Равновесия и устойчивость спутника с центром давления в главной плоскости инерции

( Relative equilibria and stability of a satellite when the center of pressure of aerodynamic forces is on one of the satellite’s principal central plane of inertia
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

1. Введение

Равновесные конфигурации спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов на круговой орбите обсуждаются в значительном числе работ, далеко не полный обзор которых приведен, например, в [1,2]. Данный препринт также посвящен этой проблеме и развивает подход, предложенный в [1,2], применительно к более общей ситуации. 

В [1,2] показано, что в случае, когда центр давления аэродинамических сил лежит на одной из главных центральных осей инерции спутника, на круговой орбите существует от 8 до 24 изолированных положений равновесия. Найдены шесть групп изолированных решений, каждая из которых описывает четыре положения равновесия спутника. Получены как достаточные, так и необходимые условия устойчивости каждого из решений. Подробно исследована эволюция областей выполнения условий устойчивости для каждого из положений равновесия в зависимости от безразмерных  параметров задачи. Найдены все бифуркационные значения параметров, при которых области выполнения необходимых и (или) достаточных условий устойчивости изменяют свой качественный вид.

В настоящей работе рассматривается более общий случай, когда центр давления лежит в одной из главных центральных плоскостей инерции. Определены все положения равновесия и получены условия их существования в зависимости от трех безразмерных параметров системы. Численно-аналитическим методом проведен детальный анализ эволюции областей существования различного числа решений. Определены все бифуркационные значения параметров, при которых происходит изменение числа положений равновесия. Получены в виде простых неравенств достаточные условия устойчивости всех найденных равновесий. Проведен численный анализ эволюции областей выполнения достаточных условий устойчивости положений равновесия спутника при изменении безразмерных параметров системы.

2. Уравнения движения

Рассмотрим задачу о вращательном движении на круговой орбите спутника, подверженного действию гравитационного и аэродинамического моментов. Введем две правые декартовы системы координат с началом в центре масс  спутника.

 - орбитальная система координат. Ось  направлена вдоль радиус-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника; ось  направлена вдоль вектора линейной скорости центра масс .

 - связанная со спутником система координат;  суть главные центральные оси инерции спутника.

Определим ориентацию системы координат  относительно орбитальной системы самолетными углами α, β, γ (рис. 1).

Рис. 1

Тогда направляющие косинусы  задаются выражениями

(1)

а уравнения движения спутника относительно его центра масс записываются в виде [1]

                          (2)

                                                          (3)

В уравнениях (2), (3)

 - главные центральные моменты инерции спутника;  - проекции абсолютной угловой скорости спутника на оси ;  - угловая скорость движения центра масс спутника на круговой орбите;  - действующая на спутник сила сопротивления атмосферы;  - координаты центра давления спутника в системе координат . Точкой обозначено дифференцирование по времени . 

3. Положения равновесия спутника

         В [1] получена система уравнений

                                   (4)

позволяющая определить все положения равновесия спутника в орбитальной системе координат.  При этом , как элементы ортогональной матрицы, удовлетворяют условиям

                                           (5)

При  систему уравнений (4), (5) можно разрешить относительно . В результате получим

                                         (6)

Здесь  а направляющие косинусы  определяются уравнениями

(7)

После решения системы (7) формулы (6) позволяют определить оставшиеся шесть направляющих косинусов. Отметим, что решения (6) существуют лишь в том случае, когда из трех направляющих косинусов , ,  никакие два одновременно не обращаются в нуль. Случаи , ,  являются особыми и их следует рассматривать непосредственно обращаясь к системам (4) и (5).

В предыдущей работе [2] был рассмотрен частный случай, когда центр давления лежит на одной из главных центральных осей инерции спутника (). Далее исследуем более общий  случай, когда центр давления лежит в одной из главных центральных плоскостей инерции спутника. Пусть, например,  Тогда система (7) после введения безразмерных параметров

                                                      (8)

принимает вид

             (9)

Заметим, что безразмерный параметр , являясь по существу инерционным параметром спутника, сам по себе форму его эллипсоида инерции не определяет. Однако можно указать на связь  с безразмерными моментами инерции  и

.

