Простые конечные решения уравнений Н.Ковалевского

( Simple Finite Solutions to the N.Kowalewski Equations
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

E-mails: bruno@keldysh.ru, gashenenko@iamm.ac.donetsk.ua

Введение

В изучении уравнений Эйлера-Пуассона, описывающих движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, успехи традиционно связываются с нахождением интегрируемых и неинтегрируемых случаев, а также - частных решений. Новые возможности такого изучения дает степенная геометрия [1]. К настоящему времени она систематически применялась к системе уравнений Н. Ковалевского [2, формула (1.1.6)], к которой сводятся уравнения Эйлера-Пуассона при B ≠ C,    x₀ ≠ 0,    y₀=z₀=0 и о которой пойдет речь далее. Для уравнений Н. Ковалевского известны 2 случая интегрируемости (С. Ковалевской и Чаплыгина) и 8 семейств частных решений (Стеклова, Горячева, Н. Ковалевского, Аппельрота, Горра, Докшевича и Коносевича-Поздняковича). Все известные частные решения являются конечными суммами рациональных степеней переменных трех видов: а) p,        б) p+const,        в)p²+const. Теперь появилась возможность найти все такие решения. А именно, в [2-10] было найдено 22 семейства степенно-логарифмических по p разложений решений системы Н. Ковалевского. Недавно мы нашли еще два таких семейства [11] и доказали, что других нет. Итого, уравнения Н. Ковалевского имеют 24 семейства таких разложений решений. Из них 10 семейств при p→ 0 (хвосты) и 14 семейств при p→∞ (головы). Для поиска конечных разложений решений вида а) мы проверили, какие пары хвост-голова совместимы, т.е. дают конечное разложение, а какие - нет. На этом пути получены почти все частные решения вида а), в том числе - все 7 известных [12-19] и еще 5 новых. Здесь используется та же нумерация семейств разложений решений уравнений Н. Ковалевского, что и в [8,10], только эти семейства обозначаются буквой F вместо H. На самом деле, используются только степенные разложения с рациональными показателями степени. Мы рассматриваем те комплексные решения уравнений Н. Ковалевского, которым соответствуют комплексные решения уравнений Эйлера-Пуассона. Следовательно, параметры (x,y) ∈ D, x = ±1; l,z ∈ C. Под вещественными решениями мы понимаем те решения уравнений Н. Ковалевского, которым отвечают вещественные решения уравнений Эйлера-Пуассона, т.е. l,z ∈ R и (y-1)s,  (y-1)t ≥ 0. Конечное решение считается известным, если оно где-то опубликовано, если оно получается из опубликованного отображением симметрии (8.2.1) [4] или учетом другого корня алгебраического уравнения, определяющего значение специфического параметра. Решение, являющееся границей (порождающего) семейства решений, не считается самостоятельным. Результаты приведены в табл. 2 на с. 30-31. Всего имеется 16 конечных решений R₁-R₁₆. Известные отмечены звездочкой, а симметричные - чертой сверху. Решения R₄, R₆-R₁₄ известны, из них порождающие - это R₄, R₆, R₇, R₁₁, R₁₂, R₁₃, R₁₄, а R₈ ∈ R₁₂; R₉ и R₁₀ ∈ R₁₄. Решения R₁, R₂, R₃, R₅, R₁₅, R₁₆ - новые, но R₃ ∈ R₂ . Основные формулы вывода уравнений Н. Ковалевского, приведенные в [2], повторены в [11]. Особенно громоздкие доказательства отсутствия решений не включены в этот препринт из-за недостатка места. Они будут опубликованы отдельно.

§ 1. Простейшие условия существования

Согласно [2-11] нам известен полный список степенных разложений и он включает только 23 семейства F₁-F₂₁,F₂₃,F₂₄. Последние два семейства соответствуют значениям констант l = 0, z=±2. Тогда мы знаем все семейства с возрастающими степенями  p  ("хвосты") и все семейства с убывающими степенями  p  ("головы"). По этой терминологии семейства F₁-F₈,F₂₃,F₂₄ являются хвостами, а семейства F₉-F₂₁ - головами степенных разложений. Любое конечное разложение по степеням переменной  p  имеет голову и хвост, поэтому условия существования конечных разложений можно найти в результате сопоставления коэффициентов общих членов, принадлежащих одновременно голове (из F₉-F₂₁) и хвосту (из F₁-F₈,F₂₃,F₂₄). Пусть конечное разложение по степеням  p  имеет следующий вид

s = s0pa1+...+snpa2,      t = t0pb1+...+tmpb2,

(1)

где    a₁ ≤ a₂, b₁ ≤ b₂. Сформулируем простейшие условия, при выполнении которых отсутствуют конечные степенные разложения:

Утверждение 1. Если    a₁ > a₂  или  b₁ > b₂, то конечные разложения решений по степеням переменной  p  отсутствуют.

В случае  x=y  конечные разложения, соответствующие семействам F₁₁, F₁₃, F₁₅, F₁₇, имеют вид

s = s0pa1+...+r0p[(a)\tilde]+snp2,     t = t0pb1+...+tmpb2,

(2)

где r₀ ≠ 0, а показатель [(a)\tilde] является функцией b₂. В частности, [(a)\tilde]=b₂=2/3 для семейства F₁₁; [(a)\tilde]=1-b₂ для F₁₃; [(a)\tilde]=b₂/2 для F₁₅; [(a)\tilde]=2-2b₂ для семейства F₁₇. Аналогичные соответствия можно записать и для показателей симметричных семейств F₁₂, F₁₄, F₁₆, F₁₈, так как в случае x=1 конечные разложения имеют вид

s = s0pa1+...+snpa2,     t = t0pb1+...+r0p[(b)\tilde]+tmp2.

(3)

Следствием неравенства r₀ ≠ 0 является

Утверждение 2. Если    a₁ > [(a)\tilde]  при  x=y, либо  b₁ > [(b)\tilde]  при x=1, то конечные разложения решений по степеням переменной  p  отсутствуют.

Утверждение 3. Если шаг Δ₁=t₁/r₁ разложения-хвоста не совпадает с шагом Δ₂=t₂/r₂ разложения-головы и r=maxr_i является знаменателем хотя бы одного из чисел a_1,2,b_1,2,[(a)\tilde],[(b)\tilde], то конечные разложения решений по рациональным степеням  p  отсутствуют.

Кратко результаты настоящей работы показаны в табл. 1 на с. 32. Там новые конечные разложения соответствуют знакам "+", разложения, обобщающие известные действительные решения, отмечены звездочкой " * ", знаком " - " отмечены случаи несуществования конечных разложений решений по рациональным степеням  p, цифрами отмечены номера утверждений, в которых эти случаи проанализированы.

§ 2. Конечные разложения вида  t = t₀p²  или  s = s₀p²

Найдем все конечные степенные разложения, в которых переменная  t  имеет вид  t₀p². Непосредственной подстановкой в уравнения (1.1.6) [2] убеждаемся, что существуют, по крайней мере, три таких решения:

z=0, l ≠ 0, x=y=2, s = (xl/8)p-1+(x/2l)p-p2/2, t = -2p2;

(4)

l = z=0,     y=1+x/2, s = -2x2p-2/[(x+1)(x-1)2]+(1-x)p2/2,  t = -p2/2;

(5)

l = z=0,   x=y=2,  s = -2x2p-2/3-p2/2,  t = -p2/2.

(6)

Конечное разложение (4) принадлежит пересечению F₅∩F₂₀, разложение (5) принадлежит пересечению F₇∩F₁₉, разложение (6) - пересечению F₇∩F₂₀. Возможность существования конечных разложений (4)-(6) отметим в табл. 1 знаком "+" на пересечении соответствующей строки (головы) и столбца (хвоста).

Утверждение 4. Если параметры принадлежат множеству D, то уравнения Н. Ковалевского не допускают конечных разложений, отличных от решений (4)-(6), в которых  t = t₀p².

Доказательство. Подставим  t = t₀p²  в уравнения (1.1.6) [2] и в интегралы (1.1.10) [2]. В результате получим систему

f10    def =      ЧЧ s   t0p2+ Ч s   t0p+a1+a2s+(2a3t0+a4t0+a5)p2=0,

(7)

f20    def =     (b2+t0)p Ч s   +(b3+2t0)s+(b4t0+b5)p2+b1=0,

(8)

f30    def =      Ч s   t0p2+p(c3-2t0)s+(c4t0+c5)p3+c1+c2p=0,

(9)

f40    def =     d1 Ч s   2   t0p2+d6 Ч s   t0p3+d5s2+(4t02+d8t0+2d7t0+d11)sp 2+ +d3s+(t02d9+t0d12+d13)p4+(t0d4+d10)p2+d2=0.

