О пограничном слое на двугранном угле
( About the Boundary Layer on a Dihedral Angle
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

E-mail: vasiliev@keldysh.ru

Введение

Слоистые течения [1, гл V, § 1] представляют собой простой класс течений вязкой жидкости, в которых отличной от нуля является лишь одна составляющая скорости. Такие течения называют также прямолинейно-параллельными [2], течениями одного направления [3], просто одномерными [4] и другими терминами. Сюда относятся одномерное стационарное течение в канале, ограниченном двумя плоскими параллельными стенками, которое часто называют плоским течением Пуазейля, течение Куэтта, течение Пуазейля в трубе и т.п. Среди нестационарных слоистых течений отметим задачу о плоской стенке, которая внезапно начинает двигаться в своей собственной плоскости с постоянной скоростью. Эту задачу иногда называют задачей Релея [1, гл. V, § 1]. Однако, впервые она была решена Стоксом в работе [5].

В данном препринте рассматривается нестационарное слоистое течение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое внутри двугранного угла. Предполагается, что этот угол внезапно приводится в движение с постоянной скоростью в направлении ребра. На эту задачу обратил внимание автора проф. В.Я. Нейланд в связи с течением вблизи линии сочленения крыла и фюзеляжа самолета. Показано, что применение метода разделения переменных в декартовых косоугольных координатах позволяет решить рассматриваемую задачу лишь в случае прямого двугранного угла. Стационарное течение в этом случае было исследовано Л.Г. Лойцянским в 1936 - 1937 гг (ссылки на эти работы даны в монографии [6, гл. VII, § 52]).

§ 1. Некоторые сведения из степенной геометрии

Для удобства чтения, приведем некоторые сведения, относящиеся к степенной геометрии и используемые в данном препринте. Подробности см. в монографиях [7,8].

Здесь будет рассматриваться краевая задача для одного дифференциального уравнения, с двумя независимыми переменными. Обозначим независимые переменные через x₁, x₂, а искомую функцию через x₃ и пусть X=(x₁,х₂,x₃). Дифференциальным мономом a(X) называется произведение обычного монома cx₁^r₁x₂^r₂x₃^r₃[(   def) || ( = )]  cX^R и производных вида ∂^l x₃/∂x₁^l₁∂x₂^l₂, где c=const,  R = (r₁,r₂,r₃) ∈ R³, l=l₁+l₂.

Каждому дифференциальному моному a(X) соответствует его векторный показатель степени Q(a) ∈ R³, который определяется согласно формулам: Q(cX^R)=R; Q(∂^l x₃/∂x₁^l₁∂x₂^l₂) =-l₁E₁-l₂E₂++E₃;  Q(a₁a₂)=Q(a₁)+Q(a₂), где E_j - j-ый единичный вектор, a₁, a₂ - дифференциальные мономы. Конечная сумма дифференциальных мономов

f(X)= е ak(X)

(1.1)

называется дифференциальным полиномом. Дифференциальному полиному (1.1) в пространстве R³ соответствует носитель S(f)={Q(a_k)}, который представляет собой множество векторных показателей степени всех дифференциальных мономов этого полинома. Точки этого носителя будем обозначать через Q_k. Выпуклая оболочка G(f) носителя S(f) называется многогранником Ньютона-Брюно для полинома (1.1). Его граница ∂G(f) состоит из "граней" G_j^(d), где d=dim(G_j^(d)). При d=0 это вершины, при d=1 это ребра, при d=2 это обычные двумерные грани. Каждой грани G_j^(d) соответствует укороченный полином [^(f)]_j^(d)(X)=∑a_k(X), где сумма берется по всем k:Q(a_k) ∈ G_j^(d).

Пусть R_*³ - пространство, сопряженное пространству R³. Так что для P=(p₁,p₂,p₃) ∈ R_*³ и Q=(q₁,q₂,q₃) ∈ R³ определено скалярное произведение б P,Qс[(   def) || ( = )]  p₁q₁+p₂q₂+p₃q₃. Для каждой грани G_j^(d) многогранника G(f) существует такой вектор P ∈ R_*³, что бP,Q_iс = бP,Q_lс > бP,Q_mс для любых Q_i, Q_l ∈ G_j^(d) и Q_m ∈ G\G_j^(d). В пространстве R³ гиперплоскость бP,Qс = бP,Q_iс является опорной к многограннику G(f) и проходит через грань G_j^(d), причем вектор P перпендикулярен к этой опорной плоскости и является внешним по отношению к многограннику G(f).

