Последние разложения модифицированных движений твердого тела
( Last Expansions of Modified Motions of a Rigid Body
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

E-mails: bruno@spp.keldysh.ru, gashenenko@iamm.ac.donetsk.ua

§ 1. Уравнения движения и параметры

1.1. Уравнения Эйлера-Пуассона. Система уравнений движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой имеет вид

A Ч p   +(C-B)qr=Mg(z0g2-y0g3),   Ч g   1  =rg2-qg3, B Ч q   +(A-C)pr=Mg(x0g3-z0g1),   Ч g   2  =pg3-rg1, C Ч r   +(B-A)pq=Mg(y0g1-x0g2),   Ч g   3  =qg1-pg2,

(1.1)

где точка означает дифференцирование по времени t, A,B,C суть главные моменты инерции твердого тела, которые удовлетворяют неравенствам треугольника, т.е.

A > 0,  B > 0,  C > 0,  A+B ≥ C,  A+C ≥ B,  B+C ≥ A,

(1.2)

Mg - вес тела, x₀, y₀, z₀ - координаты центра масс твердого тела в системе координат, связанной с телом, p,q,r - проекции вектора угловой скорости на оси координат, связанные с телом, g₁,g₂,g₃ - направляющие косинусы вертикали в системе координат, связанной с телом. Система уравнений (1.1) имеет три первых общих интеграла

Ap2+Bq2+Cr2-2Mg(x0g1+y0g2+z0g3)=h=const, Apg1+Bqg2+Crg3=l=const, g12+g22+g32=1.

(1.3)

Это интегралы энергии, момента и геометрический. Первые два интеграла следуют из общих теорем механики.

Возьмем такую систему единиц, что Mg=1. Остается 6 параметров : A,B,C, x₀,y₀,z₀ и два значения интегралов (1.3): h и l. Наша ближайшая цель - уменьшить чило параметров.

Лемма 1.1. Для случая C ≠ 0 и x₀ ≠ 0 существует такая линейная замена переменных

p=a ~ p   ,    q=a ~ q   ,    r=a ~ r   ,    t= ~ t   /a,    gi=b ~ g   i  ,    a ∈ R,    b=±1,

(1.4)

которая переводит систему (1.1) в такую систему, которая, если в ней опустить тильды, имеет вид (1.1) с C=x₀.

Доказательство. В результате замены (1.4) система (1.1) переходит в систему такого же вида, но с новыми параметрами

~ A   =a2A,     ~ B   x =a2B,     ~ C   =a2C,     ~ x   0  =bx0,     ~ y   0  =by0,     ~ z   0  =bz0.

Поэтому [(x)\tilde]₀/[(C)\tilde] =(b/a²)(x₀/C). Положим

b=sgn x0,    a= Ц   |x0/C|   .

Тогда [(x)\tilde]₀=[(C)\tilde]. Доказательство окончено.

Замечение 1.1. На самом деле, удобнее делать замену (1.4) с b=1; тогда |[(x)\tilde]₀|=[(C)\tilde] и [(x)\tilde]₀/[(C)\tilde] =±1.

Для случая

B ≠ C,    x0 ≠ 0,    y0=z0=0

(1.5)

введем нормированные параметры

x=A/C,    y=B/C,    x = x0/C,    z=h/C,    l =l/C.

(1.6)

При этом согласно замечанию 1.1 можно считать, что x = ±1.

1.2. Уравнения Н. Ковалевского. В случае (1.5) Н. Ковалевский предложил рассматривать p как независимую переменную, ввел новые зависимые переменные

s = (B-C)q2/A,  t = (B-C)r2/A

(1.7)

и получил систему уравнений относительно новых переменных

f1    def =     s"t+s′t′/2+a1+a2s+a3pt′+a4t+a5p2=0, f2    def =     st"+s′st′/2+b1+b2ps′+b3s+b4t+b5p2=0,

(1.8)

где штрих означает дифференцирование по p. При этом старые переменные системы уравнений (1.1.1) выражаются через новые следующим образом

q2=As/(B-C),    r2=At/(B-C), g1=[h-A(Bs+Ct)/(B-C)-Ap2]/(2x0), g2=-C[t′-2(A-B)p/C]q/(2x0), g3=B[s′-2(C-A)p/B]r/(2x0).