(10)

Только в уравнении (8) может обращаться в нуль коэффициент при старшей производной. Начнем с частных случаев.

a) Пусть t₀=-b₂, 2b₂=b₃. Так как в этом случае уравнение f₂⁰=0 не зависит от s, приравняем нулю коэффициенты, стоящие при p²,p⁰. Находим z=0, x=y=2, t₀=-2. Далее из остальных уравнений (7), (9), (10) получим формулы степенного разложения (4).

б) Пусть t₀=-b₂, 2b₂ ≠ b₃. В этом случае уравнение f₂⁰=0 не зависит от [(s)\dot]. Найдем из этого уравнения

s =  (2-x)(x-1+y)p2 y(2+x-2y) +  z(y-1) y (2+x-2y)

и подставим полученное выражение в (7), (9), (10).Чтобы удовлетворить дифференциальным уравнениям необходимо положить x²-x-2xy+3y=0 и  x²-3x+3=0, но последние два уравнения не имеют решений (x,y) ∈ D .

в) Пусть  t₀  удовлетворяет квадратному уравнению

4(y-1)t02+(8y2-8y+5x-4xy)t0+(y-1)(x-2y)2=0.

(11)

Тогда определитель D(f₂⁰, f₃⁰)/D([(s)\dot], s)=0, из условий совместности уравнений (8), (9) находим тождество

x(t0-x+xy)(t0x-2t0+2t0y+2y2-2y-xy+x)p3+

+zx(y-1)(xy+2y-2y2-2t0y-x+t0)p-

-2lx(y-1)2(x-2y-t0)=0,

коэффициенты которого должны быть нулевыми. Сопоставлением с (11) приходим к следующим вариантам:

x=1, t0=1-y, l = 0;

(12)

x=y/(y-1), t0=-y, l = z=0;

(13)

y=1+x/2, t0=-1/2, l = z=0.

(14)

Для первых двух вариантов уравнения (9), (10) не имеют решений. Третий вариант был выписан ранее в (5). Заметим, что (6) является частным случаем (5), он выписан отдельно, так как разложение F₂₀ отлично от F₁₉.

г) Наконец, рассмотрим невырожденный случай. Исключением s,[(s)\dot],[(s)\ddot] из уравнений (7)-(10) найдем два тождества по p:

2 x(2 t0-t0 x+y-x)(t0-x+y)p3+ +xz(t0-x+y)p+x l(t0y-t0+x)=0,

(15)

x2(2 t0-t0 x+y-x)(xy+t0-x)(t0-x+y)2p6+ +x2z(xy+t0-x)(t0-x+y)2p4+ +2 x l x(t0-x+y)(yt02-t02+4 y2t0+2 t0 x-xy2t0-4 t0 y+ +2 xy-2 xy2-2 y2+2 y3-x2+x2y)p3+ +xy(-2 yxz2-z2t02y+x2x2y+4 yxx2+2 xz2t0 y-4 y2x2- -4 xx2y2-x2x2+8 t0 y2x2+4 x2y3+ +4 x2t02y+2 yt0 z2-z2y3+5 xx2t0-x2z2y+2 xz2y2-4 xx2t0 y- -2 t0 y2z2+y2z2-8 yt0 x2-4 x2t02+z2t02+x2z2-2 xz2t0)p2- -2 x xyl z(y-1)(t0-x+y)p-x2yl2(y-1)(t0 y-t0+x)=0.

(16)

Предположение t₀=x-y приводит (см. коэффициент при p² в (10)) к равенству x=1, но тогда выполняется равенство (11). Теперь предположим, что z=0,  (x-2)t₀+x-y=0. В этом случае коэффициент при p² в (10) обращается в нуль только при условии (11). Таким образом, утверждение 4 доказано.

Симметричные решения имеют следующий вид:

z=0, l ≠ 0, x=1, y=  1 2 ,  s = 2p2, t = -  xlp-1 2 -  xp 2l +  p2 2 ;

(17)

l = z=0,  y=1-  x 2 ,  s =  p2 2 ,  t =  8(2-x)x2p-2 (x+2)(3x-2)2 +    (3x-2)p2 2(2-x) ;

(18)

l = z=0,  x=1,  y=1/2,  s = p2/2,  t = 8x2p-2/3+p2/2.

(19)

§ 3. Конечные разложения из семейства  F₄

Семейство  F₄  существует при l = 0. Если разложение решения по степеням переменной  p  конечно и принадлежит семейству  F₄, то можно без ограничения общности положить

t = t0p2/3+t1p4/3+t2p2,

(20)

где  t₀t₂ ≠ 0. Как следует из 3-го столбца табл. 1, в этом случае    a₁=b₁=2/3 и хотя бы одно из чисел a₂,b₂ равно двум. Кроме того, шаг разложения для  F₄ равен Δ₁=2/3 (при z ≠ 0) или Δ₂=4/3 (при z=0). С учетом симметрии (11.2.1) [5] приходим к формуле (20).

Подставим (20) в уравнения (1.1.6) [2] и в интегралы (1.1.10) [2]. В результате получим систему четырех дифференциальных уравнений:

f10( ЧЧ s   , Ч s   ,s,p)=0,   f20( Ч s   ,s,p)=0,   f30( Ч s   ,s,p)=0,   f40( Ч s   ,s,p)=0.

(21)

При выполнении условия  t₀t₂p ≠ 0  второе и третье уравнения (21) имеют ненулевые коэффициенты при производной  [(s)\dot]. Исключим  [(s)\dot]  из этих двух уравнений, в результате получим выражение:

s 3 е k=0  ~ r   k  p2k/3+ 6 е k=1  rkp2k/3=0,

(22)

~ r   3    = -36 t22+9(c3-b3-2b2)t2+9c3b2,       ~ r   2    = -t1(46t2+12b2+9b3-6c3),       ~ r   1    = (3c3-6b2-9b3-28t2)t0-12t12,    ~ r   0  =-10t0t1,     r6 = 9[(c4-b4)t22+(c5-b5+c4b2)t2+c5b2],     r5 = 3t1[(5c4-6b4)t2+3c4b2+2c5-3b5],     r4 = 3[(3c4b2-3b5+c5+4c4t2-6b4t2)t0-t12(3b4-2c4)],     r3 = 9[ (c2-b1)t2+(c4-2b4)t1t0+c2b2],     r2 = 3(2c2-3b1)t1-3t02(3b4-c4),  r1 = -3t0(3b1-c2).

Все коэффициенты  r_i, [(r)\tilde]_i тождественно равны нулю только при выполнении условий   x=1,   y=1/4,   l = 0,  t₁=0,t₂=3/4. Этим условиям соответствуют два варианта конечных разложений, входящих в интегрируемый случай Горячева-Чаплыгина. В первом случае конечное разложение принадлежит классу  F₄∩F₁₆:

x=1,  y=1/4,  l = 0,   z ≠ 0,  s = s0p2/3+s1p4/3,  t = t0p2/3+t2p2,

(23)

где      t₂=3/4,   9z=2s₁t₀,   s₀ = -8t₀,   64t₀³=27(4x²-z²).

Во втором случае конечное разложение принадлежит  F₄∩F₁₂:

x=1,  y=1/4,   l = 0,  z = 0,  s = s0p2/3,  t = t0p2/3+t2p2,

(24)

где t₂=3/4, s₀=-8t₀, 16t₀³=27x². Аналог теоремы Агостинелли:

Теорема 1. Для рационального a = n/3 > 4 и x₀ ≠ 0 система (1.1.6) [2] не имеет конечных решений следующего вида

s = s0pa+ n-2 е k=1  skp(n-k)/3,      t = t0p2+ 4 е k=1  tkp2-k/3.

(25)

Доказательство. Предположим, что в (22) все коэффициенты [(r)\tilde]_i равны нулю. В этом случае коэффициенты r_i также равны нулю, все конечные решения системы (1.1.6) [2] представлены формулами (23)-(24). Эти решения могут быть записаны в виде (25) с показателем a < 4. Если имеются ненулевые коэффициенты [(r)\tilde]_i, то подстановкой выражения s = s₀p^a+∑_k=1^n-2 s_kp^(n-k)/3 в (22) получим тождество, выполняющееся при любом значении p. Из этого тождества следует, что s имеет степень по переменной  p  не выше четвертой, так как при a > 4 коэффициент s₀ равен нулю. Что и требовалось доказать.

Выражение (22) и аналогичные рассуждения использовал Горр [17].

Найдем все конечные степенные разложения, принадлежащие семейству  F₉∩F₄. Для этого проанализируем разложения из семейства  F₉  с рациональными показателями a₂=n/3 ∈ (2,4). Пусть a₂=8/3. В этом случае, как следует из п. 6.8 [3], разрешенной является только одна точка (x,y)=(1,5/8) ∈ D. Для нее, с учетом равенства l = 0, которое всегда выполняется для  F₄, находим разложение

s = s0p8/3+ ∞ е n=1  snp8/3-2n/3,      t = t0p2+ ∞ е n=1  tnp2-2n/3,

(26)

s0,s1-произвольны,    t0=3/8,   t1=3s1/(16s0), s2=s1(35s1-48)/(80s0),    t2=3s12/(64s02), s3=s12(125s1-264)/(1200s02),    t3=3s12(25s1-144)/(12800s03), s4=3(1125s14-2880s13+4608s12-51200zs03)/(256000s03), t4=s13(25s1+1056)/(102400s04).

