Однородные движения плазменного шнура в электромагнитной гидродинамике

( Homogeneous motions of plasma cord in electromagnetic hydrodynamics
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Интерес к динамике плазменного шнура возник в 50-е годы прошлого века в связи с работами по управляемому термоядерному синтезу. Особенно важны режимы динамики шнура, обеспечивающие сильное сжатие и разогрев плазмы. В этой работе, в частности, показано, что подобные коллапсирующие режимы возникают при гомогенных (однородных) движениях плазменного шнура, когда радиальная скорость в каждый момент времени линейна по радиусу.

Поскольку радиальная скорость нечетна по радиусу, то в первом приближении любое цилиндрически симметричное течение плазмы можно считать гомогенным.

В газовой среде гомогенные течения были впервые исследованы Л. И. Седовым [1], а в плазме, в приближении классической магнитной гидродинамики (МГД), - А.Г. Куликовским [2] (библиографию см. в [3]). Согласно [2], [3], гомогенные движения МГД – плазменного шнура сводятся либо к периодическим пульсациям, либо к разлёту плазмы шнура, либо к его коллапсу на свою ось. При этом для любого типа движений полный ток  в шнуре остается постоянным.

В этой работе указан значительно более богатый запас гомогенных течений плазменного шнура с произвольным законом изменения полного тока . Более точно, найдены все гомогенные, без особенностей на оси, движения цилиндрически симметричного плазменного шнура, динамика которого подчиняется уравнениям электромагнитной гидродинамики (ЭМГД) [4]. В ЭМГД – теории, в отличие от МГД, электронная масса считается не равной нулю, но сохраняются, как и в МГД, допущения о квазинейтральности плазмы и квазистационарного электромагнитного поля.

В работе для гомогенных течений установлена следующая связь безразмерного радиуса шнура  с полным током :

,                  ,                                            (*)

где  - показатель адиабаты, ,  - константы, определяемые начальным состоянием шнура. Из соотношения (*) видно насколько ЭМГД содержательнее МГД: почти любой закон движения границы шнура  может быть реализован при подходящем полном токе  - надо лишь чтобы . Практически, однако, интереснее обратная задача: для заданного закона изменения полного тока  найти характер движения границы шнура . Для этого необходимо решить уравнение (*). Аналитически это возможно лишь в редких случаях, в случае  (соответствующего МГД – теории, [5]) уравнение (*) имеет первый интеграл энергии, позволяющий полностью проанализировать картину решений. В общем случае пока не удалось дать качественный анализ решений (*). Численные же исследования приводят к интересным выводам. При  (когда ) имеет место коллапс шнура на свою ось, который, в отличие от МГД, происходит за бесконечное время, сопровождаясь затухающими осцилляциями. Похожая картина коллапса в своё время была предсказана М. Розенблютом [6]. При (когда ) происходит разлет плазмы шнура, а когда  - ограниченная функция, возможны сложные резонансные и автоколебательные режимы динамики шнура. Здесь остаются нерешенными ряд физических и математических проблем.

Поскольку в ЭМГД для гомогенных течений полный ток в шнуре  произволен, то открывается заманчивая возможность, включив плазменный шнур во внешнюю электрическую цепь, исследовать на основе гомогенных движений влияние параметров и конфигурации цепи на режимы сжатия плазменного шнура. В работе выведено электротехническое уравнение для простейшей цепи из последовательно включенных емкости, индуктивности, сопротивления и плазменного шнура и приведены некоторые результаты расчетов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №06-01-00312.

§1. Основные уравнения.

1. Рассмотрим течение бездиссипативной нерелятивисткой плазмы. В гидродинамическом приближении параметры течения удовлетворяют уравнениям электромагнитной гидродинамики (ЭМГД – уравнения) [4]:

                                 (1)

где тензоры  и  вычисляются по формулам:

           (2)

Выше предполагалось, что электроны и ионы – идеальные политропные газы с общим показателем адиабаты , , а параметры электронов и ионов после решения системы (1-2) находятся по формулам:

,       ,       ,       .                          (3)

Система (1-2) отличается от уравнений классической [3] или холловской МГД [7] полным учетом инерции электронной компоненты. Это приводит к чрезвычайному богатству решений, в частности, большому разнообразию движений плазменного шнура.

