Нормальные формы и интегрируемость уравнений Эйлера-Пуассона
|
| (1.1) |
X=(x1,…,xn), с полиномиальными правыми
частями jj(X), которые интегрируемы лишь в части фазового
пространства и неинтегрируемы в другой его части. Конечно, в некоторой
окрестности любой нестационарной точки X0, где F(X0) ≠ 0, F[(
def) || ( = )] (j1,…,jn), согласно теореме
Коши система (1.1) интегрируема. Поэтому вопрос об интегрируемости интересен
для множеств, содержащих особенности типа неподвижной точки или периодического
решения, или хотя бы примыкающим к особенности.
Пример1.1. Система (28) из [5] при b=1/2, c=-1 имеет вид
| (1.2) |
Согласно (32) [5] она имеет
первый интеграл
| (1.3) |
где c - произвольная
постоянная. Система (1.2) имеет 2 неподвижные точки
|
(1.4) |
и инвариантную прямую
|
(1.5) |
В точке S1
она имеет центр, а в точке S2 - фокус. Рис. 1 показывает
расположение интегральных кривых системы (1.2) на плоскости (x,y).
Система (1.2) интегрируема в окрестности неподвжной точки S1
и в полуплоскости x ≥
-1/2. Но она неинтегрируема в
окрестности точки S2 и в полуплоскости x < -1/2. В точке S2 интеграл (1.3) имеет
существенную особенность.
Поэтому задачу об
интегрируемости можно поставить так: в окрестностях каких особенностей
система (1.1) интегрируема, а в окрестности каких ее особенностей она
неинтегрируема. Такие интегрируемость и неинтегрируемость будем
называть локальными. С малой окрестности особенности такое свойство
системы (1.1) распространяется на некоторую максимальную ее окрестность.
§ 2. Нормальная форма
Наиболее просто локальную
интегрируемость (или неинтегрируемость) системы (1.1) вблизи особенности можно
установить по ее нормальной форме [4, гл. III; 3, гл. V, § 6].
Это справедливо для таких особенностей, как неподвижная точка, периодическое
решение, инвариантный тор и аналогичных особенностей в бесконечности. Здесь
напомним лишь нормальную форму системы (1.1) в окрестности ее неподвижной точки
X0=0, где F(0)=0.
Тогда система (1.1) имеет вид
| (2.1) |
где векторный многочлен [(F)\tilde](X) не содержит свободных и линейных
членов. Пусть линейная замена
|
(2.2) |
приводит матрицу A к
жордановой форме J=B-1AB, а всю систему (2.1) - к виду
| (2.3) |
Пусть формальная замена
координат
|
(2.4) |
где X = (x1,…,xn) и xi(Z)
суть формальные степенные ряды без свободных и линейных членов, переводит систему
(2.3) в систему
| (2.5) |
где Y(Z) - векторный степенной ряд без свободных и
линейных членов. Запишем ее в виде
| (2.6) |
где Q=(q1,…,qn), YQ=y1q1…ynqn и Nj={Q: Q
∈ Zn, Q+Ej
≥ 0}, j=1,…,n, а Ej - j-й
единичный вектор. Положим
| (2.7) |
Поскольку J -
жорданова матрица, то ее диагональ L =(l1,…,ln)
сосотоит из собственных чисел матрицы A.
Система (2.5), (2.6)
называется резонансной нормальной формой, если:
а) матрица J -
жорданова;
б) в записи (2.6) имеются
только резонансные члены gjQZQ, для которых
скалярное произведение
| (2.8) |
Теорема о нормальной форме [4, гл. III]. Существует формальная замена
(2.4), приводящая систему (2.3) к нормальной форме (2.5), (2.6).
Свойства нормальной формы и
нормализующего преобразования см. там же и в [3, гл. V; 6]. Пусть k
- число линейно независимых решений Q ∈ N уравнения
(2.8), оно называется кратностью резонанса. Интегрирование нормальной
формы (2.6) сводится к решению системы порядка k.
Пример 2.1 (продолжение примера 1.1). В точке S1
для системы (1.2) матрица
| (2.9) |
Ее собственные числа l1=i,
l2=-i. Нормальная форма системы (1.2) имеет вид
| (2.10) |
ибо резонансное уравнение
(2.8) есть
|
и имеет решения Q=(q1,q2)
∈ N только вида: целые q1=q2=l
≥ 0.