При исследовании системы  (9) необходимо рассмотреть два случая:   и  .  При  имеем

                      (10)

Из второго уравнения системы (10) следует, что если , то и , и наоборот. Существование решения, для которого

                                                                                           (11)

исследуем путем анализа исходных уравнений (4), (5).  При этом уравнения (4) после перехода к безразмерным параметрам (8) и условия ортогональности (5) сводятся к системе

откуда следует уравнение четвертого порядка относительно

                                   (12)

В результате получаем положения равновесия

                                               (13)

где  - действительный корень уравнения (12). Равновесия (13), число которых может доходить до 8, образуют группу решений I.

Если переписать уравнение (12) в виде ,         где

то становится очевидным, что оно может иметь либо 2, либо 4 действительных корня (см. рис. 2, где показан типичный вид функций   и ).

                        а                                           б                                            в

Рис. 2: (а) ; (б) ; (в) .

Изменение числа корней происходит на поверхности, определяемой условиями

которые могут быть переписаны в виде

                                             (14)

При этом уравнение (12) имеет три корня, один из которых кратности 2 (рис. 2б).

Записав первое уравнение (14) в виде

и разделив его на второе уравнение, получим

откуда .  Подставляя найденное  во второе уравнение (14), получим

         .                                                                                                (15)

Таким образом, уравнение (12) имеет четыре корня при  и два корня при . Следовательно, общее число равновесных ориентаций для случая (11) в зависимости от соотношения между безразмерными параметрами  и  может быть 8  или 4.

Теперь рассмотрим систему (10) при  и . Разделив второе  уравнение системы на  и обозначив ,  перепишем его в виде

                     (16)

Решение уравнения (16) имеет вид

         ,                                                        (17)

где

                                 (18)

причем при любых параметрах системы . Чтобы убедиться в справедливости последнего неравенства, перепишем (18) в виде

                                        (19)

и заметим, что положительность детерминанта следует из (18), если , и из (19), если .

Первое и третье уравнения системы (10) при подстановке в них  приводят к системе

разрешая которую относительно  и  ,  получим

                                                                (20)

Поскольку  и   являются элементами матрицы направляющих косинусов, то должны выполняться условия  и . Однако, если

,                                                                                          (21)

то условия , в силу третьего уравнения системы (10), выполняются автоматически. 

Таким образом, для того, чтобы решения (17), (20) отвечали положению равновесия спутника, должны выполняться условия (21).

Проанализируем условия (21). С учетом (20) и соотношения

справедливого в силу второго уравнения (10), условия (21) принимают вид

                                                        (22)

Левые части (22)  представляют собой квадратные полиномы относительно . Запишем их в виде

         ,      ,                                            (23)

где

Введем также следующие обозначения коэффициентов уравнения (16):

Тогда подставляя

в неравенства (23), получим

                                          (24)

Таким образом, решения системы (10) при существуют и отвечают равновесным ориентациям спутника, если выполняются неравенства (24).

Вообще говоря, неравенства (24) могут выполняться для обоих или только для одного знака перед радикалом, что означает существование положений равновесия, отвечающих обоим корням (17), или только одному корню  или .  При этом, , направляющие косинусы  и  определяются из (20),  а остальные направляющие косинусы с учетом (6) и (8) принимают вид

                                   (25)

Очевидно, что и в этом случае число возможных равновесных ориентаций не превышает восьми. Далее будем называть эту группу решений – группа II.

Рассмотрим, наконец, систему (9) в случае . Тогда имеем

                                                                           (26)

Домножив правую часть второго уравнения (26) на , получим

Разделим полученное уравнение на  и обозначим  (легко показать, что в силу (26) ). Тогда получим уравнение

                      (27)

определив из которого  и подставив его в третье уравнение (26), записанное в виде

найдем два значения , а затем  соответствующие значения . Остальные направляющие косинусы можно получить, используя формулы (25) с учетом равенства .  Окончательный вид матрицы направляющих косинусов будет иметь вид

                          (28)

Так как число действительных корней уравнения (27) не превышает четырех, то система уравнений (26) определяет не более восьми равновесных ориентаций спутника. Далее будем называть эту группу решений – группа III.

Уравнение (27) четвертого порядка и аналогично (12) может иметь 4 или 2 действительных корня. Перепишем (27) в виде   где

На рис. 3  показано типичное поведение функций  и  .

Рис. 3: (а) ; (б) ; (в) .