Сопоставлением (26) с допустимыми разложениями (15.4.5) [5] из семейства  F₄ находим следующие условия t₂ ≠ 0,s₃ ≠ 0,t₃=s₄=t₄=...=0. Как следует из формул для t₂, t₃, t₄, эти условия не выполняются. Конечных разложений рассматриваемого вида не существует.

Пусть a₂=10/3. Тогда при l = 0 разложение (6.7.6) [3] имеет вид

s = s0p10/3+ ∞ е n=1  snp10/3-2n/3,      t = t0p2+ ∞ е n=1  tnp2-2n/3,

(27)

s0 -произвольно,    t0=-9y/2/(25y-28),    s1=t1=0,     s2 =(7-10y)(625y2-1160y+418)/(18y(25y-28)),     t2 =5(10y-13)(10y-7)2/(4s0(25y-28)2),    s3=t3=0,     s4 =5(10y-13)(3125y3-9000y2+6150y-1463)(10y-7)2/          /(2268y2s0(25y-28)2),     t4 =5(10y-13)(625y2-1205y+544)(10y-7)3/(252s02y(25y-28)3),     s5 =z(25y-4)(25y-28)/(675y2),    t5=z(7-10y)/(30ys0).

Сопоставлением (27) с допустимыми разложениями (15.4.5) [5] из семейства  F₄ получим условия t₂ ≠ 0,s₄ ≠ 0,t₃=t₄=s₅=...=0. Из этих условий находим, что z=0 и, кроме того, y является корнем квадратного уравнения P₂(y)=625y²-1205y+544=0. Далее вычисляем значения параметров

y1 = 241/250-3/250 Ц   409   ≈ 0.72131501900612, x1 = 1268/375-44/375 Ц   409   ≈ 1.00841351917095; y2 = 241/250+3/250 Ц   409   ≈ 1.20668498099388, x2 = 1268/375+44/375 Ц   409   ≈ 5.75425314749571.

Только точка с координатами (x₁,y₁) принадлежит множеству D. Этой точке, как отметил Горр [17, с. 100], соответствует мнимое решение, так как на нем  r² < 0. Действительно, из интеграла  f₄=0  находим уравнение для s₀:

1018477152y(25y-28)7s03x2=625(10y-13)(218981933593750y9- -1863167724609375y8+6850337666015625y7-14282750220703125y6+ +18617910158906250y5-15755004389628750y4+8675181586470375y3- -3007265214643500y2+598103688103710y-52268525204224)× ×(10y-7)5.

Подстановкой значения y₁  в это уравнение получим

s03x2= (99714082763947063 √   409   -2016592523367734611) 1305600000000000 < 0.

(28)

Таким образом, действительное значение s₀ является отрицательным s₀ ≈ -0.00112190599858969x^-2/3 < 0, следовательно, для действительных s и t выполняются неравенства

t ≈ 0.325662389130968p2+2.94867857331277x2/3p2/3 ≥ 0,      r2 ≤ 0, s ≈ -0.00112190599858969x-2/3p10/3-0.154070521251084p2- -5.36514149650835x2/3p2/3 ≤ 0,      q2 ≥ 0.

Итак, семействам  F₄∩F₉ принадлежит следующее разложение

x= 1268-44 √ 409 375 ,   y= 241-3 √ 409 250 ,   l = 0,   z=0, s = s0p10/3+s2p2+s4p2/3,     t = t0p2+t2p2/3,

(29)

где  s₀  удовлетворяет (28), а остальные коэффициенты имеют вид

t0= 7 √   409   -109 100 ,   t2= 2521 √   409   -51037 16000s0 ,

s2= 16459-847 √ 409 4352 ,    s4= 1211697549-59858217 √ 409 189399040s0 .

Мы рассмотрели все возможные варианты, других конечных разложений, принадлежащих пересечению  F₄∩F₉, нет. Преобразованием симметрии (11.2.1) [5] из (29) получается разложение симметричного решения, которое принадлежит семейству  F₄∩F₁₀.

Продолжим изучение семейства  F₄. Как следует из табл. 1, любое конечное разложение, принадлежащее  F₄∩F₁₁, должно выражаться формулами   s = s₀p^2/3+s₂p²,   t = t₀p^2/3. Неизвестные коэффициенты  s₀,t₀,s₂  найдем, сопоставляя параметры и коэффициенты разложений (7.4.16) [4], (15.4.5) [5]. В частности, из условий для (7.4.16) [4] получим соотношения   x=y,   s₂=(1-y)/y. Кроме того, для существования рядов (15.4.5) [5] с шагом  Δ = 4/3  необходимо ввести дополнительные ограничения  l = z=0. Окончательные формулы полученного решения таковы:

t03=81yx2/(y+2),   s0/t0=-(y+2)/3y2,   s2=(1-y)/y, x=y,   l = z=0,   s = s0p2/3+s2p2,   t = t0p2/3.

(30)

Других конечных разложений по степеням  p  семейства  F₄∩F₁₁  не имеют. Симметричное решение принадлежит семействам  F₄∩F₁₂:

s03=-81x2/[y2(2y+1)],   t0/s0=-y(1+2y)/3,   t2=1-y, x=1,   l = z=0,   s = s0p2/3,   t = t0p2/3+t2p2.

(31)

Рассмотренное ранее решение (24) является частным случаем (31).

Решению (30) у Горра [17] соответствует случай Q=a₂s² и R=b₂s², который он не рассмотрел. Вместо этого в последнем абзаце на с. 99 он пишет, что при E=a₄=b₄=b₁₀=0 приходим к решению Чаплыгина. Но это верно только при a₆ и b₆ ≠ 0. Если же a₆=b₆=0, то получается решение (30). В этом случае уравнения Горра (48) и (49) являются однородной линейной системой для a₂ и b₂. В множестве D ее определитель обращается в ноль только на прямой x=y.

Найдем решения, принадлежащие семейству  F₄∩F₁₅. В этом случае параметры удовлетворяют условиям x=y, l = 0. Любое конечное разложение рассматриваемого типа может быть записано в виде (2), где a₁=[(a)\tilde]=b₁=2/3,   a₂=2,   b₂=4/3. Далее из условия b₂=y/(y-1) (см. пп. 7.4 [4], 17.4 [5]) находим y=4. В результате получаем решение, симметричное решению (23):

x=y=4,   l = 0,   z ≠ 0,   s = s0p2/3+s2p2,   t = t0p2/3+t1p4/3,

(32)

где      s₂=-3/4,   t₁=-9z/t₀,   s₀ = -t₀/8,   2t₀³=27(4x²-z²). Подстановкой разложений (32) в интеграл Чаплыгина, который имеет вид (11.1.7) [5] f₆=√{t}(3p[(s)\dot]-2s+3p²)²-c₆=0, находим значение произвольной постоянной  c₆=0. Следовательно, разложение (32) соответствует частному интегралу Горячева в интегрируемом случае Горячева-Чаплыгина. Как известно, интеграл Горячева зависит от двух произвольных постоянных:  z,a. Сравнивая (11.1.6) [5] с (32), находим, что в рассматриваемом случае постоянные  z,a  связаны соотношением 16a³-z²+4x²=0. Таким образом, разложение (32) возможно лишь для однопараметрического подсемейства решений, удовлетворяющих интегралу Горячева. Движения тела в этом случае изучил Г.В. Горр [18]. Других конечных разложений  F₄∩F₁₅  не имеет.

В конце работы [17] Горр написал, что все решения, являющиеся многочленами от p^1/3, исчерпываются решениями Горячева, Стеклова, Н. Ковалевского, Чаплыгина. Опровержением этому утверждению служат не только комплексные решения (29), (30), но и вещественное решение (32), опубликованное им через год после [17].

Наконец, найдем степенные решения, принадлежащие  F₄∩F₁₉. Семейство  F₄  существует лишь при l = 0. Первые коэффициенты степенных разложений из этого семейства приведены на  стр. 18, п. 15.4 [5]. С учетом равенств (8.1.5) [4] положим в этих формулах s₂=(x-1)/(x-2y),    t₂=(y-x)/(x-2). Это приводит к уравнениям:

g1    def =     27(y-1)(4 y-1)(y-4)(2  y-x)z2+ +25ys0t0[3 ys0(2 y2-2 y-xy-2 x)(2 y-x)- -t0(44 y-36 x+26 y2x-44 y2+28 xy-27 yx2+18 x2)]=0, g2    def =     27 (y-1)(4 y-1)(y-4)(x- 2)z2- -25ys0t0[3 t0(x-2)(2 xy+x+2 y-2)+ +ys0(36 y2x-44 y2+44 y-18 yx2+27 x2-26 x-28 xy)]=0.

