3D расчеты поглощения электромагнитной волны плазмой

( 3D Computations of Absorption of an Electromagnetic Wave by Plasma
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Содержание

Введение............................................................................................ 3

§1 Постановка задачи....................................................................... 3

§2 Результаты расчета...................................................................... 4

Литература.................................................................................. …12

Введение

     Данная  работа является продолжением работ [1] - [2], в которых влияние формы поверхности на процесс поглощения энергии волны плазмой численно исследуется в двумерной постановке.

Постановка задачи

     Взаимодействие электромагнитной волны с бесстолкнови­тель­ной плаз­­мой описывается систе­мой уравнений Максвелла - Власова:

,

,

,

где Е - напряженность электрического поля, B - магнитная  индукция,  f⁺ и  -  функции распределения ионов и электронов, соответственно.

     Здесь и далее в качестве единиц измерения [*] используются следующие:

время [t] = 1/ω, ω -  круговая частота падающего излучения,

расстояние [x] = c/ω, c - скорость света,

поле [E] = [B] = mcω/e, m и e - масса покоя и заряд электрона,

концентрация [n = ∫fdp]  = mω²/4πe²,

импульс [p] = mc,

энергия [H = -μ + (μ² + p²)^1/2] = mc²,  μ = m^±/m,

скорость [v = ∂H/∂p] = c.

     Падающая электромагнитная волна (излучение) - круговая поляризо­ван­ная  монохроматическая  волна с постоянной амплитудой, распространяю­щаяся вдоль оси  z :

E_x = B_y = aCos(z-t),  E_y = -B_x= aSin(z-t).

     Полагая, что мощное электрическое поле волны ионизует поверхностный слой практически мгновенно,  считаем плазму в начальный момент  полнос­тью ионизованной. В то же время пренебрежем  имеющимся в ней тепловым  движением, и  будем считать ее  холодной и неподвижной, так что функция распределения частиц в этот момент имеет вид: 

     Облучаемая плазма расположена в пространстве с  z ³ 0  и  имеет бугор­ча­тую поверхность. В расчетах участвовали бугорки двух видов:  цилиндры и параболоиды с круговым основанием и собственной осью  в направлении оси координат z. На рис.1 представлены проекции плаз­мы на координатные плоскости (x,y), (x,z) и  (y,z) для обоих типов бугорков.

Рис.1 Проекции цилиндра (а, б) и параболоида (а, с) на координатные

плоскости (x,y), (x,z) и  (y,z)  при  t=0.

     Плазма в начальный момент времени имеет периодическую структуру по осям  x и y, которую она сохраняет и при t>0.

     Функция  n₀(x,y,z)  описывает вид изображенного на рис.1 поверх­ност­ного слоя и имеет смысл концентрации частиц плазмы, одинаковой для ионов (протонов) и электронов при  единичном заряде ионов, с выпол­ненным условием квази­нейтральности плазмы в начальный момент.

     Параметрами задачи являются  амплитуда волны a, начальная концентра­ция ионов и электронов n₀, характеристики начальной конфигурации плазмы: z₀ – минимальное расстояние от плоскости  z=0  до границы выс­тупа,  относи­тель­­ный диаметр d,  определяющий  диаметр круга D = d ´ X  в осно­вании выс­тупа, h -  высота выступа. Область расчета: 0 < x < X, 0 < y < Y,  0 < z < Z.

     Граничные условия задачи формулируются следующим образом :

Е_x + B_y = 2aCost    и    Е_y - B_x = -2aSint   при z = 0,

что, очевидно, описывает заданную падающую волну с круговой поляриза­цией и допускает возмож­ность отраженной от плазмы волны,

E_x  - B_y = 0    и    E_y  + B_x = 0  при   z = Z,

означающих отсутствие падающей извне волны  в глубине плазмы.   

     Конечно, еще подразумеваются периодические граничные условия по осям  x   и   y.

     Основные принципы расчетного алгоритма, т.е. разностная схема для урав­­нений Максвелла и метод макрочастиц для  уравнения Власова изло­жены  в работах [3,4].

2. Результаты расчета

     В данном разделе все результаты приводятся в указанных выше единицах измерения.

     Основным результатом каждого варианта расчета является, очевидно, наб­­­ран­ная электронами к моменту времени t кинетическая энергия

.

