Применение реактивных двигателей для управления поступательным движением КА одновременно с разгрузкой кинетического момента электромеханических исполнительных органов

( Use of jet engines for orbital movement control of a spacecraft, simultaneously with dumping the momentum of electromechanical actuators
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Существуют схемы управления космическим аппаратом (КА), в которых управление линейным и угловым движением КА осуществляется с помощью реактивных двигателей (РД) с направленными под углом к осям связанной с центром масс КА системы координат и смещенными относительно центра масс КА линиями действия тяг (см. рис. 1). Подобная схема установки РД отличается возможностью создания векторов силы и момента произвольной ориентации относительно центра масс КА при использовании сравнительно малого числа реактивных двигателей (8 двигателей).

На КА с длительным сроком функционирования управление угловым движением целесообразно организовать с помощью электромеханических исполнительных органы (ЭМИО) – двигателей-маховиков (ДМ) или силовых гироскопов (ГД), что обеспечивает экономию рабочего тела, используемого для обеспечения управления линейным движением КА с помощью реактивных двигателей. Управление угловым движением КА с помощью ЭМИО основано на перераспределении кинетического момента между КА и группой исполнительных органов (ДМ или ГД), установленных на КА. В процессе работы таким исполнительным органов требуется периодическая разгрузка, чтобы собственный кинмомент ЭМИО, накопленный в процессе управления, не превышал определённого порога. Разгрузка осуществляется путём создания реактивными двигателями внешнего момента заданной величины и направления.

В данной работе рассматривается возможность применения симметричной схемы установки реактивных двигателей для формирования вектора силы, приложенного к центру масс КА для коррекции его орбитального движения (далее корректирующего импульса) и одновременно с этим разгрузки ЭМИО, установленных на космическом аппарате путём создания импульса момента (кинмомента) заданной величины.

         Схема установки реактивных двигателей представлена на рис. 1. Здесь XYZ – связанная с центром масс КА система координат; РД№1…8 – реактивные двигатели; - углы установки двигателей; - координаты двигателей. Ориентация вектора тяги РД относительно системы координат XYZ задаётся двумя поворотами (см. рис. 2). Первый поворот на угол - вокруг оси ; Второй поворот на угол - вокруг оси . Здесь - система координат, связанная с РД, направление действия силы тяги двигателя P – по оси ; вектор силы тяги, создаваемой РД: .

   ,    ,  .                (1)

Рис. 1

Момент, создаваемый двигателем относительно осей системы координат XYZ: , где  - радиус-вектор точки приложения силы РД в связанной системе КА (см. рис. 1).

Рассмотрим следующую задачу: сформировать с помощью РД некоторый заданный вектор корректирующего импульса , таким образом, чтобы при работе РД одновременно было сформировано заданное приращение кинмомента КА . Здесь - проекция КИ на ось X, - проекция КИ на ось Y, - проекция КИ на ось Z, - проекция приращения кинетического момента на ось OX, - проекция приращения кинетического момента на ось OY, - проекция приращения кинетического момента КУДМ на ось OZ.

Импульс силы, создаваемый реактивными двигателями: , приращение вектора кинетического момента (импульс момента):  где - время работы РД.

Потребуем, чтобы выполнялась система уравнений:

Здесь j,k,l,m,q,s – номера РД, установленных на КА (см. рисунок 1) и определяющих РД, которые необходимо включить на время, определяемое вектором  чтобы обеспечить выполнение поставленной задачи. Данная система уравнений содержит 6 переменных, то есть требуется включение 6 реактивных двигателей. Искомой величиной является вектор . Решение системы в матричном виде:                                                   (4)

Здесь  - вектор, состоящий из компонент заданных векторов корректирующего импульса и приращения кинетического момента КА;

Для n=8 существует 28 сочетаний j,k,l,m,q,s, удовлетворяющих условиям (5).

Можно утверждать, что задача формирования заданного импульса силы одновременно с заданным приращением кинетического момента решена, если для заданного вектора существует такое сочетание j,k,l,m,q,s, для которого решение (4) системы (3) даёт вектор , все компоненты которого неотрицательны. То есть сохраняется физический смысл компонент вектора , определяющих время работы соответствующих реактивных двигателей.

Предположим, что схема установки РД на КА симметрична относительно центра масс КА. То есть модули проекций сил и моментов РД на связанные оси КА одинаковы для всех РД (что может быть обеспечено конструктивно):

,,,,,, i=j,k,l,m,q,s.