Если положить r = z1z2, то из
системы (2.10) выделяется уравнение
| (2.11) |
которое явно интегрируется.
Для системы (1.2) получается, что все
|
т.е. уравнение (2.11) имеет
решение
|
(2.12) |
а для системы (2.10) - это
первый интеграл. В этом случае нормализующее преобразование сходится в
некоторой окрестности точки S1, а r является вещественной величиной для вещественных x
и y вида r = x2+y2+…, т.е. аналогично квадрату радииус-вектора.
Следовательно, система (1.2) в окрестности наподвижной точки S1
имеет первый интеграл (2.12) , т.е. является локально интегрируемой.
В точке S2
положим x=-1+x, тогда матрица
|
Ее собственные числа
|
Уравнение (2.8), т.е.
|
имеет только одно
вещественное решение q1=q2=0.
Следовательно, нормальная форма является линейной системой
| (2.13) |
и ее решения суть
|
(2.14) |
При этом r = z1z2 и j =-i ln(z1/z2)
являются вещественными для вещественных x и y. Они имеют смиысл квадрата радииуса-вектора и полярного
угла. В этих координатах решения (2.14) системы (2.13) имеют вид
|
Следовательно, ее
интегральные кривые суть спирали
|
В этом случае нормализующее
преобразование сходится в некоторой окрестности точки S2.
Следовательно, система (1.2) в некоторой окрестности точки S2
неинтегрируема.
§ 3. Первые иинтегралы нормальной формы
Пусть нормальная форма (2.6)
линейна
| (3.1) |
и ln ≠ 0. Тогда она имеет n-1 первый интеграл
| (3.2) |
где cj -
произвольные постоянные. Пусть a -
комплексное число: Re a ≠
0, Im a ≠ 0. Тогда комплексная
функция za
устроена довольно сложно в окрестности нуля. Поэтому если хоть одно отношение lj/ln
является комплексным числом, то такой случай будем считать неинтегрируемым и в
дальнейшем будем рассматривать только случаи, когда все отношения li/ln, i=1,…,n-1 вещественны. Это означает, что в комплексной плоскости все
собственные числа l1,…,ln
лежат на одной прямой L, проходящей через ноль. Поскольку у нас исходная
система вещественна, то эта прямая является либо вещественной либо мнимой осью.
Будем различать три случая:
1. На прямой L все числа l1,…,ln лежат по одну сторону
от нуля.
2. Несколько чисел li равны нулю, скажем l1=… = ll=0, а остальные числа ll+1,…,ln
лежат по одну сторону от нуля.
3. Числа lj расположены по разные стороны от нуля.
Сформулируем условия на
нормальную форму (2.5) и вектор L, обеспечивающие сходимость нормализующего преобразования в этих
случаях [6].
Условие A. В случае 1 нет ограничений на нормальную форму (2.5);
в случае 2 в нормальной форме (2.5) y1 ≡ …
≡ yl ≡ 0; в случае 3 существует такой степенной ряд a(Z),
что все
|
(3.3) |
В частности, это условие
всегда выполнено для линейной нормальной формы (3.1). Пусть
|
Условие w. Сходится
ряд
|
т.е. эта сумма > -∞.
Очевидно, что в случаях 1 и 2
это условие автоматически выполнено. В случае 3 оно выполнено для почти всех
векторов L =(l1,…,ln).
Теорема 3.1 [6; 4, гл. III]. Если вектор из собственных
чисел L
удовлетворяет условию w
и нормальная форма (2.6) удовлетворяет условию A, то нормализующее
преобразование (2.4) сходится.
Отметим, что в случае 1
нормальная форма полиномиальна. Если собственные числа lj
упорядочены по росту |lj|, то нормальная форма имеет треугольный вид
|
где dj=0,
если lj-1 ≠ lj, а pj
содержит только такие мономы
|
что
|
В этом случае нормализующее
преобразование всегда сходится.
Теорема 3.2 [7]. Если у исходной системы имеется первый
интеграл [(h)\tilde](X)=const в виде ряда по
целым степеням X, то в нормальной форме он также является рядом h(Z)=∑ hQZQ по целым степеням Z,
содержащим только резонансные мономы hQZQ с
б
Q,L
с
= 0.