Рассмотрим уравнение

f(X)=0,

(1.2)

где f(X) - дифференциальный полином. Этому полиному соответствует его носитель S(f), его многогранник G(f), множество граней G_j^(d) и укороченные уравнения:

^ f   (d) j  (X)=0.

(1.3)

Если решение уравнения (1.2) задано параметрически в виде

xm = bmtpm(1+o(1)),

(1.4)

b_m ≠ 0 - постоянные, m=1, 2, 3, и t→∞, то выражение

xm = bmtpm

(1.5)

является первым приближением этого решения и удовлетворяет соответствующему укороченному уравнению (1.3).

Для каждого вектора P ≠ 0 существует укороченное уравнение.

Пусть при x₁→∞ уравнение (1.2) имеет решение вида

x3=x1g3j3(z)+O(x1g3-e),

где e > 0,

z = x2x1-g2, gm=pm/p1,    m=2,3.

(1.6)

При этом вектор -g_mE₁+E_m перпендикулярен к вектору P=(p₁, p₂, p₃). Тогда укороченное решение

x3=x1g3j3(z),

(1.7)

является решением укороченной системы уравнений (1.3) [2, гл.VI, теорема 1.1].

Вектор P находится из условий его перпендикулярности к грани G_j^(d₁⁾ и к векторам, определяемым граничными условиями. Длина вектора P является произвольной и, согласно формуле (1.4), можно положить p₁=1, если исследуется асимптотика решения при x₁→∞, и p₁=-1, если x₁→ 0.

§ 2. Исходные уравнения

Пусть стенки двугранного угла B с линейным углом a, помещенные в неподвижную вязкую несжимаемую жидкость, начинают двигаться в начальный момент времени t=0 с постоянной скоростью U₀ в направлении ребра L. Направим ось Oz цилиндрической системы координат (r,J,z) по прямой L в сторону, противоположную движению тела B, а угол J будем отсчитывать от плоскости симметрии. Выбранную систему координат будем считать жестко связанной с телом B. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Стокса) имеют следующий вид [9]:

∂Vr ∂t +Vr  ∂Vr ∂r +  VJ r  ∂Vr ∂J +Vz  ∂Vr ∂z -  VJ2 r =

= -  1 r  ∂p ∂r +n ж и ∇2Vr-  Vr r2 -  2 r2  ∂VJ ∂J ц ш ,

(2.1)

∂VJ ∂t +Vr  ∂VJ ∂r +  VJ r  ∂VJ ∂J +Vz  ∂VJ ∂z +  VrVJ r =

= -  1 rr  ∂p ∂J +n ж и ∇2VJ+  2 r2  ∂Vr ∂J -  VJ r2 ц ш ,

(2.2)

∂Vz ∂t +Vr  ∂Vz ∂r +  VJ r  ∂Vz ∂J +Vz  ∂Vz ∂z = -  1 r  ∂p ∂z +n∇2Vz,

(2.3)

где

∇2=  ∂2 ∂r2 +  1 r  ∂ ∂r +  1 r2  ∂2 ∂J2 +  ∂2 ∂z2 ,

V_r, V_J, V_z - координаты вектора скорости, p - давление, r - плотность, n - кинематический коэффициент вязкости.

К этим уравнениям добавляется уравнение неразрывности:

∂(rVr) ∂r +  ∂VJ ∂J +  ∂(rVz) ∂z =0.

(2.4)

Будем рассматривать слоистые течения, полагая V_r=V_J=0. Тогда, обозначив V_z через w, можно записать уравнения (2.1) - (2.4) в виде:

∂p ∂r =0,

(2.1′)

1 r    ∂p ∂J =0,

(2.2′)

1 r  ∂p ∂z =n ж и  ∂2w ∂r2 +  1 r  ∂w ∂r +  1 r2  ∂2w ∂J2 ц ш -  ∂w ∂t

(2.3ў)

∂w ∂z =0    при    r ≠ 0.