Еще одно уравнение g₃[(   def) || ( = )]  9(y-1)z²+36(1-y)x²+4 t₀s₀x(s₀y²+t₀)=0 является следствием геометрического интеграла. Найдем допустимые значения параметров

s0 ≠ 0,   t0 ≠ 0,   x ≠ 1,   x ≠ 2,   x ≠ 2y,   x ≠ y,   y ≠ 1,

(33)

удовлетворяющие этим трем уравнениям. Частное решение Чаплыгина соответствует дополнительному ограничению  z=0. Действительно, пусть  [(g)\tilde]₁=g₁|_z=0, [(g)\tilde]₂=g₂|_z=0. Тогда из условия совместности D([(g)\tilde]₁, [(g)\tilde]₂)/D(s₀, t₀)=0, с учетом (33), находим известное соотношение 18xy-32y-9x²+18x=0. Однопараметрическое семейство решений Чаплыгина и ограничения на параметры можно записать в виде

y=  9x(x-2) 2(9x-16) ,  l = z=0,  s = s0p2/3+s2p2,  t = t0p2/3+t2p2,

(34)

s2=  (x-1)(9x-16) 2x ,   t2=  (14-9x)x 2(9x-16)(x-2) ,

s0=  t0(3x-2)(2-x)(9x-16)2 12x2(3x-5) ,   t03=  864x2x(3x-5)2(9x-16)-3 (3x-2)(x-2)(3x-4)2 .

Покажем, что других конечных разложений по степеням  p  семейства  F₄∩F₁₉  не имеют. Рассмотрим случай z ≠ 0. В искомом разложении из семейства F₁₉  обязательно должны присутствовать члены с показателями 2/3, но не может быть членов с показателям n/(3m), где m > 1, n - целые числа. Это возможно только тогда, когда уравнение (8.3.2) [3] имеет корень s₁=-4/3 либо s₁=-2/3. Если s₁=-4/3, то получим (в соответствии с (8.6.2) [3]) условие z=0 и все остальные формулы (34). Если s₁=-2/3, то (в соответствии с п. 8.7 [3]) это критическое значение является опасным, разрешенных точеr на кривой y=9x(x-2)/[2(9x-19)] нет. Итак, в случае z ≠ 0 конечные разложения в  F₄∩F₁₉  отсутствуют.

§ 4. Полиномиальные разложения из семейства  F₃

Семейство  F₃  состоит только из аналитических решений вида

s = ∞ е n=0  snpn,     t = ∞ е n=0  tnpn,

(35)

зависящих в общем случае от четырех произвольных постоянных  s₀,t₀,s₁,t₁. Среди решений (35) существуют несколько семейств, имеющих конечные (т.е. полиномиальные) разложения. Найдем все такие решения. Из теоремы Агостинелли (см. теорему 6.6.1 в [3]) следует неравенство  a₂ ≤ 4. Так как показатель  a₂  является целым числом, то в соответствии с таблицей 1 нам необходимо последовательно рассмотреть случаи  a₂=2,3,4. Если решение уравнений Н. Ковалевского принадлежит  F₃∩F₉, то в случае  a₂=4, b₂=2  находим формулы, описывающие однопараметрическое решение Горячева:

x =  16y(y-1) (8y-9) ,     l = 0,     z=  ±2x(12y2-22y+9) (4y-3)(2y-1)(2y-3) , s = s0p4+s2p2+s4,     t = t0p2+t2,

(36)

s0=  8(4y-5)(12y2-22y+9)(4y-3)2 z(8y-9)3 =

=  4(4y-5)(2y-1)(2y-3)(4y-3)3 ±x(8y-9)3 ,

s2=-  (4y-3)(16y2-28y+9) y(8y-9) ,    s4=  ±x(8y-9) 2(4y-3)y ,

t0=  y (9-8y) ,    t2=  (4y-5)(4y-3)2 s0(8y-9)2 =  ±x(8 y-9) 4(4y-3)(2y-1)(2y-3) .

В формулах для  z,s₀,s₄,t₂  только знак "+" соответствует решению Горячева. Кроме того, из условий вещественности следует дополнительное ограничение  y ∈ (3/8,1/2). В п. 6.6 [3] некоторые из формул (36) выписаны не верно. Других полиномиальных решений с наибольшими показателями  a₂=4, b₂=2  не существует в  F₃∩F₉, . В частности, нет таких решений при  y=3/4, x=1.

В частном случае решения (36), когда l = z=0, точка

(x,y)= ж з и  10 3 - 2 Ц 13 3 ,  11 12 - Ц 13 12 ц ч ш ≈ (0.9296324830,0.6162040604)

принадлежит области D. Для нее коэффициенты разложения (36):

s0 = ±  2 27x (13 √   13   -47),   s2 =  5 3 -   √ 13 3 ,   s4=-±  x 6 (19+5 √   13   ),

t0=-3/4+ √   13   /4,   t2=±x(19+5 √   13   )/8.

Если  a₂=3, b₂=2, то следуя методике п. 6.7 [3], получим формулы однопараметрического решения Ковалевского:

x=18y(y-1)/(9y-10), l = 81  (y-1)(9y-7)(243y3-1188y2+1587y-610)(3y-4)2(3y-2)5 xys03(9y-10)6 , z=9   (2187y3-5724y2+4815y-1310)(3y-4)2(3y-2)3 s02y(9y-10)4 , s = s0p3+s1p2+s2p+s3,     t = t0p2+t1p+t2,

(37)

t0=  2y 10-9y ,   t1=  12(3y-4)(3y-2)2 s0(9y-10)2 ,

t2=  162(3y-4)(y-1)2(3y-2)3 s02y(9y-10)3 ,   s1=  (2-3y)(81y2-156y+61) y(9y-10) ,

s2=  3(3y-4)(243y3-648y2+495y-122)(3 y-2)2 2y2s0(9y-10)2 ,

s3=  3(y-1)(3y-4)(2187y4-5832y3+4131y2-30y-488)(3y-2)3 2s02y3(9y-10)3 ,

s04=  81(3y-4)2(3y-2)7P9(y) 4x2y2(9 y-10)8 ,     P9(y)=28697814y9-248714388y8+

+943307775y7-2054511540y6+2832068772y5-2563531416y4+

+1525135635y3-575866008y2+125459580y-12045200.

Условиям вещественности удовлетворяют только те из приведенных формул (37), которые соответствуют неравенству s₀ < 0. Кроме того, вещественное решение Н. Ковалевского, как и вещественное решение Горячева, существует лишь при y ∈ (10/27,y_*], где y_* ≈ 0.6219116450 - один из вещественных корней полинома 8-й степени. Пусть разложение конечно и принадлежит  F₃∩F₁₉, тогда  a₂=b₂=2. Этот случай, как следует из результатов п. 8.5 [4], приводит к двупараметрическому семейству решений Стеклова:

l = 0,      z=  ±x(x2-2xy-2x+2y) (x-1)(x-y) =±x й л 2-  x2 (x-1)(x-y) щ ы , s = s0p2+s2,     t = t0p2+t2,

(38)

s0=x-1/(x-2y),     t0=y-x/(x-2),

s2=  (2-x)z x2-2xy-2x+2y ,    t2=  (x-2y)z x2-2xy-2x+2y .

На кривой y=x(x-2)/[2(x-1)] параметры и коэффициенты разложения (38) имеют следующий вид: l = z=0, s₀=(x-1)²/x, t₀=-x²/[2(x-1)(x-2)], s₂=±2x(x-2)/x², t₂=-±2x/[x(x-1)]. Других решений, отличных от (38), в классе  F₃∩F₁₉  нет.

Найдем все конечные разложения, принадлежащие  F₃∩F₂₀. Характерные для семейства  F₂₀  условия  x=y=2  означают, что такие конечные разложения описывают некоторые частные решения из интегрируемого случая Ковалевской. Так как  a₂=b₂=2, то в этих разложениях переменные  s, t  являются полиномами 2-й степени по  p. С помощью формул из п. 18.2 [5] выписываем условия на параметры и искомые конечные разложения в следующем виде:

x=y=2,     l = -  2x(2+t0) t1 ,      z=  t14+8t0(2+t0)3x2 2(2+t0)t0t12 , s = s0p2+s1p+s2,     t = t0p2+t1p+t2,

(39)

где s₀=-1/2,  s₁=-t₁/(2(2+t₀)),

s2=-  t12 8t0(2+t0) ,    t2=  2zt0(2+t0)+(1+t0)t12 4t0(2+t0) .

Подстановкой соотношений (39) в интеграл С. Ковалевской

f5=(2p2+s-z/2)2+2s(2p+ · t   /2)2-k=0

(40)

находим выражение постоянной  k  от параметров t₀, t₁:

k=4s22=t14/(16t02(2+t0)2).