Варианты характеризуются  средним по времени значением доли κ погло­щаемой электронами  энергии падающей волны U(t) ( κ(t) = W(t)/U(t), где U(t)=(a²´X´Y´t)).                      

     В  описываемых  вариантах начальная концентрация ионов и электронов плазмы постоянна, n₀  = 10. Масса иона  1837. Амплитуда волны a = 0.01. Расстояние от плоскости  z = 0 до  нижней границы выступа  -  z₀ = 2,  Z = 7.

     В первой серии расчетов бугорок представляет собой круглый цилиндр, который расположен в ячейке размером X´Y´Z и характеризуется  отно­си­тельным диаметром d и высотой выступа h.

     В дальнейших расчетах в качестве основного варианта выбран вариант с парамет­рами: X = Y= 3, d = 0.6, h = 0.8.

     Значения энергии W(t)  и коэффициента поглощения κ в зависимости от значения одного из этих параметров на рис.2 - 5 получены в предположении, что другие параметры остаются неизменными.

     На  рис.2а и 2б показана зависимость от времени  кинетической энергии элек­тро­нов W(t)  для трех вариантов, отли­чающихся значением d (2а) и для трех вариантов, разли­чающихся значением h (2б), при прочих равных условиях.

Рис.2а Кинетическая энергия электронов W(t)  для значений

d = 0.3, 0.6, 0.9 (пунктиром отмечена энергия падающей волны U(t)).

     Рис.2б Кинетическая энергия электронов W(t)  для значений

h = 0.4, 0.8, 1.2 (пунктиром отмечена энергия падающей волны U(t)).

     На рис.3 – 4 приводятся зависимости коэффициента поглощения k  от зна­­­че­ния относительного диаметра d или высоты выступа h, при прочих рав­ных условиях.

    Рис.3  Зависимость κ(d)                Рис.4 Зависимость κ(h)

                (X = Y= 3,  h = 0.8)                        (X = Y= 3, d = 0.6)

     Как показывают графики, по обоим рассматриваемым параметрам су­щест­вует не­ко­торая область оптимальных значений d и h;  макси­мальная интен­сивность поглоще­ния энергии  κ  = 0.8  достигается при  d = 0.6  и  h = 0.8.

     При падении волны на плоскую поверхность к = 0 -  имеет место практи­чески полное отражение, как и следовало ожидать [1].

     Очевидно,  значения d и h влияют на коэффициент поглощения k : чем меньше d и h, тем ближе поверхность плазмы к плоской, тем боль­ше доля отраженной волны  и меньше k; чем больше относительный диаметр d, тем также поверхность плазмы ближе к плоской и k снова становится меньше, но есть предел; с увеличением h величина k опять уменьшается.   

     На рис.5 дается зависимость величины κ от периода X = Y .

                              Рис.5 Зависимость коэффициента поглощения κ  от периода X = Y (d = 0.6, h = 0.8).

     Итак, видно, что максимум к = 0.8 получается при значениях параметров d = 0.6, h = 0.8, 1.2 < X = Y £ 4.

     Общее свойство выступов при указанных выше оптимальных значениях параметров -  относительно удлиненные по высоте и сравнительно тон­кие ци­линдры. Зависимость от значений X = Y (линейного размера одного периода структуры) невелика  в данных пределах. Такие выступы, однако, неес­тест­венны при случайном происхождении бугорков поверхности, для которых, кажется, более естественно примерное равенство   d ´  X ~ 2h ~ X/ 2 ~ Y/2. Оно и выпол­няется в действительности.

     Энергия электронной компоненты  W  растет, главным образом, за счет вовлече­ния в процесс новых электронов. Это можно видеть  при сравнении между собой  фазовых  портретов  электронов  на  моменты  времени  t = 50  и

t = 100 , вдоль всех координатных осей.         

     На рис.6(а, б) показаны все фазовые портреты электронов на два момента времени t = 50 и t = 100 в основном варианте расчета (X = Y = 3, d = 0.6,         h = 0.8).

Рис.6а Проекции фазовых портретов p_x, p_y, p_z  электронов, t = 50.

Рис.6б Проекции фазовых портретов p_x, p_y, p_z  электронов, t = 100.