Отметим, что
неинтегрируемость нормальной формы влечет локальную неинтегрируемость исходной
системы. Но интегрируемость нормальной формы влечет интегрируемость исходной
системы только в случае сходимости нормализующего преобразования, если же оно
расходится, то, как правило, исходная система неинтегрируема.
§ 4. Уравнения Эйлера-Пуассона
Систему шести уравнений
Эйлера-Пуассона [8], описывающую движение тяжелого твердого тела с неподвижной
точкой (волчка), рассмотрим в случае A=B=1, C=c, Mgx0=1,
y0=z0=0:
| (4.1) |
| (4.2) |
Единственный параметр системы
c ∈ (0,2]. Она имеет три
общих первых интеграла
|
(4.3) |
Это интегралы энергии,
момента и геометрический. Как известно [8], система (4.1), (4.2) интегрируема в
квадратурах, если она имеет четвертый (дополнительный) интеграл. Он известен в
двух случаях: при c=1 (случай Лагранжа)
|
(4.4) |
и при c=1/2 (случай
С. Ковалевской)
|
(4.5) |
Теорема 4.1. Система (4.1), (4.2) имеет две пары
двупараметрических (по c и p)семейств неподвижных точек
|
В неподвижных точках семейств
Ss два
собственных числа нулевые l1=l2=0, а остальные разбиты на пары l3=-l4, l5=-l6. В
работах [9,10] в семействе S+ было выделено 2
однопараметричесих (по c) подсемейства S+3±, на которых имеется резонанс l3=2l4. В
окрестностях неподвижных точек этих подсемейств вычислялись нормальные формы
системы (4.1), (4.2) до членов порядка 6, (т.е. с ∑ qi ≤ 6 в (2.6)), а также - интегралы (4.3), (4.4), (4.5) в
нормализованных координатах. Оказалось, что в нормальных формах отсутствуют
члены низких порядков (из-за наличия интегралов (4.3)) и младшими являются
члены порядка 4. Они аннулируются на обоих семействах только при c=0.5 и
c=1. В этих случаях система локально интегрируема в окрестностях
неподвижных точек обоих семейств, ибо она глобально интегрируема. Кроме того,
для 4 значений c члены порядка 4 аннулируются только на одном из двух
подсемейств S+3±. В этих случаях система (4.1), (4.2) локально
интегрируема вблизи одной из двух неподвижных точек и локально неинтегрируема
вблизи другой. При остальных значениях c система неинтегрируема вблизи
обеих точек.
§ 5. Степенное преобразование
Обозначим lnX=(lnx1,…,lnxn). В гл. III книги [3] описывается,
как изменяется система (1.1) при степенном преобразовании
|
(5.1) |
где a - неособая матрица размера n×n.
Пусть при замене (5.1) система (1.1) переходит в систему
|
В этой системе правая часть
каждого уравнени является конечной суммой мономов. Для сохранения
целочисленности показателей степени в этих мономах надо использовать
преобразование (5.1) с унимодулярной матрицей a, т.е. все ее элементы целые и det a =±1.
Пусть система (1.1) имеет
степенную асимптотику решений
|
(5.2) |
В гл. III книги [3]
показано, как с помощью степенного преобразования (5.1) и степенной замены
времени dt=UR dt перевести эту асимптотику в неподвижную точку.
Окрестность неподвижной точки можно исследовать с помощью нормальной формы, в
том числе - и на интегрируемость. Для исходной системы это даст ее анализ в
окрестности кривой (5.2).
Пример 5.1 (продолжение примеров 1.1 и 2.1). Система (1.2) имеет
инвариантную прямую x=-0.5.
Изучим поведение решений системы вблизи этой прямой при y→∞. Сделаем степенное преобразование и замену времени
|
(5.3) |
Тогда система (1.2) перейдет
в систему
|
(5.4) |
У этой системы неподвижная точка
имеется при x=-1/2, u=0.
Положим x=-1/2+v,
тогда неподвижная точка есть v=u=0. Для нее матрица
|
диагональна; ее собственные
числа суть 2 и -1, т.е. L =(2,-1).
Нормальная форма (2.6) имеет вид
| (5.5) |
ибо уравнение (2.8) для Q=(q1,q2)
∈ N имеет решения Q=l(1,2), целое l ≥ 0. Однако для системы (5.4) в ее нормальной форме
(5.5) все коэффициенты gjl=0 и ее нормальная форма линейна
|
Она имеет первый интеграл
|
По теореме 2.2 нормализующее
преобразование сходится. Следовательно, система (5.4) интегрируема в
окрестности неподвижной точки, а система (1.2) - в окрестности прямой x=-0.5 при больших |y|.
