); (21,22); (23,24); (25,26); (28,29).

 

В табл. 7, аналогичной табл. 2 [2], приведены данные о 27 критических орбитах вычисленного участка семейства h при m = 0.4. 6 орбит показаны на рис. 6.1. Они похожи на орбиты рис. 2.9, 3.8 и 4.7, 5.1. На рис. 6.2-6.6 изображены характеристики семейства в разных координатах, а на рис. 6.7-6.9 показаны нормированный период [(T)\tilde] = T/(2p) и следы. В целом эти рисунки похожи на соответствующие рисунки § 5, кроме рис. 5.4. Только теперь колебания характеристик семейства и следов становятся более равномерными. Здесь также имеется 10 интервалов линейной устойчивости по обоим направлениям: (0,1); (2,3); (6,7); (9,10); (11,12); (14,15); (18,19); (21,22); (23,24); (26,27).

 

В табл. 8, аналогичной табл. 2 [2], приведены данные о 31 критической орбите вычисленного участка семейства h при m = 0.5. Более точные значения [(e)\tilde](0) суть

Орбиты показаны на рис. 7.1. Они похожи на орбиты при остальных значениях m ≠ 0. На рис. 7.2-7.6 изображены характеристики семейства в разных координатах, а на рис. 7.7-7.9 показаны нормированный период и следы. На рис. 7.2 характеристика семейства при [(a)\tilde](0) < 0 три раза заходит за верхнюю пунктирную кривую. Соответственно на рис. 7.4 характеристика несколько раз подходит к значению [(e)\tilde](0) = -2, при [(a)\tilde](0) < -6 (на рисунке не поместилось). На рис. 7.3 характеристика имеет чуть ли не синусоидальные колебания. Рис. 7.5, 7.6 похожи на рис. 6.5, 6.6 соответственно. На рис. 7.7 кривая очень близка прямой. Рис. 7.8 и 7.9 очень похожи на периодические колебания с возрастающей амплитудой. Согласно табл. 8 линейная устойчивость в обоих направлениях имеется в 10 интервалах между орбитами: (0,1); (2,3); (6,7); (9,10); (13,14); (16,17); (20,21); (23,24); (27,28); (30,31). При этом в интервалах плоской устойчивости имеется всегда устойчивость вертикальная.

Семейство h и его устойчивость при m = 0.5 вычислялись в работах [4-8]. Поэтому достаточно сравнить наши результаты с ними. Характеристика семейства h из рис. 3 [6] соответствует части x₁ ≥ -2.5 рис. 7.3. В [7] изучена плоская устойчивость на этом участке семейства h. При этом Хенон использует индекс устойчивости a=Tr/2. Кроме того, его x₀ = x₁(0)-0.5 и его константа Якоби C_H = C -0.25. Тогда рис. 11 [7] соответствует рис. 7.8, а табл. на стр. 1002 [7] (левая) соответствует табл. 8. При этом соответствие критических орбит таково:

и отличие вычисленных значений примерно на единицу четвертого знака.

Вертикальная устойчивость на семействе h изучена Хеноном в [8]. Его рис. 5 [8] соответствует рис. 7.9. При этом его критические орбиты h1v, h2v, h₂3v и h₂4v соответствуют орбитам с k=4, 5, 11 и 12. Таблица 1 [8] для семейства h соответствует табл. 8.

 

Как видно из рисунков характеристик семейство h при росте m не испытывает самобифуркаций, т.е. оно взаимно однозначно проектируется на полосу

T > 0,     m ∈ [0,0.5]

и унифицируется этими двумя параметрами как двупараметрическое семейство. При этом критические орбиты образуют его подсемейства. Некоторые такие подсемейства для Tr = ±2 вычислены в [9, п. 3.3] и представлены там на рис. 6 и 7 и в таблицах на стр. 369-371. По орбитам с k=1 и 2 при всех m > 0 происходит пересечение с семействами a и e. Кроме того, при росте m от 0 до 0.5 семейство становится более однородным. Если при m = 0 оно составлено из кусков разных семейств Ir, E_N, A₀ и A₁ с разным поведением периода с следов, то при m = 0.5 его нельзя разделить на куски с различным поведением этих величин, да и характеристики его выглядят более однотипными. Следует отметить, что характеристики в системе IV испытывают большие изменения при [(a)\tilde]_*′ < -1 и мало меняются при [(a)\tilde]_*′ > -1.

Отметим также, что для m > 0.3 интервалы полной линейной устойчивости совпадают с интервалами плоской линейной устойчивости, т.е. вертикальная компонента не вносит дополнительной неустойчивости.

 

1. Брюно А.Д., Варин В.П. О семействах периодических решений ограниченной задачи трех тел // Препринт N 10. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2005. 20 с.
2. Брюно А.Д., Варин В.П. Семейство h периодических решений ограниченной задачи при малых m // Препринт N 67. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2005. 32 с.
3. Брюно А.Д. Нулькратные и обратные периодические решения ограниченной задачи трех тел // Препринт N 93 Института прикладной математики, М.; 1996. 32 с.
4. Stromgren, E., "Connaissance Actuelle des Orbits dans le Problème des Trois Corps", Publications and Minor Communications of Copenhagen Observatory, Publication 100. Copenhagen University, Astronomical Observatory, Denmark, 1935.
5. Bartlett, J.H., "The Restricted Problem of Three Bodies (1)", Kong. Dan. Vidensk, Selsk., Mat.-Fys. Skr., 1964, vol. 2, no. 7. 48 p.
6. Hénon M. Exploration Numérique du Problème Restreint. I - Masses égales, orbites périodique // Ann. Astrophys. 1965, t. 28, N 3, p. 499-511.
7. Hénon M. Exploration Numérique du Problème Restreint. II - Masses égales, stabilité des orbites périodique // Ann. Astrophys. 1965, t. 28, N 6, p. 992-1007.
8. Hénon M. Vertical stability of periodic orbits in the restricted problem // Astron. & Astrophys., 1973, v. 28, p. 415-426.
9. Hénon M., Guyot M. Stability of periodic orbits in the restricted problem // Periodic Orbits, Stability and Resonances (G.E.O. Giacaglia, ed.), Dordrecht-Holland: D Reidel P.C., 1970, p. 349-374.

 

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 27 Sep 2005, 16:55.