Изменение числа корней происходит на поверхности, определяемой условиями

,

или   

откуда, исключая ,  после несложных преобразований получаем

         .                                                                                       (29)

Таким образом, уравнение (27) имеет 4 корня при  и два корня при  .  

4. Анализ эволюции  равновесий

Результаты анализа числа корней уравнений четвертого порядка (12) и (27) можно суммировать следующим образом.  Кривые (15) и (29) делят плоскость  на три подобласти (рис. 4). 

    Рис. 4

Если  то оба уравнения имеют по четыре корня и, следовательно, существует по 8 решений групп I и III; если  , то (12) имеет два корня, а (27) – четыре, то есть существуют 4 решения группы I и 8 решений группы III; если  , то оба уравнения имеют по два корня, то есть существует по 4 решения групп I и III.

Рассмотрим теперь решения группы II, для которых должны выполняться неравенства (24). Как отмечалось ранее, неравенства (24) могут выполняться для обоих или только для одного знака перед радикалом, что означает существование восьми  положений равновесия, отвечающих корням , или четырех, соответствующих  или . Условия (24) обращаются в равенства на кривых  и . В зависимости от знака перед радикалом в (24) кривые будем обозначать  ,  и , . В области, ограниченной кривыми  , , существуют 4 решения группы II, а в области, ограниченной кривыми  , , другие 4 решения этой группы. На пересечении этих областей существуют все 8 решений группы II. Пример областей выполнения неравенств (24) при  представлен на рис. 5.  Левый рисунок  соответствует положительному знаку перед радикалом, а правый отрицательному. В заштрихованных областях существуют по четыре решения. На рисунках также показаны границы (15) и (29).

                                                        Рис. 5

Результаты анализа числа решений группы II в этом случае можно суммировать следующим образом. Кривые ,  и ,  делят плоскость  на ряд подобластей, представленных на рис. 6. В области, выделенной голубым цветом (объединение областей выполнения (24) для положительного и отрицательного знаков), существуют  4 решения группы II, а в розовой области (пересечение областей выполнения (24) для положительного и отрицательного знаков) существуют все 8 решений группы II. Вне границы  нет решений группы II.

                               Рис. 6                                                          Рис. 7

На рис. 7 показано финальное разбиение плоскости  кривыми (15),  (29) и , , ,  на подобласти, в каждой из которых существует определенное число равновесий. Отметим, что кривые ,  симметричны относительно координатных осей, что непосредственно следует из (17), (20).

Интересно проследить эволюцию найденных положений равновесия при изменении параметров системы. Например, рассмотрим поведение решений при смещении в плоскости  из начала координат вдоль прямой    при фиксированном  (рис. 8). Каждое положение равновесия  группы I (группы III) определяется выбором одного из корней уравнения (12) (уравнения (27)) и выбором знака направляющего косинуса  (). Каждое положение равновесия группы II определяется выбором одного из корней уравнения (16) и выбором знаков направляющих косинусов  и . В соответствии с этим проиндексируем равновесия (табл. 1) и построим зависимости отвечающих им углов  от  (рис. 9).

Рис.8

Таблица 1

Рис. 9: Эволюция положений равновесий

Каждая кривая на рисунках снабжена индексом соответствующего ей решения и маркером. Маркер «квадрат» соответствует решениям группы I, маркер «круг» - решениям группы II и маркер «ромб» - решениям группы III.

         Как видно из рис.9, существуют 4 значения параметра , при которых происходит смена общего числа решений. При  существуют все 24 положения равновесия. Значение  соответствует пересечению прямой  и кривой (15). В этом случае 4 решения группы I перестают существовать (угол , соответствующий решениям 1.6 и 1.8, принимает значение , а решениям 1.5 и 1.7 - значение ). При  существуют 20 равновесных ориентаций, а при  (пересечение прямой  и границы (29)) перестают существовать 4 решения группы III (угол , соответствующий решениям 3.6 и 3.8, принимает значение , а решениям 3.5 и 3.7 - значение ). При существуют 16 равновесий. Значение  соответствует пересечению прямой и кривой  и 4 решения группы II (решения 2.(1-4)) перестают существовать. При  существуют 12 решений, а при  (пересечение прямой и кривой )  4 оставшихся решения группы II, а именно 2.(5-8), также исчезают. При  существуют только 8 положений равновесия, четыре из них соответствуют группе I (1.(1-4)), а другие четыре – группе III (3.(1-4)).  Углы  для решений первой группы имеют постоянные значения, а углы  с ростом  стремятся к постоянным значениям. Для решений третьей группы углы постоянны, а углы стремятся к постоянным значениям с ростом .