(2.4′)

Из уравнений (2.1′) и (2.2′) следует, что левая часть уравнения (2.3′) от r и J не зависит, а правая часть, согласно (2.4′), не зависит от z. Следовательно, обе части уравнения (2.3′) от пространственных координат не зависят, а могут зависеть только от времени t. Пусть

1 r    ∂p ∂z =F(t).

(2.5)

Эта функция, характеризующая перепад давления в рассматриваемом одномерном течении, должна быть задана [2, гл.IX, § 1]. Движение жидкости в трубах и каналах обычно происходит за счет перепада давления. Если же одномерное течение вызвано движением границ, то перепад давления в большинстве случаев принимается равным нулю. Полагая, что при z→ -∞ и при z→ +∞ давление имеет один и тот же предел, получим F(t)=0. Таким образом, уравнение (2.3′) можно записать в виде:

∂w ∂t -n ж и  ∂2w ∂r2 +  1 r  ∂w ∂r +  1 r2  ∂2w ∂J2 ц ш =0.

(2.6)

Полагая r=s√{n}, можно переписать уравнение (2.6) в виде

∂w ∂t - ж и  ∂2w ∂s2 +  1 s  ∂w ∂s +  1 s2  ∂2w ∂J2 ц ш =0.

(2.6ў)

В силу симметрии задачи по J, можно рассмотреть решение уравнения (2.6') при 0 ≤ J ≤ a/2 cо следующими начальными и граничными условиями для функции w(t,r,J):

w=U0    при    t=0,    если    J ≠ a/2    и    r ≠ 0

(2.7)

(при r=0 угол J не определен),

w=0    при    J =a/2    (r ≠ 0)    и при    r=0    (t ≥ 0),

(2.8)

w→ U0    при    J =0,    r→∞,

(2.9)

а затем продолжить эту функцию на промежуток -a/2 ≤ J < 0 четным образом.

 

§ 3. Пограничный слой

Пограничный слой на внутренней поверхности двугранного угла представляет интерес только в некоторой окрестности ребра, где происходит взаимодействие пограничных слоев на двух гранях. Вне этой окрестности взаимное влияние этих слоев является пренебрежимо слабым и каждый из них описывается хорошо известным решением задачи о пограничном слое на на бесконечной плоской пластине [6, § 27].

Далее будет использоваться степенная геометрия (см. § 1).

Носитель дифференциального полинома, стоящего в левой части уравнения (2.6′), состоит из трех различных точек: Q₁=(-1,0,0,1), Q₂=(0,-2,0,1), Q₃ = (0,-2,-2,1) в пространстве (q₁,q₂,q₃,q₄), где q₁,q₂,q₃,q₄ - координаты точек носителя, соответствующие переменным t,s,J,w . Вектор P=(p₁,p₂,p₃,p₄), определяющий вид автомодельных переменных, должен быть перпендикулярен к векторам Q₂′=Q₂-Q₁=(1,-2,0,0), Q₃′ = Q₃-Q₁=(1,-2,-2,0), а также к вектору Q₄=(0,0,0,1), связанному с ненулевым граничным условием (2.9). Эти условия дают: p₁-2p₂=0, p₃ = p₄=0. Полагая p₁=1, получим: P=(1,1/2,0,0); g₂ = p₂/p₁=1/2, g₃=p₃/p₁=0, g₄=p₄/p₁=0; z₁=s/t^g₂=s/t^1/2, z₂=J/t^g₃=J/t⁰=J, w=t^g₄F₀(z₁,z₂)=U₀F(z₁, z₂).

Таким образом,

w=U0F(z1,z2),    где    z1 = s/√t,    z2=J.

(3.1)

Подстановка формул (3.1) в уравнение (2.6′) дает:

z12  ∂2F ∂z12 +z1 ж и 1+  1 2 z12 ц ш  ∂F ∂z1 +  ∂2F ∂z22 =0.

(3.2)

Вместо уравнения (2.6′) с тремя независимыми переменными мы получили уравнение (3.2) с двумя.

Будем решать это уравнение методом разделения переменных. Положим

F(z1,z2)=F1(z1)F2(z2).

(3.3)

Тогда уравнение (3.2) приводится к виду:

z12  F1" F1 +z1 ж и 1+  1 2 z12 ц ш  F1ў F1 =-  F2" F2 .