2. Рассмотрим систему (1-2) в цилиндрически симметричном случае, дополнительно предполагая , , :

                  (4)

где , а производные параметры плазмы равны:

                                              (5)

При этом считается , где ,  - заданные числа, определяющие распределение полного давления между компонентами. Система (4) отличается от уравнений классической МГД только двумя слагаемыми

,          

в последнем уравнении системы. Если указанные слагаемые выкинуть, оставив все остальные члены последнего уравнения (равно как и другие уравнения) системы (4) без изменений, то получатся уравнения классической МГД для цилиндрически симметрического случая.

Наша цель – найти все гомогенные решения системы (4), т.е. такие, для которых:

,                                                                                   (6)

где  - функция подлежащая нахождению. Если подставить выражение (6) в систему (4), то для нахождения функций

,    ,    ,    ,   

получим уравнения:

            (7)

Ниже будут найдены все решения системы (7), не имеющие особенности на оси .

§2. Гомогенные решения в ЭМГД.

Мы укажем точные решения системы (7) двух типов. Потом окажется, что любое другое решение (7) принадлежит к одному из указанных типов.

3. Прямая подстановка в систему (7) показывает, что она допускает решения вида:

                            (8)

где  – произвольная, ,

                   (9)

- произвольные константы. При этом  – положительное решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

,        ,       ,                                 (10)

где точка означает дифференцирование по , а штрих – дифференцирование по .

В случае знака «+» решение (8-10) определено для всех , , а в случае знака «–» – для всех , . Однако физические ограничения ,  могут дополнительно сузить область определения решения (8-10). Таким образом, система (8-10) помимо константного произвола  обладает функциональным произволом . Производные параметры плазмы для решения (8-10), согласно (5), вычисляются по формулам:

               (11)

4. В работах [2, 3, 5] были указаны более простые решения системы (7). А именно непосредственной подстановкой проверяется, что эта система имеет решения вида:

                               (12)

где , ,  - произвольная кусочно-гладкая и кусочно-непрерывная неотрицательная функция,

,        ,                    (13)

 - произвольные константы, а  - положительное решение обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка

                                                              (14)

Выше считалось, что для решения (12-14) функция  имеет на  конечное число точек разрыва 1-го рода, причем  не является точкой разрыва , и на любом сегменте, лежащим в  и не содержащим внутри себя точек разрыва,  непрерывно дифференцируема. Тем самым допускаются и разрывные решения системы (4), линиями разрыва которых являются кривые , где – любая точка разрыва . Полученные разрывы относятся к контактным: они двигаются вместе с веществом плазмы и не перемещаются по массе. В частности, на линии разрыва все характеристики плазмы, кроме плотности тока, плотности, температуры, энтропии и внутренней энергии плазмы, непрерывны и могут иметь самое большее слабые разрывы, перечисленные же параметры плазмы на линии разрыва претерпевают скачок. Решение (12-14) удовлетворяет и МГД – уравнениям: на этом решении указанные в п.2 два “лишних” слагаемых в последнем уравнении системы (4), которыми ЭМГД отличается от МГД, взаимно уничтожаются. Производные параметры течения для решения (12-14) вычисляются по формулам:

                       (15)

Решение (12-14) легко проанализировать, поскольку уравнение (14) имеет первый интеграл:

,

где

,

откуда:

.

Таким образом,  лежит в потенциальной яме . В частности, для физически наиболее интересного случая ,  функция  - периодическая, с периодом

,

где  - корни уравнения  (при  и  это уравнение имеет ровно два корня).

В итоге приходим к периодическим пульсациям плазменного шнура. В других логически возможных случаях получаем либо разлет плазменного шнура (), либо коллапс его на свою ось [3].

Полученное решение также, как и решение п.3, обладает функциональным произволом, однако этот произвол ведет к большому разнообразию пространственных профилей параметров течения, временная же динамика при этом остается достаточно бедной – это в основном периодические колебания характеристик плазмы. Для решения п.3 всё наоборот: функциональный произвол приводит к большому разнообразию временной динамики течения, в чём мы убедимся ниже, а пространственные распределения параметров плазмы табулируются несколькими характерными типами.

Если параметры плазмы не имеют особенностей на оси , то любое гомогенное решение, как показано в §5, совпадает с решениями пп. 3, 4.

§3. Гомогенные движения плазменного шнура.