(1.9)

А функция p(t) может быть найдена простым интегрированием

у х dp / Ц   st   =t+const.

(1.10)

Таким образом, интегрирование системы (1.1) в случае (1.5) сводится к интегрированию системы (1.8), и если найдено какое-нибудь решение этой системы, то можно по формулам (1.9) и (1.10) найти и решение системы (1.1).

При замене координат (1.9) был использован первый из интегралов (1.3), а два других принимают соответственно вид

f3    def =     s′t-st′+c1+c2p+c3ps+c4pt+c5p3=0, f4    def =     d1(s′)2t+s(t′)2+d2+d3s+d4t+d5s2+d6ps′t+ +d7pst′+d8st+d9t2+d10p2+d11p2s+d12p2t+d13p4=0.

(1.11)

Коэффициенты a_i,b_i,c_i,d_i в уравнениях (1.8) и (1.11) выражаются через параметры (1.6) так:

a1=-h/(Cy),    a2=x/(y-1),    a3=(x-2)/y, a4=(2xy+2-x-2y)/(y(y-1)),    a5=(3x-2y)/y; b1=-h/C,    b2=2y-x,    b3=(2y2+2x-2y-xy)/(y-1), b4=x/(y-1),    b5=3x-2; c1=-2(y-1)x0l/(xyC2),    c2=h(y-1)/(yC), c3=x-2y,    c4=(x-2)/y,    c5=-x(y-1)/y; d1=y2,    d2=(h2-4x02)(y-1)/(xC2), d3=-2hy/C,    d4=-2h/C,    d5=xy2/(y-1), d6=-4(1-x)y,    d7=-4(x-y),    d8=2xy/(y-1), d9=x/(y-1),    d10=-2h(y-1)/C, d11=2(2x2-3xy+2y2),    d12=2(2-3x+2x2),    d13=x(y-1).

(1.12)

При этом параметры x,y удовлетворяют неравенствам

x+y ≥ 1,    x-y ≥ -1,    y-x ≥ -1,    y ≠ 0,    y ≠ 1.

(1.13)

Первые три неравенства удовлетворяются в полуполосе, выделяющей на плоскости (x,y) множество D.

§ 2. Степенно-логарифмические разложения решений

1.1. Разложения, найденные ранее. В препринтах [1-5] и статьях [6-9] для системы (1.8) с интегралами (1.11) было найдено 22 семейства F₁-F₂₂ степенно-логарифмических разложений решений вида

s = s0pa+ е sspa+s,    t = t0pb+ е tspb+s,    s О K,

(2.1)

где коэффициенты s₀, t₀ и показатели a,b,s ∈ C, а коэффициенты s_s и t_s либо постоянны, либо являются многочленами от lnp. Здесь используется та же нумерация семейств, что и в [7,9], но они обозначаются буквой F вместо H.

2.2. Анализ вырожденных случаев основной системы. Теперь мы хотим найти все разложения решений вида (2.1), т.е. со степенной асимптотикой

s = s0pa,    t = t0pb;,    s0,t0=const ∈ C.

(2.2)

Для этого будем использовать результаты из [1-9]. В § 3 [1] и § 1′ [2] в случае общего положения были вычислены носители S(f_i), многогранники G(f_i), их грани G_ij^(d) и нормальные конусы U_ij^(d) этих граней. Теперь посмотрим, при каких значениях параметров многогранники G(f_i) вырождаются, т.е. у них отсутствует та или иная вершина.