Поскольку левая часть этого уравнения не зависит от z₂, а правая - от z₁, то полагая каждую из них равной l²=const, получим:

z12F1"+z1 ж и 1+  1 2 z12 ц ш F1ў-l2F1=0;

(3.4)

F2"+l2F2=0.

(3.5)

Из общего решения уравнения (3.5)

F2=C1coslJ+C2sinlJ,

в силу граничных условий (2.8) - (2.9), вытекает, что C₁=1, C₂=0 , l = p/a и

F2=cos  pJ a .

(3.6)

Уравнение (3.4) нужно решать численно с граничными условиями:

F1(0)=0,      F1(∞)=1.

(3.7)

Покажем, что этим условиям могут удовлетворять главные члены асимптотик решения уравнения (3.4). В самом деле, при z₁ << 1, пренебрегая во втором члене уравнения (3.4) слагаемым z₁²/2 по сравнению с 1, получим уравнение Эйлера:

z12F1"+z1F1′-l2F1=0,

(3.8)

общее решение которого имеет вид:

F1=C3z1l+C4z1-l.

Первое из условий (3.7) будет выполнено, если C₄=0. Тогда при z₁→ 0 получим F₁=C₃z₁^l и

w=C3z1l(1+o(1))coslJ    при    z1→ 0.

(3.9)

Как мы увидим в § 4, при a = p/2 нужно положить C₃=2/√{p}.

Если искать асимптотику решения полного уравнения (3.4) при

z₁ →∞ в виде ряда Лорана, то, с учетом второго из граничных условий (3.7), получим:

F1=1-  l2 z12 +O ж и  1 z14 ц ш ,

(3.10)

а асимптотика w будет иметь вид:

w=U0 ж и 1-  l2 z12 +O ж и  1 z14 ц ш ц ш coslJ    при    z1→∞,

(3.11)

где l = p/a.

Полученные асимптотики будут использованы в § 4 для сравнения с асимптотиками точного решения при a = p/2, т.е. при l = 2.

§ 4. Решение для случая прямого двугранного угла

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в декартовых прямоугольных координатах x,y,z имеют следующий вид [9]:

∂u ∂t +u  ∂u ∂x +v  ∂u ∂y +w  ∂u ∂z = -  1 r    ∂p ∂x +n∇2u,

(4.1)

∂v ∂t +u  ∂v ∂x +v  ∂v ∂y +w  ∂v ∂z = -  1 r    ∂p ∂y +n∇2v,

(4.2)

∂w ∂t +u  ∂w ∂x +v  ∂w ∂y +w  ∂w ∂z = -  1 r    ∂p ∂z +n∇2w,

(4.3)

где u,v,w - координаты вектора скорости,

∇2 = ж и  ∂2 ∂x2 ,  ∂2 ∂y2 ,  ∂2 ∂z2 ц ш .

Уравнение неразрывности:

∂u ∂x +  ∂v ∂y +  ∂w ∂z =0.

(4.4)

Будем, как и прежде, рассматривать слоистые течения, полагая u=v=0. Тогда уравнения (4.1) - (4.4) переходят в следующие:

∂p ∂x =0,

(4.1′)

∂p ∂y =0,

(4.2′)

∂w ∂t = -  1 r  ∂p ∂z +n ж и  ∂2w ∂x2 +  ∂2w ∂y2 ц ш .

(4.3ў)

∂w ∂z =0.

(4.4′)

Перепишем уравнение (4.3′) в виде:

1 r  ∂p ∂z = -  ∂w ∂t +n ж и  ∂2w ∂x2 +  ∂2w ∂y2 ц ш .

(4.3")

Левая часть этого уравнения, как следует из (4.1′) и (4.2′), не зависит от x и y, а правая, согласно (4.4′), - от z. Следовательно, они могут зависеть только от t. Таким образом,

1 r    ∂p ∂z =F(t).

Как мы видели в § 2, F(t)=0 и уравнение (4.3") записывается в виде

∂w ∂t =n ж и  ∂2w ∂x2 +  ∂2w ∂y2 ц ш .

(4.5)

Это уравнение ничем не отличается от канонического уравнения теплопроводности.

В плоскости x0y перейдем к косоугольным декартовым координатам x0h с координатным углом a. Этот переход осуществляется по формулам:

x = ax+by,    h = bx+ay,

где

a=  1 sin2a (cosb-sinbcosa),    b=  1 sin2a (sinb-cosbcosa).

