Выделение сингулярностей газодинамических полей при помощи комплексных габоровских фильтров

( Detection of singularities of the gas dynamics fields with the aid of complex Gabor filters
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

1.    ФУНКЦИИ ГАБОРА

         Функциями Габора, габоровскими примитивами (gabor primitive), а иногда габоровскими атомами (gabor atom) называют модулированные гауссианы вида

                                                               (1)

   Представление  сигналов в виде линейных комбинаций этих «атомов» было предложено создателем голографии (впоследствии Нобелевским лауреатом) Деннисом Габором (Dennis Gabor) в 1946 году в [1] в связи с его исследованиями по теории связи. В 1930-е годы такие функции использовались в квантовой механике, получив там название функций Вейля-Гайзенберга; их замечательное свойство состоит в том, что для них достигается равенство в соотношении неопределенности

                            .                      

Другими словами, функции (1) наилучшим возможным образом локализованы одновременно в частотной (вблизи частоты ) и временной (вблизи момента ) областях. Габор писал, что благодаря этому достигается наиболее эффективное использование «информационной области» (information area) при представлении сигнала в виде линейной комбинации таких примитивов.

         Однако впоследствии основной сферой применения функций (1) и их аналогов для случая двух переменных стало не компактное представление сигналов (в связи с неустойчивостью восстановления и относительной  сложностью алгоритмов), а анализ сигналов. В течение последних 10-15 лет использование этих примитивов в задачах обработки данных переживает довольно заметный бум. Они были успешно использованы в устройствах персональной идентификации по радужной оболочке глаза [2], рассматриваются как очень перспективный аппарат в задаче распознавания лица [3], в задачах выделения объектов в изображениях [4].

         В задачах распознавания и анализа данных функции Габора используются в качестве фильтров. Свертка сигнала с габоровским атомом дает представление об эволюции во времени доли энергии сигнала «на частоте ». Самый популярный инструмент для такого анализа - обычная спектрограмма, модуль оконного преобразования Фурье. Если в качестве окна используется гауссиан, то значения оконного преобразования Фурье в точности совпадают с проекциями сигнала на функции Габора (впрочем, функциями Габора часто называют любое семейство вида , где  –­ «окно», то есть положительная быстроубывающая функция).

В задаче локализации особенностей газодинамических  полей нас интересуют точки излома или разрыва очень гладких функций. Такие изломы и разрывы – это явления, происходящие на очень малых масштабах (то есть на «высоких частотах»). Поэтому в экспериментах, описанных в следующем пункте, был применен габоровский примитив, сосредоточенный на небольшом числе узлов сетки.

2. ВЫБОР ФИЛЬТРА И ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Наилучшие результаты на всех протестированных в экспериментах полях показал простой фильтр F, построенный следующим образом. Положим   (норма этой функции равна 1 в ). В качестве коэффициентов фильтра F были взяты значения  в семи узлах, равномерно расположенных от -4 до +4 (отметим, что в точках , поэтому в большинстве задач, где важен лишь модуль свертки поля с фильтром, будет достаточно всего пяти коэффициентов).

Значения коэффициентов фильтра приведены в таблице.

Для наглядности на рис. 1 приведены графики ломаных с узлами в коэффициентах вещественной и мнимой частей этого фильтра.

Обработка всех полей проводилась в два шага. На первом шаге, который можно считать препроцессингом, выполнялась свертка каждого из столбцов двумерного массива, задающего поле, с фильтром F. На втором шаге к модулю полученного комплексного массива применялся стандартный метод Канни выделения резких перепадов. Важно, что порог чувствительности в программе, реализующей метод Канни, не адаптировался к массиву.

Для визуализации и оценки результатов каждого эксперимента создавалось два изображения. На первом из них был показан исходный массив, модуль отфильтрованного массива, градиент фазы отфильтрованного  массива, а также набор контуров, выделенных методом Канни. На втором изображении набор полученных контуров, т.е. найденных сингулярностей изучаемого поля, накладывался на исходный массив.

Перейдем к описанию экспериментов. На рис. 2 приведен результат обработки тестового кусочно-полиномиального массива со слабым разрывом. На рис. 3 показана найденная линия сингулярности. Она хорошо приближает истинное положение слабого разрыва.

Приведем результаты обработки поля распределения плотности одномерного нестационарного течения газа, рассчитанного путем интегрирования нестационарных уравнений Эйлера с помощью обобщенной разностной схемы Годунова 2 порядка аппроксимации. Поле показано на рис. 4. В начальный момент происходит мгновенное выделение энергии на внутреннем участке. В результате образуется система ударных волн и тангенциальных разрывов.

На рис. 5 показан результат обработки этого поля предлагаемым методом.

Найденные линии сингулярности обозначены темным цветом. Видно, что основные особенности поля найдены. При этом существенно, что полученные кривые не размазаны в зоне сингулярности – за исключением «заштрихованной» зоны в районе тангенциального разрыва в правой части рисунка.