В случае общего положения носители S(f₁)=S(f₂) состоят из пяти точек Q₁,…,Q₅ (3.12) [1], каждая из которых является вершиной многогранника G(f₁)=G(f₂). Каждой из этих вершин Q_j соответствует укорочение [^(f)]_ij⁽⁰⁾ дифференциальной суммы f_i, которое является ее первым приближением при P=w(a,b,1) ∈ U_j⁽⁰⁾, где U_j⁽⁰⁾ - нормальный конус вершины Q_j. Пересечения ^∨ U_j±⁽⁰⁾ нормальных конусов U_j⁽⁰⁾ с плоскостями p₃=-1 и p₃=1 соответственно показаны на рис. 3.2 и 3.3 [1]. Поскольку укорочение [^(f)]⁽⁰⁾₁₃[(   def) || ( = )]  a₂s алгебраично и согласно (1.12) a₂ ≠ 0 при выполнении неравенств (1.14), то согласно теореме 2.2.3 [1] нормальный конус U₃⁽⁰⁾ не дает решений вида (2.1) с w(a,b,1) ∈ U₃⁽⁰⁾ при всех допустимых значениях параметров. Аналогично [^(f)]⁽⁰⁾₂₄=b₄t и b₄=a₂ ≠ 0 при всех допустимых значениях параметров. Поэтому нормальный конус U₄⁽⁰⁾ можно не рассматривать. Нормальный конус U₅⁽⁰⁾ является также нормальным конусом вершины Q₁₀ многогранника G(f₃) и вершины Q₁₈ многогранника G(f₄). Этим вершинам соответствуют алгебраические укорочения [^(f)]⁽⁰⁾_3,10=c₅p³ и f_4,18=d₁₃p⁴. Согласно (1.12) коэффициенты c₅ и d₁₃ отличны от нуля при всех допустимых значениях параметров. По теореме 2.2.3 [1] конус U₅⁽⁰⁾ можно не рассматривать. Остаются только два нормальных конуса вершин: U₁⁽⁰⁾ и U₂⁽⁰⁾, которые и рассмотрим ниже. Напомним, что решения, соответствующие ребрам и граням при l ≠ 0, были рассмотрены в [2-9]. Если l =0 , то носитель S(f₃) отличается от носителей S(f₁)=S(f₀) только сдвигом на вектор (0,0,1). Поэтому нормальные конусы их граней совпадают. Если d₂ ≠ 0, т.е. z ≠ ±2, то многогранник G(f₄) имеет алгебраическую вершину Q₂, нормальный конус которой U₄₃⁽⁰⁾ не дает решений (рис. 3.8 [1]). Пересечение U₄₃⁽⁰⁾∩U₁⁽⁰⁾ дает теперь новое решение с a =b =2/3, которое рассмотрено п. 15.4 [4] (семейство F₄). Согласно п. 5.1 [1] других решений в U₁⁽⁰⁾ нет. Поэтому другие части границы конуса U₄₃⁽⁰⁾, которые лежат в конусе U₁⁽⁰⁾, можно не рассматривать.

На границе множества ^∨ U_1-⁽⁰⁾ имеется теперь еще отрезок p₁ ∈ [0,1], p₂=-2, p₃=-1 и точка p₁=0, p₂=-2, p₃=-1. Этому отрезку соответствует увеличение области существования показателя a для семейства F₇ с a < -1 до a < 0. Кроме того, при l =0 семейство F₇ определено во всем множестве D [7, раздел 3]. Точке (0,-2,-1) соответствует укороченная система

^ f   (2) 11       def =     s"t+s′t′/2+a1+a2s =0,   ^ f   (2) 21       def =     st"+s′t′/2+b1+b2ps′+b3s =0,   ^ f   (2) 31       def =     s′t-st′+c2p+c3ps =0,   ^ f   (2) 41       def =     d1(s′)2t+d2+d3s+d5s2=0.

(2.3)

Ищем ее решение в виде

s=s0=const,     t = t0p2.

(2.4)

Получаем уравнения

a1+a2s0=0, 2s0t0+b1+b3s0=0, -s0t0+c2+c3s0=0, d2+d3s0+d5s02=0.

(2.5)

Согласно (1.12) из первого уравнения получаем s₀=-a₁/a₂=z(y-1)/(xy). Подставляя это выражение в последнее уравнение (2.5), получаем

(z2-4)(y-1) x -  2z2(y-1) x +  z2(y-1) x = -  4(y-1) x ≠ 0.

Следовательно, система (2.5) не имеет решения в множестве D.