Рассмотрим цилиндрически симметричный плазменный шнур радиуса  в момент времени . Допустим, течение плазмы в шнуре подчинено ЭМГД – уравнениям (4), а вне шнура эволюция вакуумного электромагнитного поля удовлетворяет квазистационарным уравнениям Максвелла. На границе шнура  электромагнитное поле считается непрерывным (отсутствуют поверхностные токи и заряды). Полный ток  в шнуре удовлетворяет электротехническому уравнению внешней цепи, которое позже будет рассмотрено. Пока же будем считать  произвольной функцией времени. Наконец, на границе шнура , очевидно, .

Выражение для вакуумного электромагнитного поля имеет вид:

,          ,          ,                   (16)

где  находится из решения ЭМГД – уравнений в шнуре.

5. Ограничимся ниже изучением только такой динамики шнура, при которой параметры плазмы в шнуре являются гомогенными. Рассмотрим сначала решение п.3. Поскольку плазма в шнуре расположена вплоть до оси , то в формулах (9) из п.3 надо взять знак «+». Тогда константа  вычисляется по константе  из условия  при :

.

Отсюда следует, что величина  постоянна и равна начальному (при ) радиусу шнура , в частности,

,          .

Очевидно,  это давление плазмы на оси  в момент времени . Константа  имеет размеренность длины и равна:

где  – плотность плазмы на оси  в момент времени . Наконец, константа  при  связана с электрическим полем  на оси в момент времени  формулой:

.

Функция  выбирается произвольно. В зависимости от её выбора получается большое разнообразие эволюции безразмерного радиуса  шнура в соответствии с дифференциальным уравнением (10). Уравнение (10) можно рассматривать как уравнение движения материальной точки единичной массы на полуоси  под действием двух сил: притягивающей к центру  силы  и отталкивающей силы .

Итоговое движение точки существенно зависит от вида функции . Из механической аналогии следует, что при  (когда ) радиус шнура  должен стремится к 0. т.е. происходит коллапс шнура за бесконечное время на свою ось, при  (когда ) радиус шнура  должен неограниченно увеличивается, т.е. происходит неограниченное расширение шнура. Детальное выяснение характера этих процессов для заданной функции  – предмет особого исследования. Особенно интересно выяснить характер движения шнура, когда  ограниченная (например, периодическая) функция. Этот интерес подогревается тем обстоятельством, что  с точностью до числового множителя совпадает с полным током  в шнуре в момент времени :

                              (17)

Проиллюстрируем сказанное следующим примером. Закон движения границы шнура

реализуется, как это следует из (10), для

.

При  функция  заведомо определена на  и убывает при  до нуля, в то время как , т.е. происходит неограниченное расширение шнура.

Если

,

то  определена на , неограниченно увеличивается при , , а  при , т.е. происходит коллапс шнура на свою ось за бесконечное время.

В предыдущем примере радиус шнура уменьшается до нуля или увеличивается до бесконечности за бесконечное время монотонно. В общем случае это не так. Рассмотрим типичный пример. На Рис.1 изображен график  для , ,  и начальных условий , , полученный численно.

Рис. 1 Радиус шнура .

Из него следует, что при линейном нарастании полного тока за бесконечное время шнур, осциллируя, коллапсирует ( при ) на ось . При этом амплитуда колебаний при  стремится к 0, а частота колебаний – к бесконечности. Любопытно, что похожий характер коллапса плазменного шнура был в своё время предсказан Розенблютом [6].

В случае ограниченной  (синусоидальньный полный ток в шнуре) характер движения границы шнура зависит от  и , в частности, от соотношения  и собственной частоты колебаний шнура , которая равна частоте малых гомогенных колебаний границы шнура при :

.

При  наблюдается явление нелинейного резонанса: возникают сложные колебания границы, которые в зависимости от  приводят либо к автоколебаниям для  (Рис. 2а, 2б), либо к катастрофическому нарастанию амплитуды (Рис.3) для . При промежуточных  возникают сложные переходные колебательные процессы (Рис. 4). Теоретический анализ этого явления ещё предстоит дать.

Рис. 2а. Радиус шнура ().

Рис. 2б. Радиус шнура ().

Рис. 3. Радиус шнура ().

Рис. 4. Радиус шнура ().

6. Перейдем в решении (8-10) к лагранжевым массовым переменным. Пусть

массовая переменная. Рассмотрим отображение:

,

,     .

Очевидно,  - монотонно возрастающая гладкая функция, поэтому определена обратная функция  и тогда:

,     .

