Введение. Данные об орбитальном движении космических аппаратов (КА) доступны по каналам Internet в виде двустрочных элементов (TLE) [1,2,8]. Располагая данными о начальной (первой) орбите КА, выведенного ракетой-носителем (РН) и разгонным блоком (РБ), координатах точки старта и временем старта, можно восстановить схему выведения: оценить параметры орбиты, на которую выводится КА вместе с разгонным блоком (опорной орбиты), азимут запуска и затраты характеристической скорости на маневр перехода на начальную орбиту. Препринт посвящен построению алгоритма получения этих оценок.

Начальной орбитой может быть орбита выведения или промежуточная орбита в случае сложной схемы выведения. Располагая данными о начальной орбите, можно оценить долготу восходящего узла на момент первого пересечения плоскости экватора после момента старта. По оценке долготы восходящего узла, времени старта и координатам точки старта оцениваются азимут запуска и наклонение опорной орбиты. Под опорной орбитой понимается орбита, по которой двигался КА после завершения основной части активного участка. Если наклонение опорной орбиты отличается от наклонения начальной орбиты, то произошел запуск с изменением наклонения. Параметры опорной орбиты и затраты характеристической скорости оцениваются с использованием задачи Ламберта [3-6], которая позволяет определять параметры орбиты по двум положениям и моментам времени. Маневр изменения наклонения может быть модельно представлен в виде мгновенного импульса, выданного в момент прохождения узла орбиты. Будем считать, что маневр, изменивший наклонение, произошел в момент, когда начальная орбита в первый раз после момента старта пересекает экваториальную плоскость. Тем самым определено положение на правом конце и соответствующий момент времени, необходимые как исходные данные для задачи Ламберта. Положение на левом конце находится на некоторой высоте над точкой старта. Момент времени, соответствующий левому концу, принадлежит интервалу справа от момента старта. Выполняется перебор по возможным положениям и моментам времени на левом конце. Параметры опорной орбиты при переборе определяются из условий на высоту перицентра и затрат характеристической скорости, необходимой для перехода с опорной на начальную орбиту.

В докладе приведены примеры анализа выведений с космодромов: Мыс Канаверал, Ванденберг, Куру, Сичан.

Авторы выражают признательность В.А. Степаньянцу, оказавшему существенную помощь в работе над препринтом

Формализация и постановка задачи. Рассмотрим следующую модель. После старта КА и разгонный блок (или последняя ступень РН) движутся по опорной траектории до момента пересечения экватора. При пересечении экватора разгонный блок выдает импульс, который изменяет наклонение. Возможные моменты времени приложения мгновенного импульса, изменившего наклонение, и соответствующие положения КА можно определить по начальной орбите как моменты времени прохождения восходящих и нисходящих узлов.

Рассмотрим теперь движение КА по опорной орбите. Двигаясь по этой орбите, КА должен был бы пройти над точкой старта в некоторый момент времени, который наступил позже момента старта на несколько минут. Задав возможный диапазон высот прохождения над точкой старта опорной орбиты, получим множество моментов времени и положений КА.

Таким образом, для опорной орбиты определено множество возможных положений (в районе точки старта) и соответствующих им моментов времени (левый конец) и множество возможных положений и соответствующих им моментов времени в момент изменения наклонения (правый конец). Для каждой пары из множеств на левом и правом конце можно определить опорную орбиту, решив задачу Ламберта. Выполняя перебор по элементам множеств на левом и правом концах, получим различные опорные орбиты. По опорной и начальной орбитам можно вычислить характеристическую скорость, необходимую для изменения наклонения. Среди множества опорных орбит, получаемых в результате перебора, следует рассматривать только такие, которые удовлетворяют ограничению по высоте перицентра. Из множества опорных орбит, удовлетворяющих ограничению, выбирается такая, для которой минимален импульс изменения наклонения.

Метод решения задачи. Введем следующие обозначения:  - широта полигона старта,  - долгота полигона старта,  - момент старта (дата и время старта),  - вектор состояния начальной орбиты (орбиты выведения или промежуточной орбиты в случае сложной схемы выведения),  - момент времени, соответствующий вектору состояния .

Вначале проверяется: изменилось ли наклонение. Для этого по начальным условиям начальной орбиты численным интегрированием вычисляется  вектор состояния на момент старта в гринвичской системе координат, фиксированной на этот же момент. Вычисляются долгота восходящего узла и наклонение  орбиты, определяемые вектором состояния .

Далее с использованием широты  и долготы точки старта вычисляется вектор  — положение точки старта в ГСК и орт этого вектора: . Оценка наклонения орбиты вычисляется по формуле:

Если  модуль разности наклонения начальной орбиты и наклонения, вычисленного по точке старта, больше заданного порога, то в процессе выведения произошло изменение наклонения. Рассмотрим алгоритм, позволяющий для этого случая восстановить схему выведения, оценить азимут запуска, затраты характеристической скорости на маневр изменения наклонения и параметры орбиты до изменения наклонения.