В [1,2,11] описано 22
семейства F1-F22
степенных асимптотик решений уравнений Эйлера-Пуассона в случае B ≠ C, x0 ≠ 0, y0=z0=0. Из
них 15 имеются при A=B, т.е. для системы (4.1), (4.2) с c ≠ 1. Мы хотим исследовать окрестности асимптотик
семейства F10. Для
этого делаем степенное преобразование
|
(5.5′) |
с матрицей
| (5.6) |
и замену времени dt=x6 dt. Тогда система (4.1), (4.2) принимает вид
| (5.7) |
При этом первые интегралы
(4.3)-(4.5) принимают вид
|
(5.8) |
Теорема 5.1. При x5=x6=0 система (5.7)
имеет три семейства неподвижных точек, у которых одинаковы x1=c/2, x2=i c/2:
|
(5.9) |
Семейства A и B
при c ∈
(1/2,1) соответствуют двум ветвям семейства F10,
которые соединяются при c=3/4. Семейство A при c ∈ (0,1/2) и семейство B при c ∈ (1,2) соответствуют семейству F8.
Семейство C соответствует семейству F6.
Согласно [1,2,11] этим
семействам соответствуют такие степенные асимптотики решений системы (4.1),
(4.2) при t→ 0:
|
(5.10) |
где bj -
некоторые комплексные постоянные. Матрица линейной части системы вблизи этих
неподвижных точек имеет блочный вид
| (5.11) |
где D,E,F,G
матрицы размера 2×2:
| (5.12) |
у матрицы F элементы
разные на разных семействах и все отличны от нуля. Следовательно, для всех
семейств
|
(5.13) |
Рассмотрим семейства A,
B и C по отдельности.
§ 6. Семейство A
Семейство A нас
интересует при c ∈
(0,1), c ≠ 1/2.
Для этого семейства в (5.12) e12=-i (2c-3)/(2c), а матрица
| (6.1) |
Ее собственные числа l3=-(i/2) (2c+1), l4=-(i/2) (4c-3). Кроме того, согласно (5.7) и (5.9) l5=i (c-1). Итак, доказана
Лемме 6.1. Вектор собственных чисел неподвижных точек
семейства A есть
|
(6.2) |
При c ≠ 1/2 все элементарные делители матрицы A из
(5.11) простые, поэтому ее жорданова форма диагональна с диагональю (6.2).
Преобразование, включающее параллельный перенос начала координат в неподвижную
точку и линейную замену, имеет вид
|
(6.3) |
где m - произвольное число, отличное от нуля, а x10,…,x40 - значения из (5.9).
Система (5.7) принимает вид
|
(6.4) |
Интегралы (5.8) принимают вид
|
(6.5) |
где a,b,g - некоторые рациональные функции от c, [(Y)\tilde][(
def) || ( = )] (y1,y2,y3,y4),
hi([(Y)\tilde]) - многочлены от [(Y)\tilde],
причем h2([(Y)\tilde]) и h4([(Y)\tilde])
- без свободных и линейных членов.
Здесь нормализующее
преобразование имеет вид
|
(6.6) |
где [([(Z)\tilde])\tilde]=(z1,z2,z3,z4,z52)
и xj, xk - степенные ряды по
[([(Z)\tilde])\tilde] без свободных членов, а xj - и
без линейных. Оно переводит систему (6.4) в нормальную форму
|
(6.7) |
а интегралы (6.5) принимают
вид
|
(6.8) |
где gj -
степенные ряды без свободных и линейных членов и интегралы содержат лишь
резонансные члены.
Теперь заметим, что вектор L из (6.2) при c ∈ (3/4,1) относится к случаю 1 из § 3, при c=3/4
- к случаю 2, а при c ∈
(0,3/4) - к случаю 3. Поэтому для c ∈ (3/4,1) нормализующее преобразование всегда сходится,
а нормальная форма является полиномиальной. В § 6 препринта [12] показано,
что у семейства F10 имеются
опасные значения
|
(6.9) |
на ветви, соответствующей
семейству A. При этих значениях c не выполнены условия
совместности (разрешимости) и нельзя решения разложить в ряд по степеням
независимой переменной (в этих разложениях возникают логарифмы). При всех
других значениях c ∈
(0,1) условия совместности выполнены. Заметим, что все опасные значения (6.9)
лежат в интервале c ∈
(3/4,1).