Подставляя последние выражения в формулы (8), с учетом (9) получим запись решения (8-10) в лагранжевых переменных в случае выбора знака «+»:

Производные параметры шнура равны:

Заметим, что в полученных выражениях для всех параметров плазмы, за исключением , переменные разделяются.

Аналогично переходят к лагранжевым переменным в решение (12-14):

,

где  функция:

,    .                             (18)

Если  - обратная к ней функция, то

и формулы (12) дают:

    (19)

где  – решение уравнения (14), , .

Производные параметры плазмы равны:

При этом полный ток в шнуре постоянен:

.

Конкретные формулы зависят от выбора функции . Например, пусть:

.

Тогда из (18) следует:

,       ,

,                  ,           .

Отсюда, считая в (13) , , получим:

.

Теперь из (19) легко получаются нужные формулы:

Производные параметры плазмы равны:

Приведенные формулы значительно упрощаются для , когда плотность плазмы в шнуре постоянна. При  имеем , т.е. на границе шнура плотность равна нулю.

7. Рассмотрим более подробно разрывные решения п.4. Если в формулах (12-13) функция имеет конечное число разрывов 1-го рода, то каждый разрыв  функции  порождает контактный разрыв в решении, двигающийся по закону , где  - решение уравнения (14). В точке  терпят произвольный разрыв плотность, температура, внутренняя энергия, энтропия и плотность тока, а давление, скорость и компоненты электрического и магнитного полей непрерывны. При этом разрыв  не перемещается по массе. Поскольку, как отмечалось выше, решение (12-14) удовлетворяет МГД – уравнениям, то на каждом разрыве  выполнены известные из МГД – теории соотношения (типа Гюгонио) [3]. В то же время, как показано в [8], если ЭМГД – решение претерпевает разрыв 1-го рода вдоль поверхности , то 9 скалярных скачков величин  могут быть найдены из следующих 9 скалярных соотношений на поверхности  (квадратные скобки здесь означают скачок величины на разрыве):

       (20)

где  – нормаль к поверхности , а – её нормальная скорость в данной точке,  - тангенциальная компонента скорости. Наконец,

        (21)

При этом  и тангенциальная компонента электрического поля  непрерывны на , допускается разрыв только нормальной компоненты .

Легко убедиться, что для решения п.4 условия на разрыве (20-21) выполнены, причем нормальная компонента электрического поля  тоже непрерывна. Более того, это решение является контактным разрывом, поскольку для него  по обе стороны от разрыва (поверхность разрыва  для решения п.4 состоит из боковых поверхностей цилиндров  по всем точкам разрыва  функции ).

Рассмотрим конкретный пример. Пусть ,  - фиксированные положительные числа. Положим:

Тогда:

Условие  связывает величины  и :

.

Тогда

имеет в каждый момент времени  разрыв 1-го рода в точке  функции:

,                

непрерывны, а  даже непрерывно дифференцируема. Считая , в формулах (13), получим:

откуда выводим:

,              .

Наконец, выражение для плотности  тока имеет вид:

Из полученных выражений следует, что величины  и  имеют разрыв 1-го рода на линии , но при этом величина  на этой линии непрерывна. Значит аксиальные компоненты скоростей электронов и ионов

тоже непрерывны на разрыве. Как следует из (15), выражение  не зависит от  и, очевидно, непрерывно дифференцируемо по  и .

Запишем полученное решение в лагранжевых координатах. Пусть:

Выражая отсюда  через , получим:

Подставляя это выражение в полученные выше формулы, имеем:

где  – решение уравнения (14) с начальным условием . Итак,  имеет в точке сильный разрыв, ,  (и значит ) – слабые разрывы, а  вовсе не имеет разрывов. Плотность тока  тоже имеет в точке  сильный разрыв:

§4. Динамика плазменного шнура с учетом внешней цепи.

8. Как уже говорилось, ток в плазменном шнуре замыкается на внешнюю цепь, которая в простейшем случае состоит из последовательно включенных индуктивности (), емкости () и сопротивления ().

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть  – фиксированный объем, содержащий плазму и электромагнитное поле, через который проходит ток цепи:

Рис.5. Схема электрической цепи.

Чтобы получить дифференциальное уравнение для тока  (электротехническое уравнение цепи), рассмотрим баланс энергии в цепи. Пусть  – заряд верхней пластинки конденсатора (см. Рис.5), где нумерация пластинок определяется направлением тока в контуре, тогда

.                                                     (22)

Энергия электромагнитного поля в объеме , индуктивности  и конденсаторе  равна соответственно [9]:

,                ,                .