Рассмотрим более подробно этот алгоритм.

Входная информация:

Выходная информация:

1. Вычисляется матрица  перехода из ГСК в СК J2000 на момент времени .

2. По элементам орбиты и моменту прохождения экватора  вычисляется вектор состояния КА: . Устанавливаются начальные состояния признаков:

3. Выполняется перебор по возможным моментам прохождения над точкой старта в диапазоне от до  с шагом . Например, .

4. Выполняется перебор по высоте прохождения над полигоном в диапазоне от до с шагом .
Например,

Для каждой пары значений и  выполняются пункты: 5 – 10.

5. Вычисляется положение КА над точкой старта в ГСК по координатам полигона   и высоте .

6. Вычисляется матрица перехода из ГСК в СК J2000 на момент :

,

где

.

7. Вычисляется положение КА в момент прохождения над точкой старта в СК J2000:

.

8. Решается задача Ламберта для определения орбиты, обеспечивающей перелет из точки в момент в точку  в момент . В результате решения задачи Ламберта будут получены два, одно или ни одного решения. Если не получено ни одного решения, то происходит переход к следующей паре значений.

9. Предварительный анализ решений задачи Ламберта. Если имеется два решения:

,                                

то выбирается то, для которого наклонение ближе к наклонению заданной орбиты:

Если имеется одно решение, то решение проверяется по критерию:

.                                                                                         

Если решение не удовлетворяет критерию, происходит переход к следующей паре значений.

Если решение найдено, то переход к его анализу (п. 10). Обозначим найденное решение как .

10. Вычисляется высота перицентра:

.                                      

Если выполняется условие , то проверяется признак . Если , то это первое найденное решение, удовлетворяющее ограничению по высоте перицентра. В этом случае элементы орбиты  сохраняются в , момент времени сохраняется в (), а признак  устанавливается в .

Если , то уже имеется отобранное решение. В этом случае сравнивается высота апоцентра сохраненного решения с высотой апоцентра анализируемого решения. Сохраняется решение с меньшей высотой апоцентра, т.е. проверяется условие: . Если условие выполнено, то в сохраняются элементы орбиты , в  − значение .

Далее проверяется признак , который управляет поиском решения с максимальной высотой перицентра среди всех решений. Если , это первое найденное решение. В этом случае найденное решение  сохраняется в , момент времени сохраняется в  (), а признак  устанавливается в .

Если , то проверяется условие: . Если это условие выполнено, то в  сохраняется , а .

На этом анализ пары и завершается.

11. Выбор решения. Если , то выбирается решение . Если , а , выбирается решение .

Если одновременно  и , то решение не найдено.

Если решение найдено, то переход к п. 12. Найденное решение — это и есть искомая опорная орбита . Соответственно выбранному решению выбирается значение или . Выбранное значение — это время прохождения над точкой старта при движении по орбите выведения .

12. Расчет модуля импульса. Вычисляется вектор состояния на момент по орбитальным данным : . Вычисляется модуль импульса перехода: .

Замечание. Поиск решений, удовлетворяющих условию , может выполняться не только по критерию высоты перицентра опорной орбиты, но и по критерию минимума характеристической скорости или по комбинации этих критериев.

Результаты. Примеры результатов, полученных в результате работы алгоритма, описанного выше, приведены в таблицах 1-4 для запусков с космодромов: Мыс Канаверал, Вандерберг, Куру и Сичан. Таблицы содержат следующие столбцы:

Для некоторых запусков в открытых официальных материалах организаций, осуществляющих запуски КА, приведены трассы орбит выведения и опорных орбит КА. В этих случаях можно сравнить трассу найденной опорной орбиты и трассу опорной орбиты, приведенную в официальных материалах. На рис. 1a,1b – 7a,7b приведены трассы найденных опорных орбит и приведенных в материалах компаний Boeing и International Launch Services (ILS) по запускам с международными номерами: 2004-003 (рис. 1), 2004-007 (рис. 2), 2004-009 (рис. 3), 2004-017 (рис. 4), 2004-023 (рис. 5), 2004-023 (рис. 6), 2004-045 (рис. 7). Рисунки, номера которых заканчиваются на букву a, содержат трассы найденных орбит, а на букву b — трассы из официальных материалов.

Таблица 1. Анализ выведений с космодрома «Мыс Канаверал»

Таблица 2. Анализ выведений с космодрома Вандерберг

Таблица 3. Анализ выведений с космодрома Куру

Таблица 4. Анализ выведений с космодрома Сичан