Теорема 6.1. Если c ∈ (3/4,1) и отлично от опасных значений (6.9), то для
семейства A нормальная форма линейна.
Согласно (6.2) линейная
нормальная форма (6.7) имеет первый интеграл
|
(6.10) |
ибо l4+2l5-l6=0. Он
функционально независим с интегралами I1, I2,
I3 из (6.8) и является дополнительным. В исходных координатах
p,q,r,g1,g2,g3 интеграл [(I)\tilde] будет дополнительным
аналитическим первым интегралом в окрестности соответствующей степенной
асимптотики (5.10). Следовательно, в этой окрестности система (4.1), (4.2)
локально интегрируема.
При опасных значениях (6.9)
нормальная форма нелинейна, но линейны два ее последних уравнения, ибо в них yj
содержат лишь мономы [([(Z)\tilde])\tilde][(Q)\tilde],
где целочисленные [(Q)\tilde] =(q1,…,q5) ≥ 0, q1+…+q5 > 0 и q1l1+…+q4l4+2q5l5=0. Но
поскольку все lj/i < 0, то это уравнение не имеет
неотрицательных решений. При значениях (6.9) l5=-i/(4k+4).
Следовательно, нормальная форма (6.7) имеет первый интеграл
|
(6.11) |
Он функционально независим с
интегралами I1, I2, I3 в
(6.8) и является дополнительным. Следовательно, система (4.1), (4.2) локально
интегрируема иблизи соответствующей степенной асимптотики (5.10) также в
случаях (6.9).
Пусть теперь c ∈ (0,3/4), c ≠ 1/2. Если c - иррациональное число, то
согласно (6.2) уравнение бQ,Lс
= 0 для целочисленных Q эквивалентно системе двух уравнений
|
Из второго уравнения получаем
равенство
|
(6.12) |
Подставляя его в первое
уравнение, получаем уравнение
|
В неотрицательных qi
это уравнение имеет только тривиальное решение
|
Согласно (6.12) тогда q5=0.
Следовательно, в нормальной форме (6.7) последние три уравнения линейны. Но
тогда нормальная форма (6.7) имеет первый интеграл (6.10). Если иррациональное c
таково, что выполнено условие w из
§ 3, то по теореме 3.1 нормализующее преобразование сходится и система
(4.1), (4.2) вблизи соответствующей степенной асмптотики (5.10) имеет
дополнительный аналитический первый интеграл, т.е. локально интегрируема. Итак,
доказана
Теорема 6.2. Вблизи степенной асмптотики (5.10),
соответствующей семейству A, система (4.1), (4.2) локально интегрируема,
если c ∈
(3/4,1) или если иррациональное c ∈ (0,3/4) таково, что выполнено условие w.
В.Ф. Еднерал в системе
MATHEMATICA создал программу для вычсления нормальной формы [13]. С помощью
этой программы он вычислил нормальные формы (2.6) вблизи семейства A для
нескольких рациональных значений c ∈ (0,3/4) до членов больших порядков ∑ qi ≥ 6. Всегда вычисленная нормальная форма получалась
линейной. Следовательно, можно предположить, что вблизи семейства A
система (4.1), (4.2) всегда локально интегрируема для c ∈ (0,3/4).
При c=3/4 семейства A
и B совпадают. Согласно (6.2)
|
Нормальная форма была
вычислена до 10 порядка. Она нелинейна и не удовлетворяет условию A. Это
согласуется с [1], где показано, что при c=3/4 уравнения
Н. Ковалевского имеют нестепенную асимптотику решений с двупараметрическим
логарифмом. Повидимому при c=3/4 вблизи неподвижной точки семейств A∩B система
локально неинтегрируема.
§ 7. Семейство B
Оно интересно при c ∈ (1/2,2]. На нем вектор собственных чисел
|
(7.1) |
Если c ∈ (1/2,3/4), то L относится к случаю 1 из § 3, а для c ∈ (3/4,2] - к случаю 3. Здесь можно доказать такой
аналог теоремы 6.2.