Уменьшение суммарной энергии за единицу времени равно потерям энергии на тепло (джоулев нагрев) в сопротивлении  и объеме  которые соответственно равны [9]:

,                .

Отсюда получается основное уравнение баланса энергии:

.                                           (23)

Интегралы в (23) определяются параметрами течения плазмы в объеме . Эти параметры находятся из решения ЭМГД – уравнения в области , при этом ток  определяет граничные условия для электромагнитного поля в области . Поэтому ЭМГД уравнения (1-2) вместе с уравнением (23) образуют полную систему уравнений для нахождения как параметров течения плазмы в объеме , так и тока  в цепи на Рис.5. В общем случае эта полная задача весьма нетривиальна и с переменным успехом решается в частных случаях для более простых моделей плазмы исключительно численными методами (например, для МГД – плазмы см. [10, 11]). Однако, если считать что параметры плазмы подчиняются гомогенному решению из п.3, то возможно получить точное аналитическое решение указанной выше полной системы. Причина этого в том, что для решений п.3 полный ток  может быть произвольной гладкой функцией, которую поэтому в принципе можно подобрать так чтобы она удовлетворяла ещё и уравнению (23), записанному на гомогенном решение из п.3. В итоге динамика параметров цепи и плазмы выражается по явным формулам через полный ток  и радиус шнура , эволюция которых подчиняется выводимым ниже обыкновенным дифференциальным уравнениям. Тем самым общая нетривиальная задача сводится в данном случае к шаблонному численному решению обыкновенных дифференциальных уравнений, что может быть выполнено с высокой точностью. С другой стороны, открывается уникальная возможность на гомогенных решениях исследовать влияние конфигурации и параметров внешней цепи на динамику плазмы. Реализация этой возможности может привести к весьма важным рекомендациям по режимам нагрева и удержания плазмы.

Перейдем к деталям. Рассмотрим конкретную ситуацию, когда  – цилиндр длины  и радиуса , а ток течет по плазменному шнуру радиуса . Предполагается, что торцы цилиндра представляют собой электроды, преобразующие плазменный ток в ток электрической цепи. При этом процессом трансформации тока шнура в ток цепи мы, естественно, пренебрегаем. Считая течение плазмы цилиндрически симметричным, получим:

(24)

где

области, занятые плазмой и вакуумом соответственно, а  в вакууме вычисляется по формуле:

,                  ,         .

Будем теперь считать, что параметры плазмы в шнуре подчиняются формулам п.3 для найденного точного аналитического гомогенного решения ЭМГД – уравнений. Тогда для  в шнуре, учитывая связь (17) функции  с полным током , имеем:

,    .

Поэтому интеграл в правой части равенства (24) легко вычисляется:

,

где

                                    (25)

Поэтому из (24) получаем окончательное выражение:

,                                                            (26)

где  вычисляется по формуле (25). Итак, мы вычислили один из интегралов в балансе энергии (23) на гомогенном решении из п.3. Для второго интеграла имеем:

.                                                     (27)

Но для решения п.3, учитывая формулы (8, 9, 11) и формулу (17), связывающую  с , получим:

,

.

Подставляя эти выражения в (27), после несложного интегрирования получим:

,                                                        (28)

где

.                  (29)

Подставляя (26) и (28) в баланс энергии (23), приходим к дифференциальному уравнению для полного тока  (электротехническое уравнение цепи):

.  (30)

С учетом связи (22) между  и , равенства  и уравнения (10), которому удовлетворяет безразмерный радиус шнура , получим систему уравнений для нахождения функций , :

                                              (31)

где

,          .

В безразмерном виде система (31) перепишется так:

                                                          (31’)

где

,                   ,

,       ,            

здесь – безразмерные константы:

,   ,   ,   ,   ,   ,

- характерные масштабы плотности, давления и т.д. (при этом , , ),  – значения плотности и давления в момент времени  на оси шнура. Наконец,  - безразмерная масса шнура, вычисляемая по формуле:

.

На Рис. 6, 7, 8 представлены решения системы (31’) для начальных условий:

, , , , .

Рис. 6. Радиус шнура .

Рис. 7. Ток в цепи .

Рис. 8. Заряд конденсатора .

§5. Вывод аналитических решений.