(41)

Сравнивая (41) с аналогичными зависимостями от параметров постоянных  l, z  находим соотношение между константами первых интегралов:

z±2√k-l2=0.

(42)

Это соотношение характеризует частные решения интегрируемого случая Ковалевской, относящиеся ко 2-му и 3-му классам Аппельрота (см. гл. 2, §§ 3, 4 в работе [16]). Других решений, отличных от (39), в классе  F₃∩F₂₀  нет. В частности, при  t₀=-2, t₁=0  полученное из (39) конечное разложение не будет принадлежать семейству  F₃. Кроме четырех рассмотренных семейств полиномиальных разложений к семейству  F₃ относятся еще три семейства разложений, которые могут быть получены преобразованием симметрии из (36), (37), (39). Других конечных степенных разложений в  F₃  нет.

§ 5. Конечные разложения из семейства  F₁

В § 4 все степенные разложения получены в предположении, что свободные члены этих разложений ненулевые. Если в формулах (39) положить t₂=0, то полученное при условии t₀t₁s₂ ≠ 0  разложение будет принадлежать  F₁∩F₂₀. С помощью выражений для  z,t₂  находим соотношение t₁⁴+8t₀(2+t₀)²x²=0. Из (39) следует разложение:

x=y=2,     l2=8s2-x2/(2s2),      z=4s2-x2/(2s2), s = s0p2+s1p+s2,     t = t0p2+t1p,

(43)

s0=-1/2,     s1=x/l,     t0=-x2/(8s22),     t1=-lx/(2s2).

Исключением параметра  s₂  находим, что постоянные первых интегралов связаны не только равенством (42), но и соотношением

l4-3zl2+2(z2-x2)=0.

(44)

Если в формулах (39) положить s₂=0, то полученное при условии t₀t₂s₁ ≠ 0  разложение будет принадлежать  F₂∩F₂₀. В случае  t₁=0,t₁/(t₀+2) ≠ 0  формулы (39) примут следующий вид:

x=y=2,   z=l2,   s = s0p2+s1p,   t = t0p2+t2,

(45)

где s₀=-1/2,   s₁=x/l,   t₀=-2,   t₂=l²/2. С помощью (41) находим  k=0, следовательно, в интегрируемом случае Ковалевской решение (45) относится к семейству частных решений, изученных Делоне [19], § 70. Движения, соответствующие решению (45), Аппельрот [16] отнес к 1-му классу простейших движений волчка Ковалевской.

Разложение, которое симметрично (45) и принадлежит  F₁∩F₂₁:

x=1,   y=1/2,   z=2l2,   s = -2l2+2p2,   t = -xp/l+p2/2.

(46)

Утверждение 5. Если параметры  x,y ∈ D, то уравнения Н. Ковалевского не допускают конечных разложений из  F₁∩F₁₉.

Доказательство. Сначала покажем, что среди аналитических по  p  решений, принадлежащих семействам  F₁,F₁₉, нет конечных. Голова таких решений должна иметь вид (8.2.2) [3] с коэффициентами (8.5.1) [3], а хвост должен записываться (с точностью до симметрии (11.2.1) [4]) в виде (5.2.7) [2]. Так как из (8.5.1) [3] следует  s₁=t₁=0, то разложения (8.2.2) [3] не содержат линейных по  p  членов, но тогда случаи 2),3) из (5.1.2) [2] не возможны. В соответствии с теоремой 5.3.1 [2] в  F₁  также содержится трехпараметрическое семейство решений (5.2.8), аналитических по  p^1/2. Предположим, что параметры  x,y  связаны соотношением (8.3.3) [3] и голова искомого конечного разложения имеет вид (8.7.5) [3], где первые коэффициенты таковы:

s0=(1-x)(8x-17)/x,        t0 = (9-4x)x/[(x-2)(8x-17)],

s1-произв.,   t1=2s1x2(2x-5)/[(2x-3)(x-2)(8x-17)2],

s2=-  5xs12(4x-5)(2x-5) 4(x-1)(4x-9)(2x-3)(8x-17) ,

t2=-  5s12x3(3x-7)(2x-5) (x-1)(x-2)(4x-9)(2x-3)(8x-17)3 ,

s3=  s13x2(2x-5)(248x3-1224x2+1908x-949) 8(x-1)2(4x-9)2(2x-3)2(8x-17)2 ,

t3=  x4s13(2x-5)(360x3-2184x2+4284x-2681) 4(x-2)(x-1)2(4x-9)2(2x-3)2(8x-17)4 .

Для упрощения записи введем обозначения

u=  8z(x-1)3(4x-9)3(2x-3)3(8x-17)4 x4(2x-5)s14 ,

c1=  s14x3(2x-5) 72(8x-17)3(2x-3)3(4x-9)3(x-1)3 ,    ~ c   1  =  c1x (x-2)(8x-17)2 ,

c2=-  s15x3(2x-5) 1152(x-1)4(4x-9)4(2x-3)4(8x-17)4 ,    ~ c   2  = -  2c2x2(8x-17)-2 (x-2) ,

с их помощью найдем

s4=(u-P5)c1,   s5=[(8x3-44x+51)u-xP7]c2,

t4=[(8x-17)u-x ~ P   5  ] ~ c   1  , t5=[(216x3-1400x2+3032x-2193)u-x ~ P   7  ] ~ c   2  ,

где  P_5,7,[(P)\tilde]_5,7 - зависящие от  x  полиномы 5-й и 7-й степеней. Из условий  s₃=s₄=s₅=0  исключением  u  найдем систему двух уравнений

м п н п о 248x3-1224x2+1908x-949=0, (2x-3)(9184x7-106848x6+508856x5-1280732x4+ +1833320x3-1489165x2+634888x-109701)=0.

Из условий  t₃=t₄=t₅=0  получим аналогичную систему уравнений

м п н п о 360x3-2184x2+4284x-2681=0, x(2x-5)(545280x7-7283200x6+41281440x5-128588288x4+ +237466968x3-259659188x2+155429396x-39222009)=0.

Каждая из этих систем уравнений несовместна и не приводит к конечным решениям из семейства  F₂ или  F₁. Мы рассмотрели возможные разложения из семейства (8.7.5) [4]. Все остальные разложения (8.1.6) [4] не имеют шаг показателей степени  Δ = 1/2. Утверждение доказано.

Найдем полиномиальные разложения, принадлежащие  F₁∩F₁₀. В этом случае по теореме Агостинелли целочисленный показатель  b₂  удовлетворяет неравенству  2 < b₂ < 5. Если  b₂=4, то с учетом коэффициентов разложения (6.6.3) [3] находим, что в полиномиальном разложении будут отсутствовать нечетные степени  p  (как в решении Горячева). Следовательно, разложение с показателем  b₂=4  не принадлежит  F₁. Пусть наибольший показатель полиномиального разложения равен трем. Воспользуемся формулами (37) и проанализируем все случаи, когда выполнены условия  s₃=0, s₂ ≠ 0. Это возможно только тогда, когда  y  является корнем полинома P₄(y)=2187y⁴-5832y³+4131y²-30y-488. В результате находим две точки  (x,y) ∈ D: x₁ ≈ 0.92931773665,   y₁ ≈ 0.59084173622;     x₂ ≈ 0.69347072286,   y₂ ≈ 0.93444721023. Так как  y₁ ∈ (10/27,y_*], то в точке  (x₁,y₁)  полученное из (37) при  s₀ < 0  разложение

s = s0p3+s1p2+s2p,     t = t0p2+t1p+t2

(47)

является частным случаем вещественного решения Н. Ковалевского. Оно принадлежит  F₂∩F₉. Действительно, при  s₀ > 0  находим s₁ > 0,s₂ > 0, т.е. не выполнены условия вещественности (q² ≤ 0). При  s₀ ≈ -0.08027849391|x|^-1/2 < 0  условия вещественности выполнены, постоянные интегралов таковы: z₁ ≈ 3.50954365951x,    l₁ ≈ -1.93183249651|x|^1/2. В точке  (x₂,y₂)  разложение (47) не является вещественным. При  s₀ < 0  находим t₀ > 0,t₁ > 0,t₂ > 0, т.е. r² < 0. В предположении  s₀ ≈ 3.27692713876|x|^-1/2 > 0  постоянные интегралов имеют вид z₂ ≈ -2.53181457698x,    l₂ ≈ -0.22884892709|x|^1/2. Значение z₂ меньше допустимого минимума: из (1.2.4) [2] сразу следует неравенство  g₁ < -1, которое противоречит геометрическому интегралу. С помощью подстановки (11.2.1) [5] найдем разложение

s = s0p2+s1p+s2,     t = t0p3+t1p2+t2p,

(48)

которое симметрично (47) и принадлежит  F₁∩F₁₀. Координаты соответствующих точек из области D таковы: x₃ ≈ 1.57287083779,   y₃ ≈ 1.69250061175;     x₄ ≈ 0.74211867216,   y₄ ≈ 1.07015141043. Итак, рассмотрены все полиномиальные конечные разложения из  F₁∩F₁₀. В другой публиации докажем, что в этом классе не существует разложений с шагом Δ = 1/2.