Если z=±2, то у многогранника G(f₄) вместо вершины Q₂=0 появляется грань G₄₆⁽²⁾ с нормальным вектором P=-(1,1,1). Луч, натянутый на этот вектор, пересекает плоскость p₃=-1 в точке (-1,-1), которая лежит в середине отрезка, соединяющего точки (-2,0) и (0,-2) (см. рис. 1′.1 [2]). Этот отрезок является границей между ^∨ U₁⁽⁰⁾ и ^∨U₂⁽⁰⁾. На этом отрезке получаем три точки (-2,0), (-1,-1) и (0,-2) и два интервала p₁ ∈ (-2,-1) и p₁ ∈ (-1,0). Если учесть симметрию, то для исследования остаются две точки (-1,-1), (0,-2) и один интервал p ∈ (-1,0).

Точке p₁=p₂=p₃=-1 соответствует укороченная система

^ f   1       def =     s"t+s′t′/2+a1=0,   ^ f   2       def =     st"+s′t′/2+b1=0,   ^ f   3       def =     s′t-st′+c1p=0,   ^ f   4       def =     d1(s′)2t+s(t′)2+d3s+d4t+d10p2=0.

(2.6)

Ищем ее решение в виде

s=s0p,     t = t0p.

Из первых двух уравнений получаем s₀t₀/2=-a₁=-b₁, т.е. согласно (1.12) z/y=z. Но y ≠ 1 в множестве D. Поэтому система (2.6) не имеет решений.

Точке p₁=0, p₂-2, p₃=-1 соответствует укороченная система (2.3) при z²=4. Так же, как раньше, убеждаемся, что и в этом случае система (2.5) не имеет решений в множестве D.

Отрезку p₁+p₂=-2, p₁ ∈ (-1,0), P₃=-1 соответствует семейство решений, которое рассмотрим в следующем параграфе.

2.3. Анализ вырожденных случаев системы (7.2.6) [3]. Зануление коэффициентов этой системы в множестве D может происходить только при z=0 или l =0 или x = 0. Но по условию (1.5) x ≠ 0. При z=0 у многогранника первого уравнения отсутствует алгебраическя вершина G₅₃⁽⁰⁾ и область ее нормального конуса U₅₃⁽⁰⁾ может давать решения. Но этот конус всегда содержится в нормальном конусе U₈₃⁽⁰⁾ алгебраической вершины G₈₃⁽⁰⁾ четвертого уравнения, соответствующей укорочению

^ h   (0) 4       def =     -4(y-1)x2/y,

которое всегда отлично от нуля. Итак, остается только один вариант l =0. В этом случае носитель S(h₃) состоит только из одной точки и не накладывает никаких ограничений на показатели степеней. Поэтому допустимые значения p₁ и p₂ лежат в треугольнике

p1 ≤ p2 < 2,    p1+2p2 ≥ 2.

Там при l =0 имеется дополнительное семейство решений с p₁+2p₂=2, которое описано в конце раздела 4 [7] и названо там H₁₇. (Здесь будем его обозначать как F₁₇).

§ 3. Решения, соответствующие ребру G₁⁽¹⁾

В случае, характеризуемом условиями l = 0 и z² = 4x², найдем решения, соответствующие ребру G₁⁽¹⁾={Q₁, Q₂} многогранника G₁. Эти же решения будут соответствовать ребру {Q₁, Q₂} многогранника G₂, ребру {Q₆, Q₇} многогранника G₃ и ребру {Q₁₁, Q₃} многогранника G₄.

Укороченная система уравнений (1.8) и интегралов (1.11) имеет вид

^ f   1  = ЧЧ s   t+ Ч s   Ч t   /2+a1=0,      ^ f   2  = ЧЧ t   s+ Ч s   Ч t   /2+b1=0,

(3.1)

^ f   3  = Ч s   t-s Ч t   +c2p=0,      ^ f   4  =d1( Ч s   )2t+d3s = 0.

(3.2)

Ищем решение уравнений (3.1),(3.2) в виде

s = s0 pa,     t = t0p2-a,

(3.3)

где a ∈ (0,1). Подстановкой (3.3) в (3.1),(3.2) получим систему алгебраических уравнений для нахождения величин s₀, t₀, a:

ya2s0t0-4x = 0,     (a-2)2s0t0 -4x = 0,

(a-1)ys0t0+(y-1)x = 0,     (a-2)2s0t0-4x = 0.