9. Укажем вкратце способ интеграции системы (7). Первое и третье уравнения системы (7) имеют общие характеристики. Интегрируя уравнения характеристик , получим явный вид характеристик:

,      ,                                            (32)

интеграция первого и третьего уравнений (7) вдоль характеристик (32) даёт:

                                 (33)

где  - произвольные функции, заданные на полуоси . Преобразование четвертого и пятого уравнений системы (7) основано на следующем ключевом наблюдении [5]: функция  является частным решением пятого уравнения системы (7). Поскольку это уравнение линейно по , то его общее решение имеет вид:

,                                                                        (34)

где  – решение однородного уравнения

.

Переходя в последнем уравнении к переменной  с учетом (33), получим равносильное уравнение для нахождения :

.                                                                      (35)

Несложно установить, что к нетривиальным решениям системы (7) без особенностей на оси приводят только решения (35) вида . Для таких решений удовлетворяет уравнению:

,                                                                             (36)

где штрих означает здесь и ниже дифференцирование по . Подставляя выражение  в (34), а (34) – в четвертое уравнение системы (7), получим уравнение для :

.

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных 1-го порядка относительно , характеристики которого совпадают с (32). Интегрируя его вдоль характеристик, получим:

,      ,                                          (37)

где ,  - произвольная функция, а  – произвольная первообразная функции .

Итак, мы выразили функции  через  с помощью функций , которые связаны пока единственным соотношением (36). Подставим выражения (33), (37) во второе уравнение системы (7) , вводя при этом новую переменную и учитывая равенства:

,     ,

где точка над буквой означает дифференцирование по .

В итоге придем к следующему равенству:

.     (38)

В уравнении (38) все дроби в квадратных скобках являются функциями от , а . Поэтому, как несложно проверить, если параметры плазмы не имеют особенностей на оси , то указанные дроби должны быть постоянными:

, , , .        (39)

Из четвертого равенства (39) и (36) найдем , считая . В самом деле, из (36) находим  и подставляем это выражение в четвертое равенство (39):

.

Откуда элементарным интегрированием получаем:

,           .                                 (40)

Т.к. , то . Если , то , иначе под корнем в (40) будет всегда отрицательное число, а . Но для таких , очевидно, , что невозможно. Поэтому . Обозначая ,  перепишем (40) в виде:

,              .                                     (41)

Далее, обозначая ,  перепишем второе и третье соотношение (39) с учетом четвертого в виде:

,              .

Отсюда, очевидно, следует , . Значит

,           .                                                             (42)

Из первого соотношения (39) следует

,        ,          .                       (43)

Теперь из (38) с учетом (42,41,43) получится уравнение для нахождения :

.

Подставляя в (34), (37), (43) выражения для , и заменяя  на  ( - произвольная первообразная ), получим все заявленные в п.3 формулы.

Что касается формул п.4, то они получаются в случае . Тогда (36) выполнено всегда, а выражение (37) для  и уравнение (38) упрощаются:

,            .

Дроби в квадратных скобках являются константами:

,    .                                                                    (44)

Отсюда следует, что  - произвольная функция, а простая интеграция соотношений (44) приводит к формулам п.4.

Литература

1.     Седов Л.И. Об интегрировании уравнений одномерного движения газа // ДАН СССР, 1953. Т. 90. №5

2.     Куликовский А.Г. К вопросу о пульсации плазменного шнура // ДАН СССР, 1957. Т. 114. №5

3.     Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: “Логос”, 2005

4.     Гавриков М.Б. Линейные волны в нерелятивистской магнитной гидродинамике. Препринт ИПМ им. М.В, Келдыша АН СССР, 1988, №199

5.     Гавриков М.Б., Соловьев Л.С. Одномерные движения плазмы в двухжидкостной электромагнитной гидродинамике // Письма в ЖТФ, 1991. Т. 17. №12

6.     Розенблют М. Динамика сжимающегося газа. Магнитная гидродинамика (материалы симпозиума): Пер. с англ. М.: Атомиздат 1958

7.     Морозов А.И., Соловьев Л.С. Стационарные течения плазмы в магнитном поле. Сб. статей. Вып.8. М.: Атомиздат, 1974

8.     Гавриков М.Б. Основные уравнения электромагнитной гидродинамики, Часть II. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2006 (в печати).

9.     Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М, Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 1982

10. Дьяченко В.Ф., Имшенник В.С. В сб. Вопросы теории плазмы. Вып. 5. М.: Атомиздат, 1967

11. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: “Наука”, 1973