§ 6. Отсутствие конечных разложений в семействе  F₂₃

Найдем начальное значение  s₀  в разложениях из семейства  F₂₃. Для этого вычислим скалярные произведения вектора  P=(-a₁,a₁-2,-1)  с точками  Q_j, которые принадлежат носителям  S(f₁)-S(f₄). Здесь a₁ ∈ (0,1) является наименьшим показателем в разложении  s  по возрастающим степеням  p. Результаты вычислений показаны в таблице 4. Точки  Q₁-Q₅  являются вершинами многогранников G_1,2, точки  Q₆-Q₁₀  являются вершинами многогранника G₃, точки  Q₃-Q₅,Q₁₁-Q₁₃,Q₁₅,Q₁₈  - вершины многогранника G₄. В соответствии с теорией (см. п. 4.3 [3]) находим неравенство  s₀ ≥ a₁. Рассмотрим частный случай  x=y. Тогда коэффициент  d₇  равен нулю, но при этом многогранники G_1-4 и носители  S(f₁)-S(f₄)  не изменяются. Следовательно, при  x=y  неравенство  s₀ ≥ a₁  также выполняется.

Утверждение 6. Если  (x,y) ∈ D, то  F₉∩F₂₃=Ø.

Доказательство. Семейство  F₉  определено только для  (x,y) ∈ F₂ ⊂ D. В частности, подмножество  F₂  ограничено неравенством  y < 1, см. п. 6.3 [3]. С другой стороны, семейство  F₂₃  определено только для  y > 1. Следовательно, пересечение  F₉∩F₂₃  пусто.

Утверждение 7. Если  (x,y) ∈ D, то уравнения Н. Ковалевского не допускают конечных разложений из  F₁₅∩F₂₃.

Доказательство. Разложения, соответствующие семействам  F₁₅,F₂₃, будем искать в виде сумм (2). На коэффициенты и показатели этих разложений накладываются следующие ограничения:

2 ~ a   =b2=y/(y-1) < 2,   y > 2,   sn=(1-y)/y,

(49)

b1=2-a1,   y=(a1-2)2/a12,   s0t0=4x/(a1-2)2.

(50)

Так как начальное значение  s₀  в разложениях из семейства  F₂₃ удовлетворяет неравенству  s₀ ≥ a₁, то второй член в разложении  t  отсутствует (иначе получим  b₂ ≥ 2). Следствием этого являются соотношения  b₁=b₂,    t = t₀p^b₁.

Подставим y=(a₁-2)²/a₁² в выражение b₂=y/(y-1). Затем из условия  b₁=b₂  найдем  a₁=2/3,  y=4. Таким образом, искомое конечное разложение должно иметь следующий вид

s = s0p2/3-3p2/4,     t = t0p4/3.

(51)

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что разложение (51) не удовлетворяет уравнениям Н. Ковалевского. Заметим, что формулы (32) и формулы на стр. 17 [4] подтверждают этот вывод. Конечных разложений в  F₁₅∩F₂₃ нет. Утверждение доказано.

Утверждение 8. Если  (x,y) ∈ D, то уравнения Н. Ковалевского не допускают конечных разложений из  F₁₉∩F₂₃.

Доказательство. Сделаем несколько предварительных замечаний. Во-первых, конечное разложение для  t  содержит всего два слагаемых. Промежуточные показатели  b_s ∈ (2-a₁,2)  отсутствуют в разложении для  t, так как  s₀ ≥ a₁. Вычислим коэффициенты  s₁,t₁  для разложений из семейства  F₂₃:

s1 =  [a12(6-5a1)x+8(a1-1)(a1-2)2](a1-2)2s02 64xa12(a1-1) ,

t1=  (15a1-14)a12x-24(a1-1)(a1-2)2 16(a1-1)a12 .

Сопоставление с условием (8.1.5) [4] для  F₁₉  позволяет записать равенство  t₁=(y-x)/(x-2), следствием которого является уравнение

a12(15a1-14)x2+(-38a13+132a12-192a1+96)x+32(a1-1)(a1-2)2=0.

(52)

Во-вторых, любое разложение из семейства  F₁₉  содержит члены с дробными показателями только тогда, когда многочлен (8.3.2) [4] имеет отрицательный рациональный корень. Для  F₁₉∩F₂₃ представляет интерес только один случай, когда  s₁ ∈ (-1,0). В п. 8.3 [4] показано, что для  (x,y) ∈ H₂∪H₂^′  существуют два корня многочлена (8.3.2) [4] в этом интервале: -1 < s₁ < s₂ < 0. Если  (x,y) ∈ D\(H₂∪H₂^′), то  s₁ ¬∈ (-1,0). Сопоставлением выражений для  y  из формул (50), (8.3.5) [4] получим уравнение

x2a12-4(a12-2a1+2)x-(a1-2)2(s2+s-4)=0,

(53)

где можно положить  s=s₁  или  s=s₂. В-третьих, достаточно жесткие ограничения для  a₁  можно получить из (52). Например, вычислением дискриминанта уравнения (52) находим, что вещественные решения  x  возможны только для 0 < a₁ ≤ 6/7=0.8571428571  или  1 > a₁ ≥ a^* ≈ 0.9144153546, где 17a^*5-34a^*4-304a^*3+1024a^*2-1088a^*+384=0. Если координаты  x,y  удовлетворяют (50),(52), то из условия (x,y) ∈ H₂∪H₂^′  получим ограничение

a1 ∈ [a*,6/7],

(54)

где  a_* ≈ 0.7610384507,   4a_*⁴+3a_*³-20a_*²+38a_*-20=0. Следствием (54) являются неравенства

1.7777 < y < 2.6504.

(55)

Далее рассмотрим три случая.

а) Пусть критическое значение  s₂  (-a₁ < -1/2 < s₂ < 0) изменяет исходную сетку  k  разложения  F₁₉. В этом случае конечные разложения должны иметь следующий вид

s = s0pa1+s1p2a1+...+stp2-t+snp2,       t = t0p2-a1+t1p2,

где   t=-s₂ < 1/2,  s₂ - корень многочлена (8.3.2) [4]. Для семейства  F₁₉  неравенство  |s₂| < |s₀| означает, что коэффициенты  s_t,t_t  удовлетворяют вырожденной однородной системе линейных уравнений (4.2.4) [3]. Чтобы получить решение этой системы в виде  s_t ≠ 0,t_t ≡ 0  необходимо в матрице (8.1.7) [4] положить  n_k,1=0  для всех  k=1,..,4. В формулах на стр. 21 [4] имеются опечатки, потому будем использовать (8.1.7) [4]. Четыре уравнения  n_k,1=0  разрешимы: найдем  s  из  n_k,3=0, подставим в остальные уравнения, с учетом (8.1.5) [4] получим

nk,1=0 ⇒ xy-x-y=0.

(56)

Далее находим

-1 < s1=  (y-2) (y-1) < -  1 2 < s2=  (3-2y) (y-1) < 0   для     3 2 < y <  5 3 , -1 < s1=  (3-2y) (y-1) < -  1 2 < s2=  (y-2) (y-1) < 0   для     5 3 < y < 2.

(57)

Исключением  x,y  из (50), (52), (56) получим два значения  a₁  из допустимого интервала (54):  a₁=4/5,  a₁=2√2-2. Соответствующие значения  y=9/4,  y=2  не удовлетворяют (57). Следовательно, критическое значение  s₂  не изменяет исходную сетку разложения  F₁₉.

б) Пусть критическое значение  s₁ ≠ -a₁  изменяет исходную сетку  k  разложения  F₁₉. В этом случае для  s₁ ∈ (-1,-1/2]  необходимо выполнение неравенства  -s₁ ≤ 2(1-a₁). Так как критическое значение  s₂  не повлияло на исходную сетку (т. е. не принесло членов с дробными степенями в разложение  F₁₉), то из неравенства  |s₁| < |s₀| следует, что коэффициенты  s_t,t_t  (при степени  p^2-t, где  t=-s₁ ≥ 1/2) удовлетворяют вырожденной однородной системе линейных уравнений (4.2.4) [3]. По аналогии с предыдущим случаем получим условия (56), (57), следствием которых является вывод: критическое значение  s₁ ≠ -a₁  не изменяет исходную сетку разложения  F₁₉.

в) Пусть s₁=-a₁. Из (54) следует неравенство  -s₁ > 2(1-a₁). Это означает, что конечных разложений вида

s = s0pa1+s1p2a1+...+sn-1p2-a1+snp2,       t = t0p2-a1+t1p2

нет в рассматриваемом классе  F₁₉∩F₂₃. Осталось еще показать, что не существует разложений вида s = s₀p^a₁+s_np²,   t = t₀p^2-a₁+t₁p². Приравняем нулю выражение s₁, вычисленное в начале доказательства, и сравним полученное уравнение для  x,a₁  с (52), (53). Указанные три уравнения несовместны. Конечных разложений в  F₁₉∩F₂₃ нет, что и требовалось доказать.