         Схематичный вид положений равновесия первой и третьей групп показан на рис. 10. Для группы I оси  и  параллельны или антипараллельны друг другу, угол между осями   и  определяется из соотношения  ,  а положение радиус-вектора центра давления  в плоскости  определяется углом , для которого .  Для группы III оси  и  параллельны или антипараллельны друг другу, угол между осями   и  определяется из соотношения  , а положение радиус-вектора центра давления  в плоскости  также, как и для группы I, можно определить из соотношения .

Для решений группы II ни одна ось связанной системы координат не совпадает ни с одной осью орбитальной системы координат, положение прямой  в плоскости , как и для других двух групп, определяется из соотношения  .

                            (1)                                                                        (2)

Рис.10: (1) группа I, (2) группа III.

         Теперь проследим за эволюцией областей выполнения условий (24) при изменении параметра , причем достаточно ограничиться рассмотрением . Действительно, из уравнения (16) следует, что при замене   . А, согласно (20), при замене  величины  не изменяются. То есть, значение параметра  является «центром симметрии» данной задачи. Для того, чтобы получить картину областей, описывающих различное число равновесий при , достаточно повернуть области выполнения (24) при  на  в плоскости . 

При анализе эволюции областей выполнения условий (24) особый интерес представляют случаи, когда кривые ,  проходят через характерные точки  , ,  и , так как при этом происходит качественная смена вида областей существования различного числа решений групп I-III. Из (24) следует, что на прямых неравенства в случае положительного знака перед радикалом обращаются в тождества, т.е. (24) выполняются для любого значения . Рассмотрим случай отрицательного знака. Неравенства (24) принимают вид

                                                                                           (30)

и все определяется знаками  и .

На прямой

Первое неравенство (30) выполняется для любого значения . Второе неравенство (30) верно, когда . Кривая   проходит через точки ,  когда  и , а кривая   проходит через эту точку, если  и . Напомним, что значения  нас не интересуют.  Кривая   проходит через точки  при  и , а кривая  проходит через эти точки при .

На прямой

Первое неравенство (30) выполняется, когда . Второе неравенство (30) верно для любого значения . Кривая  проходит через точку , когда , а кривая  проходит через эту точку, когда , . Кривая  проходит через точку (0, 4), если , а кривая  проходит через эту точку, если .

Таким образом, качественное изменение областей существования различного числа решений групп I-III имеет место при

Примеры областей выполнения (24) представлены на рис. 11. Здесь приведены характерные ситуации, при которых происходит качественная смена областей существования различного числа решений.

                                     1)                                        2)                                        3)

                                            4)                                                   5)                                          

                                      6)                                                   7)                                          

                                      8)                                        9)                                        10)

Рис. 11: Эволюция областей выполнения (24)

При  (рис. 11.2) происходит пересечение кривых  и (29) в точках , кроме того происходит зарождение новых областей, ограниченных кривой , в которых условия (24) не выполняются для положительного знака перед радикалом. При  (рис. 11.3), также происходит пересечение кривых  и (29), но уже в точках .  Значение  (рис. 11.4) соответствует пересечению кривых  и (29) в точках  и пересечению кривых , (15) в точках .  Дальнейшее уменьшение параметра  приводит к тому, что кривые  и   пересекаются, вследствие чего появляются области, в которых условия (24) не выполняются. При  (рис. 11.5) происходит касание кривых  и (29). При  (рис. 11.6) кривые , ,  пересекают  (15) в точках , кроме того, происходит зарождение областей, ограниченных кривой , в которых условия (24) не выполняются для отрицательного знака перед радикалом. Пример таких областей приведен на рис. 11.7.  Дальнейшее уменьшение параметра  ведет к «сужению» областей выполнения условий (24). При  все области выполнения условий (24) вырождаются в прямые . При дальнейшем уменьшении параметра , вид областей (24) претерпевает серьезные качественные изменения – эти области перестают быть замкнутыми.   При  кривая  вновь пересекает (15) в точках .