Это обеспечивается равенством с точностью до знака углов установки и координат точек приложения сил РД. Зададим значения углов установки и координат точек приложения сил РД для схемы на рис. 1. В таблице 1 , - углы установки i-го РД, ,,- координаты установки i-го РД.

Таблица 1.

В системе (3) разделим обе части уравнения на величину  модуля тяги РД, получим в матричном виде:

Введём обозначения:

где - модуль тяги РД; ,,,,, есть величины, рассчитанные по соотношениям (1) и (2) с для заданных величин , , , , . Величины  не зависят от характеристик конкретных РД и характеризуются только углами установки и координатами РД.

Матрицы  для различных вариантов сочетаний номеров j,k,l,m,q,s можно представить ввиде произведения диагональной матрицы S на матрицу N, элементами которой являются +1 и -1.

,    где , .

Матрица S определяется параметрами установки РД, матрица N_i определяется сочетанием номеров включаемых РД.

Определитель матрицы : , где ,  в зависимости от сочетания РД. Таким образом, для 16 вариантов сочетаний  или ; для 12 вариантов , Здесь . То есть для 16 вариантов сочетаний номеров РД из 28 возможных можно записать аналитическое выражение для матрицы  и рассмотреть условия неотрицательности компонент вектора .

Рассмотрим далее матрицу  для группы РД с номерами 1,2,3,4,5,6 и запишем выражения для решения системы (6), то есть компонент вектора .

В этом случае:

.

Найдём матрицу . Воспользуемся соотношением: ,

где

, .

Для рассматриваемой матрицы:

              .

Выражения для компонент вектора :

         Здесь - компоненты вектора  (см. выражения 6).

Из условия неотрицательности компонент вектора  имеем систему неравенств:

        (9)

Положим , то есть потребуем, чтобы кинетический момент КА не изменился в процессе формирования корректирующего импульса. В этом случае неравенства (9) записывается в виде:  или, учитывая выражения (1) и (7):

                               (10)

Последнее неравенство в системе (10), учитывая положительность углов и , автоматически получается из первых двух неравенств. Таким образом, в пространстве направлений векторов корректирующего импульса область, в которой выполняются неравенства (10), ограничена 4 плоскостями (см. рисунок 3), положение которых определяется геометрией схемы установки РД.

Углы между плоскостями равны: ,  .

Для оценки суммарного огневого времени просуммируем уравнения (8). Суммарное огневое время равно . Данное выражение можно представить, как скалярное произведение двух векторов , где ,  . В выражение для величины  не входит составляющая  и для заданного вектора , компоненты которого удовлетворяют условиям (10) огневое время уменьшается с увеличением составляющей  за счёт соответствующего уменьшения  и . Вектор  определяется первыми тремя компонентами вектора  - величиной заданного корректирующего импульса, а вектор - геометрическими характеристиками схемы управления. Скалярное произведение векторов максимально тогда, когда угол между векторами равен нулю, то есть вектора  и  совпадают по направлению. Следовательно, данное сочетание РД имеет наименьшую эффективность в направлении вектора . Компоненты вектора корректирующего импульса в этом случае:

,         ,       .

В пространстве направлений вектора корректирующего импульса, имеющего модуль  можно построить область значений суммарного огневого времени, образованную векторами, направление которых совпадает с направлением корректирующего импульса, а модуль равен суммарному огневому времени РД. Такая область представляет собой часть сферы (см. рис. 4 и 5) диаметром, равным максимальному огневому времени: , координаты центра которой равны: , . Часть сферы отсекается плоскостями, изображёнными на рис. 3. Если в неравенствах (9) компонента , то неравенства принимают вид:

В пространстве единичных векторов корректирующего импульса область, в которой выполняются условия системы (11), ограничена 4 коническими поверхностями с вершинами в начале координат, высоты которых лежат в плоскостях XZ и XY, а основания которых параллельны плоскостям, взаимное угловое положение которых (углы и ) соответствует рисунку 3, однако плоскости эти сдвинуты по осям Y и Z на величины соответственно  и  (см. рисунок 6). Углы при вершинах конических поверхностей равны, соответственно   , . Суммарное огневое время равно . Данное выражение можно представить, как сумму скалярного произведения двух векторов  и  и константы :     .   Аналогично предыдущему случаю, скалярное произведение векторов максимально тогда, когда угол между векторами равен нулю, то есть вектора  и  совпадают по направлению. Добавка огневого времени  на создание импульса момента вокруг оси Х не зависит от направления вектора корректирующего импульса. Для заданной величины модуля вектора корректирующего импульса  и величины , область значений суммарного огневого времени, образованная векторами, направление которых совпадает с направлением корректирующего импульса, а модуль равен суммарному огневому времени РД представляет собой фигуру, образованную суммой двух сфер: сферы радиуса (огневое время на создание импульса момента ) с центром в начале координат, и сферы, аналогичной изображённой на рис. 5, диаметром, равным максимальному огневому времени на корректирующий импульс: , координаты центра которой равны: ,  .   Фигура ограничена четырьмя описанными выше коническими поверхностями, а также, при некоторых значениях  и , плоскостью, определяемой третьим неравенством выражения (11) (см. рисунки 7,8). Эта плоскость перпендикулярна направлению, в котором достигается максимальное значение потребного огневого времени   .