Наиболее сложные варианты  F₂₃∩F₁₀,  F₇∩F₁₀,  F₅∩F₁₀ выделим в отдельный параграф и в другой препринт.

§ 7. Конечные разложения из семейства  F₁₀

Семейство  F₁₀  симметрично семейству  F₉, рассмотренному в § 6 [3]. Приведем некоторые формулы для  F₁₀, полученные преобразованием (11.2.1) [5]. Ищем решение укороченной системы уравнений в виде

s = sn p2,     t = tm pb2,

(58)

находим преобразованное уравнение (6.3.6′) [3] и коэффициент  s_n:

x=  2(y-1)b22 b22y-b22+b2y-2y ,   sn =  -2 b22y-b22+b2y-2y .

Следствием этих формул являются соотношения

a3=c4=(b2-2)sn,   a4=-(b22-b2+2)sn,   b4=d9=-b22sn.

Характеристическая матрица и ее миноры суть:

~ N   (s)= ж з з з з з и tm(2+s)(1+s+b2/2) sn(b2-1)s tmb2(b2+s/2) sn(2b2+s)s tm(2-b2+s) -sn s tmb22 2snb2s ц ч ч ч ч ч ш ,

m12=tmsn(s+2b2)(s+2-b2/2)(s+1+b2)s,

m13=m23=-tmsn(s+2b2)(s+2-b2/2)s,   m24=0,

m14=tmsnb2(s+1+b2)(2s+4-b2)s,   m34=tmsnb2(2s+4-b2)s.

Область  F₂^′, симметричная области  F₂, ограничена неравенствами

3 ≥ y > 1,   2 > x,   x ≥ y-1,   x ≥ 16(y-1)/(9y-8).

(59)

7.1. Случай  F₂₃∩F₁₀. Конечные разложения вида  s = s₀p^a₁+...+s_np²,     t = t₀p^2-a₁+...+t_m p^b₂, где a₁ > 0, возможны только когда  b₂ ∈ (2,4),(x,y) ∈ F₂^′. Так как семейство  F₂₃  существует при ограничении  y=(a₁-2)²/a₁², то неравенства  3 ≥ y > 1 означают, что

1 > a1 ≥ √3-1 ≈  0.7320508076.

(60)

Появление слагаемых  s₁p^2a₁, t₁p²  в рассматриваемом конечном разложении связано с начальным шагом s₀ ≥ a₁ семейства  F₂₃; слагаемые  s_sp^4-b₂, t_sp²  появляются при s=2-b₂ - начальном шаге разложений  F₁₀; слагаемые  s_tp^b₂^/2, t_tp^3/2b₂^-2, которые также могут быть в конечном разложении, соответствуют критическому значению  s₂=b₂/2-2  семейства  F₁₀. Прямыми линиями b₂=4-2a₁,   b₂=4a₁,   b₂=8/3 разделим область допустимых значений показателей W = { a₁,b₂:1 > a₁ ≥ √3-1,   4 > b₂ > 2} на четыре части:

1)  b2 > 4a1 >  8 3 > 4-2a1,      2)  4a1 > b2 >  8 3 > 4-2a1,

3)  4a1 >  8 3 > b2 > 4-2a1,      4)  4a1 >  8 3 > 4-2a1 > b2.

Им соответствуют четыре типа конечных разложений:

1) s = s0pa1+s1p2a1+...+stpb2/2+snp2, t = t0p2-a1+t1p2+...+ttp3/2b2-2+tmpb2;

2) s = s0pa1+s1p2a1+snp2, t = t0p2-a1+t1p2+...+ttp3/2b2-2+tmpb2;

3) s = s0pa1+s1p2a1+snp2, t = t0p2-a1+t1p2+tmpb2;

4) s = s0pa1+s1p2a1+...+ssp4-b2+snp2,    t = t0p2-a1+t1p2+tmpb2.

Отметим одно важное свойство. Коэффициенты  s_t,t_t  удовлетворяют вырожденной однородной системе линейных уравнений (4.2.4) [3]. Для разложения типа 2) нужно получить решение этой системы в виде  s_t ≡ 0,t_t ≠ 0, но такого решения не существует, см. последнюю строку в матрице [(N)\tilde](s) при  s=b₂/2-2. Следовательно, имеем  s_t=t_t = 0  для разложения типа 2). Критическое значение  s₂=b₂/2-2  не изменяет сетку разложений 2)-4). Важным упрощением разложений 2)-4) является простой вид  t - это сумма трех слагаемых.

Утверждение 9. Если  (x,y) ∈ D, то  F₁₀∩F₂₃=Ø.

Доказательство. Разложения, принадлежащие семейству  F₂₃, имеют вид

s = s0 pa1+s1 p2a1+s2p2a1+s+ ... ,     t = t0p2-a1+t1 p2+t2 p2+s+ ...

(61)

Коэффициенты  s₀,t₀  связаны условием (50), коэффициенты  s₁,t₁  были вычислены ранее в § 6. Найдем значение  s  и вычислим коэффициенты  s₂,t₂  при ограничениях (60). Подстановкой (61) в уравнения  f₁=0, f₂=0  получим упорядоченные по возрастанию степеней  p  тождества: r₁₁p^a₁^+s+r₁₂p^2-a₁+r₁₃p^2a₁+...=0,     r₂₁p^a₁^+s+r₂₂p^2-a₁+r₂₃p^2a₁+...=0. Если  s < 2-2a₁, то уравнения  r₁₁=r₂₁=0  (линейные уравнения относительно  s₂,t₂) имеют только нулевое решение  s₂=t₂=0. Коэффициент r₂₂=a₁²xz/(2s₀(a₁-2)²(1-a₁)) ≠ 0. Следовательно, нужно положить  s=2-2a₁, чтобы тождества выполнялись при любом значении  p. Далее находим искомые коэффициенты

s2=  a12(15a1x-16x-24a1+24) 16(a1-2)2(1-a1) ,   t2=  a12z(5a1x-4x-8a1+8) 8s02(a1-2)4(a1-1) .

(62)

Таким образом, при выполнении ограничений (60) любое разложение из семейства  F₂₃  имеет вид (61), где  s=2-2a₁. Тогда выражение  s₂, заданное формулой (62), должно равняться  s_n=-2/(b₂²y-b₂²+b₂y-2y). Исключим переменные  x,y  с помощью соотношений

x=2(y-1)b22/(b22y-b22+b2y-2y),   y=(a1-2)2/a12.

Исключая  x,y  из равенства  s_n=s₂ , получим уравнение

(a1-2+b2)(3b2a1-4b2+4-2a1)a12 2(a1-2)2[4(a1-1)b22-(a1-2)2b2+2(a1-2)2] =0.

(63)

Уравнение (63) не имеет решений  (a₁,b₂) ∈ W. Таким образом, конечных разложений в классе  F₁₀∩F₂₃  нет, что и требовалось доказать.

7.2. Случай  F₇∩F₁₀. Конечные разложения вида  s = s₀p^a₁+...+s_np²,     t = t₀p²+...+t_m p^b₂, где  b₂ > 2, a₁ < 0  возможны только тогда, когда  (x,y) ∈ F₂^′ ⊂ D. Семейство  F₇  существует при ограничениях

x=  2a12y(y-1) (a12y-a12-a1+2) ,   t0=  -2y (a12y-a12-a1+2) .

(64)

Сопоставление (64) с выражением  x=2(y-1)b₂²/(b₂²y-b₂²+b₂y-2y)  позволяет записать уравнение

(b2+2)(b2-1)a12y2-2b22a12y+b22(a1+2)(a1-1)=0.

(65)

Рассмотрим частный случай, когда слагаемых  s_tp^b₂^/2, t_tp^3/2b₂^-2, которые соответствуют критическому значению  s₂=b₂/2-2  семейства  F₁₀, нет в конечном разложении  (s_t=t_t=0). Тогда на начальном шаге  s₀=2-b₂  в разложении  F₁₀  появляются слагаемые  s_sp^4-b₂, t_sp². Вычислим коэффициенты:

ss=  4b2(b2-y-yb2)(yb2-b2-y)2 (3b2-8)(b22y+yb2-2y-b22)2ytm , ts=  (yb2-b2-y)P(y) (3b2-8)(b22y+yb2-2y-b22)(b2-2)y ,

(66)

P(y)=(b24-6b23+18b22+4b2-32)y2-(2b23-6b22+28b2-32)b2y+b24.