5. Достаточные условия устойчивости положений равновесия

Для получения достаточных условий устойчивости положений равновесия спутника воспользуемся обобщенным интегралом энергии [1]

Представим , ,  в виде

где , ,  - малые отклонения от положения равновесия спутника , , . Тогда интеграл энергии может быть записан в виде

где  обозначает члены выше второго порядка малости относительно ,, ,

Из теоремы Ляпунова следует, что решение , ,  устойчиво, если квадратичная форма

является определенно-положительной, то есть при

Заметим, что для решений (13)  и достаточные условия устойчивости упрощаются:

         ;

для решений (28)  и достаточные условия можно записать в виде

         .

Таким образом, для решений (13) достаточные условия устойчивости принимают вид

        (32)

Для решений (28) имеем

                       (33)

Исследование устойчивости стационарных решений группы II оказывается значительно более трудоемким. При этом должны использоваться соотношения  (17)-(20) для определения  и (25) для оставшихся элементов матрицы направляющих косинусов. Затем однозначно определяются углы , вычисляются коэффициенты квадратичной формы (31) и условия ее положительной определенности.

         Рассмотрим достаточные условия устойчивости решений (13) и (28) более подробно. Условия (32) в зависимости от соотношения между моментами инерции спутника А и С и с использованием безразмерных параметров (8) можно переписать в виде

                                           (34)

Здесь

Напомним, что  является вещественным корнем уравнения (12), причем в области, ограниченной кривой (15), существуют четыре таких корня, а в остальной части плоскости  только два. Кроме того, легко показать, что области выполнения достаточных условий устойчивости (34) в плоскости   симметричны относительно координатных осей.

  Аналогичным образом можно записать условия (33). Имеем

                                            (35)

где                                                                       

Здесь - один из действительных корней уравнения (27). Как и в предыдущем случае, уравнение (27) имеет четыре корня в области, ограниченной кривой (29), и два корня в остальной части плоскости  . Кроме того, области выполнения достаточных условий устойчивости (35) в плоскости   симметричны относительно координатных осей.

Для иллюстрации полученных результатов построим области выполнения достаточных условий устойчивости для решения группы I, соответствующего одному из корней (12), существующему на всей плоскости . Эволюция областей выполнения достаточных условий устойчивости в зависимости от величины параметра  представлена на рис. 12.

                                     1)                                                            2)

                                     3)                                                            4)

                                                          5)

                                                      Рис. 12

Границами областей устойчивости являются кривые  и .  В данном случае достаточные условия устойчивости выполняются только для конфигурации . При  достаточные условия устойчивости не выполняются. При  происходит зарождение областей выполнения достаточных условий устойчивости, ограниченных кривой  (рис. 12.1). Точки касания кривых  и  лежат на оси . Увеличение параметра   приводит к росту областей устойчивости, а точки касания кривых  и  стремятся к началу координат  и при  (рис. 12.3) совпадают с точками .  При  кривая  вырождается в прямую . Достаточные условия устойчивости выполняются во всей плоскости  при .

6. Заключение

В настоящей работе проведено исследование движения спутника относительно центра масс под действием гравитационного и аэродинамического моментов на круговой орбите. В частном случае, когда , , , определены три группы изолированных стационарных решений, каждая из которых описывает до восьми равновесных ориентаций спутника. Представлены в явном виде выражения для направляющих косинусов в зависимости от параметров ,  и  для всех найденных равновесий. Получены условия существования этих равновесий  в зависимости от безразмерных параметров задачи. Численно-аналитическим методом проведен детальный анализ эволюции областей существования различного числа решений в плоскости параметров  при различных значениях параметра . Определены все бифуркационные значения параметров, при которых происходит изменение количества положений равновесия. Получены достаточные условия устойчивости положений равновесия. Численно-аналитическим методом подробно исследована эволюция областей выполнения достаточных условий устойчивости в плоскости параметров  при различных значениях параметра .

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 03-01-00652) и Португальского Фонда по науке и технике.

Литература

1. V.A. Sarychev, S.A. Mirer. Relative equilibria of a gyrostat satellite with internal angular momentum along a principal axis, Acta Astronautica, 2001, Vol. 49, №11, 641-644.
2. В.А. Сарычев, С.А.Мирер, А.А. Дегтярев, Е.К. Дуарте. Исследование положений равновесия спутника, подверженного действию гравитационного и аэродинамического моментов, препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2004, №49.