     Обращают на себя внимание: 1) почти полное сходство всех трех  (p_x, p_y, p_z) проекций фазовых портре­тов вдоль осей  x  и  y на один и тот же момент вре­ме­ни, что естест­венно; 2) расширение во времени областей  p_x, p_y, p_z  ¹ 0 вдоль оси  z  с заметным сужением  конусообразных облаков  с рос­том z; 3) неко­то­рое увели­чение предела модулей импульсов по сравнению с двумерным расчетом (~ 0.3 вмес­то 0.1 для |p|); 4) для компо­ненты  p_z отчетливо видна асимметрия в виде примерно двукратного пре­восходства положительных значений импульса  над отрицательными; 5) не­ко­торый рост максимальных значений  всех  импульсов  при сравнении  обоих моментов времени в пользу  t = 100. Последнее означает, что рост энергии плазмы происходит не только за счет вовлечения новых электронов, но и возрастания удельных энергий.

     На рис.7  показана кинетическая энергия  ионной компоненты (вариант  X = Y = 3, d = 0.6,  h = 0.8). Она почти на два порядка меньше электронной и появляется позже.

Рис.7 Кинетическая энергия ионов.

     На рис.8 изображены проекции фазовых портретов ионов  в момент  t = 100 для этого же варианта.

Рис.8  Проекции фазовых портретов p_x, p_y, p_z  ионов, t = 100.

 Импульс ионов монотонно растет и к моменту t = 100  max|p|  достигает 3.

     Все предыдущее относилось к случаю a = 0.01. Зависимость коэффици­ен­та поглощения κ от амплитуды волны  электро­магнитного поля представ­ле­на в таблице 1 (X = Y = 3,  d = 0.6,   h = 0.8).

Таблица 1 к(a).

    a                    к              

   0.0001              .45              

   0.0005              .70              

   0.001              .80              

   0.01              .80              

   0.02              .80              

    Заметим, что при малых амплитудах предположение о полной ионизован­ности плазмы может оказаться сомнительным.        

     На рис.9(а, б) приведены фазовые портреты электронов на два момента вре­мени t = 100 и t = 150 в варианте с параметрами:

a = 0.02, z₀  = 2,  X = Y = 3, Z = 15, d = 0.6, h = 0.8.

     Этот вариант расчета отличается от основного значениями амплитуды  a элек­тромагнитного поля и граничным значением Z, увеличенным почти вдвое. 

Рис.9а Проекции фазовых портретов p_x, p_y, p_z  электронов, t = 100.

Рис.9б Проекции фазовых портретов p_x, p_y, p_z  электронов, t = 150.

  В этом варианте, также как и в основном, коэффициент поглощения k = 0.8.

     Следует сравнить между собой фазовые портреты на рис.6б и рис.9а. По­ми­мо увеличения глубины проникновения электромагнитного поля почти вдвое, обращает на себя внимание увеличение не только средних импульсов электронов (граница плотного облака электронов), что естественно для уве­личенной в два раза амплитуды электромагнитной волны, а и заметное воз­растание импульсов так называемых «горячих» электронов, в особенности компоненты p_z (полный импульс электронов |p| становится уже около 0.45!).

Это находит подтверждение на рис.9б, где еще заметнее последний эф­фект.

     Во второй серии расчетов бугорки имеют форму параболоида с круговым основанием, максимальная высота которого – h. В таблице 3 приведены зна­че­ния коэффициента поглощения   к  для бугорков цилиндрической формы k_c и в форме параболоида к_р (при прочих равных условиях основного вариан­та расчета т.е. a = 0.01, z₀ = 2,  X = Y = 3, Z = 7, d =0 .6, h = 0.8).

Таблица 3

 h        к_c      к_р

.8       .8      .15

1       .7      .2

2       .25    .4

Литература

1.     В.Ф.Дьяченко, В.С. Имшенник. Об аномальном взаимодействии мощных световых потоков с плотной плазмой. // Физика плазмы. 1979, Т. 5, Вып. 4.

2.     С.Л. Гинзбург, В.Ф.Дьяченко, В.С. Имшенник, В.В. Палейчик. Об аномальном поглощении световых потоков плотной плазмой. // ВАНТ, серия: Теоретическая и прикладная физика, 2007, Вып. 2-3.

3.     В.Ф.Дьяченко. О расчетах задач бесстолкновительной плазмы. // ЖВМ и МФ. 1985, № 4.

4.     В.Ф.Дьяченко. Десять лекций по физической математике. // Издатель-ство «Факториал», г. Москва, 1997.