Если в неравенствах (9) положить , то неравенства принимают вид:

Здесь ,

,      

В пространстве единичных векторов корректирующего импульса область, в которой выполняются неравенства (12), ограничена 4 коническими поверхностями с вершинами в начале координат, высоты которых лежат в плоскостях XZ и XY, а основания которых параллельны плоскостям, взаимное угловое положение которых (углы и ) соответствует рисунку 3, однако плоскости эти сдвинуты по оси X на величины соответственно  и  (см. рисунок 9). Углы при вершинах конических поверхностей равны, соответственно ,       .

Данная область также, при определённых значениях , ограничена полуплоскостью, определяемой третьим неравенством выражения (12). Плоскость, определяющая эту полуплоскость, перпендикулярна плоскости YZ, наклонена под углом  к плоскости XY и смещена от начала координат на величину  по оси Y (см. рисунки 10,11).

корректирующего импульса делится 6-ю плоскостями (см. рисунок 14) на 12 частей. Уравнения плоскостей:

На рис. 12 цифрами обозначены сочетания РД, которые дают неотрицательные решения уравнений (4). При этом рабочие области всех 12 групп не пересекаются и между ними нет пустых областей, в которых система (4) не имеет неотрицательных решений. Таким образом схема управления, состоящая из 8-ми РД обеспечивает возможность выдачи корректирующего импульса, произвольно ориентированного в связанной с КА системе координат, сохраняя при этом исходное (до начала КИ) состояние комплекса двигателей-маховиков (или гиродинов). При наличии ненулевых  данные 6 плоскостей подвергаются смещению на величины, пропорциональные . При этом также рабочие области различных групп РД не пересекаются и не образуют пустых областей. В зависимости от соотношения величин корректирующего импульса и импульса момента появляются области значений КИ, в которых задействуются 4 группы, не используемые в случае отсутствия импульсов моментов. На рис. 13 приведён пример, когда наряду с КИ обеспечиваются заданные ненулевые приращения кинмомента КА. 

Область, характеризующая суммарное огневое время, потребное на проведение КИ и возможную разгрузку ДМ или ГД в зависимости от направления КИ, состоит из набора фигур, описанных выше (см. рис. 4,5,7,8,10,11). Пример такой области приведён на рис. 14. Если в направлении единичного вектора корректирующего импульса отложить величину, обратную суммарному огневому времени, получим область характеризующую возможности данной схемы управления по располагаемому (при данном запасе рабочего тела) суммарному корректирующему импульсу при наличии того или иного потребного момента импульса на разгрузку исполнительных органов за время службы КА. Например, если , то такая область приобретает форму, показанную на рис. 15. Допустим, в процессе эксплуатации, КА подвергается некоторым внешним возмущающим моментам и необходима периодическая разгрузка исполнительных органов КА некоторым характерным значением импульса момента. В этом случае область располагаемых значений суммарного корректирующего импульса  может выглядеть, например, как показано на рис 16.

Исследуя и анализируя эту область, можно скорректировать схему управления КА с учётом характерных особенностей данного КА по разгрузке исполнительных органов.

Рис.16

Определим условия, по которым можно найти для заданного вектора  нужное сочетание РД.

Введём обозначения:

Данные величины имеют размерность времени. Определим так же соотношения:

В таблице 2 c учётом подстановки матриц  в выражение (4) и вышеприведённых соотношений (13) и (14) приведены выражения для компонент вектора  и условия их неотрицательности для всех 16 вариантов сочетаний РД. В таблице номером обозначены сочетания включаемых РД.

         Таблица 2.

По этим зависимостям, для заданного вектора  можно выбрать пригодную группу из 6 РД и определить время работы каждого РД в группе. Соответствие номеров сочетаний и номеров РД, показанных на рис. 1, приведено в таблице 3.

Таблица 3.

Литература

1.     Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., Наука, 1966.

2.     Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М., Наука, 1965.

3.     Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М., Наука, 1974.