Из равенства  t_s=t₀  разложений F₇,F₁₀  получим (после исключения  y  с помощью (65)) уравнение кривой на плоскости  R²(a₁,b₂):

(a1-2)3b29+(3a1-7)(a1-2)3b28+(3a15+20a14+76a13-440a12+ +580a1-280)b27+(a16+91a15-194a14-260a13+1428a12-1732a1+ +840)b26+(52a16-620a15+64a14+1420a13-2640a12+3312a1- -1792)b25+(-416a16+1488a15+2260a14-4452a13+1432a12-2768a1+ +2464)b24+16(a1-1)(83a15-21a14-448a13+2a12+228a1+112)b23- -16(a1+2)(145a13-73a12-168a1-16)(a1-1)2b22+ +256a1(a1+2)(9a1+4)(a1-1)3b2-1024a12(a1+2)(a1-1)3=0.

(67)

Разложения из семейства  F₇  представим в виде  s = s₀p^a₁+s₁p^a₁^+[(s)\tilde]+... ,  t = t₀p²+t₁ p^{2+[(s)\tilde]}+... . Найдем показатель  [(s)\tilde] > 0, вычислим коэффициенты  s₁,t₁  и сравним их с известными коэффициентами разложений из семейства  F₁₀.

а)  [(s)\tilde]=-1-a₁ > 0. В этом случае  [(s)\tilde]  равно критическому значению  s₃  семейства  F₇. С учетом первой строки матрицы (6.4.2) находим соотношение  t₁=2(a₁+1)t₀s₁/(a₁s₀). Если  s₁ ≠ 0, то  t₁ ≠ 0  и, следовательно, b₂=1-a₁. Напомним, что рассматривается частный случай, когда критическое значение  s₂=b₂/2-2  семейства  F₁₀  несущественно ( t  содержит только два члена). Подстановкой  b₂=1-a₁  в (67) получим уравнение 23a₁⁴+77a₁³+135a₁²+227a₁+50=0. Далее находим допустимые значения a₁ ≈ -2.4487361664,   b₂ ≈ 3.4487361664. Во-первых, эти показатели не являются рациональными числами. Во-вторых, вычисление следующих членов разложения  s₂p⁰, t₂p^b₂⁺¹  показало, что ряд  t  содержит более двух членов, что противоречит исходному предположению.

б)  [(s)\tilde]=-a₁. Этот случай соответствует z ≠ 0,  [(s)\tilde]  равно начальному шагу  s₀  семейства  F₇. Непосредственным вычислением находим t₁=2z(a₁-1-a₁y)/((3a₁-4)a₁ys₀). Если  t₁ ≠ 0, то нам следует положить  b₂=2-a₁. С помощью (67) находим единственное решение из допустимой области значений: a₁=-2, b₂=4. Параметры  x,y  получим из соотношений (64),(65).

Получаем конечное разложение:

x=14/9,   y=16/9,   l = 0,   z=-11t1-1/36,   t = -p2/2-t1p4, s = -(11/1152)t1-2p-2-(11/144)t1-1-p2/8,

(68)

комплексный коэффициент  t₁  удовлетворяет уравнению

24167+1679616x2t12=0,   где    24167=(11)(13)3,   1679616=(2)8(3)8.

Разложение (68) не удовлетворяет условиям вещественности, константа  z - мнимое число. Если  t₁=0, то положим  y=1-1/a₁ > 1, x=1. Вычислением последующих членов разложения  s₂p^-a₁, t₂p^2-2a₁  находим  t₂=2s₂/s₀/(3a₁-2). Из  t₂ ≠ 0 следует соотношение  b₂=2-2a₁. С другой стороны, подстановка  y=1-1/a₁  в (65) приводит к дополнительному уравнению (a₁-1)(b₂²+b₂a₁-b₂-2a₁+2)=0. Конечных разложений при  t₁=0  нет.

в)  [(s)\tilde]=-2a₁ < 2-a₁. Тогда выполнены условия  z=0, a₁ > -2, значение  [(s)\tilde]  равно критическому значению  s₄  семейства  F₇. Из второго уравнения (1.1.6) получим условие на коэффициенты: s₀(3a₁-2)t₁-2a₁t₀s₁=0. Так как  t₁ ≠ 0, то  b₂=2-2a₁. Это условие несовместно с (67) при  a₁ > -2. Конечных разложений в этом случае нет.

г)  [(s)\tilde]=-2a₁=2-a₁. Из последнего равенства находим  a₁=-2. Уравнение (67) позволяет вычислить единственный допустимый показатель b₂=6. Параметры  x,y  получим из соотношений (64), (65). Далее находим искомое разложение:

x=8/5,   y=9/5,     l = z=0, s =  125 288 x2p-2-  1 18 p2,     t = -  1 2 p2-  88 625x2 p6.

(69)

Условия вещественности не выполнены, так как  r² ≤ 0. Других конечных разложений в этом случае нет.

д)  [(s)\tilde]=2-a₁ < -2a₁. Тогда выполнены условия  z=0, a₁ < -2, значение  [(s)\tilde]  равно начальному значению  s₀  семейства  F₇. Заметим, что начальное значение при  z=0  отличается от начального значения при  z ≠ 0. Предположим, что  t₁ ≠ 0, тогда b₂=4-a₁. Подставим это выражение в (67), получим уравнение -1728(a₁+2)(a₁-2)⁸=0, решения которого не удовлетворяют условию  a₁ < -2. Предположим, что  t₁=0,s₁ ≠ 0. В явном виде находим

t1=  4a1(ya1-a1-1)(ya1-a1+1)2 s0(3a1-8)(a12y-a12-a1+2)2 .

Равенство  ya₁-a₁+1=0  соответствует случаю  t₁=s₁=0, а равенство  ya₁-a₁-1=0  не выполняется при имеющихся ограничениях на параметры  (y > 1,a₁ < 0). Таким образом, рассмотрены все возможные случаи, когда слагаемых  s_tp^b₂^/2, t_tp^3/2b₂^-2, которые соответствуют критическому значению  s₂=b₂/2-2  семейства  F₁₀, нет в конечном разложении. Других конечных разложений в F₇∩F₁₀  при  s_t=t_t=0  не существует. Окончание случая F₇∩F₁₀  и анализ пересечения F₅∩F₁₀  будут опубликованы в другом препринте.

Литература

1.     Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998. 288 с.

2.     Брюно А.Д., Лунев В.В. Модифицированная система уравнений движения твердого тела. Препринт N 49. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2001. 36 с.

3.     Брюно А.Д., Лунев В.В. Локальные разложения модифицированных движений твердого тела. Препринт N 73. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2001. 39 с.

4.     Брюно А.Д., Лунев В.В. Асимптотические разложения модифицированных движений твердого тела. Препринт N 90. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2001. 34 с.

5.     Брюно А.Д., Лунев В.В. Свойства разложений модифицированных движений твердого тела. Препринт N 23. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2002. 44 с.

6.     Брюно А.Д. Разложения решений системы ОДУ. Препринт N 59. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2003. 27 с.

7.     Брюно А.Д., Лунев В.В. О вычислении степенных разложений модифицированных движений твердого тела // ДАН, 2002, т. 386, N 1, с. 11-17.

8.     Брюно А.Д., Лунев В.В. Семейства степенных разложений модифицированных движений твердого тела // ДАН, 2002, т. 387, N 3, с. 297-303.

9.     Брюно А.Д. Степенные свойства движений твердого тела // ДАН, 2002, т. 387, N 6, с. 727-732.

10. Брюно А.Д. Анализ уравнений Эйлера-Пуассона методами степенной геометрии // Механика твердого тела (Донецк), 2002, вып. 32, с. 3-15.

11. Брюно А.Д., Гашененко И.Н. Последние разложения модифицированных движений твердого тела. Препринт N 65. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2005. 13 с.

12. Kowalewski N. Eine neue partikulare Losung der Differenzialgleichun-
gen der Bewegung eines schweren starren Korpers um einen festen Punkt // Math. Ann. 1908, B. 65, S. 528-537.

13. Горячев Д.Н. Новый частный случай в задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой // Труды отделения физических наук общества любителей естествознания. 1899, т. 10, вып. 1, с. 23-24.

14. Стеклов В.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Труды отделения физических наук общества любителей естествознания. 1899, т. 10, вып. 1, с. 1-3.

15. Чаплыгин С.А. Новое частное решение задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Собрание сочинений. Т. 1. М.: Гостехиздат, 1948. С. 125-132.

16. Аппельрот Г.Г. Не вполне симметричные тяжелые гироскопы // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Сборник, посвященный памяти С.В. Ковалевской. - М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1940. - С. 61-155.

17. Горр Г.В. Об алгебраическом инвариантном соотношении уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела. - Киев: Наукова думка, 1969, вып. 1. - С. 89-102.

18. Горр Г.В. Об одном движении тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина// ПММ, 1970, 34, вып. 6. - С. 1139-1143.

19. Делоне Н.Б. Алгебраические интегралы движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. - С.-Петербург, 1892. - 78 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 03 Oct 2005, 14:22.