Из нее находим соотношения

y =  (a-2)2 a2 ,     s0t0 =  4x (a-2)2 .

(3.4)

С помощью укороченного решения (3.3) получим матрицу линейных операторов (4.2.8) [2]

L(p)= ж з з з з з з з и t0p2-ad2/dp2+ a(a-1)s0pa-2+ +(t0/2)(2-a)p1-ad/dp; +a(s0/2)pa-1d/dp; (2-a)(1-a)t0p-a+ s0pad2/dp2+ +(t0/2)(2-a)p1-ad/dp; +a(s0/2)pa-1d/dp; t0p2-ad/dp-(2-a)t0p1-a; as0pa-1-s0pad/dp; 2ay2s0t0 p d/dp-4yx; y2a2s02p2(a-1); ц ч ч ч ч ч ч ч ш .

Характеристическая матрица имеет следующий вид:

~ N   (s)= ж з з з з з и (s+a)(s+a/2)t0 a(s+a)s0/2 (2-a)(s/2-a/2+1)t0 (s-a+2)(s-a/2+1)s0 (s+2a-2)t0 -(s-2a+2)s0 2ay2(s+a)s0t0-4yx y2a2s02 ц ч ч ч ч ч ш ,

ее миноры равны

m13 = m23=s0t0s(a+s)(a-2-s),   m12=-(s+1)m13,   m14=0,

m34=2a-3s02t0(a-2)4s(s-a+2),   m24=-(s+1)m34.

Все корни s_i миноров m_k,l(s) лежат вне допустимой области, определяемой уcловием s > 0 для w = -1. Таким образом, в рассматриваемом случае уравнения Н. Ковалевского допускают зависящее от  x, a  семейство решений со степенными разложениями вида

s = s0 pa+ е s  sspa+s,     t = t0 p2-a+ е s  tsp2-a+s,

(3.5)

где s₀- произвольная постоянная. Это семейство назовем F₂₃. Оно существует при любых x и при y > 1/4 в множестве D.

Пример 1. Пусть x = 1, a = 1/2, тогда y=9. Первые коэффициенты степенных рядов

s = s0p1/2+s1p+s2p3/2+s3p2+s4p5/2+s5p3+s6p7/2+... ,

t = t0p3/2+t1p2+t2p5/2+t3p3+t4p7/2+t5p4+t6p9/2+...

имеют следующий вид:

t0=  16 9s0 ,   t1=-  27 2 +  13x 16 ,   s1=-  9 256 s02(7x-72),

t2=-  27 8192 (7x-72)(x-24)s0,

s2=  81 655360 s03(7x-72)(83x-1224),

t3=  81 5242880 (7x-72)(47x2-1808x+17856)s02+  (3x-8) 81s02 ,

s3=-  729 20971520 (7x-72)(99x2-3032x+23040)s04-  17 144  x+  1 6 ,

t4=-  2187 375809638400 (7x-72)(34487x3-1894424x2+34816320x-

-214368768)s03-  43 x2+11088 x-15936 53760s0 ,

s4=  6561 6012954214400 (7x-72)(1157447x3-54252184x2+842829120x-

-4338344448)s05+  1 286720 (62784+1153x2-16912 x)s0 .

Пример 2. Пусть a = 1/3,  y=25. Первые коэффициенты степенных рядов

s = s0p1/3+s1p2/3+s2p+s3p4/3+s4p5/3+s5p2+s6p7/3+s7p8/3+s8p3 +... ,

t = t0p5/3+t1p2+t2p7/3+t3p8/3+t4p3+t5p10/3+t6p11/3+t7p4+t8p13/3 +...