Теорема 7.1. Вблизи степенной асмптотики (5.10),
соответствующей семейству B, система (4.1), (4.2) локально интегрируема,
если c ∈
(1/2,3/4) или если иррациональное c ∈ (3/4,2) таково, что L из (7.1) удовлетворяет условию w.
Были вычислены нормальные
формы для нескольких рациональных значений c. Для c ≠ 1 все они оказались линейными.
Для c=1
|
согласно (7.1), а вычисленная
нормальная форма удовлетворяет условию A, где a - ряд по
положительным степеням z32z52.
Итак, вблизи асимптотик
(5.10), соответствующих семейству B, система (4.1), (4.2), повидимому,
локально интегрируема.
§ 8. Семейство C
Оно интересно при c ∈ (0,2]. На нем
|
(8.1) |
и всегда относится к случаю 3
из § 3. Для него нет опасных значений и аналога теорем 6.2 и 7.1.
Были вычислены нормальные
формы для нескольких рациональных значений c. Для c ≠ 1 все они оказались линейными. По теореме 3.1 в этих
случаях нормализующее преобразование сходится. Линейная нормальная форма имеет
пять первых интегралов вида (3.2).
Таким образом, в окрестностях
степенных асимптотик (5.10), соответствующих семейству C, система (4.1),
(4.2) локально интегрируема. При c=1
|
согласно (8.1), а вычисленная
нормальная форма удовлетворяет условию A, где a - ряд от z1z4
и z32z52.
Заключение
Получается, что система
Эйлера-Пуассона локально неинтегрируема вблизи ее стационарных решений и локально
интегрируема вблизи степенных асимптотик ее решений. Все рассмотренные решения
и асимптотики комплексные. Однако, локальная интегрируемость и
неинтегрируемость могут распространяться на большие области в комплексном
фазовом пространстве, содержащие куски вещественного пространства. На
рис. 2 и 3 показаны отображения Пуанкаре, вычисленные И.Н. Гашененко
для вещественных решений уравнений Эйлера-Пуассона. Видно четкое разделение на
зоны интегрируемости и неинтегрируемости.
Автор благодарит
В.Ф. Еднерала за вычисление нормальных форм и И.Н. Гашененко за
рис. 2, 3.
Литература
1. Брюно А.Д. Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами
степенной геометрии // Механика твердого тела (Донецк), 2002, вып. 32,
с. 3-15.
2. Брюно А.Д., Лунев В.В. Семейства степенных разложений
модифицированных движений твердого тела // ДАН, 2002, т. 387, N 3,
с. 287-303.
3. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и
дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. 288 с.
4. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных
уравнений. М.: Наука, 1979. 256 с.
5. Лункевич В.А., Сибирский К.С. Интегралы общей
квадратичной дифференциальной системы в случаях центра // Дифференциальные
уравнения, 1982, т. 18, N 5, с. 786-792.
6. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных
уравнений // Труды Московского матем. общества, 1971, т. 25,
с. 119-262.
7. Брюно А.Д., Садов С.Ю. Формальный интеграл
бездивергентной системы // Математические заметки, 1995, т. 57, N 6, с.
803-813.
8. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений
движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953.
287 с.
9. Bruno A.D. and Edneral V.F. Normal forms and
integrability of ODE systems // Proceedings of CASC 2005. (V.G. Ganzha,
E.W. Mayr, and E.V. Vorozhtsov Eds.), LNCS 3718, Springer-Verlag,
Berlin, Heidelberg, 2005, p. 65-74.
10. Брюно А.Д., Еднерал В.Ф. Нормальная форма и
интегрируемость систем ОДУ // Программирование, 2006, т. 32, N 2.
11. Брюно А.Д. Степенные свойства движений твердого тела
// ДАН, 2002, т. 387, N 6, с. 727-732.
12. Брюно А.Д., Лунев В.В. Локальные разложения
модифицированных движений твердого тела. Препринт N 73. М.: ИПМ им. М.В.
Келдыша, 2001. 39 с.
13. Edneral V.F. and Khanin R. Application of the resonant
normal form to high order nonlinear ODEs using MATHEMATICA // Nuclear
Instruments and Methods in Physics Research, A, 2003, v. 502,
no. 2-3, p. 643-645.
File translated from TEX
by TTH, version
3.40.
On 30 Sep 2005, 15:26.