Эта зона, как и остальные сингулярности, очень четко видна на изображении градиента фазы отфильтрованного массива (рис. 6). Это изображение в данном случае весьма информативно для понимания качественного характера течения. Однако оно не слишком пригодно для точной локализации особенностей – при попытке выделения контуров стандартными методами на этом изображении возникают двойные линии, а также ряд артефактов.

Анализ более сложного течения проиллюстрирован  на рис. 7-9. Исследовались сингулярности течения в канале, где на разогретый газ набегает ударная волна, а в момент времени t =0 происходит импульсное вложение энергии во внутренней области. Моделирование проводилось при помощи интегрирования двумерных нестационарных уравнений Эйлера – на неподвижной сетке, с размазыванием разрывов [8]. В наших экспериментах использовалось поле плотности этого течения в момент времени t=0.2. Течение симметрично относительно горизонтальной плоскости, поэтому на рисунках изображена только нижняя половина области. 

Рис. 7 показывает градиент исходного поля плотности .

На рис. 8 изображен результат обработки поля по нашему методу, с наложением на распределение плотности поля. Основные сингулярности выделены достаточно точно. Подчеркнем, что при этом не возникает двойных линий, и имеется всего два небольших артефакта.

Наконец, рис. 9 изображает градиент фазы отфильтрованного поля, который оказался менее информативным, чем в предыдущем случае. Во-первых, на это изображение попали не все сингулярности поля – некоторые вертикальные сингулярности на нем не видны. Это связано, очевидно, с тем, что фильтр применялся лишь к столбцам исходного поля. Однако и те сингулярности, на которые отреагировала фаза, намного сильнее размыты на этом изображении, чем на рис. 6.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные результаты экспериментов позволяют надеяться, что предложенный подход может быть весьма эффективным при выделении особенностей газодинамических полей. Для того, чтобы создать надежный метод локализации сингулярностей на основе этого подхода, предполагается в ходе дальнейших исследований получить достаточно подробное математическое описание действия фильтров такого рода на типичные особенности газодинамических полей.

Данная работа была стимулирована более ранними исследованиями [5 -7], где большое внимание уделялось анализу фазы ортогонального комплексного вейвлет-преобразования поля. Фильтр, использованный в представленных выше экспериментах, во многом аналогичен комплексным вейвлетным фильтрам. Однако в данном случае наиболее эффективным препроцессингом оказался переход не к фазе, а к модулю отфильтрованного поля. Стандартное выделение контуров после такой предобработки дает минимум артефактов (двойных линий, изолированных точек, обрывков кривых), что является очень полезной особенностью данного подхода.

Градиент фазы отфильтрованного поля часто несет богатую визуальную информацию, как видно из рис. 2 и особенно рис. 6. Вопрос о точной и надежной интерпретации этой информации также предполагается изучить в ходе дальнейших исследований.

Автор благодарен А. Л. Афендикову за консультации по газовой динамике, и А. Е. Луцкому за предоставление данных для экспериментов.

Работа выполнена по Программе 3-1 ОМН РАН.

4. ЛИТЕРАТУРА

[1] D. Gabor. Theory of communication. J. IEE (London), 93(III):429-457, November 1946.

[2] J. Daugman,  "Demodulation by complex-valued wavelets for stochastic pattern recognition." Int'l Journal of Wavelets, Multi-resolution and Information Processing, vol. 1, no. 1, pp 1-17, 2003.

[3] Shiguang Shan, et al, “Review the Strength of Gabor features for Face Recognition from the Angle of its Robustness to Mis-alignment”, Proceedings of the 17th International Conference on Pattern Recognition (ICPR’04).

[4] Joni Kamarainen, Ville Kyrki and Heikki KёalviЁainen, “Fundamental Frequency Gabor Filters for Object Recognition”, Proceedings of the 16 th International Conference on Pattern Recognition (ICPR’02)

[5] А.Л. Афендиков, Л.И. Левкович-Маслюк. Локализация особенностей газодинамических полей при помощи комплексных ортогональных вейвлет - разложений. Препринт №101, 2003г.

[6] A. Afendikov, L. Levkovich-Maslyuk, Localization of Singularities of Gas-Dynamic fields by using complex orthogonal wavelet expansion, Russian Journal of Math. Phys. VII, № 3, pp 250-258, 2004.

[7] А.Л. Афендиков, В.В. Горбунова, Л.И. Левкович-Маслюк, А.В. Плёнкин, Локализация сингулярностей газодинамических полей при помощи комплексных и вещественных вейвлетов, Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН №98, 2005г

[8] И.А.Знаменская, А.Е.Луцкий, Исследование эволюции и взаимодействия разрывов течения в канале под действием импульсного вложения энергии, Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН №88, 2005г.