имеют вид:

t0=  36 25s0 ,   t1=-  75 2 +  27 32 x,   s1=-  25 1152 s02(13x-400),

t2=-  625 258048 s0(13x-400)(x-64),

s2=  625 3096576 s03(13x-400)(39x-1600),

t3=  3125 222953472 s02(13x-400)(52x2-5405x+142000),

s3=-  78125 16052649984 s04(13x-400)(689x2-58150x+1220000),

t4=-  78125 399532621824 s03(13x-400)(x-50)(1391x2-

-136360x+3344000),

s4=  390625 258897138941952 s05(13x-400)(1044121x3-134168700x2+

+5721780000x-80968000000),

t5=  390625 4142354223071232 (13x-400)(1218061x4-234410260x3+

+16891886400x2-540117760000x+6464512000000)s04+  63x 5000s02 -  18 625s02 ,

s5=-  9765625 3682092642729984 (13x-400)(297531x4-51439720x3

+3323220800x2-95070720000x+1016064000000)s06-  33x 800 +  3 50 .

Пример 3. Пусть a = 2/3, y=4. Первые коэффициенты степенных рядов

s = s0p2/3+s1p4/3+s2p2+s3p8/3+s4p10/3+s5p4+... ,

t = t0p4/3+t1p2+t2p8/3+t3p10/3+t4p4+t5p14/3+...

имеют вид:

t0=  9 4s0 ,   t1=  3x 4 -6,   s1=-  2 9 (x-4)s02,

t2=-  1 1152s02 (x-4)(20s03x-224s03-81),

s2=  1 216 (x-4)(11x-72)s03+  3 8 -  9x 32 ,

t3=  1 77760s0 (32064s03x-69632 s03+206s03x3-

-4488s03x2-1053x2+23976-12717x),

s3=-  1 349920 s0(x-4)(4516s03x2-62624s03x-4293x+214528s03+14256).

В интегрируемом случае Горячева-Чаплыгина  (x=y=4)  эти коэффициенты таковы:

t0=  9 4s0 ,  t1=-3,  s2=-  3 4 ,  t3=-  9 16s0 ,  t5=-  27 128s02 ,  t7=-  405 4096s03 ,

s1=s3=s4=s5=s6=s7=...=0,   t2=t4=t6=t8=...=0.

Замечание 3.1. Семейству F₂₃, т.е. степенным разложениям (3.5) с p→ 0 решений уравнений Н. Ковалевского не соответствуют степенные разложения уравнений Эйлера-Пуассона, поскольку согласно (1.10)

t= у х й к л  1 Ц   s0t0   p +… щ ъ ы  dp+const,

т.е.

t=  1 Ц s0t0   lnp+ …

Поэтому в замечании 1 [9] было сказано, что среди семейств F₁-F₂₂ содержатся все семейства степенных разложений решений уравнений Н. Ковалевского, которым соответствуют степенные разложения решений уравнений Эйлера-Пуассона.

Согласно п. 8.4 [3] семейство, симметричное F₂₃, обозначим F₂₄=[`(F₂₃)].

Итак, доказана

Теорема 3.1. Система уравнений Н. Ковалевского (1.8) с интегралами (1.11) имеет только 24 семейства F₁-F₂₄ степенно-логарифмических разложений (2.1) ее решений.

Литература

1.     Брюно А.Д., Лунев В.В. Модифицированная система уравнений движения твердого тела. Препринт N 49. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2001. 36 с.

2.     Брюно А.Д., Лунев В.В. Локальные разложения модифицированных движений твердого тела. Препринт N 73. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2001. 39 с.

3.     Брюно А.Д., Лунев В.В. Асимптотические разложения модифицированных движений твердого тела. Препринт N 90. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2001. 34 с.

4.     Брюно А.Д., Лунев В.В. Свойства разложений модифицированных движений твердого тела. Препринт N 23. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2002. 44 с.

5.     Брюно А.Д. Разложения решений системы ОДУ. Препринт N 59. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 17 с.

6.     Брюно А.Д., Лунев В.В. О вычислении степенных разложений модифицированных движений твердого тела // ДАН, 2002, т. 386, N 1, с. 11-17.

7.     Брюно А.Д., Лунев В.В. Семейства степенных разложений модифицированных движений твердого тела // ДАН, 2002, т. 387, N 3, с. 297-303.

8.     Брюно А.Д. Степенные свойства движений твердого тела // ДАН, 2002, т. 387, N 6, с. 727-732.

9.     Брюно А.Д. Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии // Механика твердого тела (Донецк), 2002, вып. 32, с. 3-15.

 

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 29 Sep 2005, 17:04.