Здесь оси прямоугольной системы 0x и 0y составляют с соответствующими осями косоугольной 0x и 0h одинаковые по модулю углы b = (p-2a)/4.

Переход к косоугольной системе координат в уравнении (4.5) дает:

∂w ∂t =n ж и (a2+b2)  ∂2w ∂x2 +2ab  ∂2w ∂x∂h +(a2+b2)  ∂2w ∂h2 ц ш .

(4.6)

Подобно тому, как это делалось с помощью степенной геометрии в § 3, определяются автомодельные переменные

s =  x 2 √ nt ,    t =  h 2 √ nt .

В этих переменных, полагая

w=U0f(s,t),

(4.7)

получим для функции f следующее уравнение:

(a2+b2)  ∂2f ∂s2 +2ab  ∂2f ∂s∂t +(a2+b2)  ∂2f ∂t2 +2s  ∂f ∂s +2t  ∂f ∂t =0.

(4.8)

с граничными условиями:

f = 0    при  s = 0    и при  t = 0,

(4.9)

f = 1    при    s = t→+∞.

(4.10)

Начальное условие

f = 1,    если  t=0,    st ≠ 0

(4.11)

при этом также будет выполняться.

Применяя метод разделения переменных, будем искать решение данной краевой задачи в виде:

f(s, t)=X(s)H(t).

(4.12)

Подставив это выражение в уравнение (4.8), получим:

(a2+b2)X"H+2abX′H′+(a2+b2)XH"+2xX′H+2hXH′=0.

(4.13)

Отсюда следует, что переменные разделяются, если ab=0, что, как легко видеть, возможно только при a = p/2. В этом случае косоугольная система координат превращается в прямоугольную, a=1, b=0, x = x, h = y и уравнение (4.8) распадается на два:

X"+2xX′=0,

(4.14)

H"+2yH′=0.

(4.15)

Решения этих уравнений выражаются через гауссову функцию ошибок:

erf  g=  2 Ц p g у х 0  e-m2 dm.

Таблицу ее значений можно найти, например, в [10, стр. 550 - 551].

Подстановка решений уравнений (4.14) и (4.15) в выражения (4.12) и (4.7) с использованием граничных условий (4.9), (4.10), дает:

w=U0  erf  x  erf  y.

(4.16)

При этом начальные условия удовлетворяются, поскольку erf (+∞)=1

[10, стр.478]. Сравним главные члены асимптотик полученного решения с асимптотиками (3.9) и (3.11). В случае прямого двугранного угла (при a = p/2) эти асимптотики, очевидно, совпадают, так как

erf g = (2/√{p})g+O(g³) при g→ 0 [11, стр.945] и erf g→ 1 при g→+∞.

Заключение

Итак, в цилиндрических координатах (§ 3) решение рассматриваемой задачи получено в виде:

w=U0  F1(z1)  cos  ((pJ)/a),

(4.17)

где функция трех независимых переменных w определяется в результате решения краeвой задачи для одного обыкновенного дифференциального уравнения (3.4).

В косоугольных декартовых координатах (§ 4) аналитическое решение получается с помощью метода разделения переменных только при a = p/2, т.е. когда координаты являются прямоугольными. Это решение дается формулой (4.16).

Проверено совпадение асимптотик этих двух решений при a = p/2.

Автор признателен А.Д. Брюно за полезные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1.     Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 c.

2.     Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: ГТТЛ, 1955, 520 c.

3.     Бэтчелор Дж.К. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973, 758 с.

4.     Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч.2. M.: Физматгиз, 1963, 612 c.

5.     Stokes G.G. On the effect of internal friction of fluid on the motion of pendulums. Trans. Cambr. Phil. IX 8 (1851).

6.     Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой.: Физматгиз, 1962, 480 с.

7.     Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1979. 256 с. = Bruno A.D. Local Methods in Nonlinear Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin, 1989, Part 1.

8.     Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Физматлит, 1998, 288 c. = Bruno A.D. Power Geometry in Algebraic and Differential Equations. Elsevier, Amsterdam, 2000.

9.     Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.: Наука, 1978, 736 с.

10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т.2.: Наука, 1985, 560 с.

11. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. : Физматгиз, 1962, 1100 с.

 

File translated from T_EX by T_TH, version 3.40.
On 20 Sep 2005, 17:00.